exercices p 130.
27. a. lnx = 0 ⇔ x = 1 b. lnx = 1 ⇔ x = e c. lnx = 3 ⇔ x = e3 d. lnx = −2 ⇔ x = e-2 e. lnx = ¼ ⇔ x = e1/4 f. lnx = −2/5 ⇔ x = e−2/5
28. ln(3 – 2x) = 1 29. ln(1 – x) = −2
il faut que 3 – 2x > 0 donc x ∈ ]−∞ ; 3/2[ il faut que 1 – x > 0 donc x ∈ ]−∞ ; 1[
(E) ⇔ 3 – 2x = e ⇔ x = (3 – e)/2 (E) ⇔ 1 – x = e−2 ⇔ x = 1 – e−2
30. ln(x² − 4) = 0 31. ln((1 + x)/x) = 3
il faut que x² − 4 > 0 donc x ∈ ]−∞ ; −2[ ∪ ]2 ; +∞[ il faut que (1 + x)/x > 0 donc x ∈ ]−∞ ; −1[ ∪ ]0 ; +∞[ (E) ⇔ x² − 4 = 1 ⇔ x = − 5 ou x = 5 (E) ⇔ (1 + x)/x = e3 ⇔ … ⇔ x = 1/(e3 – 1)
32. a. lnx < 1 b. lnx ≥ 2 c. ln(1 – x) > −1 e. ln(1/x) > 5
x ∈ ]0 ; +∞[, x ∈ ]0 ; +∞[, x ∈ ]−∞ ; 1[, x ∈ ]0; +∞[
(I) ⇔ x < e (I) ⇔ x ≥ e2 (I) ⇔ 1 – x > e−1 ⇔ x < 1 – e−1 (I) ⇔ 1/x > e5 ⇔ x < e−5
S = ]0; e[ S = [e²; +∞[ S = ]1 – e−1; 1[ S = ]0; e−5[
d. ln(x² − 3) < 0 x ∈ ]−∞; − 3 [ ∪ ] 3 ; +∞[ (I) ⇔ x² − 3 < 1 ⇔ x² − 4 < 0 ⇔ x < −2 ou x > 2 S = ]−2; − 3 [ ∪ ]2; 3 [
f. ln(3x + 1)≥ 0 x ∈ ]−1/3; +∞[ (I) ⇔ 3x + 1 ≥ 1 ⇔ x ≥ 0 S = ]0; +∞[
34. ln(3x – 1) = lnx
il faut 3x – 1 > 0 et x > 0 donc D = ]1/3 ; +∞[
(E) ⇔ 3x – 1 = x ⇔ x = ½ ½ ∈ D donc S = {1/2}
35. ln(3x + 1) = ln(5x – 2)
il faut 3x + 1 > 0 et 5x – 2 > 0 donc D = ]2/5 ; +∞[
(E) ⇔ 3x + 1 = 5x – 2 ⇔ x = 3/2 3/2 ∈ D donc S = {3/2}
36. ln(x² − 9) = lnx
il faut x² − 9 > 0 et x > 0 donc D = ]3 ; +∞[
(E) ⇔ x² − 9 = x ⇔ x² − x – 9 = 0 ∆ = 37 donc x = (1 – 37 )/2 ou x = (1 + 37 )/2 (1 – 37 )/2 ∉D donc S = {(1 + 37 )/2}
37. ln(x² + x – 2) = ln(x + 3)
il faut x² + x – 2 > 0 et x + 3 > 0 c'est à dire (x – 1)(x + 2) > 0 et x + 3 > 0 donc D = ]−3 ; −2[ ∪ ]1 ; +∞[
(E) ⇔ x² + x – 2 = x + 3 ⇔ x² = 5 ⇔ x = − 5 ou x = 5 toutes les deux dans D donc S = {− 5 ; 5 } 38. ln(3x + 2) ≤ ln(x – 5)
il faut 3x + 2 > 0 et x – 5 > 0 donc D = ]5 ; +∞[
(I) ⇔ 3x + 2 ≤ x – 5 ⇔ x ≤ −7/2 aucunes de ces valeurs dans D donc pas de solution.
