Pobabilités-lois-binomiale-poisson-normale

(1)

Tp VARIABLES ALEATOIRES ET LOIS DES PROBABILITES BTSG2O 2008-2009 Exercice 1

Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes.

Dans un groupe d’assurances, on s’intéresse aux sinistres susceptibles de survenir, une année donnée, aux véhicules de la flotte d’une importante entreprise de maintenance de chauffage collectif.

Dans cet exercice, sauf mention contraire, les résultats approchés sont à arrondir à ₁₀^³.

1. Etude du nombre de sinistres par véhicule. Soit X la variable aléatoire qui, à tout véhicule tiré au hasard dans un des parcs de la flotte, associe le nombre de sinistres survenant pendant l’année considérée.

On admet que X suit la loi de Poisson de paramètre 0,28.

(a) Calculer la probabilité de l’évènement A: ” un véhicule tiré au hasard dans le parc n’a aucun sinistre pendant l’année considérée ”

(b) Calculer la probabilité de l’évènement B: ” un véhicule tiré au hasard dans le parc a, au plus, deux sinistres pendant l’année considérée ”

2. Etude du nombre de sinistres dans une équipe de 15 conducteurs.

On note E l’évènement : ” un conducteur tiré au hasard dans l’ensemble des conducteurs de l’entreprise n’a pas de sinistre pendant l’année considérée. On suppose que la probabilité de l’évènement E est 0,6.

On tire au hasard 15 conducteurs dans l’effectif des conducteurs de l’entreprise. Cet effectif est assez important pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 15 conducteurs.

On considère la variable aléatoire Y qui, à tout prélèvement de 15 conducteurs, associe le nombre de conducteurs n’ayant pas de sinistre pendant l’année considérée.

(a) Justifier que la variable aléatoire Y suite une loi binomiale et déterminer ses paramètres.

(b) Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, 10 conducteurs n’aient pas de sinistre pendant l’année considérée.

3. Etude du coût des sinistres

Dans ce qui suit, on s’intéresse au coût d’une certaine catégorie de sinistres survenus dans l’entreprise pendant l’année considérée. On considère la variable aléatoireCqui, à chaque sinistre tiré au hasard parmi les sinistres de cette catégorie, associe son coût en euros. On suppose que C suit la loi normale de moyenne 1200 et d’écart type 200. Calculer la probabilité qu’un sinistre tiré au hasard parmi les sinistres de ce type coûte entre 1000 euros et 1500 euros.

Exercice 2

Une entreprise a mis au point un circuit électronique formé essentiellement de deux composants distincts C₁ et C₂montés en parallèle de telle sorte que ce circuit ne peut tomber en panne que lorsque les deux composants C₁ et C₂sont simultanément en panne.

Au bout de 6000 heures d’utilisation du circuit électronique composé des éléments C₁etC₂, on considère les événements suivants :

A : « Le composant C₁ n’a pas eu de panne » ; B : « Le composant C₂ n’a pas eu de panne ».

On considérera que les pannes des composantsC₁et C₂sont indépendantes et que les probabilités respectives des événements A et B sont : p(A) = 0,22 et p(B) = 0, 05.

Pour tous les calculs de probabilités demandés dans cette partie, on donnera les résultats sous leur forme approchée décimale arrondie à ₁₀^³près.

1. On note A et B les événements contraires des événements A et B.

Calculer la probabilité de chacun des événements A et B.

2. (a) Calculer la probabilité que le circuit électronique tombe en panne au bout de 6000 heures.

(b) En déduire la probabilité que le circuit électronique fonctionne sans panne au bout de 6000 heures.

3. Le composant C1 peut avoir plusieurs pannes dans la période des premières heures d’utilisation.

On admet que le nombre de pannes du composant C1 dans la période des 6000 premières heures d’utilisation suit la loi de Poisson de paramètre 1,5. On note X la variable aléatoire associée au nombre de pannes du composant C₁ au cours de cette période.

