B136. Incrustation
Q1: La ”multiplication” des carr´es magiques(n∗n)par(m∗m), d´etaill´ee sur Wikip´edia, fournit un carr´e magique(n.m∗n.m)avec incrustation du carr´e (n∗n).
Comme le plus petit carr´e magique est(3∗3), on peut obtenir l’incrustation de(n∗n)dans(3n∗3n), et `a fortiori dans(n2∗n2).
Q2 : Une condition n´ecessaire, mais pas suffisante, pour une incrustation de (n∗n)dans(m∗m)est de disposer d’assez de nombres pour compl´eter lesn lignes et lesncolonnes occup´ees par l’incrustation.
La somme disponible Sd est celle que l’on obtient si on remplit ces cases avec les nombres cons´ecutifs croissants jusqu’`an2.
La somme n´ecessaireSnest le produit du nombre de lignes et de colonnes par la diff´erence entre le nombre magique pour(m∗m)et celui pour(n∗n).
On aboutit `a la relation :
(m−n)(m2−3mn+n2)>0
soit en posant m=kn: (k)2−3k+ 1>0, aveck >1
k > 3 +√ 5 2
Q3: Dans la ligne de Q2, on cherche 6 ensembles de 5 nombres, tous diff´erents, dans l’intervalle [10..64], et dont la somme vaut260−15 = 245.
Il y a 50 ensemblesEr´epondant `a ces crit`eres. Ils sont tous compos´es des nom- bres de34`a64, sauf49. Pour l’instant, on consid`ere seulement les totaux par lignes et par colonnes; on verra pour les diagonales plus tard. On peut donc placer l’incrustation en haut `a gauche du carr´e(8∗8). Les 3 premi`eres lignes sont compl´et´ees avec 3 sous-ensembles extraits deEiet les 3 premi`eres colonnes avec les 3 autres sous-ensembles.
Il reste un carr´e(5∗5)dans lequel on inscrit un carr´e magique(5∗5)modifi´e pour utiliser les nombres de 10`a33, plus49:
- addition de9`a chaque nombre, sauf25qui est remplac´e par49.
Les totaux par lignes et par colonnes deviennent 4 fois110et une fois125.
Mais cet essai n’aboutit pas car aucune permutation desEine permet d’obtenir tous les totaux par lignes et par colonnes de260.
Par contre avec24remplac´e par49et 25par34, on aboutit au carr´e suivant :
1
Il reste une op´eration laborieuse de permutation de lignes et de colonnes, plus une translation1de l’incrustation vers le centre du carr´e(8∗8)pour aboutir `a cette solution :
1On ne peut pas laisser l’incrustation dans l’angle parce qu’il faudrait disposer d’un septi`eme sous-ensemble Si qui n’existe pas. Le long du haut du carr´e (8∗8) n’est pas bon non plus parce que la diagonale qui ´evite l’incrustation sera toujours trop grande: et trop pr`es du centre, c’est l’inverse
2
