Université Mohammed Premier Faculté Pluridisciplinaire de Nador Département de Mathématiques et Informatique

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Université Mohammed Premier Faculté Pluridisciplinaire de Nador

Département de Mathématiques et Informatique

Filières SMA Semestre S4 Année universitaire: 2018-2019 TD d’Algèbre 6

Correction de la Série 1 Exercice 1

1. SoientH etK deux sous-groupes d’un groupeG. Montrer queH∪Kest un sous-groupe de G si et seulement siH ⊂K ouK⊂H. Déduire qu’un groupe ne peut jamais être la réunion de deux de ses sous-groupes propres.

2. Déduire queaZ∪bZest un sous-groupe de (Z,+) si et seulement siadiviseb oubdivisea, où aetbsont dansN^∗. Que dire de 5Z∪8Z?

Exercice 2

SoientGun groupe et H une partie non vide deG, finie et stable pour la loi de G. Montrer que H est un sous-groupe deG. Donner un contre-exemple à la propriété précédente dans le cas d’une partieH infinie.

Exercice 3

SoitGun groupe d’élément neutreetel pour tout x∈G, x² =e. Montrer queGest abélien, et que siGest fini, son ordrenest une puissance de 2.

Exercice 4

SoientGun groupe etH un sous-groupe deG.

1. Montrer que siH est un sous-groupe deGd’indice 2, alorsH est distingué deG.

2. Montrer que siH est un sous-groupe deZ(G), alors il distingué dansG.

3. Supposons que G est un groupe fini et que H est un sous-groupe distingué d’ordre 2 de G.

Montrer queH⊂Z(G).

4. Supposons queGest fini d’ordren, alors montrer que pour tout a∈G,aⁿ=e.

Exercice 5

Désignons parS₃ le groupe des permutations de l’ensembleE={1,2,3}, la loi de groupe étant la composition (σ, τ)7−→στ. Soit la transposition (12), il est simple de voir queH ={id_E,(12)}est un sous-groupe deS3. Montrer queH n’est pas un sous-groupe normal deS3.

Exercice 6

Soit un groupe (G,·) d’élément neutree, on note para⁻¹le symétrique d’un élémenta∈G.

1. SoientH un sous-groupe deGetgun élément deG. Montrer que l’ensembleHg={ghg⁻¹|h∈ H} est un sous-groupe deG.

2. Soit l’applicationf : G−→G;a7−→a⁻¹. Montrer quef est un automorphisme si et seulement si (G,·) est abélien.

Exercice 7

Soient G et G⁰ deux groupes finis d’ordres m et n respectifement. On suppose que m∧n = 1, démontrer que le seul morphisme de groupesf deGversG⁰ est le morphisme trivial.

Exercice 8

SoientH et K deux sous-groupes d’un groupeG. Rappelons queHK={hk |h∈hetk∈K}.

1. Montrer queHK est un sous-groupe deGsi et seulement siHK =KH.

2. Montrer que siH est un sous-groupe normal deGalorsHK est un sous-groupe deG.

3. Montrer que siH est un sous-groupe normal deGalorsH∩Kest normal deK.

4. Montrer que siH,K sont normaux, alors le sous-groupe engendré parH∪Kest normal deG.

Exercice 9

SoientGun groupe et (Hi)_i∈I une famille de sous-groupes deG. On désigne parH le sous-groupe deG engendré par lesH_i. Montrer que \

i∈I

N_G(H_i)⊆N_G(H), et que l’inclusion réciproque n’est pas forcément vraie.

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Exercice 10

SoientG1 etG2 deux groupes,f un homomorphisme surjectif deG1 surG2. SoitAune partie de G1. Désignons parDist(A) le sous-groupe distingué deG1engendré parA. Prouver quef(Dist(A)) est le sous-groupe distingué deG2 engendré parf(A).

Exercice 11

Soient (G, .) un groupe fini d’ordren>2 etH un sous-groupe distingué deG. Montrer que l’ordre deg dansGest un multiple de l’ordre degdansG/H.

Exercice 12 SoitGun groupe.

1. Démontrer que Int(G) est un sous-groupe normal de Aut(G).

2. Soitϕ:G−→Int(G) défini parϕ(g) =ϕ_g tel queϕ_g:G−→G, x7−→gxg⁻¹. Démontrer que ϕest un morphisme de groupes. Quel est son noyau ?