(a) Déterminer la probabilité que le composant C₁ ait au plus deux pannes au bout de 6000 heures.

(b) Déterminer la probabilité que le composant C₁ ait au moins une panne au bout de 6000 heures.

Exercice 3. Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes.

Une entreprise de matériel pour l'industrie produit des modules constitués de deux types de pièces :P₁et P₂. 1. Une pièce P1est considère comme bonne si sa longueur, en centimètres, est comprise entre 293,5 et 306,5.

On note L la variable aléatoire qui, à chaque pièce P₁ choisie au hasard dans la production d'une journée, associe sa longueur. On suppose que L suit une loi normale de moyenne 300 et d'écart type 3.

Déterminer, à ₁₀^³près, la probabilité qu'une pièce P₁ soit bonne.

(2)

2. On note A l'événement :"une pièce P₁ choisie au hasard dans la production des pièce P₁ est défectueuse".

On note de même B l'événement: "une pièce P₂choisie au hasard dans la production des pièceP₂ est défectueuse". On admet que les probabilités des deux événement A et B sont ^{p A}

 

^^0,03 et ^{p B}

 

^^0,07. et on suppose que ces deux événement sont indépendants. Un module étant choisi au hasard dans la production, calculer, à10^⁴près, la probabilité de chacun des événement suivants :

a . E₁: les deux pièce du module sont défectueuses ;

b . E₂: au moins une des deux pièce du module est défectueuses ; c . E₃ : aucune des deux pièce constituant le module n'est défectueuse ;

3. Dans un important stock de ces modules, on prélève au hasard 10 modules pour vérification. Le stock est assez important pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 10 modules.

On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 10 modules associe le nombre de modules réalisant l'événement E₃ défini au 2. On suppose que la probabilité de l'événement E₃est 0,902.

a . Expliquer pourquoi X suit une loi Binomiale ; déterminer les paramètres de cette loi.

b. Calculer, à₁₀^³près, la probabilité que, dans un tel prélèvement, 9 modules au moins réalisent 'événement E₃. Exercice 4

Une compagnie a un contrat d’entretien pour 300 ascenseurs. On admet que, chaque semaine, la probabilité de panne d’un ascenseur est de 1/ 75 .On suppose l’indépendance entre les pannes d’un même ascenseur ainsi que de deux ascenseurs différents. Soit X la variable aléatoire qui, à toute semaine, associe le nombre de pannes du parc complet des ascenseurs.

Partie A. Étude de X.

1. Indiquer pourquoi X suit la loi binomiale de paramètres n = 300 et p = 1/ 75 .

2. Calculer, à 10^² près, la probabilité pour que lors d’une semaine il y ait (strictement) moins de2 pannes ? Partie B. Approximation de X.

On admet que la loi de X peut être approchée par une loi de Poisson, de paramètre m.

On désigne par Y une variable aléatoire qui suit cette loi de Poisson.

1. Indiquer pourquoi m est égal à 4.

2.En utilisant la variable Y, calculer une valeur approchée de la probabilité pour que la compagnie ait à intervenir plus de 6 fois durant une semaine. (On arrondira le résultat à 10^³^près).

Partie C. Sécurité.

On considère la variable aléatoire Z qui, à tout adulte, usager d’ascenseurs, choisi au hasard, associe son poids en kg.

On suppose que Z suit la loi normale d’espérance mathématique 70 kg et d’écart type 15 kg.

1.Calculer, à 10^-2 près, la probabilité pour qu’un adulte, usager d’ascenseurs, choisi au hasard, pèse moins de 90 kg.

Un ascenseur peut supporter 500 kg avant la surcharge. Les normes de sécurité spécifient que la probabilité de surcharge ne doit pas dépasser 0,0001.

On admet que le poids total de n usagers adultes d’ascenseurs, dont les poids sont indépendants, est une variable aléatoire S qui suit la loi normale d’espérance mathématique 70 n et d’écart type 15 n^.

