L'hyperbole de Stammler ∗

L'hyperbole de Stammler ^∗

Dominique Roux

, Michel Tixier

Introduction

Après avoir montré que, pour un cercle de rayon ret de centreO, centre du cercle circonscrit d'un triangle donné(ABC), les polaires des pointsA,B,Cpar rapport au cercle de rayon variable coupent respectivement les côtés(BC), (CA),(AB)en trois points alignés, il était alors légitime de s'intéresser à l'enveloppe de la droite dénie par cet alignement lorsque le rayonrvarie.

Un travail réalisé en coordonnées barycentriques nécessitant force calculs dont certains eectués par calcul formel a montré que cette enveloppe était une parabole tritangente au triangle(ABC).

Cela eurait bon la parabole de Kiepert du triangle... D'où une nouvelle approche plus géométrique qui a mis en évidence le rôle complémentaire joué par une autre conique, l'hyperbole de Stammler...

Cette étude est l'occasion de mettre en oeuvre et d'observer l'ecacité et la pertinence de diverses techniques et outils de démonstrations géométriques : méthodes euclidiennes, méthodes projectives, TPPR, isogonalité, nombres complexes, systèmes de coordonnées, groupe sur une cubique...

Dorénavant, on considère un cercle de centre O et de rayon R et (ABC) un triangle inscrit dans ce cercle.

Théorème 1 Soit (ABC) un triangle et (Γ) une conique propre. Les trois droites qui joignent chaque sommet au pôle du côté opposé par rapport à(Γ) sont concourantes.

Dans cet énoncé, on suppose toutes les constructions bien dénies, c'est-à-dire qu'aucun sommet n'est le pôle du côté opposé.

Preuve :

Dans un repère cartésien quelconque, l'équation de(Γ)est de la forme ax²+ 2bxy+cy²+ 2dx+ 2ey+f = 0.

La polaire d'un pointA(x0, y0)est donnée par la forme polaire

LA(M) =axx0+b(xy₀ +x0y) +cyy0+d(x+x0) +e(y+y0) +f = 0, oùM(x, y)est un point quelconque de cette droite.

Désignons par LA(M) = 0, LB(M) = 0, LC(M) = 0 les équations des polaires de A, B, C par rapport à(Γ)et parA⁰,B⁰,C⁰les pôles des côtés respectifs(BC),(CA),(AB). D'après le théorème de réciprocité polaire, le pointA⁰ est l'intersection des droites(LB)et(LC)donc la droite(AA⁰) a une équation de la forme

λLB(M) +µLC(M) = 0.

On détermine alorsλetµde sorte à ce que cette droite passe parA, ce qui nous donne l'équation LC(A)LB(M)−LB(A)LC(M) = 0.

De même,(BB⁰)et(CC⁰)ont pour équationsLA(B)LC(M)−LC(B)LA(M) = 0etLB(C)LA(M)−

LA(C)LB(M) = 0.Or, en raison de la symétrie de la forme polaire, LA(B) =LB(A), LB(C) = LC(B),LC(A) =LA(C).Il en résulte que la somme des équations des trois droites(AA⁰), (BB⁰) et(CC⁰)est nulle et que par suite ces trois droites sont concourantes.

∗Ludwig Stammler est un mathématicien allemand contemporain

†Espaly, inspecteur général honoraire

‡Amiens, professeur agrégé, [email protected]

¥ Par dualité, on obtient

Théorème 2 Avec les hypothèses du théorème 1, les intersections des polaires de chaque sommet avec le côté opposé sont trois points alignés.

On trouvera une autre démonstration de ce théorème avec le lemme de la page 23 [6].

Appliquons ce résultat en prenant pour conique(Γ)un cercle de centreO et de rayonρ(que l'on va faire varier).

Corollaire 3 Les perpendiculaires en O à (OA), (OB) et(OC), coupent respectivement(BC), (CA),(AB), en trois points alignés.

Corollaire 4 Les médiatrices de[OA],[OB]et[OC], coupent respectivement(BC),(CA),(AB) en trois points alignés.

Corollaire 5 Les tangentes enA,B,Cau cercle circonscrit coupent respectivement(BC),(CA), (AB)en trois points alignés.

Preuve :

C'est l'application du théorème 2 avec successivement les choixρ= 0, ^√R₂, R.

¥ Notons (A⁰B⁰C⁰) le triangle tangentiel de (ABC), c'est-à-dire le triangle dont les côtés sont les tangentes enA,B,C au cercle circonscrit à(ABC).