3. En déduire queG/Z(G) est isomorphe à Int(G).

Exercice 13

SoientGun groupe etD={(x, x)|x∈G}. Montrer queDest un sous-groupe distingué deG×G si et seulement siGest abélien.

Exercice 14

Soit A une partie non vide d’un groupe G. On appelle normalisateur de A dans G l’ensemble N(A) = {g ∈ G| gA = Ag} et on appelle centralisateur de A dans G l’ensemble Z(A) = {g ∈ G| ∀a∈A, ga=ag}.

1. Montrer queN(A) est un sous-groupe deG.

2. Montrer queZ(A) est un sous-groupe distingué deN(A).

Exercice 15

1. Soitf : G−→G⁰ un homomorphisme de groupes surjectif, montrer qu’il existe une bijection entre les sous-groupes distingués deGcontenant kerf et les sous-groupes distingués deG⁰. 2. Étudier le cas oùGest un groupe,HCG,G⁰=G/H etf =πla surjection canonique.

Exercice 16

SoientH, Kdeux sous-groupes d’un groupe fini G. Montrer que card(HK) = |H||K|

|H∩K|, rappelons queHK ={hk |h∈H etk∈K}.

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Corrections

Correction de l’exercice 1

1. SoientH et K deux sous-groupes d’un groupeG. Montrons queH∪K est un sous-groupe de Gsi et seulement siH ⊂K ouK⊂H.

Supposons queH∪K est un sous-groupe deG, alors montrons que H ⊂KouK⊂H. Si par exempleH 6⊂K, alors il existeh∈H eth6∈K; pour tout k∈K,hk ∈H∪K, donc hk∈H ouK. Remarquons quehk6∈K, sinon on aurahk∈K, ce qui impliqueh∈Kk⁻¹⊂K, ce qui est faux. D’oùhk∈H, ce qui donne quek∈h⁻¹H ⊂H. Par suiteK⊂H? D’où le résultat.

La réciproquement est simple, la conditionH⊂K ouK⊂H implique queH∪K=H ouK; d’où le résultat.

Un groupeGne peut jamais être la réunion de deux de ses sous-groupes propres (On entendra ici par «sous-groupe propre deG» un sous-groupe deGdistinct deG), sinon il existera deux sous-groupes propresH etKdeGtels queG=H∪K, alorsH∪Kest sous-groupe deG, d’où H⊂K ouK⊂H; on aura doncG=H∪K=H ouK, ce qui est absurde.

2. Soientaet bdeux entiers naturels non nuls tels queaZ∪bZest un sous-groupe de (Z,+), ceci est équivaut àaZ⊂bZ oubZ⊂aZ ce qui est équivaut aussi à adivise b oub divise a. Que dire de 5Z∪8Z? Comme 5 ne divise pas 8 et 8 ne divise pas 5, alors 5Z∪8Z n’est pas un sous-groupe deZ.

SoientGun groupe etH une partie non vide deG, finie et stable pour la loi deG.

• Pour montrer queH est un sous-groupe deG, il suffit de montrer qu’il est stable par symmetri- sation.

- SiH ={e}, alors il est sous-groupe deG.

- Supposons qu’il existea6=edansH. CommeH est stable pour la loi du groupeG, alors pour toutk ∈N, a^k ∈H. D’autre part, comme la partieH est finie, alors il existe n∈N^∗ (n>1) tel queaⁿ=e, donce∈H etaⁿ⁻¹a=e=aaⁿ⁻¹, d’où aadmet un symétrique dansH qui est aⁿ⁻¹.

• Donnons un contre-exemple à la propriété précédente dans le cas d’une partie H infinie. On sait queNest une partie non vide et stable de (Z,+), mais (N,+) n’est pas un sous-groupe de (Z,+), car 2∈N et−2∈N.

SoitGun groupe d’élément neutreetel pour toutx∈G,x²=e.

• Montrons queGest abélien. Comme pour toutx∈G,x²=e, alors pour toutx∈G,x=x⁻¹. Soientx,y dansG, alors

xy= (xy)⁻¹=y⁻¹x⁻¹=yx, doncGest abélien.

• Supposons queGest un groupe fini d’ordre ntel que pour toutx∈G,x²=e. Montrons quen est une puissance de 2. Procédons par récurrence.

- La propriété est vraie pourn= 1,2.

- Supposons la propriété vraie pour tout groupe d’ordre6n.