2.Calculer les probabilités de surcharge p₅ lorsqu’il y a 5 adultes dans l’ascenseur et p₆ lorsqu’il y a 6 adultes dans l’ascenseur. En déduire le nombre maximal de personnes autorisées à emprunter l’ascenseur.

Exercice 5

Pour cet exercice, on fournira tous les résultats sous leur forme décimale, arrondie à 10^{– 3} près.

Dans une ville dont la population est très jeune, on sait qu'il y a 39,2 % de mineurs (et par conséquent 60,8 % d’adultes). On considère des échantillons non exhaustifs ( tirage au hasard et avec remise ) de 100 personnes parmi les habitants de cette ville. Soit X la variable aléatoire qui associe, à chaque échantillon de 100 personnes, le nombre d'adultes qu'il contient.

1. Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. Calculer l'espérance mathématique et l'écart- type de la variable X.

3. Calculer la probabilité de l'événement : X = 60 . On prendra C₁₀₀⁶⁰



^1,3746



¹⁰²⁸^.

On approche la variable X par une variable Y suivant une loi normale n ( m ,  ). On précisera la valeur et la signification des paramètres m et  de Y.

Pour la suite de cet exercice, on prendra m = 61 et  = 4,9.

4. On souhaite calculer une valeur approchée de P(X=60), en utilisant la variable aléatoire Y. Pour cela, par correction de continuité, calculer : P(59,5



Y



60,5).

5. On veut calculer la probabilité pour que l'échantillon contienne au moins 55 adultes. Pour cela, calculer P(Y



54,5).

(3)

Exercice 6

Une usine fabrique en grande série des pièces susceptibles de présenter deux défauts notés a et b.

Une étude statistique de la production conduit aux résultats suivants :

5 % des pièces présentent le défaut a , 4 % des pièces présentent le défaut b, 1 % des pièces présentent les deux

défauts. On prélève au hasard une pièce dans la production.

On note A l’événement : « la pièce présente le défaut a », B l’événement : « la pièce présente le défaut b ».

Partie A

1°) a. Les évènements A et B sont-ils indépendants ?

b. Calculer la probabilité de l’évènement A sachant que B est réalisé.

2°) a. Calculer la probabilité de l’événement : C : « La pièce prélevée présente au moins un défaut ».

b. Soit D l’événement : « La pièce prélevée ne présente aucun défaut ».

Montrer que la probabilité de l’événement D est 0,92.

Partie B

On prélève au hasard un lot de 100 pièces dans la production. On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise.

Soit X la variable aléatoire qui, à chaque prélèvement de 100 pièces, associe le nombre de pièces du lot ne présentant aucun défaut. Dans cette partie, on donnera les valeurs décimales arrondies à ₁₀^³près des probabilités demandées.

1. a. Justifier que la loi de probabilité suivie par la variable X est une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

b. Calculer la probabilité d’avoir exactement une pièce présentant au moins un défaut dans un lot.

2. On décide d’approcher la loi de la variable aléatoire X par la loi normale de paramètres m = 92 et d’écart type  2,71. On note Y la variable aléatoire suivant la loi normale de paramètres 92 et 2,71.

a. Justifier le choix des paramètres m et .

b. Calculer la probabilité pour qu’un lot de 100 pièces contienne au plus 86 pièces sans défaut, c’est-à-dire (p Y86,5)

c. Calculer la probabilité pour qu’un lot de 100 pièces contienne au moins 90 % de pièces sans défaut, c’est-à-dire (p Y89,5)

Exercice 7

On donnera la valeur arrondie au millième de chacun des résultats de cet exercice.

Une entreprise fabrique des jouets en bois en grande série. On s’intéresse à l’une des pièces de ce jouet comportant une partie cylindrique permettant l’assemblage des différents éléments du jouet.

