Taux de restitution de l’énergie pour une poutre courbe mince

Endommagement, fatigue, rupture/Damage, fatigue, rupture

Taux de restitution de l’énergie pour une poutre courbe mince

Arnaud MÜNCH, Yves OUSSET

Office national d’études et de recherches aérospatiales, 29, av. de la division Leclerc, BP 72, 92322, Chatillon cedex, France

Courriel : Arnaud.Munch@onera.fr ; Yves.Ousset@onera.fr (Reçu le 5 avril 2000, accepté le 13 avril 2000)

Résumé. Soit un domaine bidimensionnel élancé en état de déformations planes, occupé par deux matériaux séparés par une interface curviligne régulière. On suppose qu’une fissure se propage le long de cette interface. L’expression du taux de restitution de l’énergie est dérivée à l‘aide de la θ-méthode, dans le repère local lié à l’interface. Il apparait des termes complémentaires issues de la dérivation de la métrique locale.2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS

mécanique de la rupture / délaminage / analyse numérique

Energy release rate for a thin curvilinear beam

Abstract. Let a thin two-dimensional domain be in a plane strains state. It is made of two materials separated by a regular curvilinear interface along of which a crack is assumed to propagate.

The expression of the energy release rate is derived in local coordinates using the so-called θ-method. It is shown that there are complementary terms related to the derivation of the local metric.2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS

fracture mechanics / delamination / numerical analysis

Abridged English version

Within the linear elasticity framework, we consider the plane problem set in a thin two-dimensional domainω of thickness2made of two subdomains consisting of two different materials separated by a curvilinear interfaceγ. The domainωis fixed on the sideγ0and submitted to a normal load on the opposite side. A crack is assumed to exist on the partγf ofγ. Our purpose is to compute the energy release rate associated to the evolution of the crack frontF alongγ(see figure 1 for notation).

To derive the mechanical energy in respect to the evolution of the crack front, we first express the formulation in a local reference frame associated to the interfaceγ. Let γ be described by the regular mapφ:

φ: ζ₁^G, ζ₁^D

→γ, x=φ(ζ₁)

which permits us to define a local basis(e₁, e₂)alongγ and his associated cobasis(e¹, e²)(1) [1]. The domainω is then transformed into the domainωb using relation (2) and we note(u₁, u₂)the covariant Note présentée par Jean-Baptiste LEBLOND.

components of the displacementuseen as a covector:

u=u1e¹+u2ν˜

Asis small, the cracked domainωb is approximated by an assembly of three beamsγˆ_i connected at the crack tipFb[2]. In each beam:

• the displacements field is of the Bernoulli–Euler–Navier type (3);

• the tangential stressσ¹¹is linear with respect to the normal coordinateζ₂(4);

• the stress componentsσ¹²andσ²²are neglected.

Finally, introducing the two momentsnandm(5) on each sub-domain and integrating with respect to the thickness variable, the variational formulation (6) and the mechanical energyJ (7) are written onγ.ˆ

The expression of the energy release rate is then obtained by deriving analytically both the variational problem and the mechanical energyJ, using the so-calledθ-method whereθdescribes the crack tip advance alongˆγ[3]. This gives the variational problem satisfied by the first lagrangian derivative(u⁽¹⁾, n⁽¹⁾, m⁽¹⁾) of(u, n, m)(10) and the expression of the energy release rate (11). As in the anti-plane problem [4], this expression is the sum of two terms:

• a term involving the derivatives ofθ, which is the usual term;

• a term involvingθonly related to the derivation of the local metric induced by the curvature ofγ.

We can note the presence in the last term of the second derivative of the curvature what impose to have φ∈C³(ˆγ). Then, using the constitutive and equilibrium equations (8) and the jump conditions (9), the energy release rate is expressed in terms of the jumps of both the traction and the bending strain energy densities at the crack tip (12).

1. Problème à résoudre 1.1. Présentation du problème

Soitωun domaine courbe du plan, d’épaisseur2petite, constitué de deux matériaux isotropes séparés par une interfaceγ(confondue avec la ligne moyenne deω) régulière, décrite par la carteφ:

φ: ζ₁^G, ζ₁^D

→γ, x=φ(ζ1)

Le domaine, supposé en état de déformations planes, est encastré sur le bord latéralγ₀et chargé en flexion sur le bord opposéγ_t ( figure 1). L’interfaceγcontient une fissure sur sa partieγ_f dont on se propose de calculer le taux de restitution de l’énergie associé à sa propagation le long deγ.

Figure 1.

Définition et notations.

Figure 1.

Definition and notations.

On rappelle que la carteφpermet de définir une base locale le long deγ[1] : e₁=τ=φ⁰, e₂=ν=kτk⁻¹(−τ₁, τ₂)^t

(φ⁰= dφ/dζ1)de cobase associée :

e¹=kτk⁻²τ , e²=ν (1)

(τ : transposé deτ). Tout pointxdeωpeut être écrit sous la forme :

x=φ(ζ1) +ζ2ν(ζ1) (2)

1.2. Modèle multi-poutres

Compte tenu de la faible épaisseur deω, celui-ci est modélisé par un assemblage de trois poutresγi

raccordées en front de fissureF [2]. Supposant le rayon de courbure deγd’ordre unité, le modèle retenu est le suivant.

