Constructions de carreaux de cyclides de Dupin à bords circulaires

Constructions, dans l’espace des sphères, de carreaux de cyclides de Dupin à bords circulaires

L. Garnier¹, L. Druoton^1,2,3

1LE2I,UMR CNRS 6306, Université de Bourgogne, faculté Mirande, 21000 Dijon

2CEA, DAM, Valduc, F-21120 Is Sur Tille

3IMB, UMR CNRS 5584, Université de Bourgogne,faculté Mirande, 21000 Dijon

<lionel.garnier, lucie.druoton>@u-bourgogne.fr

Résumé

Les cyclides de Dupin ont été inventées par P. Ch. Dupin en 1822. Ce sont des surfaces qui sont enveloppes, de deux manières différentes, d’une famille à un paramètre de sphères orientées. R. Martin les a introduites en C.A.O. en 1982 et depuis, pléthore d’auteurs se sont intéressés à elles. Plusieurs algorithmes de conversions de carreaux de cyclides de Dupin en surfaces de Bézier rationnelles biquadratiques ont été développés. A partir des propriétés de ces dernières, des algorithmes permettent de réaliser le travail inverse. Dans cet article, nous utilisons l’espace des sphères afin de simplifier la construction de carreaux de cyclides de Dupin passant par quatre points cocycliques donnés et deux vecteurs tangents orthogonaux en l’un des sommets. De plus, nous ne construisons pas la surface de Bézier sous-jacente.

Mots clé : Cyclide de Dupin, espace des sphères, carreau à bords circulaires

Dupin cyclides are algebraic surfaces introduced for the first time in 1822 by the French mathematician Pierre- Charles Dupin. A Dupin cyclide can be defined, in two different ways, as the envelope of an one-parameter family of oriented spheres. R. Martin is the first author who thought to use these surfaces in CAD/CAM and geometric modeling. Some authors gave algoritms to convert a Dupin cyclide patch into a rational biquadratic Bézier sur- face. From the properties of these surfaces,there are some algorithms which permit to construct and convert a such Bézier surface into a Dupin cyclide patch. In this paper, we use the space of spheres to simplify the construction of the Dupin cyclide patch. The data are four points on a circle and two perpendicular tangent vectors at a point.

We do not determine the underlying Bézier surface.

Keywords : Dupin Cyclide, space of spheres, patches with circular edges

1 Introduction

Les cyclides de Dupin, inventées par P. Dupin en 1822 [Dup22], ont été introduites en C.A.O. et en C.F.A.O. par R. Martin [Mar82]. Afin de montrer l’intérêt de leurs uti- lisations dans ces deux domaines, plusieurs algorithmes de conversion de carreaux de cyclides de Dupin en surfaces de Bézier rationnelles biquadratiques ont été développés [Pra97, Gar07, FGP05, Ued95]. A partir des propriétés des surfaces de Bézier obtenues par les algorithmes précédents, des algorithmes permettant de construire des surfaces de Bé- zier rationnelles biquadratiques convertibles en carreaux de cyclides de Dupin ont été proposés [BGF11, Gar07, GG11, GFN06]. Deux conditions sont nécessaires et suffisantes

pour construire un tel carreau, unique [Mar83, SKD96] : les quatre sommets du carreau doivent être cocycliques ; les deux vecteurs tangents, définissant chacun l’un des quatre cercles de bord, en un sommet, doivent être orthogonaux.

Il est possible de définir une cyclide de Dupin de plusieurs façons [CDH88, Dar17, For12, Gar07]. Dans cet article, nous choisissons celle qui est la plus appropriée pour notre tra- vail : une cyclide de Dupin est l’enveloppe de deux familles à un paramètre de sphères orientées. La contribution d’une sphère de l’une des deux familles à la cyclide de Dupin est un cercle appelé cercle caractéristique. Dans l’espace af- fine euclidien usuel à trois dimensionsE₃, ce dernier peut être déterminé comme intersection de deux sphères. Etant

c

REFIG 2013, Revue Électronique Francophone d’Informatique Graphique.

donné leur définition, il est naturel de représenter les cy- clides de Dupin dans un espace de représentation des sphères [HJ03,Cec92,LO05,LO08,LW08] où le travail de modélisa- tion est simplifié : par exemple, une cyclide de Dupin qui est une surface algébrique de degré 4 est caractérisée dans l’es- pace des sphères par une courbe contenue dans un 2-plan^† affine [GDL12].

De plus, sur des cyclides de Dupin, nous pouvons cons- truire des triangles 3D, soit à bords circulaires dans E₃ [BGF11, GBF09, BGF09, Pue10, PG10], soit à deux bords circulaires et un bord qui est une courbe quartique en se plaçant dans l’espace des sphères [LSD^∗11]. Langevin et al. n’ont pas trouvé de solution à ce dernier problème dans l’espaceE₃ce qui explique pourquoi, dans cet espace, nous construisons des carreaux de cyclides de Dupin : nous pou- vons réaliser des jointures G¹entre des carreaux de cyclides de Dupin et des triangles 3D. Ainsi, le but de cet article est de construire, en utilisant l’espace des sphères, le carreau de cyclide de Dupin qui est défini par les contraintes énon- cées dans les articles [Mar83, SKD96] : les quatre sommets sont cocycliques et les deux vecteurs tangents, en l’un de ces points, sont orthogonaux. A notre connaissance, c’est la pre- mière fois qu’une telle construction est proposée en utilisant l’espace des sphèresΛ⁴.