Partie A

Pour que l’assemblage soit réalisable, c’est-à-dire que la pièce étudiée soit conforme, le diamètre de la partie cylindrique doit être compris entre 13,7 mm et 14,2 mm.

Soit X la variable aléatoire qui, à toute pièce prélevée au hasard dans la production de l’entreprise, associe le diamètre de la partie cylindrique. On admet que X suit la loi normale^N



^14;0,1



.

Calculer la probabilité qu’une pièce prélevée au hasard dans la production de l’entreprise soit conforme.

Partie B

Dans cette partie, on considère que 2,4 % des pièces de la production ne sont pas conformes. Soit Y la variable aléatoire qui, à tout lot de 100 unités prélevées au hasard dans la production, associe le nombre de pièces non- conformes. On admet que la production de l’entreprise est suffisamment importante pour que ce prélèvement soit assimilé à un tirage avec remise.

1.

a. Quelle est la loi suivie par Y ? Justifier la réponse. En donner le (ou les) paramètre(s).

b .Quelle est la probabilité qu’il y ait au moins trois pièces non conformes dans un lot de 100 unités ? 2. On approche la variable aléatoire Y par une variable aléatoire Z qui suit une loi de Poisson.

a. Donner le paramètre de cette loi.

b. À l’aide de la variable aléatoire Z, calculer une estimation de la probabilité qu’il y ait exactement trois pièces non conformes dans un lot de 100 unités.

(4)

Exercice 1

1. (a) On a :

_{( )} ₍ ₀₎ ^0,28



^{0,28 !}



_0,576

0!

p A p X e

 

   

(b) L’événement B est l’union des événements deux à deux incompatibles ” un véhicule tiré au hasard dans la parc a eu exactement 0 sinistre pendant l’année considérée ”, ” un véhicule tiré au hasard dans la parc a eu exactement 1 sinistre pendant l’année considérée ” et ” un véhicule tiré au hasard dans la parc a eu exactement 2 sinistres pendant l’année considérée ”.

Donc :

^0,28



^0,28



⁰ ^0,28



^0,28



¹ ^0,28



^0,28



²

( ) ( 0) ( 1) ( 2) 0,997

0! 1! 2!

e e e

p B p X p X p X

     

         

2. (a) Nous avons une suite de 15 épreuves de Bernoulli indépendantes. Chaque épreuve n’a que deux issues possibles : soit l’événement E est réalisé avec une probabilité de 0,6, soit il n’est pas réalisé avec une probabilité de 0,4.

Ceci prouve que la variable aléatoire Y suit une loi binomiale de paramètres 15 et 0,6.

(b) On veut calculer la probabilité de l’événement :

p Y( 10)C15¹⁰

 

0,6¹⁰



0,4



⁵0,186

3. Puisque C suit la loi normale de moyenne 1200 et d’écart type 200, la variable aléatoire D définie par

¹²⁰⁰

200 D C



suit la loi normale centrée réduite. On trouve alors C = 1200+200D ce qui permet facilement d’en déduire :

¹⁰⁰⁰^{ }^C ¹⁵⁰⁰^{   }¹ ^D ^1,5

Il vient alors, en utilisant le formulaire :

^p



¹⁰⁰⁰^{ }^C ¹⁵⁰⁰



^ ^p



^{  }¹ ^D ^1,5



^{ }

 

^1,5 ^{    }

 

¹

 

^1,5 ^{ }

 

^{1 1 0,775}^  Exercice 2

1.

p A

 

 

¹

p A

^{ }

 

1 0, 22 0,78



et

p B

 

 

¹

p B

^{ }

 

1 0,05 0,95



2. Le circuit électronique est en panne au bout de 6000 heures si les deux composants sont tombés en panne avant 6000 heures . L’événement correspondant est

_{A B}_

.Comme A et B sont indépendants,

_A

et

_B

le sont aussi, et la probabilité demandée est :

p A B





    

 p A p B 0, 78 0,95 0,74 

.

