Stabilisation d'une poutre. Étude du taux optimal de décroissance de l'énergie élastique

(1)

URL:http://www.emath.fr/cocv/ DOI : 10.1051/cocv:2002067

STABILISATION D’UNE POUTRE. ÉTUDE DU TAUX OPTIMAL DE DÉCROISSANCE DE L’ÉNERGIE ÉLASTIQUE

Francis Conrad

¹

et Fatima-Zahra Saouri

¹

Abstract. We study the stability of a flexible beam clamped at one end. A mass is attached at the other end, where a control moment is applied. The boundary control is proportional to the angular velocity at the end. By spectral analysis, we prove that the optimal decay rate of the energy is given by the spectrum of the generator of the semigroup associated to the system.

Résumé. On se propose d’étudier la stabilité d’une poutre flexible homogène, encastrée à une extré- mité. À l’autre extrémité est attachée une masse ponctuelle où on applique un moment proportionnel

`

a la vitesse de déplacement angulaire. On montre par une analyse spectrale que le taux optimal de dé- croissance de l’énergie est déterminé par l’abscisse spectrale du générateur infinitésimal du semi-groupe associé au problème.

Classification Math´ematique. 35L35, 35P20, 93D15.

Re¸cu le 17 décembre 1999. Révisé le 25 avril 2002.

1. Introduction

On considère une poutre de type Euler–Bernoulli encastrée à une extrémité. À l’autre extrémité est attachée une antenne de massemet de moment d’inertieJ dans le cas général. On obtient ce que l’on appelle un modèle SCOLE, qui a déjà fait l’objet de nombreuses études, en particulier dans [12].

L’évolution des déformations de la poutre dynamique est gouvernée par un système hybride composé d’une

équation aux dérivées partielles et de deux équations différentielles ordinaires :









utt+uxxxx= 0 0< x <1 t≥0, mutt(1, t)−uxxx(1, t) =L1(u, ut) t≥0, J uxtt(1, t) +uxx(1, t) =L2(u, ut) t≥0, u(0, t) =ux(0, t) = 0 t≥0, oùL1est le contrôle force, etL2 est le contrôle moment.

Mots-cl´es et phrases :Equation des poutres, contrˆ´ ole fronti`ere, stabilisation uniforme, analyse spectrale.

1Institut Elie Cartan, Universit´e de Nancy 1, BP. 239, 54506 Vandœuvre-l`es-Nancy, France; e-mail : fsaouri@dim.uchile.cl, Francis.Conrad@iecn.u-nancy.fr

c EDP Sciences, SMAI 2002

(2)

Dans la figure ci-dessous, on donne une représentation graphique du modèle étudié.

On choisit des contrôles en boucle fermée et les plus naturels consistent à prendre des combinaisons linéaires de la vitesse et de la vitesse de rotation, de telle sorte que le système soit dissipatif [12] et [13].

Consid´erons le choix le plus simple o`u

L1(u, ut) =−k1ut(1, t)

L2(u, ut) =−k2uxt(1, t), aveck1≥0, etk2≥0.

Si metJ sont nuls on a stabilité uniforme. Pourk1>0 etk2≥0 ce résultat a été prouvé par une méthode de multiplicateurs [2]. Pourk1= 0 etk2>0 la stabilité uniforme a été prouvée dans [3], en utilisant un résultat de Huang [8], qui nécessite des estimations de la résolvante sur l’axe imaginaire.

Lorsque m et J sont positifs, on n’a pas de stabilité uniforme, car les contrôles sont des perturbations compactes du cas non contrôlé [13]. Donc si on veut une stabilité uniforme, une stratégie consiste à prendre des contrôles plus irréguliers [13]. Un cas particulier où l’on a un contrôle force assez irrégulier (m >0, J = 0) a été étudié dans [5].

Une autre stratégie, lorsqu’on a seulement une masse (respectivement un moment d’inertie), consiste à appliquer un contrôle moment (respectivement un contrôle force) naturel, du type ci-dessus. Précisons un peu selon les situations.

Dans le cas où la masse est nulle, il faut un contrôle force pour stabiliser uniformément le système et cela suffit qualitativement. L’adjonction d’un contrôle moment au contrôle force conservera la stabilité uniforme.

Le problème a été traité assez complètement dans [4].

Ce papier est une contribution à l’étude du système lorsque le moment d’inertie est nul (cas d’une masse ponctuelle).

Dans [10] la stabilité uniforme a été prouvée pour ce cas. En complément, nous montrons que le système reste uniformément stable quand on ajoute un contrôle force, mais qu’un contrôle force ne suffit pas. La question principale qui restait ouverte pourJ = 0 et un contrôle moment seulement était d’estimer le taux optimal de décroissance exponentielle de l’énergie.

Nous apportons une réponse à cette question en utilisant des résultats de Shkalikov [17] sur les bases de Riesz. Ce type de méthode a aussi été appliqué dans [7] à des équations de type ondes ou poutres avec masse et contrôle moment. La théorie de Shkalikov est bien adaptée à des problèmes où les valeurs propres apparaissent

(3)

dans les conditions au bord. Elle permet d’obtenir un système de vecteurs propres généralisés qui forme une base de Riesz pour des problèmes de type Sturm–Liouville.