- SoitGun groupe d’ordre n+ 1 et vérifiant pour toutx∈G, x² =e. Soit donc a∈G− {e}, alorsaest d’ordre 2 (cara²=e), donchai={e, a}. OrGest abélien, alorshaiest sous groupe normal deG, d’oùG/haiest groupe d’ordre

|G/hai|= |G|

|hai| =n+ 1 2 < n, l’hypothèse de récurrence implique que

|G/hai|= |G|

|hai| = 2^k.

Par suiten+ 1 =|G|= 2^k|hai|= 2^k+1. On déduit le résultat par le principe de récurrence.

1. SoitH un sous-groupe d’indice 2 d’un groupeG. Donc il y a 2 classes à gauche deGmoduloH, il est clair alors que ces classes à gauche sontH et la partie complémentaire de H dansG, car les classes d’équivalences modulo la relation d’équivalence à gauche associée à H forment une

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partition deG. De même, les classes à droite moduloH sontH et la partie complémentaire de H dansG. Ainsi, les classes à gauche et les classes à droite suivantH sont identiques, doncH est normal.

2. On sait bien queZ(G) est l’ensemble des éléments g de Gqui commutent avec tous les autre éléments deG. CommeH ⊂G, alors∀g∈ G, ∀h∈H, on agh =hg; d’où ∀g ∈G,∀h∈ H, ghg⁻¹=h∈H. Par suiteH est normal dansG.

3. CommeH est d’ordre 2 deG, alorsH ={e, a}pour un certain élémentadeG\ {e}. Puisque H est normal dansG, donc gag⁻¹∈H pour tout élémentg deG. D’où , pour tout élément g deG, gag⁻¹ est égal àeou à a. Ora6=e, alors il est clair que gag⁻¹ 6=e, par suite forcement on agag⁻¹ =a, c’est-à-dire a commute avec g pour tout g ∈G. Ceci étant vrai pour tout g dansG, d’où a∈Z(G), doncH ⊂Z(G).

4. Soita∈ Gd’ordrem, donc par le Théorème de Lagrange m divise l’ordre n deG; soit alors k>1 l’entier tel quen=mk, d’où aⁿ = (a^m)^k =e^k=ecara^m=e.

Posons σ = (13) et τ = (12), soit le sous-groupe H = {idE, τ} de S3. Il est simple de voir que σ⁻¹ = (13)⁻¹ = (13) = σ, donc στ σ⁻¹ = (13)⁻¹(12)(13) = (13)(12)(13) = (23). Or (23) n’appartient pas au sous-groupeH, il en résulte que ce sous-groupe n’est pas normal dansS3. Correction de l’exercice 6

Soit un groupe (G,·) d’élément neutree, on note para⁻¹le symétrique d’un élémenta∈G.

1. SoientHun sous-groupe deGetgun élément deG. Montrons que l’ensembleH_g={ghg⁻¹|h∈ H} est un sous-groupe deG.

a. Hg6=∅ care∈H et e=geg⁻¹∈Hg.

b. Soient xet y deux éléments de Hg, alors il existe h1 et h2 dansH tels que x=gh1g⁻¹ et y=gh2g⁻¹; donc

xy⁻¹= (gh1g⁻¹)(gh2g⁻¹)⁻¹=gh1g⁻¹gh⁻¹₂ g⁻¹=gh1h⁻¹₂ g⁻¹=gh⁰g⁻¹∈Hg. Par suiteHg est un sous-groupe deG.

2. Soit l’applicationf : G−→G;a7−→a⁻¹. Montrons quef est un automorphisme si et seulement si (G,·) est abélien.

Remarquons quef est bijective pour n’importe quel groupe G. En effet, soient aet b dans G tels que f(a) = f(b), alors a⁻¹ = b⁻¹, d’où a = b. D’autre part, pour tout b ∈ G, il existe a=b⁻¹ tel quef(a) =b. Par suitef est bijective. Donc

f est un morphisme si et seulement si (G,·) est abélien.

Soientaetb dansG, alorsf est un morphisme si et seulement sif(ab) =f(a)f(b), d’où f(ab) =f(a)f(b) ⇐⇒(ab)⁻¹=a⁻¹b⁻¹,

⇐⇒(ab)⁻¹= (ba)⁻¹,

⇐⇒ab=ba.

⇐⇒ Gest abélien.