Appliquons maintenant le théorème 1 en faisant varierρ, rayon d'un cercle(Γ)de centre O. Pour quatre valeurs distintes ρ1, ρ2, ρ3, ρ4 du rayon ρ le pôle de (A⁰C⁰) par rapport au cercle (Γ)prend quatre positions β1,β2,β3, β4 sur la droite(OB)et le pôle de (A⁰B⁰)par rapport au cercle(Γ)prend quatre positionsγ1, γ2, γ3,γ4 sur la droite (OC). Les birapports(β1, β2, β3, β4) et (γ1, γ2, γ3, γ4) sont égaux carOβ1 = Oγ1, Oβ2 = Oγ2, Oβ3 = Oγ3, Oβ4 = Oγ4 puique les distances deO à(A⁰B⁰)et à(A⁰C⁰)sont égales au rayon Rdu cercle(ABC).

Par conséquent, les faisceaux(B⁰β1, B⁰β2, B⁰β3, B⁰β4)et(C⁰γ1, C⁰γ2, C⁰γ3, C⁰γ4)ont même birap- port ; par suite, la correspondance entre le rayon B⁰βi et le rayon C'γi est homographique. Leur intersection¹ M décrit donc une conique² passant par B⁰ et C⁰ et pour la même raison cette conique passe aussi parA⁰.

Dénition 6 Cette conique s'appelle l'hyperbole de Stammler ; on la note dorénavant(HS). Justions le mot hyperbole , et mieux montrons qu'il s'agit d'une hyperbole équilatère.

. Lorsque ρtend vers l'inni les pôles α, β, γ des côtés du triangle (A⁰B⁰C⁰) sont rejetés à l'inni dans des directions perpendiculaires aux côtés. À la limite les trois droitesA⁰α,B⁰β, C⁰γsont les hauteurs du triangle(A⁰B⁰C⁰), sécantes enH⁰ son orthocentre. Donc la conique (HS)passe parH⁰. Il en résulte que c'est une hyperbole équilatère car elle appartient à un faisceau à points de base formant un quadrangle orthocentrique. Par combinaison linéaire, les directions à l'inni sont perpendiculaires.

. Lorsque ρ= 0les pôlesα,β,γ sont enO donc(HS)passe parO.

. Lorsque ρ = R les pôles α, β, γ sont en A, B, C. L'intersection de (AA⁰, BB⁰, CC⁰) est le point K de Lemoine du triangle (ABC). Rappelons que le point de Lemoine est déni comme intersection des symédianes, c'est-à-dire les droites symétriques des médianes par rapport aux bissectrices du triangle (passant par le même sommet). Montrons qu'il s'agit eectivement de ce point.

1. Rappelons qu'en vertu du théorème 1, les droites joignantA⁰,B⁰,C⁰ au pôle du côté opposé par au cercle (Γ)concourent en M.

2. On peut montrer qu'on obtient bien toute la conique...

Notation 7 I est le milieu de [BC], uest l'intersection de la tangente en A au cercle (ABC) avec (BC), v l'intersection de (AA⁰) avec (BC). A⁰ est le pôle de (BC), A celui de (Au) donc (AA⁰) est la polaire deu, par suite(u, v, B, C) =−1.

Donc toute parallèle à (Au) coupe (AB)et (AC) en deux points dont le milieu est sur(A, A⁰).

Dans la symétrie par rapport aux bissectrices de l'angle(AB, AC), la direction(Au)s'échange³ avec la direction de (BC)donc(AA⁰)s'échange avec une droite passant parAet par le milieu I de[BC].

Remarque 8 On peut aussi voir le fait que (AA⁰), (BB⁰), (CC⁰) sont concourantes comme conséquence du théorème de Brianchon appliqué à l'hexagone circonscrit AB⁰CA⁰BC⁰.

Utilisons maintenant un autre outil géométrique : la TPPR, Transformation par Pôles et Po- laires Réciproques par rapport au cercle (ABC). Par cette transformation les sommets et côtés du triangle(ABC)sont échangés avec les côtés et sommets du triangle(A⁰B⁰C⁰). La transformée de (HS)est une conique tangente aux côtés du triangle (ABC). Utilisons la dénition de (HS) au moyen des cercles (O, ρ), nous sommes dans la conguration du théorème 2 : la transformée de (HS) est l'enveloppe de la droite qui passe par les points d'intersection de la polaire de A; respectivement B, C avec le côté (BC); respectivement (CA), (AB) par rapport à un cercle de centreOet de rayon variable. Lorsque ce rayon est inni, tout est rejeté à l'inni, donc la conique obtenue est tangente à la droite de l'inni : c'est une parabole.