2.b La probabilité pour que le circuit fonctionne sans panne au bout de 6000 heures est :

Comme A et B sont indépendants ? on a donc :

p A B







 p A

 

p B

 

0, 22 0, 05 0,01 

p A B







 p A

 

p B

 

p A B⁽  ) 0, 22 0,05 0, 22 0,01 0, 27 0,01 0, 26      

Autre méthode :

p A B







 ¹ p A B⁽  ^{) 1} p A B







 1 0,74 0, 26

3.a.  

!

e k

p X k

k



  

, ici on a

^1,5

, donc  

^1,5

^(1,5)

!

e k

p X k

k

  

;

La probabilité demandée est : 

²

 

⁰

 

¹

 

²



^1,5 ^(1,5)⁰ ^1,5 ^(1,5)¹ ^1,5 ^(1,5)²

0! 1! 2!

e e e

p X p X p X p X

     

         

 ² 

^1,5

^{1 1,5} ^1,5

²

^0,81

p X e^ 

2



     

.

arrondi à 10^²près

3.b on a

^{p X}



^{  }

¹  ¹

^{p X}



^

⁰ 

^{ }

¹

^e^^1,5^

^0,78

arrondi à 10^²près Exercice 3

1. La variable L suit la loi normale N(300 ; 3 ) , donc la variable T définie par 300 3

T L suit la normale centrée

réduite N(0 ; 1 ). Il vient alors 293,5 300 300 306,5 300

(293,5 306,5)

3 3 3

p  L p  L    ^(293,5 ^306,5) ⁽ ^6,5 ^6,5⁾ ^{( 2,16} ^2,16)



^2,16

 

^2,16



²



^2,16



¹

3 3

p  L  p   T  p   T         (293,5p  L 306,5) 2 0,9946 1 0,9692    .

(5)

2. p E

 

1  p A



B



p A

 

p B

 

, puisque A et B sont des événements indépendants . D’où p E

 

1 0,03 0,07 0,0021  .

p E

 

2  p A



B



 p A

 

p B

 

 p A B







0,03 0,07 0,0021 0,0979   p E

 

³  p A



B



 ¹ p A

^

B

^

 1 0,0979 0,9021

3.a. On a 10 tirages indépendants, pour seulement 2 issues possibles (E₃ ou E₃ ) ; on est bien dans le cadre D’une loi binomiale . Donc X suit la loi binomiale B( 10 ; 0,902 ).

b. Dans ce cas, on a ^{p X}



^⁹



^ ^{p X}⁽ ^{ }⁹⁾ ^{p X}⁽ ^¹⁰⁾^^C₁₀⁹ ^^0,902⁹^^0,098^^C₁₀¹⁰^^0,902¹⁰^^0,098⁰^^0,744. Exercice 4

A

1°. On répète 300 fois, de manière indépendante, la même expérience, n’ayant que deux issues possibles :

 « l’ascenseur est en panne » avec une probabilité p = ¹ 75

 « l’ascenseur n’est pas en panne » avec une probabilité ^q^{ }¹ ^p.

On reconnaît un schéma de Bernoulli, la variable X suit la loi binomiale ^{300 ,} ¹ B 75

 

 .

2°. La probabilité demandée correspond au calcul : ^{p X}



^²



^ ^{p X}



^⁰



^^{p X}



^{ }¹



^{p X}



^²



 

300⁰ ³⁰⁰ 300¹ ²⁹⁹ 300² ² ²⁹⁸ ²

74 1 74 1 74

2 0,09 à 10 près.

75 75 75 75 75

P X  C   C    C      ^

       

B.

1°. On sait que lorsqu’une variable aléatoire suivant la loi binomiale b



^{n p}^,



est approchée par une variable aléatoire suivant la loi de Poisson p

 

^ , on a : ^{ }^{n p}^. Avec n = 300 et ¹

p75, on trouve ³⁰⁰ ^4.