Soient G et G⁰ deux groupes finis d’ordres m et n respectivement. On suppose que m∧n = 1, montrons que le seul morphisme de groupesf de G vers G⁰ est le morphisme trivial. Soit f un morphisme deGvers G⁰, alors Im(f) est un sous-groupe deG⁰, d’où|Im(f)| divisen l’ordre de G⁰. Orm=|G|=|ker(f)||Im(f)|, alors|Im(f)|divise aussim. Donc|Im(f)|divise le pgcd dem etnqui est 1, par suite|Im(f)|= 1, c’est-à-direIm(f) ={e⁰}, d’oùf est trivial.

SoientH et K deux sous-groupes d’un groupeG. Rappelons queHK={hk |h∈hetk∈K}.

1. Montrons queHK est un sous-groupe deGsi et seulement siHK=KH.

• Supposons queHK est un sous-groupe de G, alors pour tout x∈HK, x⁻¹ ∈HK, et pour touty∈HK, il existex∈HK tel que y=x⁻¹. Donc (HK)⁻¹=HK. D’autre part

(HK)⁻¹={(hk)⁻¹ |h∈H, k∈K}={k⁻¹h⁻¹| h∈H, k∈K}={k⁰h⁰/h⁰ ∈H, k⁰ ∈K}

(5)

(carH etK sont des sous-groupes deG), donc (HK)⁻¹=KH, et par suiteHK=KH.

•Inversement, supposons queHK=KH, et montrons queHK est un sous-groupe deG.

- Il est simple de voir queHK est non vide care∈Ket e∈K donce=ee∈HK.

- Soient x, y ∈ HK, alors x = h₁k₁ et y = h₂k₂ avec h_i ∈ H et k_i ∈ K. Donc xy⁻¹ = h1k1k₂⁻¹h⁻¹₂ , or (k1k⁻¹₂ )h⁻¹₂ ∈KH=HK, alors il existeh⁰∈Hetk⁰ ∈Ktels que (k1k⁻¹₂ )h⁻¹₂ = h⁰k⁰, d’oùxy⁻¹=h1k1k₂⁻¹h⁻¹₂ = (h1h⁰)k⁰ ∈HK.

Par suiteHK est un sous-groupe deG.

2. Supposons queH est un sous-groupe normal deG, et montrons queHK est un sous-groupe de G. CommeH CG, alors∀g∈G,gH=Hg, donc∀k∈K,kH=Hk. D’oùHK =KH, et par suiteHK est un sous-groupe deG.

3. SoitH un sous-groupe normal deG, montrons queH∩Kest normal deK. Soienta∈H∩K et k ∈ K, alors kak⁻¹ ∈ H car a ∈ H et H C G. D’autre part, a ∈ K et k⁻¹ ∈ K, alors ak⁻¹∈K; d’oùkak⁻¹∈K, et par suitekak⁻¹∈H∩K. Mais ceci étant pour tousa∈H∩K etk∈K, alorsH∩KCK.

4. Soient H et K deux sous-groupes normaux de G, et L le sous-groupe engendré par H ∪K.

Montrons que L est normal de G, rappelons que L est l’intersection de tous les sous-groupes de G contenant H ∪K. Comme H et K sont normaux de G, alors ils sont stables par les automorphismes intérieurs,σg, de G, c’est-à-dire pour toutg∈G, σg(H) =H et σg(K) =K.

Soit x ∈ L, alors x =

r

Y

i=1

h_ik_i, où h_i ∈ H, k_i ∈ K et r ∈ N^∗. Or pour tout g ∈ G, on a σg(hi)∈H et σg(ki)∈K, doncσg(x)∈L. D’où∀g∈G,gLg⁻¹⊂L, c’est-à-direLest normal deG.

SoientGun groupe et (Hi)_i∈I une famille de sous-groupes deG. On désigne parH le sous-groupe deGengendré par les H_i. Montrons que \

i∈I

N_G(H_i)⊆N_G(H).

Soit g un élément de G tel que g ∈ \

i∈I

NG(Hi), c’est-à-dire g normalise tous les Hi (ceci est équivaut àgHig⁻¹ =Hi). Il faut prouver queg normalise H. Désignons par σg l’automorphisme x7→gxg⁻¹deG. Il s’agit donc de prouver queH est invariant parσ_g. Orσ_g(H) est le sous-groupe deGengendré par lesσ_g(H_i) ; puisquegnormalise tous lesH_i, lesσ_g(H_i) sont lesH_i. Doncσ_g(H) est le sous-groupe deG engendré par les H_i, c’est-à-dire est égal àH, donc H est bien invariant parσ_g comme voulu.

