N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
L EBESGUE
Démonstration d’une formule d’Euler, sur les diviseurs d’un nombre
Nouvelles annales de mathématiques 1resérie, tome 12 (1853), p. 232-235
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DÉMONSTRATION DUNE FORMULE D'EULER, SUR LES DIVISEURS D'UN NOMBRE;
PAR M. LEBESGUE.
\ . Posons
[(' - *) (i - *2) (i - *3) • • • (i - *r') • • •]'"
= Ao + A,.r+A2.r2-4- . . . ;
on reconnaît de suite que pour m entier positif, A, est toujours entier, et comme
il en sera de même pour le cas de m entier négatif.
2. Prenons les logarithmes des deux membres, puis les dérivées, ensuite multiplions par x, divisons par m et changeons les signes-, il viendra
3.r3 nrxn I X 1 X2 I X1 I X"
- ' (A I + 2A r > + 3 A x» )
~~ A0-h A,a:-}-A2^2 + . . . 3. A cause de
n xa , .
en réduisant le premier membre de l'équation de l'ar- ticle 2 à la forme entière, on a
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en représentant paï» Jn la somme des diviseurs du nom- bre entier n,
4. Chassant le dénominateur et passant tous les termes dans le premier membre ? on trouve
3 A
4- . . . = o.
Il faut donc poser généralement
Ao ƒ n -h A, ƒ ( n — i ) -+- A2 ƒ ( « — i )
posant m= i, on a ia formule d'Euler, et il l'obtient précisément de même.
5. Euler a trouvé, par induction, les coefficients du développement de
; ( l - * ) ( l - * » ) ( l - - * 0 . . . ,
par une règle qui revient à ceci :
J°. Le coefficient est nul quand l'exposant n'est pas de la forme
et chaque terme est de la forme (— i )" x 2 -, 2°. Il faut prendre successivement les deux signes -, on
n'a jamais
2 2
d'où résulterait
3 ( « - » ) = i;
*
ce qui est impossible , n et v étant entiers.
Ce qui rend sa formule d'une application facile, c'est que les coefficients ont pour valeurs o, i, — i>
6. Comme
ƒ , = ,, /2 = 3, / 3 = 4, / 4 =7, ƒ5 = 6, etc., on trouve sans difficulté, au moyen des équations sui- vantes (Ao = i) :
A, r
h A ~ o,
m J
2 A
h A,/l +/2==O, m ^ J
^ 1 4- A3 ƒ i -4- A2 ƒ 2 + A, ƒ3 + ƒ 4 = o,
^h. + A4/i + A3 ƒ2 H- A, ƒ 3 + A, ƒ< + ƒ5 = o ,
m etc.
A /;/
i
m.h i
* — 3
. 2
— m ( /?? - i
— i . ?.
i('»-8).
.3 m (m — i) (m — 3) (m — 14)
A4 — ——' ' ^ » \ 1 . 2 . 3 . 4
A,t,
Il serait curieux de trouver la loi ; il est probable que la recherche est épineuse.
7. Il est à croire que différentes formules des Funda- inenta de Jacobi conduisent à des relations analogues entre les quantités ƒ i, ƒ 2, ƒ 3 , . . . . (Voyez tome IX, pages 73 et 4io-)