 75 

2°. On calcule

   

6 6

4 3

0 0

6 4

1 1 e 0,111 à 10 près.

!

k k

k

k k

P Y P Y k

k

 

 

 

  



  





C. 1



⁹⁰



⁷⁰ ^1,33



^1,33



0,91 , valeur arrondie à 10 près² 15

P Z PZ     ^

  .

2°. ⁵

 

350 500 350

 

500 1 2 5 0,000015

15 5 15 5

p P S PS      

  . (avec une interpolation).

De même, 6

420 8 6 8 6

1 0,0146.

9 9

15 6

p PS     

Conclusion : les normes sont respectées avec 5 passagers, mais pas avec 6 passagers ( p₅0,0001 et p₆0,0001 ).

Le nombre maximum d’usagers autorisés à emprunter simultanément l’ascenseur est donc égal à 5.

Exercice 5

1°a. On répète 100 fois, de manière indépendante, la même expérience, n’ayant que deux issues possibles :

 « la personne tirée au hasard est un adulte » avec une probabilité p = 0,608

 « la personne tirée au hasard est un mineur » avec une probabilité ^q^{ }¹ ^p.

On reconnaît un schéma de Bernoulli, la variable X suit la loi binomiale b



100 ; 0,608



. 1°b . L’espérance mathématique de la variable X est : E X

 

  n p 100 0,608 60,800  .

L’écart- type de X est donné par : 

 

X  npq ^{60,8 0,392} 4,882 valeur arrondie à 10 près.^³ 1°c. On a : P



X 60



C100⁶⁰ 



0,608



⁶⁰



0,392



⁴⁰0,080 valeur arrondie à 10 près.^³

2° . m est l’espérance mathématique de la variable Y : elle est égale à celle de la variable X.

^ est l’écart- type de la variable Y : il est égal à celui de la variable X.

On a donc : m60,800 et à 10 près = 4,882.^³  3°a. ^{P 59,5}



^60,5



^P ^{59,5 61} ^{61 60,5 61} ^.

4,9 4,9 4,9

Y   Y  

      

  La variable Z 61

4,9 Y

suit la loi normale centrée n

 

^0,1

et on obtient : ^{P 59,5}



^60,5



^P ¹⁵ ⁵ ⁵ ¹⁵ ¹⁵ ⁵ ^0,078

49 49 49 49 49 49

Y  Z          

               ce dernier résultat étant arrondi à 10^³près.

(6)

3°b. ^P



^54,5



^P ^{61 54,5 61} ^P ⁶⁵ ^P ⁶⁵ ⁶⁵

4,9 4,9 49 49 49

Y  Y    Z   Z   

     

  On trouve : P



Y54,5



0,908 à 10 près.^³

Exercice 6

A1°a )

On peut résumer les données en écrivant : ^{P A}

( )

=^{0,05, P B}

( )

=0,04, P A B

(

Ç

)

=0, 01.

Les événements A et B sont indépendants si ^{P A}



^^B



^^{P A}

 

^^{P B .}

 

^{Or P A}

 

^{P B}

 

0,002 et 0,002 0,01 : les deux événements A et B ne sont donc pas indépendants b) La probabilité demandée correspond au calcul :

   

 

^0,01^0,04 ^0,25.

B

P A B

P A P A

   

2°a. La probabilité demandée correspond au calcul : ^{P A B}

(

È

)

=^{P A}

( )

+^{P B}

( )

- ^{P A B}

(

Ç

)

=0,05 0, 04 0,01 0,08.+ - = On a donc : ^{P C}

( )

⁼^{0, 08.}

b) D est l’événement contraire de C, donc ^{P D}

( )

^{= -}^{1 P C}

( )

⁼^0,92.

