Ch...: Géométrie dans l'espace
I- La perspective cavalière:
Pour représenter un solide par une figure plane, on utilise souvent en Mathématiques la perspective cavalière.
Règles de la perspectives cavalière:
- La représentation de deux droites parallèles sont deux droites parallèles.
- Il y a conservation du rapport des longueurs de deux segments parallèles.
- La représentation des figures situées dans des plans vus de face, appelés plan frontaux sont en « vraie » grandeur.
Définitions:
- On appelle fuyante toute droite orthogonale au plan frontal.
- L'angle constant que font les fuyantes, avec une droite horizontale sur le plan de représentation s'appelle l'angle de fuite.
- Soient C et G deux points d'une fuyante. On appelle coefficient de réduction le rapport entre la distance CG sur la représentation en perspective cavalière et la distance CG en réalité. Si on note l'angle de fuite â et k le coefficient de réduction, on a très souvent: k= cos(â).
Exercice: repérer sur le dessin ci-contre les notions vus précédemment.
Propriété de conservation de la perspective cavalière:
- Elle conserve le parallélisme, les milieux et les centre de gravité.
- Elle ne conserve ni l'orthogonalité, ni les distances, sauf dans le plan frontal.
II- Du plan à l'espace:
Il existe plusieurs dimensions:
- La dimension 1 (la droite):
Un mobile M ne peut se déplacer que dans une seule direction (horizontale ou verticale) selon le vecteur directeur
- La dimension 2 (le plan):
Le mobile M ne peut se « promener » quand dans deux directions car tout vecteur v du plan s'exprime de manière unique à l'aide des deux vecteurs
- La dimension 3 (l'espace):
On place un point hors du plan et cela défini un troisième axe noté z. Le mobile M ne peut alors se promener que dans 3 directions; les deux du plan, et celle du se dirige en hauteur.
i etj
O . i
M
.
i
j
O
M
i
III- Détermination d'un plan:
On place un tétraèdre sur une table horizontale qui matérialise un plan P.
●
Les points A,B,C appartiennent-ils au plan P ?
●
Le sommet D appartient-il au plan P ?
●
Le point I appartient-il au plan P ? Tracer la droite (D) passant par B et C.
Tracer la droite (D') passant par B et D.
●
Les deux droites (D) et (D') sont-elles parallèles ? Quel est leur point d'intersection ?
●
Par quels éléments peuvent être déterminé le plan de
la face ABD ?
Ce qu'il faut retenir:
- 3 points non- alignés déterminent un plan.
- 1 droite et un point n'appartenant pas à cette droite déterminent un plan.
- Par deux droites sécantes.
- Par 2 parallèles.
d
d'
IV) Positions relatives de droites et de plans dans l'espace:
1) droite par rapport au plan:
On place un cube sur un plan P.
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Tracer la droite d passant par D et C
●
Tracer la droite d' passant par A et B.
Les côtés du cube sont parallèles.
●
Comparer les directions des droites d et d':
●
Tracer la droite d'' passant par A et G.
●
Quel est le point d'intersection de
cette droite et du plan P ?
Ce qu'il faut retenir:
Dans l'espace, une droite d peut être:
- contenue dans un plan P.
- sécante en I au plan P
- strictement parallèle à P
2) Positions relatives de deux droites de l'espace:
En utilisant la figure précédente;
●
Quelle est la position relative de (DG) par rapport à P ?
●
Quelle est la position relative de la droite (HC) par rapport à P ?
●
Ces deux droites sont-elles parallèles?
On dit qu'elles sont...
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Quelle est la position de la droite (AE) par rapport à la droite (BE) ?
●
Ces deux droites appartiennent-elles à un même plan? Lequel ?
Les droites (AE) et (BE) sont...
●
Les droites (AG) et (DC) appartiennent- elles au même plan?
●
Ont-elles des points communs?
On dit qu'elles sont ...
Ce qu'il faut retenir:
Dans l'espace, deux
droites d et d' peuvent être:
- coplanaires sécantes - coplanaires parallèles - non coplanaires
Quand deux droites sont confondues, elles sont
coplanaires.
D
D'
3) Positions relatives de deux plans:
Soit le tétraèdre ci-contre. Les sommets B, C et D déterminent le plan (P')
●
Les plans (P) et (P') se coupent suivant une droite. Laquelle ?
Soit le cube ci-contre. P est déterminé par A, B, et F et P' est déterminé par D, C et G.
●
Quels sommets du cube appartiennent au plan P ?
●
Quels sommets du cube appartiennent au plan P'?
●
Comparer les directions des droites
●