Dénition 9 C'est la parabole de Kiepert du triangle(ABC). On la note dorénavant (PK).

Voici quelques rappels élémentaires concernant les paraboles.

3. Penser à sa parallèle passant parA.

Soit une parabole de foyer F, de directrice (d) et O un point de (d), par lequel on mène deux tangentes, les points de contact étant appelésP etQet soitpetq leurs projections orthogonales sur (d). Par dénition de la parabole,P F =P p et QF =Qq. De plus, les tangentesP O et QO sont bissectrices⁴ des angles∠pP F et ∠qQF. La symétrie par rapport àOP échange pet F, la symétrie par rapport àOQéchange q et F, donc ∠OF P et ∠OF Q sont des angles droits, donc P,F, Qsont alignés.

Ensuite, de l'égalité des angles ∠pOP =∠F OP, ∠qOP =∠F OQ, il résulte que l'angle∠P OQ est la moitié de l'angle plat∠pOqdonc est un angle droit : les tangentesOP etOQsont perpendi- culaires. On dit que(d)est la courbe orthoptique de la parabole, c'est l'ensemble des points d'où elle est vue sous un angle droit.

Quant aux projections deF sur les tangentesOP etOQ, ce sont les milieux de [F p] et [F q], ils sont sur la tangente au sommet à la parabole, qui est l'homothétique de(d)dans l'homothétie de centreF et de rapport ¹₂.

Par suite, lorsqu'une parabole est tangente aux trois côtés d'un triangle les projections du foyer sur les côtés sont alignées (sur la tangente au sommet), on en déduit que le foyerF appartient au cercle circonscrit au triangle (la tangente au sommet est la droite de Simson du pointF) et que son homothétique dans l'homothétie de centre F et de rapport2, c'est-à-dire la directrice de la parabole, est la droite de Steiner du pointF, laquelle passe par l'orthocentre du triangle.

Proposition 10 Le foyer F de(PK)est sur le cercle (ABC)et la directrice (d)de (PK)passe par l'orthocentreH du triangle (ABC).

L'hyperbole (HS)étant équilatère, la TPPR par rapport au cercle (ABC)transforme les points à l'inni de (HS)en deux tangentes à (PK)perpendiculaires se coupant en O, transformé de la droite de l'inni, qui est donc d'après ce que nous avons vu sur (d). Passant par O et H nous concluons que(d)est la droite d'Euler du triangle(ABC). De plus, la TPPR par rapport au cercle (ABC)transforme le point à l'inni de(PK)en la tangente à(HS)au transformé de la droite de l'inni, qui est le pointO. Donc la tangente à(HS)enOest perpendiculaire à l'axe de la parabole (PK), donc est parallèle à sa directrice (d). Mais passant par O, nous concluons que la tangente enO à(HS)est(d), c'est-à-dire la droite d'Euler du triangle(ABC).

4. C'est la propriété du miroir parabolique.

Poursuivons sur cette lancée. La TPPR transforme les points à l'inni de(HS) en les tangentes issues deOà(PK)donc transforme les asymptotes de(HS)en les points de contactP etQ, donc transforme leur intersection qui est le centre de (HS) en la droite (P Q). Or,(P Q)est tangente en F au cercle (ABC) donc le transformé de (P Q) est le point F. Or, le lieu des centres des hyperboles équilatères passant par trois points A⁰, B⁰, C⁰ (et donc par l'orthocentre H⁰) est le cercle d'Euler du triangle(A⁰B⁰C⁰)(voir [4] page 23 ou [1] page 152). On a vu que le centre de (HS)est aussi sur le cercle(ABC)inscrit du triangle(A⁰B⁰C⁰)or ces deux cercles sont tangents (théorème de Feuerbach). Donc le centre de(HS)est leur point de contact.

Proposition 11 Le centre de l'hyperbole de Stammler(HS)est le foyer de la parabole de Kiepert (PK)et le point de contact du cercle d'Euler et du cercle inscrit du triangle (A⁰B⁰C⁰).

Récapitulation provisoire :

. L'hyperbole(HS)passe par les pointsA⁰,B⁰,C⁰, sommets du triangle tangentiel du triangle (ABC), par H⁰ orthocentre du triangle (A⁰B⁰C⁰), par O centre du triangle(ABC), par K point de Lemoine du triangle (ABC).