• Dans chaque poutre, le champs des déplacements est de type Bernoulli–Euler–Navier :

u1(ζ1, ζ2) = (1−Cζ2)u1(ζ1)−ζ2u⁰₂(ζ1), u2(ζ1, ζ2) =u2(ζ1) (3) oùCest la courbure(C=kτk⁻²ν·τ⁰)et oùuest considéré comme un champ de covecteurs :

u=u1e¹+u2ν

• La contrainte axiale est donnée par l’expression : σ¹¹=R·

γ(u)−ζ2ρ(u)

(4) où R désigne la rigidité axiale reliée à sa valeur R^o en repère cartésien orthonormé par la relation R=kτk⁴R^o(inversement,S=kτk⁻⁴S^o),γest la déformation axiale :

γ(u) =u⁰₁−e¹·τ⁰u₁− kτk²u₂

etρest la déformation de courbure :

ρ(u) =u⁰⁰₂−e¹·τ⁰u⁰₂+kτk²C²u2+C⁰u1

Introduisant les efforts et les rigidités généralisés : (n, m) =

Z h⁺ h⁻

(1,−ζ2)σ¹¹dζ2; R^T, R^C, R^F

= Z h⁺

h⁻

(1, ζ2, ζ₂²)Rdζ2 (5) le problème variationnel s’écrit :









 Z

ˆ γ

S^Tn+S^Cm

p+ S^Cn+S^Fm q

dζ1= Z

ˆ γ

pγ(u) +qρ(u)

dζ1 ∀(p, q)∈L²(ˆγ) Z

ˆ γ

nγ(v) +mρ(v)

dζ₁kτk=l(v) ∀v∈V

(6)

en notant

S^T S^C S^C S^F

=

R^T −R^C

−R^C R^F −1

, ˆγ= [3 i=1

ˆ

γ_i, V =V₁×V₂

et :

V1=

v1; v_1|ˆγi∈H¹(ˆγi) ;v1 ζ₁^G

= 0etv1continu enFb V₂=

v₂; v_2|ˆγi∈H²(ˆγ_i) ;v₂ ζ₁^G

=v⁰₂ ζ₁^G

= 0 ;v₂etv⁰₂continus enFb L’énergie mécanique associée s’écrit :

J=1 2 Z

ˆ γ

nγ(u) +mρ(u)

kτkdζ₁−l(u) (7)

Remarquons que le problème (6) conduit aux équations locales d’équilibre : ( kτkn⁰

+kτke¹·τ⁰n− kτkC⁰m= 0 kτkm⁰⁰

+ kτkme¹·τ⁰⁰

+kτk³C²m− kτk³Cn= 0 (8) et pour une interface régulière, aux conditions de raccord enFb:

[[n]] = [[m]] = [[m⁰]] = 0, [[f]] =f₁−f₂−f₃, f_i=f_|ˆγi (9) 2. Taux de restitution de l’énergie

La cinématique deFbest décrite par une fonctionθ(ζ₁)régulière, à support dans un voisinage deFb. On lui associe la transformationF^η:

F^η: ˆγ→γˆ^η, ζ₁^η=ζ1+ηθ(ζ1) ∀η >0

L’expression du taux de restitution de l’énergie est obtenue en procédant de la façon habituelle [3] ; notamment, la solution est développée en une série de puissances deη:

(u^η, n^η, m^η) = (u, n, m) +η u⁽¹⁾, n⁽¹⁾, m⁽¹⁾ + o(η)

De plus, il faut, comme dans [4], développer la métrique locale induite par la carteφ: τ^η=τ+ηθτ⁰+ o(η), ν^η=ν+ηθν⁰+ o(η), C^η=C+ηθC⁰+ o(η) e^1η·(τ^η)⁰=e¹·τ⁰+ηθ e¹·τ⁰⁰

+ o(η) ainsi que le terme de souplesse :

S^η=S+ 4ηθe¹·τ⁰S+ o(η)

L’identification des termes du premier ordre enηfournit les résultats suivants.