Le point technique délicat dans l’application de la méthode est de vérifier que l’opérateur obtenu par la théorie permet de reconstruire l’opérateur associé au système donné.

Le plan de l’article est le suivant. Après des rappels sur le problème au paragraphe 2, le résultat principal et l’essentiel de la preuve sont donnés dans le paragraphe 3. Le cas particulier où la masse est nulle est traité au paragraphe 4. Les deux points un peu techniques nécessaires pour compléter la preuve dans les paragraphes 3 et 4 sont donnés au paragraphe 5. Au paragraphe 6 on donne un résultat de stabilité uniforme et non uniforme comme indiqué ci-dessus. Enfin, dans un dernier paragraphe, on montre quelques simulations numériques concernant le calcul du spectre pour illustrer la variation du taux de décroissance optimal en fonction du paramètre de la commande.

2. Formulation du probl` eme

On suppose quem= 1. Le syst`eme devient :









utt+uxxxx= 0 0< x <1 t≥0, utt(1, t)−uxxx(1, t) = 0 t≥0, uxx(1, t) +kutx(1, t) = 0 t≥0, u(0, t) =ux(0, t) = 0 t≥0.

(2.1)

L’´energie du syst`eme est :

E(t) =1 2

Z 1 0

u²tdx+ Z 1

0

u²xxdx+u²t(1, t)

. L’espace d’´energieH est d´efini par :

H ={(u, v, η)^>∈H²(0,1)×L²(0,1)×R, u(0) =ux(0) = 0}·

On munit l’espace d’´energieH du produit scalaire : h(u, v, η),(˜u,v,˜ η)˜iH =

Z 1 0

(uxxu˜xx+v˜v) dx+ηη,˜ o`uU = (u, v, η)^> et ˜U = (˜u,˜v,η)˜^>∈H.

On définit l’opérateur linéaireA par :

D(A) ={(u, v, η)^>∈H⁴(0,1)×H²(0,1)×R, uxx(1) +kvx(1) = 0, η=v(1), u(0) =ux(0) = 0, v(0) =vx(0) = 0},

AU = (v,−uxxxx, uxxx(1))^>,avec U = (u, v, η)^>∈D(A). (2.2) Le syst`eme (2.1) peut s’´ecrire sous la forme suivante :

.

U=AU et U(0) =U0∈H, avecU = (u, ut, η)^>.

L’op´erateurA engendre un semi-groupe de contractionsS(t) (voir [10] et [11]) . Il est prouv´e que sim > 1

3 (icim= 1), le syst`eme (2.1) est uniform´ement stable : ∃M≥1 etω >0 tels que E(t)≤Me⁻^ωtE(0) ∀t≥0 ∀U0∈H.

Pour la démonstration de ce théorème, voir [10].

(4)

3. R´ esultat principal

Dans la suite on va appliquer les résultats de Shkalikov [17] pour montrer que le taux optimal de décroissance de l’énergie est égal à l’abscisse spectrale de l’opérateurA. On prend toujoursm= 1, mais les résultats sont valables pourm >0 quelconque, indépendamment de la stabilité uniforme.

Théorème 3.1. Le taux optimal de décroissance de l’énergie est égal à l’abscisse spectrale de l’opérateur A. Le reste de ce paragraphe sera consacré à la démonstration du théorème.

On commence par donner l’équation caractéristique du système. Soit λ une valeur propre de A et soit U = (u, v, η)^>∈D(A) un vecteur propre qui lui est associé. On a doncAU =λU,ou encore









uxxxx+λ²u= 0, uxxx(1)−λ²u(1) = 0, uxx(1) +kλux(1) = 0, u(0) =ux(0) = 0.

On poseλ=τ², le système s’écrit de la manière suivante











uxxxx+τ⁴u= 0, uxxx(1)−τ⁴u(1) = 0, uxx(1) +kτ²ux(1) = 0, ux(0) = 0,

u(0) = 0.

(3.1)

Dans la suite, on utilisera les d´efinitions et les notations de [17]. Les ordres respectifs des conditions au bord dans (3.1) sont :

k1= 4, k2= 3, k3= 1 et k4= 0.

L’ordre total est donck= 8.

L’équation caractéristique de la première équation de (3.1) est ω⁴+ 1 = (ω²−√

2ω+ 1)(ω²+√

2ω+ 1) = 0, dont les racines sont

ω1=1 +i

√2 , ω2=−1 +i

√2 , ω3= −1−i

√2 et ω4= 1−i

√2 ·

Le plus petit polygone convexe contenant toutes les sommes possibles desωiest donc le polygoneM de sommets (±√

2; 0) et (0;±√ 2).

Les solutions de (3.1) seront de la forme

u(x) =c1e^{τ ω}¹^x+c2e^{τ ω}²^x+c3e^{τ ω}³^x+c4e^{τ ω}⁴^x. On pose

f(τ, ω) =τ³e^{τ ω}(ω³−τ), g(τ, ω) =τ²ωe^{τ ω}(ω+kτ).

