Tp mathématiques BTS Probabilité –variable aléatoire- lois de probabilités 2008- 2009
Exercice 1
Dix composants électroniques identiques sont mis en service simultanément. La probabilité pour que l'un quelconque de ces composants soit encore en service au bout d'un an est 0,8.
1. Quelle est la probabilité pour qu'il y ait encore 7 composants en fonctionnement au bout d'un an ? au moins 7 ? 2. Sachant qu'il y a au moins 7 composants en fonctionnement, calculer la probabilité pour qu’il y en ait au plus 9.
Exercice 2- approximation de la loi binomiale par la loi de poisson
Dans une chaîne de fabrication, 5 % des pièces sont défectueuses; on prélève une pièce, on examine si elle est défectueuse et on la replace parmi les autres. On répète 120 fois cette expérience. On désigne par X la variable aléatoire qui à chaque tirage de 120 pièces associe le nombre des pièces défectueuses.
1. a. Justifier que X suit une loi binomiale, en préciser les paramètres. b. Calculer P(X = 5).
2. Montrer qu’une approximation de la loi binomiale par une loi de poisson convient
Calculer P(X = 5).à l’aide de l’approximation . Comparer pour apprécier la qualité de comparaison . Exercice 3 approximation de la loi binomiale par la loi normale
On lance 300 fois une pièce de monnaie truquée ce qui constitue une partie .La probabilité d’obtenir face est 2 3. On désigne par X la variable aléatoire qui à chaque partie associe le nombre de « faces »obtenus.
1.a Justifier que X suit une loi binomiale , en préciser les paramètres . Peut-on calculer simplement (P X 210) ? 2. Montrer qu’une approximation de la binomiale par une loi normale convient.
Calculer (P X 210)à l’aide de l’approximation.
Exercice 4
Une entreprise fabrique des perceuses. Un tirage au hasard de 1 000 perceuses étant assimilé à un tirage avec remise, on appelle X la variable aléatoire qui à chaque lot de 1 000 perceuses associe le nombre de perceuses non défectueuses de ce lot. On admet que X suit la loi binomiale B (1000, 0 ,9875 ). On veut calculer la probabilité P0que 982 perceuses au moins ne soient pas défectueuses.
a. Calculer ( )E X et ( ) X . Donner, sans la calculer, l'expression de P0.
b. Pour calculer la valeur approchée P'0de P0on admet qu'il est légitime d'utiliser la loi normale N( 987 ; 3,5).
Déterminer P'0à 10-2 près par défaut.
Exercice 5 loi de Poisson .On note X la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de défauts sur le verre d'une ampoule. On admet que X obéit à la loi de Poisson de paramètre 4
Calculer la probabilité des événements suivants:
1. il n'y a aucun défaut sur l'ampoule.
2. il y a plus de 2 défauts sur l'ampoule.
3.Le nombre de défauts est compris entre 2 et 5 (bornes comprises), Exercice 6 Une entreprise fabrique en série des boîtes en carton.
On note X la variable aléatoire qui prend pour valeur la hauteur d'une boîte en carton.
On admet que X suit la loi normale de moyenne 2,5 cm et d'écart type 0,2 cm.
1. Calculer la probabilité qu'une boîte, choisie au hasard dans la production, ait une hauteur inférieure à 2,25 cm.
2. Déterminer le réel a tel que la probabilité que X soit inférieure à a, ait pour valeur 0,67.
Exercice 7 Dans cet exercice, n est un entier strictement supérieur à 1.
Une entreprise fabrique des composants électroniques en grand nombre. La probabilité pour qu'un composant de cette fabrication soit défectueux est: p = 0,04.Un tirage au hasard de n composants de cette fabrication étant assimilé à un tirage avec remise, on appelle X la variable aléatoire qui, à chacun de ces tirages, associe le nombre de composants défectueux obtenus dans ce tirage.
1. Indiquer quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire X. Pour n = 8,
donner l'expression de P( X = k ) où 0 k 8 et calculer la probabilité d'avoir exactement 3 composants défectueux
dans le tirage, puis celle d'avoir au moins 2 composants défectueux dans le tirage.
2. Si n = 50, on admet que l'on peut approcher la loi de X par une loi de Poisson dont le paramètre est égal à l'espérance mathématique de X.
a. Déterminer l'espérance mathématique E(X) de X pour n = 50 et en déduire .
b. Calculer, avec la précision permise par la table, et en utilisant cette loi de Poisson, la probabilité d'avoir exactement 4 composants défectueux dans le tirage, puis celle d'en avoir au plus 3.