L’article est composé comme suit : après un rappel sur les cyclides de Dupin et l’espace des sphères, nous présentons, dans la section 3, l’algorithme permettant de résoudre notre problème. Avant de conclure et de donner quelques perspec- tives, nous donnons un exemple numérique dans la section 4. La démonstration du théorème essentiel se situe dans l’an- nexe A. L’annexe B illustre l’orientation des sphères dans le cas où nous avons une cyclide de Dupin en anneau ou à crois- sant externe. L’annexe C établit la correspondance entre les points deΛ⁴et les sphères orientées deE₃.

2 Rappels sur les cyclides de Dupin et l’espace des sphères

2.1 Cyclides de Dupin dans l’espaceE₃

Soit(O3,−→e1,−→e2,−→e3)un repère orthonormé de l’espace eu- clidienE₃de dimension 3. DansE₃, une sphèreSde centre Ωet de rayon r, strictement positif, admet deux orientations.

Une manière de les définir est de considérerS soit comme le bord d’une bouleB(Ω,r)de centreΩet de rayon r, soit comme le bord du complémentaire E₃−B(Ω,r) de cette boule. En tout point M deS, la sphère orientéeS⁺(resp.

S−), de rayonρ=r (resp.ρ=−r) se traduit par le fait que les vecteurs−−→ΩM et le vecteur unitaire−→

N à la sphère en M sont de même sens (resp. de sens contraires). En résumé, nous avons :

−−→ΩM=ρ−→

N (1)

†. Il s’agit d’un plan à deux dimensions.

DansE₃, une cyclide de Dupin^‡ (quartique) est l’enve- loppe, de deux manières, d’une famille à un paramètre de sphères orientées, figure 1, le lieu des centres des sphères sont une ellipseEde demi-axes a et b, équation (2) du ta- bleau 1 et figure 1(a), et une hyperbole H de demi-axes c et b, équation (4) du tableau 1 et figure 1(b), contenue dans deux plans orthogonaux. De plus, les sommets de l’une sont les foyers de l’autre [For12, Dar87, Dar17] ce qui implique la relation suivante :

b²=a²−c²

(a)

(b)

Figure 1: Une cyclide de Dupin, enveloppe de deux familles de sphères à un paramètre. (a) : les centres des sphères sont sur une ellipse. (b) : les centres des sphères sont sur une hy- perbole (deux plans appartiennent à la famille de sphères).

La contribution d’une sphère à la cyclide de Dupin est un cercle appelé cercle caractéristique le long duquel la cyclide de Dupin et la sphère sont tangentes. De plus, toute sphère

‡. Nous ne considérons pas ici les cas dégénérés de cyclides de Dupin comme le tore, le cône de révolution ou le cylindre de révo- lution.

de l’une des deux familles est tangente à toutes les sphères de l’autre famille le long d’un cercle caractéristique.

Notons qu’une cyclide de Dupin est définie par un troi- sième paramètre µ indépendant des paramètres a et c [DGL^∗11,Pra90]. Nous pouvons distinguer cinq types de cy- clides de Dupin selon le nombre de leurs points singuliers et leurs dispositions : la cyclide en anneau, figure 4(b) ; la cy- clide à croissant interne, figure 5(b) ; la cyclide à croissant externe, figure 5(c) ; la cyclide à croissant interne nul, figure 6(b) et la cyclide à croissant externe nul, figure 6(c).

Objet EllipseE

Sphères S1(θ)

Centres Ω_θ(a cos(θ); b sin(θ); 0) (2) Rayons r₁(θ) =µ−c cos(θ) (3)

Condition θ∈[0,2π]

Objet Hyperbole H

Sphères S2(ψ)

Centres Ωψ

c

cos(ψ); 0;−b tan(ψ)

(4)

Rayons r₂(ψ) =µ− a

cos(ψ) (5) Plans c x−sin(ψ0)b z−µa=0 Condition ψ∈[0,2π]\_−π

2 ,^π₂ ,ψ0∈_−π

2 ,^π₂ Table 1: Propriétés des cyclides de Dupin : sphères et plans appartenant à chaque famille.

Concernant les relations entre les types de cyclides de Du- pin et les paramètres a, c etµ, la détermination des para- mètres d’une cyclide de Dupin dans les cas non traités dans cet article, les diverses propriétés de ces surfaces (jointures, conversion en carreau de Bézier, surface parallèle...), le lec- teur peut se reporter à [Gar07]. Remarquons que le chan- gement de toutes les orientations des sphères des deux fa- milles ne change pas la cyclide de Dupin, en tant que surface non orientée, obtenue comme enveloppe de ces familles de sphères.

2.2 L’espace de Lorentz et le cône de lumière

Dans ce paragraphe, nous ne rappelons que l’essentiel pour la compréhension de cet article. Pour plus de détails, les lecteurs peuvent se reporter à [DGL^∗11].

L’espace vectoriel réel de dimension 5, noté−−→L_4,1, de base canonique(−→ei)_{i∈{0;1;2;3;4}}est muni de la forme de Lorentz :

L_4,1: −−→

L4,1×−−→

L4,1 −→ ^R

(−→u ;−→v) 7−→ −x₀y₀+

∑

x_iy_i (6) où−→u(x0;. . .; x4)et−→v(y0;. . .; y4). La forme bilinéaireL_4,1 est symétrique, définie, de signature (4; 1). Nous notons Q_4,1la forme quadratique associée àL_4,1, i.e. :

Q_4,1(−→u) =L_4,1(−→u,−→u) (7) L’espace L4,1est l’espace affine, d’espace vectoriel asso- cié−−→

L4,1, et d’origine O5de coordonnées(0; 0; 0; 0; 0).