En substituantudans les conditions aux bords du syst`eme (3.1), on obtient







f(τ, ω1) f(τ, ω2) f(τ, ω3) f(τ, ω4) g(τ, ω1) g(τ, ω2) g(τ, ω3) g(τ, ω4)

τ ω1 τ ω2 τ ω3 τ ω4

1 1 1 1











 c1

c2

c3

c4





=





 0 0 0 0





. (3.2)

(5)

On notera par ∆(τ) le déterminant caractéristique du système linéaire et homogène (3.2). Ce dernier a une solution non nulle si et seulement siτ est racine du déterminant caractéristique ∆(τ) qui est égal à

f(τ, ω1)

g(τ, ω2) g(τ, ω3) g(τ, ω4) τ ω2 τ ω3 τ ω4

1 1 1

−f(τ, ω2)

1 1 1

+f(τ, ω3)

1 1 1

−f(τ, ω4)

1 1 1

. Un calcul direct donne :

∆(τ) =τ⁸ n

e^iτ

√2h

−2k+i2√

2(k−1)τ⁻¹−2τ⁻² i

+ e^τ

√2h

−2k−2√

2(k+ 1)τ⁻¹−2τ⁻² i

+ e⁻^τ

√2h

−2k+ 2√

2(k+ 1)τ⁻¹−2τ⁻² i

+ e⁻^iτ^√²h

−2k+i2√

2(1−k)τ⁻¹−2τ⁻²i

+ 8k−8kτ⁻²o

· (3.3)

Remarque. Pour|τ| assez grand, le terme dominant des expressions entre crochets de (3.3) est −2k qui est différent de 0 (k non nul), donc les conditions aux bords de (3.1) sont régulières au sens de Shkalikov. On montre qu’elles sont fortement régulières, c’est-à-dire que les racines de ∆ sont asymptotiquement simples et séparées.

3.1. Comportement asymptotique des valeurs propres Rappelons que :

∆(τ) =τ⁸ n

e^iτ

√2

[−2k+i2√

2(k−1)τ⁻¹−2τ⁻²] + e^τ

√2

[−2k−2√

2(k+ 1)τ⁻¹

−2τ⁻²] + e⁻^τ^√²[−2k+ 2√

2(k+ 1)τ⁻¹−2τ⁻²] + e⁻^iτ^√²[−2k +i2√

2(1−k)τ⁻¹−2τ⁻²] + 8k−8kτ⁻² o·

On pose

P(τ) = e^iτ^√²[−kτ²+i√

2(k−1)τ−1] + e^τ^√²[−kτ²−√

2(k+ 1)τ−1]

+ e⁻^τ^√²[−kτ²+√

2(k+ 1)τ−1] + e⁻^iτ^√²[−kτ²+i√

2(1−k)τ−1]

+ 4kτ²−4k, P(τ) = ee ^τ^√²[−kτ²−√

2(k+ 1)τ−1] + e⁻^iτ^√²[−kτ²+i√

2(1−k)τ−1].

Dans ce qui suit, on montre que les racines de P sont asymptotiquement celles de Pe, dans un secteur à déterminer. On se réfère aux travaux de Langer [9], qui ont déja été utilisés dans la thèse de Chentouf [4].

On consid`ere le polygoneM de centre O et qui a pour sommets : √ 2,i√

2,−√

2, et −i√

2 not´es ¯c1, ¯c2, ¯c3, et ¯c4 (voir figure ci-apr`es).

(6)

On note parli le côté [¯ci ¯ci+1], parwi l’angle d’inclinaison entre la normale au côtéli et l’axe horizontal, et parDila droite

Di={z∈C/Argz=θ; wi−1+≤θ < wi+, pouri= 1, ...,4}, avec >0.

SoitSi le secteur : {z∈C/ wi−1+≤argz < wi+}. On a :

[4 i=1

Si=C.

Remarquons que : 





P(τ) =P(−τ), P(τ) =P(τ).

Donc l’ensemble des racines de P a une symétrie par rapport à l’origine, et une symétrie par rapport à l’axe des réels.

Par conséquent, il suffit de considérerP dans deux secteurs consécutifs, par exemple, dans le secteurS1et le secteurS2. Et comme l’étude est similaire dans ces deux secteurs, on développera les calculs seulement dans le secteurS1, et on donnera le développement asymptotique des racines de P dansS2 à la fin de ce paragraphe.

Soit le secteur

S1=

z∈C: −π

4 +≤Argz < π 4+

·

(7)

Pourzappartenant `aD1, on a

|z^α^je^c^j^z|= e|z|

xjcosθ+yjsinθ+αj

log|z|

|z|

, o`ucj =xj−iyj.

Remarquons que l’amplitude du terme|z^α^je^c^j^z|est d´etermin´ee par celle de{xjcosθ+yjsinθ}, qui n’est autre que la projection orthogonale du vecteur ¯cj sur la droiteD1.