3. Si n = 600, on admet que l' on peut approcher la loi de X par la loi normale de moyenne met d'écart type X , où m est l'espérance mathématique de X et X l'écart type de X.
a . Déterminer m et X , moyenne et écart type de la variable X pour n = 600.
b. En utilisant cette loi normale, calculer, avec la précision permise par la table, la probabilité d'avoir au moins
27 composants défectueux dans un tirage de 600 composants.
Exercice 1
1. .Pour chaque composant :
ou bien, il est encore en service au bout d'un an (succès) p = 0,8 ; ou bien, il ne l' est plus.
Cette observation est répétée 10 fois, toujours dans les mêmes conditions.
La variable aléatoire X mesurant le nombre de composants en fonctionnement suit donc la loi binomiale B( n, p ), de paramètres n = 10 et p = 0,8.
* La probabilité pour qu'il y ait 7 composants en service au bout d'un an est le , nombre P(X = 7).
I . de P(X = ) = Ck 10k 0,8k0, 210k, on obtient : P(X = 7) = C1070,870,230,201.
*La probabilité pour qu'il y ait au moins 7 composants en service est le nombre
7 7 3 8 8 2 9 9 1 10 10 0
10 10 10 10
P(X 7) = P(X = 7) P(X = 8) P(X = 9) P(X = 10)
C 0,8 0,2 C 0,8 0, 2 C 0,8 0,2 C 0,8 0,2
.
P(X 7) 0,879
2. On retrouve les probabilités conditionnelles, le résultat du calcul demandé est le nombre P(X7)(X 9). Or, on sait que(X 7) (X 9)
X 7
X 8
X 9
P((X 7) (X 9)) P(X 7) P(X 7) (X 9).
On calcule (7P X 9) P(X = 7) P(X = 8) P(X = 9) P X( 7)P X( 10) 0,879 0,107 0,772 Ainsi (X 7)
(7 9) 0,772
( 9) 0,878
P(X 7) 0,879
P X
P X
.
Exercice 2
1.a. La variable aléatoire X mesure le nombre de pièces défectueuses- .Pour chaque tirage, on a deux résultats possibles :
ou bien la pièce est défectueuse, la probabilité est alors p = 0,05 ; ou bien elle ne l'est pas, la probabilité est alors q = 1 p = 0,975.
.On effectue 120 tirages de manière indépendante.
.On peut donc en conclure que X suit la loi binomiale B(n, p) avec n = 120 et p = 0,05.
b. Comme X suit la loi binomiale B (n, p), avec n = 120 et p = 0,05. p X( 5)C1205 0,0550,95115. 2. commen30, p0,1et np(1 p) 50 0,05 0,95 2,375 np(1p) 30
L’approximation de la loi binomiale B(n, p ), avec n = 120 et p = 0,05 par la loi de poisson ( )P , ( np6) convient .
b. le résultat se lit directement dans la table de la loi de poisson np6et k5 : Ou par la formule
5
6 56 0,1615!
p X e
La formule p X
k
C120k
0,05
5 0,95
120kdonne :P X( 5)C1205 0,0550,9515 0,163 à l’aide d’une calculatrice.Exercice 3
la variable aléatoire X mesure le nombre de « face »obtenus
pour chaque jet, on a deux résultats possibles .ou bien , on obtient « face » c’est un succès , la probabilité est alors 2
p 3.ou bien on obtient « pile », la probabilité est alors 1 1 q p 3.
On lance 300 fois la pièce de manière indépendante .On peut donc en conclure que X suit la loi binomiale B(n, p), avec n=300 et 2
p 3. Comme X suit la loi binomiale B(n, p), avec n =300 et 2 p3.
300 300 300 211
2 1
( 210)
3 3
k k
k k
P X C
, la calculatrice ne peut pas faire un tel calcul.2/Comme n50et 2
p3, (1 ) 50 2 1 100 10
3 3 9
np p . L’approximation de la loi binomiale B(n, p), avec n=300 et 2
p 3par une loi normale ( , )m convient.
Les paramètres ( , )m sont alors 300 2 200
m 3 et 300 2 1 10 6 8,16
3 3 3
.
On utilise le changement de variable X m
T
.T suit la loi normale N(0 ,1).
210 200 10
( 210) ( ) ( ) ( 1, 22) 1 ( 1, 22) 1 0,8888 0,1112
8,16 8,16
P X P X m P T P T P T
.