. L'hyperbole (HS) est tangente en O à la droite d'Euler du triangle (ABC), qui est aussi la directrice de la parabole (PK), transformée de l'hyperbole (HS) par pôles et polaires réciproques par rapport au cercle (ABC).

Reprenons notre soue et abordons la conguration avec un tout autre outil géométrique : plaçons-nous dans le plan complexe. En choisissant le repère convenablement, on peut repérer tout triangle (ABC) par trois nombres complexes a, b, c, axes de ses sommets en les supposant de module1 et, quitte à tourner le repère, tels queabc= 1. De l'égalité −−→

OH = 3−−→

OG, on déduit que l'axehdeH esth=a+b+c. Remarquons qu'alors

ab+bc+ca=abc µ1

a+1 b +1

c

¶

=a+b+c=h.

Cherchons les axes a⁰, b⁰, c⁰ des sommets du triangle tangentiel (A⁰B⁰C⁰). A⁰ est l'inverse du milieu de[BC]dans l'inversion de cercle(ABC)donc _a¹0 = ^b+c₂ d'oùa⁰ =_b+c² et

a⁰ = 2

b+c = 2bc b+c.

Mettons en jeu une autre tranformation : l'isogonalité. Nous avons vu la classication des involu- tions quadratiques aux pages 10 et 11 de [7].

Considérons l'involution quadratiqueTdénie parz+z⁰+zz⁰=h, L'image deAvériez+a+za= a+b+c soitz+az=b+c qui est l'équation d'une droite qui passe parB carb+ab=b+c(ce qui découle à son tour deabc= 1) et de même parC. DoncT transformeAen(BC)et de même B en(CA)etC en(AB), c'est donc l'isogonalité par rapport au triangle(ABC).

Remarque 12 Les pointsO etH sont isogonaux parT (si z⁰ = 0alors z=h).

Considérons aussi l'involution quadratiqueT⁰ dénie par hzz⁰+zz⁰ = 2(z+z⁰).

L'image deA⁰ vérie

h 2bc

b+cz+ 2

b+cz= 2(z+ 2bc b+c), soitabcz+z= 2bcce qui est l'équation d'une droite passant parB⁰ car

abc 2ac a+c + 2

a+c = 2bc²+ 1

a+c = 2bc²+abc a+c = 2bc

et de même passant par C⁰. L'application T⁰ envoieA⁰ sur (B⁰C⁰) et de mêmeB⁰ sur(C⁰A⁰)et C⁰ sur(A⁰B⁰)doncT⁰ est l'isogonalité dénie par le triangle(A⁰B⁰C⁰).

Cherchons l'image parT⁰ de la droite(OH) :z=^h_p,pétant un réel variable

hzh p+zh

p = 2(z+h p)

soithhz+hz= 2pz+ 2hdont le conjugué est hhz+hz= 2pz+ 2h.Éliminonsp. h(z²+ 2z) =h(z²+ 2z),

soit Im(hz²+ 2hz) = 0. Il s'agit d'une conique, qui est une hyperbole équilatère (car les termes de plus haut degré sont du typex²+ 2λxy−y²), qui passe parO, vérions qu'elle passe parA⁰.

(a+b+c)( 4b²c² (b+c)² + 4

b+c) = 4

¡1 +b²c+bc²¢ ¡

b+c+b²c²¢ bc(b+c)²

dont le conjugué est

4

¡1 + _b¹2c+_bc¹2

¢ ¡₁

b+¹_c +_b2¹c²

¢

1 b1

c

¡₁

b +¹_c¢₂ = 4

¡b²c²+b+c¢ ¡

1 +bc²+b²c¢ bc(b+c)²

qui est donc un réel. De même, cette conique passe parB⁰etC⁰ (donc parH⁰) ; il s'agit exactement de(HS).

Proposition 13 (HS) =T⁰(OH)

Or, les points xes deT sont donnés par2z+zz=h. Nous voyons immédiatement qu'ils vérient l'équation de(HS), or les points xes deT sont les centres des quatre cercles tangents aux trois côtés de(ABC), noté habituellementI,Ia,Ib, Ic; donc(HS)passe par ces quatre points. Puisque T⁰(HS) = (OH)et que(HS)contientO ( avecT⁰(O) =O point xe ) etH⁰ ( avecT⁰(H⁰) =O⁰ centre de (A⁰B⁰C⁰)) les transformés par T⁰ sont respectivement O et O⁰, nous en déduisons que (OO⁰) = (OH):

Proposition 14 La droite d'Euler du triangle(ABC)passe par le centreO⁰ du cercle circonscrit à son triangle tangentiel.