Ces projections sont les suivantes :

ρ1=√

2 cosθ, ρ2=√ 2 sinθ, ρ3=−√

2 cosθ, ρ4=−√ 2 sinθ.

Notons que pour tout ¯cj∈/l1(dans ce casj 6= 1,2),

xjcosθ+yjsinθ < x1cosθ+y1sinθ.

Donc pour toutz∈S1 etj6= 1,2 : z^α^je^c^j^z=z^α¹e^c¹^z(z).

Théorème 3.2 (voir [9]). Soit Q une fonction définie surCpar : Q(z) =Pn

j=0z^ν^j{aj+j(z)}e^c^j^z; oùaj ∈C, avec a0an 6= 0, νj ∈R, et les j sont des fonctions analytiques dans tout le secteur Si (i fixé) et qui tendent uniformément vers zéro quand|z|tend vers +∞.

Alors dans ce secteurSi, les z´eros de Q sont asymptotiques `a ceux de : P

j∈Kiajz^ν^je^c^j^z, o`u Ki est la partie de {1, . . . , n}qui contient les j tels quecj∈li.

D’après ce théorème les racines deP sont asymptotiques à celles de : e^τ^√²+ e⁻îτ^√²= 0.

Les racines deP sont donc de la forme : τn =ωπ

n+1

2

+x n+ y

n² +O 1

n³

, o`uω=i+ 1

√2 · On calcule maintenantxety.

e^τⁿ^√²= e

√2ωπ

n+1 2

e

√2x n+√

2y n² +O

1 n³

= e

(π+iπ)

n+1 2

1 +√

2x n+√

2y n² +x²

n² +O 1

n³

·

On pose : 



 X=√

2x, Y =√

2y, e^π(n+¹²⁾=K.

Donc

e^τⁿ^√²=iK(−1)ⁿ

1 + X n + Y

n² + X² 2n² +O

1 n³

·

(8)

De mˆeme

e⁻^iτⁿ^√²=iK(−1)ⁿ

−1 +iX n +iY

n² + X² 2n² +O

1 n³

·

Dans P les termes dominants sont les termes en e⁻îτ^√² et e^τ^√². Pour avoir les expressions de X et de Y, il suffit d’injecter le développement de e⁻îτⁿ^√²et de e^τⁿ^√² dansP(τe n) qui devient :

iK(−1)ⁿ (

1 + X n + Y

n² + X² 2n² +O

1 n³

"

−ikπ²n²+ −ikπ²−(i+ 1)(k+ 1)π n

+

−ikπ²

4 −2kωπX

√2−(i+ 1)(k+ 1)π 2−1

+

−kωπ X

√2+ 2 Y

√2

−(k+ 1)X 1

n

#

+

−1 +iX n +iY

n² + X² 2n² +O

1

n³ −ikπ²n²+ −ikπ²+ (i−1)(1−k)π n +

−ikπ²

4 −2kωπX

√2+ (i−1)(1−k)π 2 −1

+

−kωπ X

√2+2Y

√2

+i(1−k)X 1

n

+O 1

n²

· Un calcul direct donne

P(τe n) =iK(−1)ⁿ

−2(i+ 1)πX−ikπ²X²+kπ²(1−i)Y −(k+i)π +kπ²(1−i)X+πn[−2(i+k) +kπX(1−i)] +A

n +O 1

n²

, o`uA est une constante.

On choisit X tel que le coefficient en nsoit nul, et on choisit Y tel que le terme constant soit nul. Ce qui nous donne

−2(i+k) +kπX(1−i) = 0,

−2(i+ 1)πX−ikπ²X²+kπ²(1−i)Y −(k+i)π+kπ²(1−i)X = 0.

D’o`u :







X =(i+k)(1 +i)

kπ ,

Y =−(1 +k²)(1 +i)

k²π² −(i+k)(1 +i)

2kπ ·

Or on a fait le changement de variable: X =x√

2, etY =y√ 2.

Finalement









x=ω(i+k) kπ , y=−ω

(1 +k²)

k²π² +(i+k) 2kπ

· D’o`uτn =ωπ(n+¹₂) +ω(i+k)

kπn −ω

(1 +k²)

k²π²n² +(i+k) 2kπn²

.

(9)

Sachant que λn =τ_n², on a donc λn=−2

k +O 1

n

+i 2 +π²

n+1 2

2

+O 1

n

!

·

Le calcul de<e τn s’en d´eduit :

<e τn= π

√2

n+1 2

+(k−1)

√2kπn − (k²+ 1)

√2k²π²n² + (1−k) 2√

2kπn²·

Il est clair que lorsquentend vers l’infini,|<e τn+1− <e τn|> ε, avecεun r´eel strictement positif.

Dans le secteurS2











τn=ω⁰π(n+¹₂) +ω⁰n_(k₋_i)

kπn

o +ω⁰

(1 +k²)

k²π²n² +(i−k) 2kπn²

,

λn=−2 k+O

1 n

−i

2 +π² n+¹₂2

+O 1

n

, avecω⁰ =(1−i)

√2 .