L’ensemble des vecteurs positions qui annulent cette forme quadratique définissent le cône de lumière Cl, de som- met O₅, tableau 4. Pour la pseudo^§-métrique induite par la forme quadratiqueQ_4,1, le cône de lumière est la sphère de centre O5et rayon 0. Nous pouvons distinguer trois types de vecteurs, tableau 2, ainsi que trois types de 2-plans, vecto- riels ou affines, tableau 3.

Type de vecteurs−→v

Espace Q_4,1(−→v)>0 Temps Q_4,1(−→v)<0 Lumière Q_4,1(−→v) =0 Table 2: Les trois types de vecteurs−→v de−−→

L4,1définis par la comparaison de la forme quadratique à 0.

Type Plan

Espace Tous les vecteurs sont de type espace Temps Au moins un vecteur de type temps Lumière Plan parallèle à un hyperplan tangent à Cl

Table 3: Différents types de plans de−−→L_4,1et de L_4,1.

Dans l’espace L4,1, deux autres quadriques jouent un rôle fondamental, tableau 4. Nous allons les introduire et expli- quer leur rôle dans les deux sections suivantes.

2.3 Plongement de l’espace euclidienE₃sur le cône de lumière C_l

Afin de pouvoir manipuler les mêmes objets dansE₃ et dans l’espace des sphères, nous devons construire un modèle deE₃dans L4,1. Le lemme 1, illustré par les figures 2 et 3, permet de définir une isométrie entreE₃ et un paraboloïde de dimension 3 sur Cl.

§. Dans la suite, le terme pseudo sera omis.

Définition Cl=n

M∈L4,1|Q_4,1−−→

O5M

=0 o

(8) Λ⁴=n

M∈L4,1|Q_4,1−−→

O5M

=1 o

(9) P=C_l∩H (H hyperplan affine de type lumière) Table 4: Tableau synthétisant les trois quadriques fonda- mentales de L4,1. Le paraboloïdeP, figure 2 est isométrique à l’espace euclidien à trois dimensionsE₃. L’espaceΛ⁴est l’espace permettant de représenter les sphères orientées et les plans orientés deE₃. Pour la structure de Lorentz (resp.

euclidienne),Λ⁴, figure 4, est la sphère unitaire de centre O₅ (resp. un hyperboloïde à une nappe) tandis que Cl, figure 2, est la sphère de centre O₅et de rayon nul (resp. un cône de révolution).

Lemme 1 :

SoitH l’hyperplan d’équation : x0−x4=1.

Le paraboloïdeP=Cl∩H, muni de la métrique obtenue comme restriction deQ_4,1àH est isométrique à l’espace euclidienE₃.

Dém : voir [GDL12].

Le vecteur−→n2 1

2,0,0,0,−¹2

permet de définir l’origine deE₃ dansH ∩C_l tandis que le vecteur−→n₁ ¹₂,0,0,0,¹₂ représente le point à l’infini deE₃ [DFM07, DFGL12] : la direction de ce vecteur est la direction asymptotique du pa- raboloïdeP. Pour que les plans soient considérés comme des sphères, nous avons besoin de la notion de point à l’infini de E₃.

Le paraboloïdePétant isométrique à l’espace euclidien E₃, à un point M(x; y; z)deE₃, nous faisons correspondre le vecteur−→m , de type lumière, de−−→

L4,1:

−

→m























x²+y²+z²+1 2 x y z x²+y²+z²−1

2























(10)

De plus, à tout vecteur−→m de−−→

L4,1, de type lumière, non co- linéaire au vecteur−→n₁, correspond le point m(x0; x; y; z; x₄) du paraboloïde tel que les deux vecteurs−→m et−−→

O₅m soient colinéaires (toute droite vectorielle de type lumière, non pa- rallèle à l’hyperplanH coupe le paraboloïdeP). Ainsi, nous avons la condition suivante :

x0−x4 = 1

x²+y²+z²+1−2x₀ = 0 (11)

Figure 2: Construction du paraboloïdePisométrique à l’es- pace affine euclidien usuelE₃.

−

→n₁,−→n₂,−→H , et H sont de type lumière. L’hyperplan−→H est tan- gent à Cl. Toute direction lumière−→n , distincte de−→n1, permet d’obtenir un point deE₃via le paraboloïdeP.

Figure 3: Construction du paraboloïdePisométrique à l’es- pace affine euclidien usuelE₃.

L’hyperplan H est de type lumière, la forme quadratique est dégénérée et les directions en bleu annulent la forme de Lo- rentz.

Enfin, le vecteur lumière−→m , via le point m du paraboloïde P, définit le point M(x; y; z)deE₃.

2.4 L’espace des sphèresΛ⁴

L’espace des sphèresΛ⁴est représenté par une quadrique de dimension 4 dans L_4,1, tableau 4. La correspondance entre les points deΛ⁴et les sphères deE₃s’obtient en utili- sant l’orthogonalité pourL_4,1: siσest un point deΛ⁴, alors l’intersection entre l’hyperplanH_σ⊥et le paraboloïdePest une sphère ou un plan, voir l’annexe C.

Il est possible de démontrer (voir par exemple [LW08]) que deux sphèresS₁etS₂, de même orientation à leur point de contact, sont tangentes si et seulement si nous avons :

Q_4,1 −−→σ1σ2

=0

où σiest le point de Λ⁴ correspondant à la sphèreS_i. Le point de tangence est alors l’intersection du paraboloïdePet de la droite lumière passant par O₅et de vecteur directeur

−−→σ1σ2.