B

1° a. On répète 100 fois, de manière indépendante, la même expérience, n’ayant que deux issues possibles :

 « la pièce prélevée ne présente aucun défaut » avec une probabilité p = ^0,92

 « la pièce prélevée présente au moins un défaut » avec une probabilité ^q^{ }¹ ^p. On reconnaît un schéma de Bernoulli, la variable X suit la loi binomiale



^{100 , 0,92}



.

b. La probabilité demandée est : P X=99

( )

=C100⁹⁹

(

0,92

)

⁹⁹´

(

0,08

)

¹=0,002, résultat donné à 10^-³ près par défaut.

2°a.

On sait que lorsqu’une variable aléatoire suivant la loi binomiale

^{B ,}



^{n p}

 est approchée par une variable aléatoire suivant la loi normale n (

^m^,^

) avec

m n p  100 0,92 92  

^et  npq 7,36 2,71 .

b.

^{P Y 86,5}

 

^P ^{92 86,5 92} ^{P T}



^2,03



¹



^2,03



0,021 à 10 près par défaut.³

2,71 2,71

Y  _

 

          

 

c. On trouve de même

^{P Y 89,5}

(

³

)

=^{P T 0,92}

(

£

)

=0,821 à 10 près par défaut.^-³ Exercice 7

Partie A

La variable aléatoire X suit la loi normale N. Donc, la variable aléatoire T définie par 14 0,1

T X , suit

la loi normale centrée réduite N. On a donc : 13,7 14 14 14, 2 14

(13,7 14,2) ( )

0,1 0,1 0,1

p X p  X 

    

donc : p(13,7X 14, 2) p( 3  T 2) (2)    ( 3) (2) (3) 1

donc, d'après la table de la fonction intégrale de la loi N : (13,7p  X 14,2) 0,9772 0,99865 1 0,97585    La probabilité qu'une pièce prélevée au hasard soit conforme est donc : p(13,7X 14, 2) 0,976 . Partie B

1. Le choix d’une pièce prélevée au hasard est une épreuve de Bernoulli dans laquelle : la probabilité d'un «succès» (la pièce est non conforme) est p=0,024

la probabilité d'un «échec» (la pièce est conforme) est 1−p=0,976

Le prélèvement de 100 pièces étant assimilé à un tirage avec remise, on peut considérer qu'il s'agit d'une répétition de 100 épreuves de Bernoulli indépendantes. la variable Y suit donc la loi binomiale B( 100 ; 0,024 ) 2. Quelle est la probabilité qu'il y ait au moins trois pièces non conformes dans un lot de 100 pièces ?

Cette probabilité peut s'écrire : p Y( 3) 1 p Y( 3) 1  p Y( 0)p Y(  1) p Y( 2).

Or p Y( k)C100^k



0,024

 

^k 0,976



¹⁰⁰^^k. Donc :p Y

(



0)

C100⁰

 0,024  

⁰

0,976 

¹⁰⁰ 

0,0881

^. p Y

(

 

1)

C100¹

 0,024  

¹

0,976 

⁹⁹ 

0, 2166

^.p Y

(



2)

C100¹

 0,024  

²

0,976 

⁹⁸

0, 2637

On en déduit : p Y( 3) 1 p Y( 3) 1 0, 0881 0, 2166 0, 2637 0, 4316     ^.

La probabilité qu'il y ait au moins trois pièces non conformes dans un lot de 100 pièces est donc p Y( 3) 0, 432 ^. 3.a)La variable Y suit la loi binomiale B. Son espérance mathématique est donc E(Y)=100×0,024=2,4.

On sait que, sous certaines conditions, une variable aléatoire qui suit une loi binomiale d'espérance λ peut être approchée par une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre λ.

Donc .

b)En utilisant la variable Z, donner une estimation de la probabilité d'avoir exactement 3 pièces non conformes.

(7)

Cette estimation est donnée par :

2, 4

³ ^2,4

( 3) 0, 209

3!

p Z e

 

   . (un calcul direct de p(Y=3)= 0,212 environ).