Les zéros du déterminant caractéristique ∆(τ) sont asymptotiquement séparés. On montre au paragraphe 5 qu’ils sont aussi asymptotiquement simples (l’expression de la partie réelle deτn sera utile). D’où la régularité forte du problème (3.1).

3.2. Application de la th´eorie de Shkalikov

Dans cette partie, on suit la méthode et les notations de [17] pour construire un opérateur notéHr et appelé linéarisé de Shkalikov, de telle manière que le problème au bord (3.1) se ramène au problème linéaireHr(˜v) =τv,˜ où ˜v appartient à un espaceD(Hr) qu’on définira ultérieurement.

Pour j ≥ 0 entier, W₂^j(0,1) est l’espace de Sobolev classique, et pour tout entier r, on note : W₂^r = W₂ⁿ⁻^1+r(0,1)⊕W₂ⁿ⁻^2+r(0,1)⊕ · · · ⊕W2^r(0,1), avec icin= 4, et

W_2,U^r = (

˜ v=





 v0

v1

v2

v3





∈W₂^r:Uej(H^kv, τ˜ ) =Uej(H^kv) = 0,˜ pour 0≤k≤n+r−2,

et l’ordre de toutes les conditions aux bords≤n+r−2−k )

· On ´ecrit (3.1) sous la forme











`(u, τ) =`0(u) +τ `1(u) +τ²`2(u) +τ³`3(u) +τ⁴`4(u) = 0, U1(u, τ) =u⁰⁰⁰(1)−τ⁴u(1) = 0,

U2(u, τ) =u⁰⁰(1) +kτ²u⁰(1) = 0, U3(u, τ) =u⁰(0) = 0,

U4(u, τ) =u(0) = 0,

(3.4)

o`u `0(u) =uxxxx, `1(u) =`2(u) =`3(u) = 0, et `4(u) =u.

(10)

On d´efinit l’op´erateurH dansW_2,U⁰ par

H





 v0

v1

v2

v3





=





 v1

v2

v3

−v⁰⁰⁰⁰₀





 etD(H) =W_2,U¹ ,

avec

W_2,U⁰ = (

˜ v=





 v0

v1

v2

v3





∈W₂³(0,1)⊕W₂²(0,1)⊕W₂¹(0,1)⊕L²(0,1), Uej(H^k˜v, τ) =Uej(H^kv) = 0,˜ 1≤j≤4,pour 0≤k≤n−2 = 2 et l’ordre de toutes les conditions aux bords≤2−k

)

W_2,U⁰ =

˜

v∈W₂³(0,1)⊕W₂²(0,1)⊕W₂¹(0,1)⊕L²(0,1), v⁰₀(0) = 0, v0(0) = 0, v⁰₁(0) = 0, v1(0) = 0, v2(0) = 0

et

W_2,U¹ =n

˜

v∈W₂⁴(0,1)⊕W₂³(0,1)⊕W₂²(0,1)⊕W₂¹(0,1), v₀⁰⁰(1) +kv₂⁰(1) = 0, v₀⁰(0) = 0, v0(0) = 0,

v₁⁰(0) = 0, v1(0) = 0, v₂⁰(0) = 0, v2(0) = 0, v3(0) = 0o

·

Pour normaliser les conditions au bord de (3.4) le terme τ⁴u(1) sera remplac´e parτ v3(1), et le terme τ²u⁰(1) sera remplac´e par v⁰₂(1), les autres conditions aux bords ne changent pas. On les repr´esente sous la forme Uej(˜v, τ) =Pν_j(r)

i=0 τⁱUe_jⁱ(˜v), o`u lesUe_jⁱ ne d´ependent pas deτ











Ue1(˜v, τ) =−v⁰⁰⁰₀(1) +τ v3(1) = 0, Ue2(˜v, τ) =v⁰⁰₀(1) +kv⁰₂(1) = 0, Ue3(˜v, τ) =v⁰₀(0) = 0,

Ue4(˜v, τ) =v0(0) = 0.

(3.5)

D’apr`es le syst`eme (3.5) et les notations de [17], on a ν1(0) = 1 et ν2(0) = ν3(0) = ν4(0) = 0, donc N0 = P4

j=1νj(0) = 1.

L’espace qui convient sera alorsW_2,U⁰ ⊕C^N⁰ =W_2,U⁰ ⊕C, où on définit l’opérateurH0(icir= 0) par

H0





 v0

v1

v2

v3

w





=





 v1

v2

v3

−v₀⁰⁰⁰⁰ v⁰⁰⁰₀(1)





,

(11)

et

D(H0) ={(v0, v1, v2, v3, w)∈W2,U¹ ⊕C, w=v3(1)}·

D’après le théorème 3.1 de Shkalikov, et vu la régularité forte du système (3.1), l’opérateurH0, a un système fondamental de vecteurs propres généralisés qui forme une base de Riesz de l’espaceW_2,U⁰ ⊕C.