Dans l'isogonalité T⁰ dénie par le triangle(A⁰B⁰C⁰)le cercle circonscrit à ce triangle (A⁰B⁰C⁰) devient la droite de l'inni et(HS)devient la droite(OO⁰)qui est aussi la droite d'Euler de(ABC).

Donc(HS)coupe le cercle(A⁰B⁰C⁰)en quatre points :A⁰,B⁰, C⁰, le quatrième est l'isogonal par T⁰ du point à l'inni de cette droite d'Euler. Et comme cette droite contientH, orthocentre de (ABC), on en déduit que(HS)passe par l'isogonal parT⁰ du pointH.

Proposition 15 L'hyperbole de Stammler (HS) passe par les douze points remarquables sui- vants :

A⁰, B⁰, C⁰,H⁰, I, Ia,Ib,Ic, K, O, l'isogonal de H et l'isogonal du point à l'inni⁵ de la droite d'Euler du triangle(ABC) par l'isogonalitéT⁰.

On pourrait aussi faire usage des coordonnées barycentriques : si les côtés du triangle (ABC) sont de longueursa,b,c, le lecteur intéréssé pourra vérier que l'équation de(HS)est

b²−c²

a² x²+c²−a²

b² y²+a²−b² c² z²= 0

et observer que le triangle(ABC)est autopolaire par rapport à(HS). Il en résulte que pour tout pointM de(HS)le triangle anticévien deM a ses trois sommets sur(HS).

Rappel : Le triangle cévien d'un pointM a pour sommets les intersections de(M A),(M B),(M C) avec les côtés respectifs (BC), (CA), (AB). Notons ces pointsα, β,γ. Le triangle anticévien de M a pour sommetsA⁰,B⁰,C⁰ tels que

(M, A⁰, A, α) = (M, B⁰, B, β) = (M, C⁰, C, γ) =−1.

On vérie de suite que le triangle cévien deM dans(A⁰B⁰C⁰)est le triangle(ABC).

On aurait pu aussi utiliser les coordonnées trilinéaires... En géométrie, on a rarement ni...

Enn, en bonnes vieilles coordonnées cartésiennes, l'équation de(HS):Im(hz²+ 2hz) = 0s'écrit, si l'on poseh=r+is;s(x²−y²) + 2rxy+ 2sx−2ry= 0. Cela nous permet de calculer l'équation

5. Ce dernier point appartenant aussi au cercle circonscrit du triangle(A⁰B⁰C⁰).

de la courbe inverse dans l'inversion par rapport au cercle (ABC). De x⁰ = _x2+y^{x 2} et y⁰ = _x2+y^{y 2}, on déduit l'équation

s(x²−y²) + 2rxy+ (x²+y²)(2sx−2ry) = 0.

On reconnaît une cubique circulaire, passant par O qui est un point double, les tangentes en O sont perpendiculaires et l'asymptote réelle est parallèle à la droite d'équation sx = ry donc à (OH). Cette cubique passe par les inverses deA⁰,B⁰,C⁰, c'est-à-dire par les milieux des côtés de (ABC).

Une cubique(Σ)qui a un point double,O, est unicursale. Il en résulte que siP ∈(Σ)et si une droite passant parP recoupe (Σ)enQetQ⁰, la correspondance entre (OQ)et(OQ⁰)est une involution dans laquelle les tangentes en O se correspondent. Les droites doubles de cette involution sont les droites qui joignent O aux points de contact, disonsM et M⁰, des deux tangentes menées de P à (Σ), autres que la tangente enP.M etM⁰ sont dit conjugués en appelant points conjugués deux points de(Σ)qui ont le même tangentiel. Les droites(OM)et(OM⁰)sont donc conjuguées harmoniques par rapport aux tangentes enO, elles les admettent pour bissectrices.

Proposition 16 Le conjugué P⁰ du point P est alors la troisième intersection de (M M⁰) avec la cubique(Σ).

Preuve :

Pour le démontrer, utilisons la loi de groupe dénie sur (Σ) privée du point O, loi pour laqelle trois points sont alignés si et seulement si leur somme vautω, l'élément neutre.P est tangentiel⁶ deM etM⁰ donc2M+P = 2M⁰+P =ω.

M, M⁰,P⁰ sont alignés donc M +M⁰+P⁰=ω d'où2M + 2M⁰+ 2P⁰ =ω donc2P = 2P⁰ d'où l'on déduit queP etP⁰ ont le même tangentiel.

