Fonction d’onde de spineurs identiques

Fonction d’onde de spineurs identiques

‰

Statistiques de Fermi-Dirac

o

s’applique aux particules de spin demi-entiers (appelées fermions)

o

principe d’exclusion de Pauli:

ƒ

2 particules identiques ne peuvent être dans le même état quantique

ƒ

cela implique que la fonction d’onde de deux fermions est antisymétrique sous l’échange des 2 particules

‰

Fonction d’onde du noyau

( )

noyau

ψ ψ

ψ

ψ

Ψ =

12 1 2

12 1 2 12 1 2 12 1 2 12 1 2

0 0

12 1 2 12 1 2

0 ( , ) ,

, , , ,

, ,

f m n m n m n m n

m m m n n m n n

m n n m

ψ

ψ ψ ψ ψ

ψ ψ

= ⊕ ⊕ = ⊕ ⊕

= + + +

= −

12 1 2 12 1 2

,

( , ) , ; ( , ) ,

m n

f m n m n f m n m n

ψ =

∑

Automne 2009 G. Azuelos - Cours PHY3600 2

système de deux fermions

1 2 ou 1 2

( ) ( ) ( ) ( )

nk n k kn k n

ψ = ψ ψ ψ = ψ ψ

1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1

2

1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1

2

( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , )

( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , )

S n k n k S S

A n k n k A A

ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ

ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ

= ⎡⎣ + ⎤⎦ ⇒ =

= ⎡⎣ − ⎤⎦ ⇒ = −

espace

espace

parité + symétrique parité - antisymétrique

ψ ψ

⇒

⇒ deux fermions dans les états n et k

Si les fermions sont identiques, on ne peut pas les distinguer, et donc on peut prendre des combinaisons linéaires:

Pour un système de N nucléons, la fonction d’onde est totalement anti-symétrique sous l’échange de deux nucléons dans les coordonnées d’espace, de spin et

d’isospin

partie spatiale de la fonction d’onde: l’opérateur de parité échange la position des deux particules

Î

(anti-)symétrie de la fonction d’onde

et s'appliquent au spin ou à l'isospin:

= ou

= ou

p n

α β

α β

↑

↓

2 nucléons ⇒ S = 0 ou 1

L S+ = pair

Automne 2009 G. Azuelos - Cours PHY3600 4

Moment magnétique dipolaire

définition du moment magnétique ¹

2 C

I r dl μ = v ∫ ^G × ^G

2

Physique classique:

2 2

2 2 2

dq v v

I ef e e r

dt r r

evr

e mvr m

e m

μ π

π π

= = = ⇒ = ⋅

=

= ⋅

= ⋅A

14 1

magnéton nucléaire:

3 15 10

modifie les niveaux d'énergie:

(champ magnétique interne: interaction spin-or te) 2

bi .

N

N

p

MeV T

E B B

e m μ

μ μ

− −

= ×

Δ = ⋅

≡

G G

=

G

Moment magnétique dipolaire

g

μ G

=

G ⋅ μ A

rapport gyromagnétique 1 proton)

0 (neutron) (

g g

≡

= ⎨⎧

⎩

A

A

G = moment angulaire (en )

A =

magneton nucléaire μN =

Moment magnétique nucléaire intrinsèque (anomal)

proton: distribution de charge en rotation autourde son axe Î moment magnétique neutron: charge intégrale est nulle, mais distribution pas nécessairement localement nulle

s

g s

μ G = G ⋅ μ

1 1

2 2

spin ( ) dans la direction de la composante _s

sG = m =

facteur anomal 5.58 (proton) -3.83 (neutron)

s

s

g g

=

= ⎨⎧

⎩

Les valeursanomalessont dûesà la structure interne des nucléons(décrite en termede quarks ou en termede courantsmesoniques

Automne 2009 G. Azuelos - Cours PHY3600 6

Moment magnétique dipolaire

problème:

- description classique d’un électron: cylindre, de rayon R,

masse uniformément distribuée Î calculer la vitesse angulaire

ω

- supposer que toute la charge est à la surface du cylindre Î calculer le moment magnétique

Î trouver le rapport gyromagnétique

Pour des fermions de charge 1 et de dimension ponctuelle, en mécanique quantique relativiste on trouve:

g_s= 2 exactement

Les corrections d’ordre supérieur peuvent être calculées avec très haute précision et sont en parfait accord avec les mesures expérimentales:

( )

2 (électron) = 1159.65218073 0.00000028 10 2

g −

± ×

en terme de magnéton de Bohr 2000 plus grand que

( ) 2 ( !)

s N

e

e e

μ m= × μ

Moment magnétique dipolaire d’un noyau

( )

( )

1 1

nucléons s

s N

nucléons

j N

nucléons

g g s g j

μ μ μ

μ μ

= +

= +

=

∑

∑

∑

A

A

G G G

G G

= A

G

=

N

g J

μ = μ

=

facteur g nucléaire

2

2

composante de dans la direction de l'axe défini par 1

1 1

:

s N

nucléons

s N N

nucléons

s nucléons

J g g s

J g J g s J g J

g J g s J

g J

μ

μ μ

μ μ μ

⇓

= +

⋅ = ⋅ + ⋅ =

⋅ + ⋅

=

∑

∑

∑

A

A

A

G

G G G

= A

G G G G

G G

= A =

G G G G A

2 2 2

2

2 relation entre et et

1

; ...

, , ,

( ); ... ^s

s j s etc

g g g s j

j j j etc

⋅ = − − ⎫⎪

= + ⎬⎪⎭ ^A

G GA A

A si J = j (noyau pair-pair ± 1 nucléon)

16O estun noyaupair-pair: 8p + 8n

→spin/parité= 0⁺

17O = ¹⁶O + neutron de valence (en première approximation)

Automne 2009 G. Azuelos - Cours PHY3600 8

Precession autour d’un champ magnétique externe

Imagerie par résonance magnétique

photon

photon

2

2

p p

E B

B

μ ω

ω μ

Δ = =

= ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

=

=

- Champ magnétique constant (en direction z) Î 2 états d’énergie des protons:

- faible excès de proton alignés avec (facteur de Boltzmann )

- t = 0: On applique un champ magnétique alternatif (onde RF) de fréquence f

dans la direction x

Î précession autour de l’axe x

(plus exactement une rotation vers le plan xy)

p

B μ

±

f = fréquence d’un photon de même énergie

= fréquence de Larmor: de précession autour de z

~ fréquence radio

BG

E kT/

e^−Δ

(

)

BG

Automne 2009 G. Azuelos - Cours PHY3600 10

Imagerie par résonance magnétique

- on arrête le champ externe lorsqueθ = 90^o

précession autour de l’axe z continue, protons en phase

Î précession de M est maximale → induit un champ électromagnétique dans une bobine autour de l’échantillon

Î présence, ou concentration d’hydrogène

- dé-éxcitationdûe àla relaxation

Î signal décroit graduellement →taux de décroissance donne une mesure de l’environnement autour de l’échantillon (tumeur?)