Dérivées lagrangiennes u⁽¹⁾, n⁽¹⁾, m⁽¹⁾

est solution du problème variationnel suivant :









































































 Z

ˆ γ

S^Tn⁽¹⁾+S^Cm⁽¹⁾

p+ S^Cn⁽¹⁾+S^Fm⁽¹⁾ q

dζ₁− Z

ˆ γ

pγ u⁽¹⁾

+qρ u⁽¹⁾ dζ₁

=− Z

ˆ γ

pu⁰₁θ⁰− Z

ˆ γ

q 2u⁰⁰₂θ⁰+u⁰₂θ⁰⁰−e¹·τ⁰u⁰₂θ⁰ dζ1

−4 Z

ˆ γ

θe¹·τ⁰

S^Tn+S^Cm

p+ S^Cn+S^Fm q

dζ₁

− Z

ˆ γ

θp

e¹·τ⁰⁰

u1+kτk² 2Ce¹·τ⁰+C⁰ u2

dζ1

− Z

ˆ γ

θq

e¹·τ⁰⁰

u⁰₂−2kτk²C Ce¹·τ⁰+C⁰

u₂−C⁰⁰u₁

dζ₁ ∀(p, q)∈L²(ˆγ) Z

ˆ γ

n⁽¹⁾γ(v) +m⁽¹⁾ρ(v) kτkdζ1

=− Z

ˆ γ

nγ(v) +mρ(v)

kτkθ⁰dζ₁+ Z

ˆ γ

nv⁰₁θ⁰kτkdζ₁ +

Z

ˆ

γkτkm 2v₂⁰⁰θ⁰+v⁰₂θ⁰⁰−e¹·τ⁰v₂⁰θ⁰ dζ1−

Z

ˆ γ

θkτke¹·τ⁰

nγ(v) +mρ(v) dζ1

+ Z

ˆ γ

θkτkn

e¹·τ⁰⁰

v₁+kτk² 2Ce¹·τ⁰+C⁰ v₂

dζ₁ +

Z

ˆ γ

θkτkm

e¹·τ⁰⁰

v₂⁰ −2kτk²C Ce¹·τ⁰+C⁰

v2−C⁰⁰v1

dζ1 ∀v∈V

(10)

Taux de restitution

Écrivant (6) pour des fonctions test(v, p, q) = (u⁽¹⁾, n⁽¹⁾, m⁽¹⁾)et (10) pour(v, p, q) = (u, n, m), nous exprimons le taux de restitution de l’énergie associé au déplacementθdu frontFbsous la forme :

g(θ) =−1 2 Z

ˆ γ

nγ(u) +mρ(u)

kτkθ⁰dζ₁+ Z

ˆ γ

m 2u⁰⁰₂θ⁰+u⁰₂θ⁰⁰−e¹·τ⁰u⁰₂θ⁰ kτkdζ₁ +3

2 Z

ˆ γ

θkτke¹·τ⁰

nγ(u) +mρ(u) dζ₁+

Z

ˆ γ

θkτkn

e¹·τ⁰⁰

u₁+kτk² 2Ce¹·τ⁰+C⁰ u₂

dζ₁ +

Z

ˆ γ

θkτkm

e¹·τ⁰⁰

u⁰₂−2kτk²C Ce¹·τ⁰+C⁰

u₂−C⁰⁰u₁ dζ₁+

Z

ˆ γ

nu⁰₁θ⁰kτkdζ₁ (11)

Force de fissuration

Utilisant les équations d’équilibre (8), les conditions de saut enFb(9) ainsi que la relation : n⁰γ+m⁰ρ=mγ⁰+mρ⁰−4e¹·τ⁰(nγ+mρ)

on exprimegen fonction des contraintes et des déformations en front de fissure : g(θ) =1

2

ndu₁ dζ1

+

md²u₂

dζ₁²

τ(Fb)θ Fb

(12)

Remarques

• Comme dans le cas anti-plan [4], la forme intégrale (11) du taux de restitution contient, en plus des termes habituels facteurs deθ⁰, des termes facteurs deθ. Ces termes peuvent être regroupés en deux ensembles : un ensemble lié à la représentation paramétrique deγqui s’annule si la variable est l’abcisse curviligne et un ensemble lié à la courbure qui s’annule si celle-ci est constante (γest une droite ou un arc de cercle).

• On notera dans l’expression du taux de restitution (11) la présence de la quantitéC⁰⁰ qui impose à la carte φune régularitéC³(ˆγ). En revanche, la seconde expression du taux (12), moins précise numériquement requiert seulement une régularitéC¹(ˆγ).

3. Conclusion

Nous venons de dériver pour le problème plan, l’expression du taux de restitution de l’énergie associée à une fissure se propageant le long d’une interface curviligne. Outre les termes habituels faisant intervenir les dérivées de θ, cette expression contient un terme lié à la dérivation de la métrique locale. Il est à remarquer que ces termes font intervenir la dérivée4^e de la carte et qu’il faudra en tenir compte pour l’approximation deγsi celle-ci n’est pas connue analytiquement.

Références bibliographiques

[1] Choquet-Bruhat Y., DeWitt-Morette C., Dillard-Bleick, Analysis, Manifolds and Physics, North-Holland, Amster- dam, 1982.

[2] Nevers T., Études numériques du delaminage dans les plaques composites stratifiées, Thèse ECP, 1986.

[3] Destuynder Ph., Djaoua M., Lescure S., Quelques remarques sur la mécanique de la rupture élastique, J. Mec.

Theor. Appl. 2 (1983) 113–135.

[4] Ousset Y., Taux de restitution de l’énergie associé à une fissure se propageant le long d’une interface curviligne, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. IIb 324 (1997) 603–609.