Rappelons qu’on avait fait le changement de variable : λ=τ². Sachant queτ est une valeur propre deH0, alorsλ=τ² est une valeur propre deH₀², qui sera d´efini par :

H₀²





 v0

v1

v2

v3

w





=





 v2

v3

−v₀⁰⁰⁰⁰

−v₁⁰⁰⁰⁰ v⁰⁰⁰₁(1)





, D(H₀²) =W_2,U² ⊕C⊂W_2,U⁰ ⊕C.

D(H₀²) =n

(v0, v1, v2, v3, w)∈D(H0)/H0(v0, v1, v2, v3, w)∈D(H0)o

=n

(v0, v1, v2, v3, w)∈W₂⁵(0,1)⊕W₂⁴(0,1)⊕W₂³(0,1)⊕W₂²(0,1)⊕C, v₀⁰⁰(1) +kv⁰₂(1) = 0, v⁰₀(0) = 0, v0(0) = 0,

v₂⁰(0) = 0, v2(0) = 0, v⁰⁰⁰⁰₀ (0) = 0, v₀⁰⁰⁰(1) =−v⁰⁰⁰⁰₀ (1), v₁⁰⁰(1) +kv⁰₃(1) = 0, v⁰₁(0) = 0, v1(0) = 0,

v₃⁰(0) = 0, v3(0) = 0, w=v3(1)o

·

Les vecteurs propres généralisés deH0 sont aussi vecteurs propres généralisés deH₀². En effet, soitφn un vecteur propre généralisé deH0, associé à la valeur propreτn. On a (H0−τn)^αφn= 0, avec α∈N, ce qui implique

(H₀²−τ_n²I)^αφn= (H0+τnI)^α(H0−τnI)^αφn= 0.

En fait, par le théorème de Hilbert–Dirac [1] (Th. 5.2) dans le cas d’un corps algébriquement clos, le sous-espace spectral de H₀² associé à une valeur propre µ de H₀² est la somme directe des sous espaces spectraux de H0

associ´e aux valeurs propresλtelles queλ²=µ.

Il est donc clair que l’opérateurH₀²a un système fondamental de vecteurs propres généralisés qui forme une base de Riesz deW_2,U⁰ ⊕C.

Remarquons que l’opérateurH₀² se décompose en une somme directe de deux opérateurs : H₀²=H1⊕H2,

avecH1 opérant surv1,v3 etw, etH2 opérant surv0,v2. H1sera défini par :

H1



u v w



=



 v

−uxxxx

uxxx(1)





(12)

D(H1) = (

u v w



∈W₂⁴(0,1)⊕W₂²(0,1)⊕C/u⁰⁰(1) +kv⁰(1) = 0, w=v(1),

u⁰(0) = 0, u(0) = 0, v⁰(0) = 0, v(0) = 0 )

· On voit bien queH1 est exactement l’op´erateurA.

On a montré, jusqu’à présent, qu’on a une base de Riesz pour l’opérateur H₀²=H1⊕H2.

Les opérateursH1 et H2 ont la même équation caractéristique. En effet dans les domaines respectifs de H1 et H2, on a les mêmes conditions au bord excepté (v⁰⁰⁰₀(1) =−v₀⁰⁰⁰⁰(1), v⁰⁰⁰⁰₀ (0) = 0) pourH2et (w=v3(1)) pourH1. Ces relations sont équivalentes (vérification facile). Les opérateursH1 et H2 ont les mêmes valeurs propres.

On sait queH₀² engendre un semi-groupeS_H²

0(t) dans W_2,U⁰ ⊕C =L =L¹⊕L² (où L¹ et L² sont les espaces relatifs àH1et H2 qu’on “extrait” deL), et admet un système de vecteurs propres généralisés

φn

ψn

qui forme une base de Riesz deL. Donc :

∀z= x

y

∈L :z=X

n

zn

φn

ψn

avec

C1

X

n

|zn|²≤ |z|²_L ≤C2

X

n

|zn|² on a

|SH₀²(t)z|L ≤Mε|z|Lexp(ω+ε)t ∀ε >0 o`uω= sup_λ_i_∈_sp(H2

0)<eλi.

Cette dernière estimation qui s’obtient en développant SH₀²(t)z dans la base de Riesz et en utilisant les estimations de |z|²_L est classique. Elle est bien entendu valable car il n’y a qu’un nombre fini de valeurs propres non algébriquement simples (les valeurs propres sont asymptotiquement simples d’après une remarque antérieure).

CommeH1et H2 ont le mˆeme spectre, alors : S_H²

0(t) x

0

=

SH₁(t)x 0

et par cons´equent : S_H²

0(t) x

0

L

=|SH1(t)x|L1 ≤Mε

x 0

L

exp(ω+ε)t=Mε|x|L1exp(ω+ε)t o`uω= sup_λ_∈_sp(H²

0)<eλ= sup_λ_∈_sp(H₁₎<eλ.

Par ailleurs, on sait que le rayon spectral du semi-groupeSH1(t) engendré parH1 est toujours supérieur à sup_λ_∈_sp(H₁₎<eλ= sup_λ_∈_sp(H2

0)<eλ.

On en déduit donc que le meilleur taux de décroissance pour l’opérateurH1est bien égal à sup_λ_∈_sp(H₁₎<eλ.