L’hyperplanH_x

0=x4d’équation x0=x4permet de discer- ner les sphères des plans. La représentation d’une sphère orientée deE₃, de centreΩ(a; b; c)et de rayon algébrique r est :

σ=

































 1 2r

a²+b²+c²−r²+1 a

r b r c r 1

2r

a²+b²+c²−r²−1



































(12)

et nous pouvons remarquer immédiatement que les deux sphères orientées, définies à partir de la même sphère géo- métrique, sont symétriques par rapport à l’origine d’une part, et que les représentations des sphères orientées deE₃ ap- partiennent àΛ⁴−H_x

0=x4d’autre part. A tout plan orienté d’équation :

a x+b y+c z=d,avecp

a²+b²+c²=1 (13) correspond le point :

σ= (d; a; b; c; d) (14) Nous remarquons que :

• le pointσappartient à l’hyperplanH_x

0=x₄;

• la condition donnée dans la formule (13) assure que le pointσ appartient bien àΛ⁴ c’est-à-dire que nous avons :

Q_4,1−−→

O5σ

=1

Réciproquement, tout pointσ(x0; x₁; x₂; x₃; x₄)deΛ⁴dé- finit un plan orienté ou une sphère orientée deE₃. Si nous

avons x₀=x₄, σ correspond au plan affine deE₃ d’équa- tion :

x₁x+x₂y+x₃z=x₀ (15) tandis que si nous avons x06=x4,σ correspond à la sphère orientée deE₃de centre :

Ω x₁ x0−x4

; x₂ x0−x4

; x₃ x0−x4

(16) et de rayon algébrique :

1 x0−x4

(17)

2.5 Les cyclides de Dupin dans l’espace des sphères Nous avons vu qu’un cercle caractéristique est l’ensemble des points de tangence entre la cyclide de Dupin et une sphère de l’une des deux familles génératrices. Comme une cyclide de Dupin est l’enveloppe de deux familles de sphères à un paramètre, nous pouvons la représenter dans l’espace des sphères par les courbes, de type espace, correspondants à ces deux familles. Il s’agit de l’union de deux cercles (ou un cercle et une droite), appelés cercles frères^¶, pour la forme de LorentzQ_4,1, sections de la quadriqueΛ⁴par deux 2-plans affines orthogonaux entre eux et orthogonaux à la droite joignant les centres^k ΩE etΩH de ces cercles (lorsque cela a un sens). De plus, nous avons la relation :

L_4,1−−−→

O₅ΩE;−−−→

O₅ΩH

=1

Pour la métrique de L_4,1, un cercle connexe se trace comme une ellipse, un cercle non connexe se trace comme une hyperbole et une droite peut se tracer comme une pa- rabole. D’un point de vue euclidien, nous pouvons voir ces cercles comme des coniques, différentes selon le type de la cyclide :

• deux ellipses, figure 4, pour une cyclide de Dupin en anneau ;

• une ellipse et une hyperbole, figure 5, pour une cyclide à croissant non nul (interne ou externe) ;

• une ellipse et une parabole, figure 6, pour une cyclide à croissant nul (interne ou externe).

Les cercles caractéristiques d’une cyclide de Dupin peuvent être déterminés par l’intersection de deux sphères particulières, [GDL12] :

• la première sphère à considérer est celle de la famille de sphères dont la cyclide est l’enveloppe correspon- dant à un pointS(t₀)deΛ⁴ oùSest une paramétrisa- tion admissible de l’un des cercles frères représentant la cyclide surΛ⁴;

¶. La connaissance de l’un permet la détermination de l’autre.

k. Dans le cas d’une cyclide de Dupin n’ayant qu’un point sin- gulier, le lieu des centres des sphères contenant la sphère de rayon nul (i.e. le point singulier), se trace comme une parabole et n’admet donc pas de centre.

rbr

C2

Ω1

−

→e₀

Λ⁴ Cl

O5

C₁

Ω2

P₁

P₂ (a)

(b)

Figure 4: Une cyclide de Dupin en anneau représentée sur Λ⁴ par l’union de deux cercles connexes (qui se tracent comme des ellipses). (a) : Représentation dansΛ⁴. (b) : Re- présentation dansE₃.

• la seconde sphère, notée S(t^•0), correspond au point d’intersection entreΛ⁴et la demi-droite

O₅,−−−−→_dS

dt (t0)

. Cette sphère est orthogonale à la première.

Notons que si le cercle caractéristique est un grand cercle sur S(t₀)alorsS(t^•₀)est un plan contenant ce cercle.

br r

Λ⁴ P₂

C2

P₁

Ω1

−

→e0

Cl

O5 Ω2

C1

(a)

(b)

(c)

Figure 5: Une cyclide de Dupin ayant deux points singuliers représentée surΛ⁴par l’union d’un cercle non connexe (qui se trace comme une hyperbole) et d’un cercle connexe (qui se trace comme une ellipse). (a) : Représentation surΛ⁴. (b) : Une cyclide de Dupin à croissant interne dansE₃. (c) : Une cyclide de Dupin à croissant externe dansE₃.

b r

−

→e0

Λ⁴

P₂

C2

P₁ Cl

O5

Ω2

C1

−

→vl

−

→vl

(a)

(b)

(c)

Figure 6: Une cyclide de Dupin ayant un unique point sin- gulier représentée surΛ⁴ par l’union d’une droite (qui se trace comme une parabole) et d’un cercle connexe (qui se trace comme une ellipse). (a) : Représentation surΛ⁴. (b) : Une cyclide de Dupin à croissant interne nul dansE₃. (c) : Une cyclide de Dupin à croissant externe nul dansE₃.

2.6 Faisceaux de sphères linéaires et leur représentation surΛ⁴

Dans [LW08], les auteurs rappellent que tout faisceau li- néaire de sphères deE₃est représenté dans L4,1par la section de la quadriqueΛ⁴par un 2-plan affinePpassant par O₅.

