Probabilités, lois binomiale, de Poisson, normale. Autres

NOM ENONCE ET FEUILLE REPONSE Respecter les consignes (D’après BTS productique, 1989)

Deux machines A et B fabriquent des disques dentés. La production journalière de la machine A est de 250 disques et celle de la machine B est de 500 disques. La probabilité pour qu'un disque ait un défaut de dentelure est 0,02 sachant qu'il est produit par la machine A et 0,035 sachant qu'il est produit par la machine B.

1. a) Ecrire la probabilité pour qu'un disque, pris au hasard dans la production totale d'un jour, n'ait pas de défaut de dentelure. Le résultat sera écrit sous forme d’une fraction irréductible.

b) Faire et compléter un arbre des probabilités expliquant le résultat.

c) Sur la production totale d'un jour, on prélève un disque. On constate que ce disque a un défaut de dentelure, écrire la probabilité pour qu'il ait été produit par la machine A, par la machine B. Les résultats seront écrits sous forme de fractions irréductibles.

Machine A Machine B d) Ecrire les

théorèmes utilisés pour obtenir ces résultats.

2. On prélève au hasard douze disques sur la production totale d'un jour.

On suppose ici que la probabilité pour qu'un disque, prélevé au hasard sur la production totale d'un jour, ait un défaut de dentelure est de 0,03. On cherche à déterminer à 10^-4 près la probabilité pour que, parmi les douze disques prélevés, au plus un d'entre eux ait ce défaut.

a) En supposant que la variable X qui à chaque tirage de 12 disques associe le nombre de disques défectueux suit une loi binomiale, écrire cette probabilité.

b) Ecrire les théorèmes utilisés pour obtenir ce résultat.

c) En supposant cette fois que X suit une loi de Poisson de paramètre 0,36, écrire cette probabilité en utilisant les tables mises à disposition.

d) Ecrire les théorèmes utilisés pour obtenir ce résultat.

3. Sur la totalité des disques produits en huit jours et ne présentant pas de défaut de dentelure, on effectue un contrôle du diamètre extérieur. A partir de cette étude, on considère que les mesures en millimètres obtenues sont les valeurs prises par une variable aléatoire normale ayant pour moyenne 160,1 et pour écart-type 0,2. Un disque soumis au contrôle du diamètre est jugé inacceptable si la mesure, en millimètres, de son diamètre n'appartient pas à l'intervalle [159,5 ; 160,5].

Présenter ci-après (et au dos de cette feuille en cas de besoin) un calcul, à 10^-3 près, de la probabilité qu'un disque soumis au contrôle du diamètre soit déclaré inacceptable.

Eléments pour un corrigé

(D’après BTS productique, 1989)

Deux machines A et B fabriquent des disques dentés. La production journalière de la machine A est de 250 disques et celle de la machine B est de 500 disques. La probabilité pour qu'un disque ait un défaut de dentelure est 0,02 sachant qu'il est produit par la machine A et 0,035 sachant qu'il est produit par la machine B.

1. a) Ecrire la probabilité pour qu'un disque, pris au hasard dans la production totale d'un jour,

n'ait pas de défaut de dentelure. Le résultat sera écrit sous forme d’une fraction irréductible. 97 100 b) Faire et

compléter un arbre des probabilités expliquant le résultat.

Pour un disque, on note A l’événement « provenir de la machine A », B l’événement « provenir de la machine B », D l’événement « être défectueux », D l’événement « ne pas être défectueux ».

On peut remarquer que B =A.

A∩D ² 300 0,02

A ¹

3 0,98

A∩D 98 300 B∩D ⁷

300 2

3 0,035 B

0,965

B∩D 193 300 et ^{p D}

( ) (

) (

)

c) Sur la production totale d'un jour, on prélève un disque. On constate que ce disque a un défaut de dentelure, écrire la probabilité pour qu'il ait été produit par la machine A, par la machine B. Les résultats seront écrits sous forme de fractions irréductibles.

Machine A : 2

9 Machine B : 7 9 d) Ecrire les

théorèmes utilisés pour obtenir ces résultats.

Th.1 : Pour tout événement E, p(E) = 1 – p

( )

Th.2 : pour tous A et B, p(A | B) ^{p(A B)} p(B)

= ∩

2. On prélève au hasard douze disques sur la production totale d'un jour.

On suppose ici que la probabilité pour qu'un disque, prélevé au hasard sur la production totale d'un jour, ait un défaut de dentelure est de 0,03. On cherche à déterminer à 10^-4 près la probabilité pour que, parmi les douze disques prélevés, au plus un d'entre eux ait ce défaut.

a) En supposant que la variable X qui à chaque tirage de 12 disques associe le nombre de disques défectueux suit une loi binomiale, écrire cette probabilité.

0,9513 b) Ecrire les

théorèmes utilisés pour obtenir ce résultat.

Th.3 : si X suit une loi binomiale B(n,p) alors p(X = k) = n ^{k n k} p (1 p) k

  −

  −

  .

Th.4 : si A et B sont deux événements incompatibles (d’intersection vide) alors p(A∪B) = p(A) + p(B).

c) En supposant cette fois que X suit une loi de Poisson de paramètre 0,36, écrire cette probabilité en utilisant les tables mises à disposition.

0,9482 d) Ecrire les théorèmes

utilisés pour obtenir ce résultat.

Th.5 : si X suit une loi de Poisson P(λ) alors p(X = k) = e^{-λ k} k!

λ . Th.4 et techniques de l’interpolation

3. Sur la totalité des disques produits en huit jours et ne présentant pas de défaut de dentelure, on effectue un contrôle du diamètre extérieur. A partir de cette étude, on considère que les mesures en millimètres obtenues sont les valeurs prises par une variable aléatoire normale ayant pour moyenne 160,1 et pour écart-type 0,2. Un disque soumis au contrôle du diamètre est jugé inacceptable si la mesure, en millimètres, de son diamètre n'appartient pas à l'intervalle [159,5 ; 160,5].

Présenter ci-après (et au dos de cette feuille en cas de besoin) un calcul, à 10^-3 près, de la probabilité qu'un disque soumis au contrôle du diamètre soit déclaré inacceptable.

Soit Y la variable aléatoire qui à un disque associe la mesure de son diamètre extérieur.

La variable Y suit une loi normale N(160,1 ; 0,2).

Il s’agit de calculer p(Y ∉ [159,5 ; 160,5]).

Or (th.1) p(Y ∉ [159,5 ; 160,5]) = ^{p Y}

(

[

] )

Or, en appelant T la loi normale centrée réduite, et Π sa fonction de répartition, et en utilisant th.2 et th.3 et les tables, on a

p(159,5 ≤ Y ≤ 160,5) = 159,5 - 160,1 Y - 160,1 160,5 - 160,1

p 0, 2 0, 2 0, 2

 ≤ ≤ 

 

  = p(-3 ≤ T ≤ 2),

soit p(159,5 ≤ Y ≤ 160,5) = Π(2) - Π(-3) = Π(2) – [1 – Π(3)] = 0,9758 D’où, finalement, p(Y ∉ [159,5 ; 160,5]) = 0,0242.

Th.1 : Pour tout événement E, p(E) = 1 – p

( )

Th.2 : X étant une variable aléatoire, pour tous a et b réels,

p(a ≤ X ≤ b) = p(X ≤ b) - p(X ≤ a) th.3 : Π étant la fonction de répartition de La loi normale centrée réduite T, pour tout réel t, Π(-t) = 1 – Π(t).