Exercice 4
a. ( )E X np1000 0,9875 987,5 ; 1000 0,9875 0, 0125 3,51
b. (P X 982)P X( 982)P X( 983)P X( 984) ... ( P X999)P X( 100)
10001000 1000 982
( 982) 0,9875 0,0125
k k k
k
P X C
c. Soit Y une variable aléatoire suivant la loi normale N(987 ;3,5). P0 P X( 982)P(982X 1000) '0 (982 1/ 2 1000 1/ 2) (981,5 1000,5)
P P Y P Y .on pose 987
3,5
Y m Y
T
T suit la loi normale N(0 ,1).
981,5 987 987 1000,5 987
1,57 3,86 (3,86) ( 1,57) 0,94
3,5 3,5 3,5
P Y P T
Exercice 5
X mesure le nombre de défauts sur le verre d'une ampoule. X suit la loi de Poisson ( )P avec = 4.
1. Il n'y a aucun défaut. Dans ce cas, k = 0 et on calcule (P X 0).en utilisant la formule 40 4
( 0) 0,018
P X 0!e . en utilisant la table de la loi de Poisson 4et k = 0 . (P X 0) 0,018 .
2. Il y a plus de 2 défauts sur l' ampoule. On calcule (P X 2) 1 P X( 2) 1 P X( 0)P X( 1), d'après la table P(X = 0) = 0,018 ; P(X = 1)= 0,073. d'où (P X2) 1 (0,018 0,073) 0,909 . 3. Comme le nombre de défauts est compris entre 2 et 5, on calcule :
(2P X 5) = P(X= 2) + P(X= 3) + P(X= 4) + P(X= 5). D'après la table de la loi de Poisson, on obtient : (2P X 5)= 0,147 + 0,195 + 0,195 + 0,156 . (2P X 5)= 0,693.
Exercice 6
1. X une variable aléatoire suivant la loi normale N( ; )m avec m2,5et 0,2
La probabilité pour qu’une boîte ait une hauteur inférieure à 2,25 est égale au nombre (P X 2, 25) On effectue le changement de variable : X m
T
. T suit la loi normale N(0 ,1).d’où
( 2, 25) 2, 25 2,5 ( 1, 25) 1 ( 1, 25) 1 0,8944 0,1056 0,2
p X P X m p T P T
2. Le problème revient à résoudre l’équation ( E) : (P X) 0,67 ; à l’aide de changement de variable
2,5
( ) 0,67
P T0,2 , d’après la table , on obtient : (P T t ) 0,67pour t = 0,44 Donc 2,5
0, 2 0,44
; 0,088 2,5 2,588 . Exercice 7
1. Soit X la variable aléatoire mesurant le nombre des composants défectueux . Le tirage d’un composant est une épreuve ayant 2 issues possibles :
Ou bien le composant est défectueux ( succès ) : p = 0,04 ; ou bien le composant n’est pas défectueux ( échec). On répète n fois cette épreuve de manière indépendante ( tirage avec remise ).
Donc la variable aléatoire X suit la loi binomiale B(n, p),où p =0,04 .
On pose n = 8 ; p X( k)C8k0,04k0,958k ;0 k 8. Quand k3 ; p X( 3)C830, 0430,965 0, 0029
;
Quand k 2 p X( 2) 1
P X( 0)P X( 1)
1 (0,968C810,0410,96 ) 0,03817 .2.a. Comme n30 et p voisin de 0 , avec np(1p) 1,92 10 . La loi de X peut être approchée par la loi de poisson ( )P où E X( )np50 0,04 2
b. En utilisant la loi de poisson : (P X 4) 0,09 et ( 3) ( 0) ( 1) ( 2) ( 3) 0,135 0, 271 0, 271 0,180 0,857 P X P X P X P X P X
.
3. n600 ; np(1p) 23,04 10 ; on approche la loi normale N( ; )m avec m E X ( )np600 0,04 24 et ( )X np(1p) 23,04 4,8 . m24 et 4,8 .
b. La probabilité d’avoir au moins 27 composants défectueux parmi les 600 est le nombre (P X27). On effectue le changement de variable X m
T
. T suit la loi normale N(0 ,1).d’où d’après la table 27 24
( 210) ( 27) ( ) ( 0,625) 1 ( 0,625) 1 0,7340 0, 2660
P X P X P T 4,8 P T P T .
