A523
Q1.
Appelonsx,yetzces trois nombres entiers relatifs. Il vérifientx+y+z=0 doncz=−x−y
2(x4+y4+z4) =2(x4+y4+ (−x−y)4) =2(x4+y4+ (x+y)4) =2(x4+y4+x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4) = 4(x4+y4+3x2y2+xy3+yx3) =4(x2+xy+y2)2= (2(x2+xy+y2))2.
Q2.
Appelonsnl’âge du grand-père etmcelui de la grand-mère.
On utilise :
∑n k=1
k2= n(n+1)(2n+1)
6 et
∑n k=1
k4=n(n+1)(2n+1)(3n2+3n−1)
30 .
Alors
∑n k=1
k4
∑n k=1
k2
=
n(n+1)(2n+1)(3n2+3n−1 30
n(n+1)(2n+1) 6
=3n2+3n−1
5 .
netmvérifient l’équation diophantienne : 3n2+3n−1=5m2.
Après recherche exhaustive, les seuls couples admissibles pour 0<n<120 sont (1,1) ; (5,6) ; (67,86).
Le grand-père a 86 ans et la grand-mère a 67 ans.
Q3.
N=
∏k i=1
((2i)4+1
4)etD=
∏k
i=1((2i−1)4+1 4).
r= N D=
∏k i=1
4(2i)4+1 4(2i−1)4+1.
Utilisons l’identitéa4+4b4= (a2+2b2+2ab)(a2+2b2−2ab).
Alorsr= ∏k
i=1
(8i2+4i+1)(8i2−4i+1) (8i2−4i+1)(8i2−12i+5) = ∏k
i=1
8i2+4i+1 8i2−12i+5= ∏k
i=1
8i2+4i+1 8(i−1)2+4(i−1) +1. Ce produit est télescopique, il se simplifie enr=8k2+4k+1,rest donc toujours entier.
A présent, on cherche à résoudre l’équation diophantienne 8k2+4k+1=y2. Cette équation se réécrit en 2(2k)2+2k+1=y2.
On posex=2k, elle se ramène alors à(x+1)2+x2=y2 (1).
(x,x+1,y) est un triplet Pythagoricien et commex,x+1 sont premiers entre eux, il existea,b∈N∗premiers entre eux tels quex=2ab,x+1=a2−b2ety=a2+b2.
On réinjecte dans (1) : 1=a2−b2−2ab⇒1= (a−b)2−2b2. Puis on pose finalementX=a−bety=b, l’équation devient : X2−2Y2=1 (3).
C’est une équation de Pell-Fermat, sa plus petite solution est manifestement(3,2). Ses solutions (X,Y) sont alors données parX+Y√
2= (3+2√
2)n,n∈N∗.
Pourn=4, on obtient le couple (577,408) qui nous donnek=401880.
Q4.
79=4×24+15×14.
79 s’exprime comme somme de 19 puissances quatrièmes et on ne peut faire mieux, en effet 79 s’exprime nécessairement avec des puissances inférieures à 3 car 34>79.
Et si 79=k×24+l, avec 0≤k≤3, alorsl≥79−3×16≥31.
La majorationk≤53 est due à Liouville en 1859.
k≤21, à R. Balasubramanian en 1979
k=19, à R. Balasubramanian F. Dress et J.-M. Deshouillers en 1986.
