N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
M AURICE D’O CAGNE
Sur le développement des logarithmes et des exponentielles
Nouvelles annales de mathématiques 3
esérie, tome 1
(1882), p. 241-244<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1882_3_1__241_0>
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SUR LE DÉVELOPPEMENT DES LOGARITHMES ET DES EXPONENTIELLES;
PAR M. MAURICE D'OGAGNE, Élevé de 1 École Polytechnique.
Considérons le développement d'une fonction f(x) suivant les puissances ascendantes d'une fonction quel- conque ®[x) de la variable
et proposons-nous de trouver le développement de logf(x) suivant les puissances de o{x)
jlog/(^) = a0 + a1cp(^)
/ H- a2v(x)2 -h. . .H- ano(x)n-h. . ., en supposant ces deux développements convergents pour la fonction 'f(x) choisie.
On voit d'abord immédiatement que a0 — log Ao.
Cherchons maintenant la valeur d'un coefficient quel- conque an. A cet effet, dérivons l'expression (i) par rapport à x
f'(œ) — Ato'(a0 4- 2 \2cp {œ)o'(x) -+-. . . Par suite,
) f'{x) __ y ^ f A ! + a At ?( y ) H-.-.-h nAri?(x)n~l H-...]
( } tTX^Ô" A0 + A1 ?( a 0 + . . . + A- ?( * ) 'lH - . . . Dérivons maintenant l'expression (2) par rapport à a:
(4)
' 4-
4nn. de Mathem., 3e serie, t. I (Juin 1882). 16
Les premiers membres de (3) et (4) étant identiques, il en est de même des seconds; nous aurons donc, après avoir divisé*de part et d'autre par f;(^)5
Aj -f- 2A2cp(^r) -+-... + nAnv(a:)n-1 - h . . .
= [at -}- 2a2cp(tr) -\-. . .-+- nano{œ)n-x -h. . .]
x [A0-h A1cp(^) -+-.. .-h A„ ©(*•)»-+-. . . ] . L'identification des deux membres donne
2À2rz 2a2À0
3A3 2zr 3 a3A0
-h O — 2)a„_2A2 -h. . .4-a1At t_1
Pour tirer de là Ja valeur de an^ prenons les n pre- mières équations et écrivons-les comme suit
/t = 2A2,
0 0 3
. . . 4- /t = nAn.
De là nous tirerons pour la valeur de an^ en remar- quant que le déterminant qui forme Je dénominateur se réduit à sa diagonale,
Ao o Ai 2A0 A-2 2 J\i
A„__2 2 AW_3
A„_, sA„_2 o o 3A0
3A„_4 . . 3A„_3 . .
o o o
(n — i)A0
. (n-i)At
A, - 2A2
3A3
{n— i ) A„_,
^A^
[ . 2 . 3 . . ./tA"
( «43 )
Telle est la formule qui résout le problème.
Comme application, nous allons en déduire le déve- loppement classique de log(i -h x).
Dans ce cas, nous avons
Tous alors et, par
les autres
application
an — ( -
_ (
coefficients A
delà
I O I '2 O 'A O O
O O
o o
- . ) -
formule
o . . . o . . .
3 . . . 3 . . .
f o . . . o . . . 1 . 2 . 3 . .
1 1 . 2 . 3 . . 1 . 2 . 3 . . .
1
sont o,
nuls. Nous avons
précédente,
o o o o
H -
n — . n
. («
n
i
o o
Ü
I O I O
- 0
C'est bien la formule connue.
Il est parfois plus facile de développer le logarithme d'une fonction que cette fonction elle-même ; c'est ce qui a lieu en particulier pour le développement de l'intégrale eulérienne F ( . r ) , suivant les puissances croissantes de (a: — î). On peut donc avoir à traiter le problème in- verse de celui que nous venons de résoudre. On a d'abord
Ao — ea*.
Il faut maintenant des équations [ a ] tirer la valeur de An en fonction des a. A cet effet, nous prendrons les
->\\
n premières de ces équations et nous les écrirons o A2+
2A2+ oA3
3 A3
— (n—3 d'où nous tirons
o
2
• « i
-3)a„_3
o o 3
—(71—3)«„_3
o o o
n—i ... —ax
3 a3
(TI— i)a„-i
1 . 2 . 3 . . .71
Comme vérification de cette fortnule, nous allons en dé- duire le développement de ex. Jl suffit de faire
et tous les autres a nuis, ce qui donne
I
— I 0
0 0
0 2
— I
O O
O . . . O . . .
3 . . .
0 0
0 0 0
n — 1
— 1
1 0 0
0 0
1 . 2 . 3 . . . n
qui est bien la formule connue.