(a)

(b) (c)

Figure 7: Les trois types de faisceaux de sphères dansE₃. (a) : Un faisceau de sphères à base cercle. (b) : Un faisceau de sphères à points limites. (c) : Un faisceau de sphères tan- gentes.

Selon le type du planP, nous obtenons différents types de faisceaux de sphères :

b

C

Λ

−

→v₀

C_l

O₅

Figure 8: Représentation d’un faisceau de sphères à points limites par un cercle non connexe contenu dans un 2-plan de type temps.

b

Λ

C

−

→v₀

C_l

O₅

Figure 9: Représentation d’un faisceau de sphères à base cercle par un cercle connexe contenu dans un 2-plan de type espace.

Proposition 1 :

• La section de la quadriqueΛ⁴par un planPde type es- pace est un cercle connexe (qui se trace comme une el- lipse) et correspond à un faisceau de sphères à base cercle i.e. toutes les sphères du faisceau ont un cercle commun, figures 7(a) et 9.

• La section de la quadrique Λ⁴ par un planP de type temps est un cercle non connexe (qui se trace comme une hyperbole) et correspond à un faisceau de sphères à

points limites, i.e. les boules délimitées par ces sphères sont contenues les unes dans les autres et tendent vers deux points limites, figures 7(b) et 8.

• La section de la quadriqueΛ⁴par un planPde type lu- mière est l’union de deux droites de type lumière^∗∗ sy- métriques par rapport à O₅et correspond à un faisceau de sphères tangentes en un point, figures 7(c) et 10. Notons que ce point est défini par la direction lumière de l’une des droites [GDL12].

b

C −→v₀

C_l

O5

Λ

Figure 10: Représentation d’un faisceau de sphères tan- gentes par deux droites de type lumière contenues dans un 2-plan de type lumière.

3 Construction d’un carreau de cyclide de Dupin dans l’espace des sphères

Le premier travail à réaliser est la transposition des contraintes deE₃à l’espace de Lorentz.

3.1 Expression des contraintes deE₃dans L_4,1

DansE₃, les quatre points M00, M01, M11et M10doivent être cocycliques et deux vecteurs tangents−−→v_Cθ

0 et−−→v_Cψ

0 en M00 doivent être orthogonaux, figure 11. Les points M00, M₀₁ (resp. M₁₀) et le vecteur −−→v_Cθ

0 (resp.−−→v_Cψ

0) définissent le cercle caractéristique C_θ0 (resp. C_ψ0). Naturellement, les sens de ces deux vecteurs ne sont pas importants pour la dé- termination des cercles.

Chaque cercle de E₃ permet de définir un faisceau de sphères à base cercle et deux éléments de la famille vont jouer un rôle particulier : une sphère orientée ayant ce cercle

∗∗. Les vecteurs directeurs d’une droite de type lumière sont de type lumière.

rr r r

C

⊂ S

−−→ v

0

C

⊂ S

C M

M

M

M

C

⊂ S

C

⊂ S

−−→ v

0

Figure 11: Conditions permettant d’obtenir un carreau de cyclide de Dupin à bords circulaires dans E₃. Les points M₀₀, M₀₁, M₁₁et M₁₀appartiennent à un cercle. Les points M00, M01 (resp. M10) et le vecteur −−→vC_θ0 (resp. −−→vC_ψ0) défi- nissent un arc de cercle. Les vecteurs−−→vC_θ0 et−−→vC_ψ0 sont or- thogonaux.

comme grand cercle d’une part et un plan orienté contenant ce cercle d’autre part. Notons que cette sphère et ce plan sont orthogonaux.

Dans l’espace des sphères, chacun de ces deux faisceaux est un cercle, pour la métrique de Lorentz, de centre O₅, si- tué dans un 2-plan de type espace contenant O5. En s’ins- pirant des propositions données dans le théorème 1, pré- senté dans le paragraphe 3.2, le théorème 2, énoncé dans le paragraphe 3.3, permet de trouver un pointσ_θ0 sur l’un des cercles ainsi qu’un pointσψ0sur l’autre cercle tels que leurs représentations dansE₃soient deux sphères tangentes en M00.

Dans un second temps, nous déterminons une droite de type lumière définie par la sphère σψ0 et le vecteur−−→m₁₀, représentation du point M10. Cette droite représente les sphères tangentes à la sphèreσψ0au point M10. Il reste à dé- terminer le pointσ_θ2de cette droite lumière tel que la sphère associée àσ_θ2contienne le point M11.

Notre méthode dans l’espace des sphères nous permet d’obtenir directement les bonnes sphères, sans avoir à cal- culer des intersections de droites. Nous construisons les sphèresS_θ0 etS_ψ0à partir des faisceaux de sphères à base les cercles C_θ0 et C_ψ0puis nous déterminons la sphèreS_θ2. Le cercle caractéristique C_θ2 est ensuite construit. En fait, nous ne calculons que trois sphères pour déterminer la cy- clide de Dupin. Les sphèresS_θ0 etS_θ2 appartiennent à la même famille de sphères dont la cyclide de Dupin est l’en- veloppe tandis que la sphèreS_ψ0appartient à l’autre famille de sphères dont la cyclide de Dupin est l’enveloppe. Ainsi, la sphèreS_ψ0est tangente aux sphèresS_θ0etS_θ2.

Avant de présenter l’algorithme 1, nous donnons un ré- sultat permettant de caractériser la position relative de deux sphères c’est-à-dire que nous voulons savoir si ces der- nières sont tangentes, sécantes le long d’un cercle ou dis- jointes. Dans une troisième partie, nous énoncerons le théo- rème 2, démontré dans l’annexe A, sur lequel s’appuie l’al- gorithme 1.