(13)

4. Cas particulier de masse nulle

•Probl`eme bien pos´e

Ce cas est un peu plus simple, dans la mesure où en l’absence de la masse, la variableut(1) n’apparaˆıt pas dans le problème abstrait. De même, il n’y a pas de composante dansClorsque l’on construit l’espace de Shkalikov.

Le syst`eme (2.1) devient :





utt+uxxxx= 0 0< x <1 t≥0, u(0, t) =ux(0, t) =uxxx(1, t) = 0 t≥0, uxx(1, t) =−kuxt(1, t) t≥0.

(4.1)

On associe au syst`eme (4.1) l’´energie :

E(t) = 1 2

Z 1 0

u²_tdx+ Z 1

0

u²_xxdx

. Comme

dE(t)

dt =−ku²xt(1, t)≤0, le syst`eme (4.1) est dissipatif.

Introduisons les espaces suivants :

V ={u∈H²(0,1) ;u(0) =ux(0) = 0}, H ={(u, v)^>;u∈V , v∈L²(0,1)} · On munit l’espace d’´energieH du produit scalaire :

hU,U˜iH = Z 1

0

(uxxu˜xx+v˜v) dx o`uU = (u, v)^> et ˜U = (˜u,˜v)^> ∈H.

On définit l’opérateur linéaireA par :

D(A) ={(u, v)^>/u∈H⁴(0,1)∩V, v∈V ;uxxx(1) = 0, uxx(1) =−kvx(1)},

AU = (v,−uxxxx)^>,siU = (u, v)^> ∈D(A). (4.2) Le syst`eme (4.1) peut s’´ecrire sous la forme suivante :

.

U=AU et U(0) =U0∈H, avecU = (u, ut)^>.

Chenet al.[3] ont montré que l’opérateurA engendre un semi-groupe de contractions uniformément stable sur H, que A est inversible et A⁻¹ est compact dans H. Ils ont utilisé un théorème de Huang [8] pour montrer la stabilité uniforme.

On cherche maintenant à obtenir le taux optimal de décroissance de l’énergie E(t). Pour cela, on procède comme au paragraphe 3.

•Analyse spectrale

Soitλune valeur propre deA et soitU = (u, v)^> ∈D(A) un vecteur propre qui lui est associ´e.

(14)

On a :

A U =λU ou encore :









λu−v= 0, λv+uxxxx= 0,

uxxx(1) =ux(0) =u(0) = 0, uxx(1) =−kvx(1).

En rempla¸cantven fonction deu, on obtient











uxxxx+λ²u= 0, uxx(1) =−kλux(1), uxxx(1) = 0, ux(0) = 0, u(0) = 0.

On poseλ=τ², le syst`eme devient :











uxxxx+τ⁴u= 0, uxxx(1) = 0,

uxx(1) =−kτ²ux(1), ux(0) = 0,

u(0) = 0.

(4.3)

Dans la suite, on utilisera les d´efinitions et les notations de [17]. Les ordres respectifs des conditions au bord dans (4.3) sont :

k1= 3, k2= 3, k3= 1 et k4= 0.

L’ordre total est donck= 7.

L’équation caractéristique de la première équation de (4.3) est : ω⁴+ 1 = (ω²−√

2ω+ 1)(ω²+√

2ω+ 1) = 0, dont les racines sont :

ω1=1 +i

√2 , ω2=−1 +i

√2 , ω3= −1−i

√2 et ω4= 1−i

√2 · Les solutions de (4.3) sont de la forme :

u(x) =c1e^{τ ω}¹^x+c2e^{τ ω}²^x+c3e^{τ ω}³^x+c4e^{τ ω}⁴^x. On pose :

f(τ, ω) =τ²ωe^{τ ω}(ω+kτ).

(15)

En substituant udans les conditions au bord du syst`eme (4.3), on obtient :







τ³ω₁³e^{τ ω}¹ τ³ω₂³e^{τ ω}² τ³ω₃³e^{τ ω}³ τ³ω₄³e^{τ ω}⁴ f(τ, ω1) f(τ, ω2) f(τ, ω3) f(τ, ω4)

τ ω1 τ ω2 τ ω3 τ ω4

1 1 1 1











 c1

c2

c3

c4





=





 0 0 0 0





. (4.4)

On notera par ∆(τ) le déterminant caractéristique du système linéaire homogène (4.4). Ce dernier a donc une solution non nulle si et seulement siτ est racine de :

∆(τ) =τ³ω₁³e^{τ ω}¹

f(τ, ω2) f(τ, ω3) f(τ, ω4) τ ω2 τ ω3 τ ω4

1 1 1

−τ³ω³₂e^{τ ω}²

1 1 1

+τ³ω³₃e^{τ ω}³

1 1 1

−τ³ω³₄e^{τ ω}⁴

1 1 1

. Un calcul direct donne :

∆(τ) =τ⁶n i√

2e^iτ^√²[(ω1+ω2) + 2kτ]−√

2e^τ^√²[(ω4+ω1) + 2kτ]

