2007, Reunion, Exponentielle

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2007, Réunion

On considère la fonction f définie sur IR par :



_{f(x) =} ^xex

e^x - 1 si x ≠ 0 f(0) = 1

On note Cf la courbe représentative de f dans le repère orthonormal (O ; i^→ ; j^→).

1. a. déterminer la limite de f en − ∞.

b. Etablir que, pour tout nombre réel x non nul, on a : f(x) = x

 1 + 1 

e^x - 1 . En déduire la limite de f en +∞.

2. Donner, sans démonstration, la limite suivante, lim

x→0

e^x - 1

x et démontrer que f est continue en 0.

3. a. Démontrer que, pour tout nombre réel x, on a e^x ≥ x + 1, et que l’égalité n’a lieu que pour x = 0.

b. Calculer la dérivée f’ de la fonction f et déterminer la fonction g telle que, pour tout nombre réel x non nul, f’(x) = e^xg(x)

(e^x - 1)² . c. Donner le tableau de variation de f.

4. Soient x un nombre réel non nul et les points M(x ; f(x)) et M’(−x ; f(−x)) de la courbe Cf . a. Etablir que f(−x) = x

e^x - 1 , puis déterminer le coefficient directeur de la droite (MM’).

b. On admet que la fonction f est dérivable en 0. Que suggère alors le résultat précédent ? 5. (Hors sujet de Bac) Démontrer que f est dérivable et comparer votre résultat au 4.b

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Corrigé

Sur IR, f est définie par :



_{f(x) =} ^xex

e^x - 1 si x ≠ 0 f(0) = 1

Cf est la courbe représentative de f dans le repère orthonormal (O; i^→ ; j^→).

1.a.

D’après le cours : lim

x→-∞ e^x = 0 et lim

x→-∞ x e^x = 0⁺ donc e^x − 1 → −1 et par division, lim

x→-∞ f(x) = 0

-1 = 0

On en déduit que l’axe des abscisses est asymptote à Cf en −∞

1.b.

x

 1 + 1 

e^x - 1 = x 



 e^x - 1 + 1

e^x - 1 = x 



 e^x

e^x - 1 = xe^x

e^x - 1 = f(x) donc l’égalité donnée est démontrée.

D’après le cours : lim

x→+∞ e^x = +∞ donc e^x − 1 → +∞ donc 1

e^x - 1 → 0.

Ainsi, 

 1 + 1 

e^x - 1 → 1 donc par produit lim

x→+∞ f(x) = +∞. 2.

D’après le cours : lim

x→0

e^x - 1

x = 1 et f est continue en 0 si lim

x→0 f(x) = f(0).

On a lim

x→0

e^x - 1

x = 1 donc lim

x→0

x

e^x - 1 = 1 et comme lim

x→0 e^x = 1, par produit on obtient limx→0 f(x) = 1 = f(0) donc f est continue en 0.

3.a.

On a e^x ≥ x + 1 ⇔ e^x − (x + 1) ≥ 0.

Posons alors h la fonction définie sur IR, par h(x) = e^x − (x + 1).

L’étude des variations de h nous renseignera sur le signe de h(x).

h est dérivable sur IR comme somme de fonctions dérivables sur IR

h’(x) = e^x − 1 : sur ]−∞ ; 0], e^x ≤ 1 donc h’(x) ≤ 0 et la fonction h est décroissante.

sur [0 ; +∞[, e^x ≥ 1 donc h’(x) ≥ 0 et la fonction h est croissante On en déduit que h(0) = e⁰ −(0+1) = 0 est la valeur minimale de h(x).

Ainsi pour x ≠ 0, h(x) > 0 c’est à dire e^x > x + 1 et pour x = 0, e^x = x + 1.

b.

On a f’(x) = (x e^x)'(e^x - 1) - x e^x(e^x - 1)'

(e^x - 1)² = e^x(1 + x)(e^x - 1) - x e^xe^x (e^x - 1)² car (x e^x )’ = x’e^x + x (e^x )’= e^x(1 + x).

Ainsi f’(x) = e^x[(1 + x)(e^x - 1) - x e^x]

(e^x - 1)² = e^x[e^x - (x + 1)]

(e^x - 1)² = e^xg(x) (e^x - 1)² avec g(x) = e^x − (x + 1)

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3c.

Nous avons f’(x) = e^xg(x)

(e^x - 1)² : or ∀ x ∈ IR*, g(x) > 0 et e^x

(e^x - 1)² > 0 donc f’(x) > 0 ce qui prouve que f est croissante sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[.

Comme f est continue en 0, f est croissante sur IR.

4a.

On a f(−x) = -x e^-x

e^-x - 1 = (-x e^-x)e^x

(e^-x - 1)e^x = -x

1 - e^x = x

e^x - 1 donc l’égalité donnée est démontrée.

De plus, (MM’) a pour coefficient directeur m = yM' - yM

xM' - xM = f(-x) - f(x)

-x - x = f(-x) - f(x) - 2x . Comme f(−x) − f(x) = x

e^x - 1 − x e^x

e^x - 1 = x(1 - e^x)

e^x - 1 = −x, on a m = ½.

On remarque que, pour tout x ≠ 0, toutes les droites (MM’) sont parallèles car elles ont le même coefficient directeur.

4b.

Quand x → 0 : f(x) → 1 (vu à la question 2.) et f(−x) → 1 (vu à la question 2.)

En admettant que f est dérivable en 0, la droite (MM’) tend vers une position limite, celle de la tangente à Cf au point A(0 ;1) (qui existe par hypothèse).

Si f est dérivable en 0, f’(0) = ½ .

5. Nous savons donc que ^{( ) ( ) 1}

2 2

f x f x

x

− − =

− .

Remarquons alors que ^{( ) ( ) 1 ( ) (0) ( ) (0)}

2 2

f x f x f x f f x f

x x x

− −  − − − 

= −  − 

−  .

M

M '

m

m '

2 3 4 5 6

- 1 - 2 - 3 - 4 - 5

2 3 4 5 6

0 1

1

x y

A

M

M '

m

m '

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Posons X = -x : ^{( ) (0) ( ) (0)} 0

f x f f X f

x X

− − = − −

− donc ^{( ) ( ) 1 1 ( ) (0) ( ) (0)}

2 2 2 0 0

f x f x f X f f x f

x X x

− −  − − 

= =  + 

−  − −  et on

obtient ^{( ) (0) ( ) (0)} 1

0 0

f X f f x f

X x

− + − =

− − .

De plus, quand x tend vers 0, X tend vers 0 donc

0 0

( ) (0) ( ) (0)

lim lim

0 0

x x

f X f f x f

X x

→ →

− = −

− − et par

conséquent

0

( ) (0) 1

lim^x 0 2

f x f

→ x

− =

− .