3.2 Position relative de deux sphères Théorème 1 : Positions relatives de deux sphères

SoientSetS_xdeux sphères orientées deE₃. Soientσetσx

leurs représentations dansΛ⁴.

Alors, nous avons les trois propositions suivantes :

• S∩S_xest un cercle ssi

L_4,1−−→

O5σ,−−−→

O5σx

<1

• SetSxsont tangentes ssi

L_4,1−−→

O₅σ,−−−→

O₅σx

=1

• S∩Sx=/0 ssi

L_4,1−−→

O₅σ,−−−→

O₅σx

>1

Démonstration : Soit P le 2-plan affine défini par les points O₅, σ et σx et −P→ le plan vectoriel engendré par

−−−→O5σxet−−→

O5σ. Nous considérons ensuite le vecteur−→u de−P→, pseudo-unitaire (s’il n’est pas de type lumière), orthogonal à la droite(O5σx). Ainsi, nous avons la propriété suivante :

∃(α;β)∈^R2 | −−→

O5σ=α−−−→

O5σx+β−→u (18) Comme−−−→

O₅σxest un vecteur de type espace et−→u est un vecteur orthogonal à−−−→

O₅σx, le type du vecteur−→u détermine le type du plan−P→:

• La conditionQ_4,1(−→u)>0 est équivalente au fait que

−→

Pest de type espace et le faisceau de sphères est à base cercle ;

• La conditionQ_4,1(−→u) =0 est équivalente au fait que

−→

Pest de type lumière et le faisceau de sphères est un faisceau de sphères tangentes ;

• La conditionQ_4,1(−→u)<0 est équivalente au fait que

−→

P est de type temps et le faisceau de sphères est à points limites.

De plus, à partir de la formule (18), nous avons : 1=Q_4,1−−→

O5σ

=α²+β²Q_4,1(−→u) (19) puisque, d’une part,σ etσxappartiennent àΛ⁴ et d’autre part,−→u estL_4,1-orthogonal à−−−→

O₅σx. La formule (19) per- met de comparer|α|à 1 en fonction du type du vecteur−→u , tableau 5.

En remarquant que : L_4,1−−→

O₅σ,−−−→

O₅σx

=α (20) nous obtenons le résultat souhaité.

Type de−→u Q_4,1(−→u) Formule (19) Conclusion Temps −1 1=α²−β² |α|>1

Lumière 0 1=α² |α|=1

Espace 1 1=α²+β² |α|<1 Table 5: Comparaison de|α|à 1 à partir de la formule (19).

Notons que dans le cas d’une cyclide de Dupin, si σE

(resp. σH) représente une sphère orientée sur l’ellipse E (resp. hyperbole H), alors la droite(σEσH)est de type lu- mière et nous avons :

L_4,1−−−→

O5σE,−−−→

O5σH

=1 (21)

Il suffit d’utiliser la relation de Chasles en introduisant le point O5dans la formuleQ_4,1 −−−→σEσH

=0.

3.3 Théorème essentiel et algorithme

Remarquons que si C est un grand cercle de la sphèreS et siPest le plan contenant le cercle C, une expression (sur Λ⁴) d’une sphère appartenant au faisceau de sphères à base le cercle C est :

−−−−−→

O5γ_θ(θ) =cos(θ)−−−→

O5σ_θI+sin(θ)−−−→

O5σ_θ^⊥_I (22) où θ ∈[0,2π]et σ_θI (resp. σ_θ^⊥_I) est la représentation de la sphère orientéeS(resp. le plan orientéP). Nous avons aussi :

L_4,1 −−−→

O₅σ_θI,

−−−→O₅σ_θ^⊥_I

=0

ce qui permet d’obtenir une paramétrisation analogue à celle utilisée dans un plan affine euclidien usuel.

Rappelons que les points M00et M01et le vecteur tangent correspondant en M00 définissent un cercle caractéristique de la future cyclide. Il en est de même en remplaçant M₀₁ par M10.

Le théorème 2 permet de déterminer, lorsque nous avons deux faisceaux de sphères à bases cercles, une sphère de chaque faisceau, toutes deux tan- gentes entre elles. Dans ce théorème, nous choisissons les quatre sphères σθI, σψI, σ_θ^⊥_I et σ_ψ^⊥_I telles que :











L_4,1−−−→

O₅σψI,−−−→

O₅σθI

L_4,1

−−−→

O₅σψI,−−−→

O₅σ_θ^⊥_I

≤0 L_4,1

−−−→

O₅σθI,−−−→

O₅σ_ψ^⊥_I L_4,1

−−−→

O₅σ_ψ^⊥_I,−−−→

O₅σ_θ^⊥_I

≤0

(23)

Théorème 2 :

Soit C_θ et C_ψdeux cercles passant par le point M00tels que les tangentes aux cercles en M₀₀soient orthogonales.

Soit σθI (resp. σψI) le point de Λ⁴ correspondant à une sphère orientée de grand cercle C_θ(resp. C_ψ).

Soitσ_θ^⊥_I (resp.σ_ψ^⊥_I) le point deΛ⁴correspondant à l’un des deux plans orientés contenant le cercle C_θ (resp. C_ψ).

SurΛ⁴, les paramétrisationsθ07→γ_θ(θ0)etψ07→γψ(ψ0) des cercles représentant ces deux faisceaux de sphères sont définies par la formule (22).