Lorsque (Σ) est une cubique circulaire ayant des tangentes perpendiculaires au point double O, les points cycliques I et J sont conjugués, les tangentes en I et J se coupent en un pointE de (Σ)appelé foyer singulier,(Σ)s'appelle une strophoïde.

Si une droite variable passant par E coupe (Σ) en des points X et X⁰ alors (OX) et (OX⁰) s'échangent dans une involution dont les droites doubles sont les droites isotropes(OI)et (OJ) donc(OX)et(OX⁰)sont perpendiculaires.

¥

6. On désigne par tangentiel d'un point, la troisième intersection de la tangente à ce point avec la cubique.

Remarque 17 PuisqueI etJ sont conjugés, E et le point inni réelΩ, troisième point d'inter- section de (IJ)avec (Σ) ont même tangentielN. La tangente en E à (Σ) recoupe (Σ) en N sur l'asymptote réelle, de plus (OE)et(ON)sont perpendiculaires.

(ΩX)et (ΩX⁰)s'échangent dans une involution dont les droites sont(OΩ)et la droite de l'inni donc(OΩ), qui est parallèle à l'asymptote, rencontre le segment[XX⁰]en son milieuK :KX = KX⁰ = KO puisque le triangle (OXX⁰) est rectangle en O. En particulier (OΩ) passe par le milieu de[EN]. On en déduit deux dénitions classiques de la strophoïde droite :

. (Σ) est l'ensemble des intersections d'un cercle passant par O dont le centre décrit (OΩ) avec son diamètre passant parE.

. (Σ) est l'ensemble des points de contact des tangentes menées deEaux cercles tangents en O à (OΩ).

Remarque 18 (OΩ)est la droite d'Euler de(ABC)(car parallèle à(OH)passant parO). Nous retrouvons les dénitions 9 et 10 page 18 de [5] pour cette courbe rencontrée au cas particulier 1 page 20.

Cherchons l'enveloppe de la droite(M M⁰)joignant deux points conjugués. Des propriétés élémen- taires de l'hyperbole équilatère ([4] livre II, chapitre II), il résulte queM etM⁰ sont conjugués sur (Σ)si et seulement si leurs inverses sur(HS)sont symétriques par rapport au centreF de(HS)et que la projection orthogonale deO sur (M M⁰)appartient à(Σ). Donc l' enveloppe cherchée est l'enveloppe de la perpendiculaire enX à(OX). Cette droite coupe(OΩ)en un pointL. SoitF le symétrique deOpar rapport àE.(LF)est parallèle à(EK), donc(LX)est bissectrice de l'angle

∠OLF, donc(LX)enveloppe la parabole de foyerF, de directrice(OΩ): c'est(PK). Autrement dit,(Σ)est le lieu des projections orthogonales deO sur les tangentes à(PK):(Σ)est la podaire de(PK).

Proposition 19 L'inverse de(HS)dans l'inversion de cercle(ABC) est à la fois la podaire de (PK) par rapport au centre O de (ABC) et la strophoïde droite de point double O, de foyer E milieu de[OF]et dont l'asymptote est l'homothétique de la droite d'Euler du triangle (ABC)par l'homothétie de centre E de rapport 2.

Remarque 20 Puisque prendre l'inverse, dans l'inversion de cercle (ABC), d'une podaire re- lative au centre O de ce cercle, revient à eectuer la TPPR par rapport au cercle (ABC), nous retrouvons le fait que la TPPR de(PK)est(HS).

Références

[1] Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, C&M, 2009 : Un magnique ouvrage à tous points de vue !

[2] Bernard Gibert, http ://bernard.gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k038.html Somptueux site !

[3] Jean-Pierre Hermann et Floor van Lamoen, The Stammler circles, Forum geometricorum (sur internet), volume 2 (2002), pp151-161

[4] Julien Lemaire, Étude élémentaire de l'hyperbole équilatère et de quelques courbes dérivées, Vuibert 1927.

[5] Dominique Roux et Michel Tixier, Cubiques et congurations de Reye, Quadrature, numéro 46 (automne 2002), pp13-23

[6] Dominique Roux et Michel Tixier, ? ? ?, Quadrature, numéro 47 (hiver 2003), pp ? ?- ? ? [7] Dominique Roux et Michel Tixier, Cubiques et involutions quadratiques, Quadrature, numéro

65 (été 2007), pp8-19