ln(x² − 16) ≥ ln2x
il faut x² − 16 > 0 et 2x > 0 donc D = ]4 ; +∞[
(I) ⇔ x² − 16 ≥ 2x ⇔ x² − 2x – 16 ≥ 0 ∆ = 68 donc 2 racines 1 – 17 et 1 + 17 le trinôme est positif à l’extérieur de ses racines donc S = ]1+ 17 ; + ∞[
40. avec x > 0 et y > 0 2lnx + lny = -1
5lnx + 3lny = 0 ⇔ -6lnx - 3lny = 3 (1)
5lnx + 3lny = 0 (2) (1) + (2) donne lnx = −3 donc x = e−3 on a alors (2) ⇔ lny = (−5/3)lnx = 5 d’où y = e5 S = {(e−3 , e5)}
41. (2x – 3)ln(x + 1) > 0 il faut que x + 1 > 0 donc D = ]−1 ; +∞[
2x – 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3/2 et ln(x + 1) ≥ 0 ⇔ x + 1 ≥ 1 ⇔ x ≥ 0 donc S = ]−1 ; 0[ ∪ ]3/2 ; +∞[
ln(lnx) > 0 il faut que x > 0 et lnx > 0 donc D = ]1 ; +∞[ (I) ⇔ lnx > 1 ⇔ x > e donc S = ]e ; +∞[
42. a > 0 et b > 0 et a < b
ln((a + 1)/a) ≥ ln((b + 1)/b) ⇔a + 1 a ≥b + 1
b ⇔ ab + b ≥ ab + a (car a > 0 et b > 0)
⇔ b ≥ a or b > a donc ln((a + 1)/a) > ln((b + 1)/b) 43. ln 2x - 1
x + 3 est définie si 2x - 1
x + 3 > 0 donc dans D = ]−∞ ; −3[ ∪ ]−1/2 ; +∞[
ln 2x - 1
x + 3 ≥ 0 ⇔ 2x - 1
x + 3 ≥ 1 ⇔ 2x - 1
x + 3 − 1 ≥ 0 ⇔2x - 1- x - 3
x + 3 ≥ 0 ⇔ x - 4
x + 3≥ 0 ⇔ x ≤ −3 ou x ≥ 4 En tenant compte de D:
ln 2x - 1
x + 3 ≥ 0 pour x ∈ ]−∞ ; −3[ ∪ [4 ; +∞[
ln 2x - 1
x + 3 < 0 pour x ∈ ]−1/2 ; 4[
44. ln|3 – x| = ln|x| il faut 3 – x ≠ 0 et x ≠ 0 donc D = IR\{0 ; 3}
(E) ⇔ |3 – x| = |x| ⇔ 3 – x = x ou 3 – x = −x
⇔ x = 3/2 ou 3 = 0 ! donc S = {3/2}
45. ln27 = ln33 = 3ln3 ln2187 = ln37 = 7ln3 ln(1/9) = ln3−2 = −2ln3 ln63 – ln7 = ln(7×3²) − ln7 = 2ln3 ln9 3 = 2ln3 + (1/2)ln3 = (5/2)ln3 2ln6 – ln4 = 2ln3 + 2ln2 – 2ln2 = 2ln3
46. ln1000 = ln(2×5)3 = 3ln2 + 3ln5 ln(8/25) = ln8 – ln25 = 3ln2 – 2ln5 ln0,16 = ln(4/25) = 2ln2 – 2ln5
47. ln( 5 + 1) + ln( 5 - 1)
2 = ln[( 5 + 1)( 5 - 1)]
2 = ln4
2 = ln2 ln(2 + 3 )5 + ln(2 – 3 )5 = ln[(2 + 3 )(2 – 3 )]5 = ln15 = 0
48. ln(1/2) + ln(2/3) + ln(3/4) + … + ln(99/100) = ln[(1/2)(2/3)(3/4)…(99/100)] = ln(1/100) = −ln100 = −2ln2 – 2ln5
49. a > 0, b > 0, c > 0,
ln(a3b²/c) = 3lna + 2lnb – lnc ln(a/b) + ln(b/c) = lna – lnb + lnb – lnc = lna – lnc ln abc = (1/2)(lna + lnb + lnc)
50. lne3 + lne−2 = 3lne – 2lne = 3 – 2 = 1 ln(e² e ) = 2lne + (1/2)lne = 2 + ½ = 5/2 ln(1/e)3 = 3ln(1/e) = −3lne = −3 51. ln(3 + 2 2 ) + ln(3 – 2 2 ) = ln[(3 + 2 2 )(3 – 2 2 )] = ln(9 – 8) = ln1 = 0
52. pour x > 0, ln(2x + 3) = lnx + ln(2 + 3/x) ⇔ ln(2x + 3) = ln[x(2 + 3/x)] ⇔ ln(2x + 3) = ln(2x + 3) vrai ! 53. sur ]−1 ; 1[, f(x) = ln 1 + x
1 - x
l’origine du repère est centre de symétrie de Cf ⇔ f est une fonction impaire.
∀ x ∈ ]−1 ; 1[, −x ∈ ]−1 ; 1[
et f(−x) = ln 1 - x
1 + x = − ln 1 + x
1 - x car ln(1/X) = − lnX donc f est impaire.
54. u est une suite géométrique de premier terme u0 > 0 et de raison q > 0 v est définie sur IN, par vn = ln(un). montrons que v est arithmétique vn+1 – vn = ln(un+1) – ln(un) = ln un+1
un = ln q car u est géométrique donc v est arithmétique de raison ln q