Soient A et B les quantités :

A= s

L_4,1−−−→

O5σψI,−−−→

O5σ_θI2

+L_4,1 −−−→

O5σ_θI,−−−→

O5σ_ψ^⊥_I2

B= s

L_4,1 −−−→

O₅σψI,−−−→

O₅σ_θ^⊥_I2

+L_4,1 −−−→

O₅σ_θ^⊥_I,−−−→

O₅σ_ψ^⊥_I2

(24)

Le système de la formule (25) admet une solutionθs. ( cos(θs) = A²−B²

sin(θs) = 2 A B (25)

Soitθ0=−θs

2 ouθ0=−θs

2 +π. Soient a_θ0et b_θ0les quantités suivantes :

a_θ0= cos(θ0)L_4,1−−−→

O5σ_θI,−−−→

O5σψI

+sin(θ0)L_4,1 −−−→

O5σψI,−−−→

O5σ_θ^⊥_I b_θ0= cos(θ0)L_4,1

−−−→

O₅σθI,−−−→

O₅σ_ψ^⊥_I +sin(θ0)L_4,1

−−−→

O₅σ_ψ^⊥_I,−−−→

O₅σ_θ^⊥_I

(26)

Le système de la formule (27) admet une solutionψ0. ( cos(ψ0) = a_θ0

sin(ψ0) = b_θ0

(27) Alors, dans E₃, les sphères correspondant aux points γθ(θ0)etγψ(ψ0)sont tangentes en M₀₀.

Démonstration : Annexe A.

Notons que les sphèresγ_θ(θ0)etγ_θ(θ0+π)représentent la même sphère non orientée deE₃.

Lorsque nous avons un faisceau de sphères tangentes en un point donné, le lemme 2 permet de déterminer la sphère de ce faisceau qui contient un autre point. Ce lemme nous sera utile dans les points 12. à 14. de l’algorithme 1.

Lemme 2 :

Soitσ0représentant une sphère orientée deE₃passant par le point M₀₀deE₃et−−→m₀₀représentant ce dernier dans L_4,1. Soit l₀₀: t7→σ0+t−−→m₀₀ une paramétrisation d’une droite lumière surΛ⁴ représentant les sphères tangentes àσ0 en M00.

Soit−−→m₁₀ un vecteur de type lumière représentant un point M10deE₃.

Le point M10appartient à la sphère définie par l00(t0)si et seulement si :

t₀=f(σ0,−−→m₀₀,−−→m₁₀) =−

L_4,1−−−→

O₅σ0,−−→m₁₀

L_4,1(−−→m00,−−→m10) (28)

Démonstration :

Par construction de l’espace des sphères, le point M10ap- partient à la sphère définie par l00(t0)si et seulement si^††:

L_4,1−−−−−−→

O5l00(t0),−−→m10

=0 (29)

et nous avons : L_4,1−−−−−−→

O₅l₀₀(t₀),−−→m₁₀

=0

⇐⇒L_4,1−−−→O₅σ0+t₀−−→m₀₀,−−→m₁₀

=0

⇐⇒L_4,1−−−→

O5σ0,−−→m10

+t0L_4,1(−−→m00,−−→m10) =0

⇐⇒t0=−

L_4,1−−−→

O5σ0,−−→m10

L_4,1(−−→m₀₀,−−→m₁₀)

L’algorithme 1 permet une construction séquentielle de la cyclide de Dupin solution du problème posé. Les points 1.

à 7. permettent de traduire surΛ⁴ les propriétés à respec- ter dansE₃. Cet algorithme utilise le théorème 2, les sphères σθI,σ_θ^⊥_I,σψI etσ_ψ^⊥_I vérifient les conditions données par la formule (23).

Les points 8. et 9. permettent d’obtenir la paramétrisation usuelle d’un cercle dans un plan affine muni d’un repère or- thonormé. Les points 10. et 11. permettent de déterminer les deux sphères, de chacun des faisceaux, tangentes au point M00.

Les points 12. à 14. permettent de construire la dernière sphèreσ_θ2 définissant la cyclide de Dupin, elle vient com- pléter la sphère σ_θ0 et le vecteur −−−−→γ_θ^′(θ0). En utilisant le lemme 2, nous déterminons la sphèreσ_θ2tangente en M10

àS_ψ0et passant par le point M11.

Notons qu’en reprenant le principe de la partie de l’algo- rithme correspondant aux points 12. à 14., nous construirions de manière analogue la sphèreσψ2de la seconde famille : le second cercle frère surΛ⁴représentant la cyclide de Dupin serait défini par la section deΛ⁴par le plan affine engendré parσ_ψ2,σ_ψ0et−−−−→γ_ψ^′ (ψ0).

La figure 12 montre les deux faisceaux de sphères qui sont représentés par des cercles centrés à l’origine. Ces cercles sont contenus dans des plans affines, de type espace, conte- nant O₅. Nous prenonsσ_θ0etσ_ψ0sur chacun des cercles en utilisant le théorème 2. Le calcul de la sphèreσ_θ2 est très aisé puisque nous connaissons un point de chaque sphère (et

††. Une démonstration analytique est très facile.

Algorithme 1 Détermination d’une cyclide de Dupin per- mettant d’obtenir un carreau à bords circulaires.

Entrée : Quatre points cocycliques Mi j

(i,j)∈[0;1]², deux à deux distincts, et deux vecteurs−−→v_Cθ

0et−−→v_Cψ

0, non nuls, ortho- gonaux.

1. Pour(i,j)∈[[0; 1]]², calcul de−→mi j représentant le point M_{i j}sur le paraboloïdeP

2. Construction du cercle C_θ passant par les points M00 et M₀₁et dont la tangente en M₀₀est définie par−−→v_Cθ

0. 3. Construction du cercle C_ψ passant par les points M00 et

M10et dont la tangente en M00est définie par−−→v_Cψ0. 4. Construction d’une sphère orientéeσθI ayant C_θ comme

grand cercle.

