Examen normalisé de maths

(1)



Examen normalisé de maths

PROPOSITION N°5 Exercice 1 : (4 points)

1/ Calculer l’intégrale :

2/ En utilisant le changement de variable calculer l’intégrale :

3/ a- En utilisant une intégration par partie, calculer l’intégrale :

b- Déduire que : .

Exercice 2 : (6 points)

Soit f la fonction définie sur IR par : et (C_f) sa courbe dans un repère orthonormé.

1/ a- Vérifier que f est impaire.

b- Calculer .

2/ a- Calculer f’(x) pour tout x dans IR.

b- Dresser le tableau de variation de f sur IR⁺ .

3/ a- Montrer que le point A d’abscisse est un point d’inflexion de (Cf) b- Déterminer une équation cartésienne de la tangente à (C_f) au

point A.

c- Construire (C_f).

4/ Calculer l’aire de la partie du plan délimitée par (C_f) l’axe des abscisses l’axe des ordonnées la droite d’équation .

Soient une urne U₁ qui contient 3 boules rouges et 2 boules noir ; et une urne U₂ qui contient 2 boules rouges et 3 boules noires.

On considère l’expérience aléatoire : « On tire une boule de l’urne U1 ; on la pose dans l’urne U₂ puis on tire simultanément 2 boules de l’urne U₂. » 1/ a- Calculer la probabilité de l’évènement A : « La boule tirée de

l’urne U₁ est rouge et les boules tirées de l’urne U₂ sont noires. »

²

1 I ln

e

dx

x x

 



^t^ ^x



4 1

J 1 dx

x x

  

 

1

K 



0ln x x² 1 dx



¹^ ^{2 ln 1}

 

^ ²



^¹

^{1 2 ²}

( ) 2

^x

f x  xe

^

lim ( )

x f x



3 2

3 x 2

(2)



b- Calculer la probabilité de l’événement B : « Tirer 2 boules noires de U₂ sachant que la boule tirée de U₁ est rouge. »

2/ Soit X la variable aléatoire liée au nombre de boules rouges tirées de l’urne U₂. a- Déterminer la loi de probabilité de X.

b- Calculer l’espérance E^(X).

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé . On considère le point A (2,0,2) et le plan d’équation cartésienne .

1/ Donner une représentation paramétrique de la droite (D) qui passe par A et qui est perpendiculaire au plan (P).

2/ Déterminer les coordonnées du point B intersection de la droite (D) et le plan (P).

3/ On considère la sphère (S) de centre A et qui coupe le plan selon un cercle de centre B et de rayon 2.

a- Déterminer le rayon de (S).

b- Donner une équation cartésienne de (S).

On considère la suite définie par U₀=0 et . 1/ Montrer que : ; étudier la monotonie de (U_n).

2/ On pose :

a- Montrer que (vn) est une suite géométrique de raison 2.

b- Donner l’expression de U_n et

v

_n en fonction de n.

c- Calculer .

d- Donner en fonction de n S_n tel que :



^{o i j k}^{, , ,}



3 0 x   y z

1 2 3ⁿ

n n

U _  U 



^{ }ⁿ ^IN





 n IN U



n ⁰

 

3ⁿ

n n

v  U  n IN

lim _n

x U



0 1 ....

n n

S U U  U