Démonstration directe d'une identité

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

Démonstration directe d’une identité

Nouvelles annales de mathématiques 3

^e

série, tome 4 (1885), p. 537

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DÉMONSTRATION DIRECTE D'UNE IDENTITÉ.

Dans son ^élgèbre, p . 5, M. de Longchamps donne l'identité suivante

x(x-hi)...(x-x-y)-T-(x-+- i)...(a?-J-j-J- 0 — . . . -(z-y)(z-y-i)...(z-i)z

(z -h-i)z. ..(z —y) — (a--*- y ) . . .(r— i) 7 + 2 '

et ajoute que sa vérification directe présente des diffi- cultés. On lira done peut-être a vee intérêt la suivante, qui n'en présente aucune.

De l'expression

}x— i)x(r — i ) . . {x-A-y) -— x(x -*- i). . .(T — y -+-1) — . . .

-r- (z — y — i)( z — y ) . . . z -d- ( z — y ) . . A z-+-i)

retranchons l'expression même où tous les termes ont avancé d'un rang

x(x -r-1).. A[x -r-y — i)

- - ( # — i ) . . . ( ; r — 7 - 4 - 2 ) ^ - . . .

-(z - ) ) . . . ( ^ + i) H-(a?— i)x(x^-ï)...(x-hy),

nous aurons un résultat identiquement nul.

Or, en soustrayant les termes de même rang, on a

x(x — i ) . . A[X -¥-y)[x -±-y -r-1 — x -^ i]

— (x -*-i)(x — i )... ( a? H- y -^ i)[x •+- 7 — 2 — . r ]

— (x — i)x..Alx-±-y) — (z—

où tous les crochets se réduisent k y -j- 2. En divisant parj)'" + 2, on a donc l'identité proposée. C H . B.

J/in. de MatJiémat., 3e serie, t. IV. (Décembre 1883 ) 3ü