5. Construction d’un plan orientéσ_θ^⊥_I contenant C_θ. 6. Construction d’une sphère orientéeσψIayant C_ψcomme

grand cercle.

7. Construction d’un plan orientéσ_ψ^⊥_I contenant C_ψ. 8. Détermination du cercleγθ(θ0)représentant le faisceau

de sphères à base le cercle C_θ, formule (22).

9. Détermination du cercleγψ(ψ0)représentant le faisceau de sphères à base le cercle C_ψ, formule (22).

10. Calcul deθ0etψ0, théorème 2.

11. Détermination des sphères σ_θ0=γ_θ(θ0)d’une part et σψ0=γψ(ψ0)d’autre part.

12. Détermination d’une paramétrisation de la direction lu- mière l01: t7→σ_ψ0+t−−→m10.

13. Calcul de t₁=f σψ0,−−→m₁₀,−−→m₁₁

, formule (28).

14. Détermination de la sphèreσ_θ2=l01(t1).

Sortie : Deux sphèresσθ0,σθ2et le vecteur−−−−→

γ_θ^′(θ0)déter- minent une cyclide de Dupin : le cercle Lorentz surΛ⁴ re- présentant la cyclide est contenu dans le plan affine engendré parσ_θ0,σ_θ2et−−−−→

γ_θ^′(θ0).

donc une direction lumière) et une sphère qui lui est tan- gente : il suffit d’appliquer le lemme 2. Les sphères deE₃ définies parσ_θ0 andσψ0 sont tangentes en M00. En conti- nuant le processus, les sphères deE₃définies parσθ2etσψ0

seraient tangentes en M10. De même, les sphères deE₃dé- finies parσθ2 etσψ2sont tangentes en M₁₁. Les sphères de E₃ définies par σ_θ0 etσψ2 sont tangentes en M01. Notons qu’en continuant le processus permettant de construireσθ2

puisσψ2, nous obtiendrionsσ_θ0. Ce résultat, faux en général, est une conséquence du théorème 2.

La figure 13 présente la sphèreσ_θ0qui appartient au cercle γ_θ. Le cercle caractéristique sur la sphèreσ_θ0est complète- ment déterminé par elle-même et−−−−→

γ_θ^′(θ0)qui est le vecteur tangent au cercle enσ_θ0. La cyclide est alors complètement déterminée comme intersection deΛ⁴avec le plan affine en-

r

rr r

b

Λ⁴ γθ(θ)

σ_ψ2

O₅

γψ(ψ)

l₁₀(t) l₁₁(t)

σθ2

σ_θ0 =γ_θ(θ0) σψ0=γψ(ψ0)

Figure 12: Construction d’un carreau de cyclide à bords cir- culaires surΛ⁴. Les droites σθ0σψ0

, σθ2σψ0

, σθ2σψ2

, et σ_θ0σ_ψ2

, sont de type lumière et ont chacune pour vec- teur directeur respectif−−→m₀₀,−−→m₁₀,−−→m₁₁, et−−→m₀₁. Le 2-plan rose (resp. vert) est le plan contenant le faisceau de sphères à base cercle C_θ0 (resp. C_ψ0). Nous utilisons le théorème 2 pour déterminer les sphèresσ_θ0etσψ0tandis que nous em- ployons le lemme 2 pour calculer les sphèresσθ2 etσψ2. Chacun des deux faisceaux de sphères est représenté par un des cercles obtenus comme section deΛ⁴par un 2-plan af- fine, de type espace, passant par O₅.

gendré par les pointsσ_θ0etσ_θ2et le vecteur−−−−→γ_θ^′(θ0). Ce vec- teur détermine le pointσ^•θ0 qui correspond, dansE₃, à une sphère orthogonale à la sphère définie parσ_θ0.

4 Exemple numérique

Concernant l’affichage de la cyclide de Dupin, nous avons trois solutions :

• soit nous déterminons deux sphères principales (i.e.

deux sphères de la même famille dont les cercles carac- téristiques sont deux cercles principaux (coplanaires)),

b

b r

r r

rr

σ•_θ0

Ω_θ

−−−−→

γ_θ^′ (θ0) σψ2

Λ⁴ γ_θ(θ)

O₅

γ_ψ(ψ)

σθ2

σθ0

σψ0

Figure 13: Construction d’un carreau de cyclide à bords circulaires surΛ⁴. Le 2-plan rose est le plan contenant le cercle représentant la famille de sphères passant par C_θ. Le 2-plan vert est le plan contenant le cercle représentant une famille de sphères de la cyclide de Dupin déterminée par l’algorithme 1. Ce plan est déterminé par la sphèreσ_θ2et le cercle caractéristique défini par le couple

σ_θ0;−−−−→

γ_θ^′(θ0) .

puis nous calculons les paramètres de la cyclide de Du- pin ainsi que les transformations géométriques à effec- tuer pour placer cette dernière dans le repère initial, fi- gure 17 ;

• soit nous utilisons les algorithmes de subdivisions dans l’espace des sphères [GDL12], figure 18 ;

• soit nous utilisons l’intersection entre le paraboloïde et la droite passant par O₅ et parallèle à la droite définie par deux sphères tangentes, figure 19.

Dans cette section, nous introduisons la notation sui- vante : C(Ω,r) (resp. S(Ω,r)) est le cercle (resp.

la sphère) de centre Ω et de rayon r. Les sommets M00

2√

2,2√ 2,0

, M10 2√ 3,−2,0

, M01 −2,2√ 3,0 et M₁₁

−2√ 2,−2√

2,0

appartiennent au cercle C(O3,4) (en noir) contenu dans le planP_z: z=0, figure 14.