+√ 2e⁻^τ

√2

[(ω2+ω3) + 2kτ]−i√ 2e⁻^iτ

√2

[(ω3+ω4) + 2kτ]

+ (1−i)√

2(ω3−ω1) + (1 +i)√

2(ω2−ω4)o , ou encore

∆(τ) =τ⁷n

e^iτ^√²[2i√

2k−2τ⁻¹]−e⁻^iτ^√²[2i√

2k+ 2τ⁻¹]

−e^τ^√²[2√

2k+ 2τ⁻¹] + e⁻^τ^√²[2√

2k−2τ⁻¹]−8τ⁻¹o

· (4.5)

Pour|τ| assez grand, le terme dominant des expressions entre crochets de (4.5) est différent de 0 (k est non nul), donc les conditions au bord de (4.3) sont régulières au sens de Shkalikov. On montrera dans la suite que les racines du déterminant caractéristique ∆(τ) sont asymptotiquement simples et séparées et par suite que les conditions au bord sont fortement régulières (voir Paragr. 5).

Cette propriété est essentielle pour montrer l’existence d’une base de Riesz formée de vecteurs propres généralisés de l’opérateur de Shkalikov.

La méthode est identique au cas où la masse est non nulle. On écrit (4.3) sous la forme suivante :











`(u, τ) =`0(u) +τ `1(u) +τ²`2(u) +τ³`3(u) +τ⁴`4(u) = 0, U1(u, τ) =u⁰⁰⁰(1) = 0,

U2(u, τ) =u⁰⁰(1) +kτ²u⁰(1) = 0, U3(u, τ) =u⁰(0) = 0,

U4(u, τ) =u(0) = 0.

(4.6)

L’opérateurH est le même que dans le cas où la masse est non nulle.

On va voir qu’ici l’opérateur H0 n’est autre que H, car aucune condition au bord (après normalisation) ne dépend de τ. On montre l’existence d’une base de Riesz, dans l’espace W_2,U^r , formée de vecteurs propres généralisés de l’opérateurHr.

(16)

Le termeτ²u⁰(1) dans (4.6) sera remplacé par : H²(˜v)⁽¹⁾₀ (1) =v₂⁰(1), oùH^k est la puissance d’ordrekdeH, les autres conditions au bord ne changent pas. On les représente sous la forme :











Ue1(˜v, τ) = Ue1(˜v) = v₀⁰⁰⁰(1) = 0,

Ue2(˜v, τ) = Ue2(˜v) = v₀⁰⁰(1) +kv₂⁰(1) = 0, Ue3(˜v, τ) = Ue3(˜v) = v₀⁰(0) = 0,

Ue4(˜v, τ) = Ue4(˜v) = v0(0) = 0.

(4.7)

Pourr= 0, l’espaceW_2,U⁰ sera d´efini par :

W_2,U⁰ = (

˜

v= (v0, v1, v2, v3)^>∈W₂³(0,1)⊕W₂²(0,1)⊕W₂¹(0,1)⊕L²(0,1), Uej(H^kv) = 0˜ 1≤j≤4,pour 0≤k≤n+r−2 = 2

et l’ordre de toutes les conditions au bord≤2−k

=n

˜

v∈W₂³(0,1)⊕W₂²(0,1)⊕W₂¹(0,1)⊕L²(0,1), v₀⁰(0) = 0, v0(0) = 0, v⁰₁(0) = 0, v1(0) = 0, v2(0) = 0o

· L’op´erateurH0dans ce cas, est d´efini dansW_2,U⁰ par :

H0





 v0

v1

v2

v3





=H





 v0

v1

v2

v3





=





 v1

v2

v3

−v0⁰⁰⁰⁰





 et D(H0) =W_2,U¹ ·

L’espace W_2,U¹ (r= 1) sera d´efini par :

W_2,U¹ =n

˜

v∈W₂⁴(0,1)⊕W₂³(0,1)⊕W₂²(0,1)⊕W₂¹(0,1), v₀⁰⁰⁰(1) = 0, v₀⁰⁰(1) +kv₂⁰(1) = 0, v₀⁰(0) = 0, v0(0) = 0, v₁⁰(0) = 0, v1(0) = 0, v₂⁰(0) = 0, v2(0) = 0, v3(0) = 0o

·

Le probl`eme (4.3) est fortement r´egulier (voir Paragr. 5). De plus toutes les conditions au bord sont d’ordre

≤ n+r−1 = 3. D’après le corollaire 3.2 [17], l’opérateur H0 a donc un système fondamental de vecteurs propres généralisés qui forme une base de Riesz deW_2,U⁰ .

Par le même argument que dans le cas où la masse est non nulle, l’opérateurH₀²a un système fondamental de vecteurs propres généralisés qui forme une base de Riesz deW_2,U⁰ .

On veut obtenir maintenant une base de Riesz pour l’op´erateurA.

L’opérateurH₀² se décompose en une somme directe de deux opérateurs,H1 et H2 tels queH1opère sur v1

etv3 etH2op`ere surv0et v2.