Montrons maintenant que l’inclusion réciproque n’est pas forcément vraie.

SoitGun groupe admettant un sous-groupe K non distingué (ce cas existe). Posons H₁ =K et H2 = G, alors le sous-groupe H engendré par H1 et H2 est égal au sous-groupe engendré par G, d’où le sous-groupe H engendré par G est G tout entier, c-à-d, H = G, donc NG(H) = G tout entier, orG n’est pas inclus dans NG(H1) =NG(K), donc NG(H) n’est pas contenu dans NG(H1)∩NG(H2).

SoientG₁ etG₂ deux groupes,f un homomorphisme surjectif deG₁ surG₂. SoitAune partie de G₁. Désignons par Dist(A) le sous-groupe distingué de G₁ engendré parA. Alors montrons que f(Dist(A)) est le sous-groupe distingué deG₂ engendré parf(A).

• Montrons d’abord que, par un morphisme surjectif, l’imagef(H) d’un sous-groupeH distingué deG1 est un sous-groupe distingué de G2. Soient g⁰ ∈G2 et y ∈ f(H), alors il existe g ∈ G1

et x ∈ G1 tels que g⁰ = f(g) et y =f(x). Comme gxg⁻¹ ∈ H et f est un morphisme, alors g⁰yg⁰⁻¹=f(gxg⁻¹)∈f(H), d’où f(H) est distingué dansG₂.

• Par la même méthode, on montre que l’image réciproque d’un sous-groupe distingué deG2 est un sous-groupe distingué deG1.

• Du fait que f est surjectif et Dist(A) est distingué de G1, alors il résulte que f(Dist(A)) est un sous-groupe distingué de G2. Puisque Dist(A) contient A, f(Dist(A)) contient f(A).

Ainsi,f(Dist(A)) est un sous-groupe distingué deG2contenantf(A). Il reste à prouver qu’il est contenu dans tout sous-groupe distingué deG₂contenantf(A). SoitKun sous-groupe distingué deG₂contenantf(A). Il s’agit de prouver queKcontientf(Dist(A)). PuisqueKcontientf(A), Aest contenu dans f⁻¹(K), qui est un sous-groupe distingué de G₁. Donc, par minimalité de Dist(A), Dist(A) est contenu dans f⁻¹(K), autrement dit, f(Dist(A)) est contenu dans K, comme voulu.

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Soient (G, .) un groupe fini d’ordren>2 et H un sous-groupe distingué deG. DoncG/H est un groupe. Notons parml’ordre deg dansG, alors

g^m=g^m=e=H,

donc l’ordre degdansG/H est un diviseur de celui degdansG. D’où le résultat.

Correction de l’exercice 12 Soit un groupeG.

1. On sait bien que Int(G) est un sous-groupe de Aut(G). Montrons que Int(G)CAut(G). Soit g ∈ G, et σ_g : G −→ G, a 7−→ gag⁻¹ un automorphisme intérieur de G, alors pour tout τ∈Aut(G) et pour touta∈Gon a :

τ◦σg◦τ⁻¹(a) =τ(σg(τ⁻¹(a))) =τ(g(τ⁻¹(a))g⁻¹) =τ(g)(τ(τ⁻¹(a)))τ(g)⁻¹=τ(g)aτ(g)⁻¹=σ_τ(g)(a).

Par suite pour tous automorphisme intérieurσ_g et automorphismeτ deGon a : τ◦σg◦τ⁻¹=σ_τ(g)∈Int(G).

D’où le résultat.

2. Soitϕ:G−→Int(G) défini parϕ(g) =ϕ_g tel que ϕ_g:G−→G,x7−→gxg⁻¹.

•Montrons que ϕest un morphisme de groupes. Soienta, bdansG, alors pour toutx∈Gon a :

ϕ(ab)(x) =ϕab(x) = (ab)x(ab)⁻¹=abxb⁻¹a⁻¹=a(bxb⁻¹)a⁻¹=ϕa(bxb⁻¹) =ϕa(ϕb(x)) =ϕa◦ϕb(x).

Par suite pour tousa,b dansG, ϕ(ab) =ϕa◦ϕb=ϕ(a)◦ϕ(b). Et c’est le résultat voulu.

•Quel est le noyau deϕ? Soitg∈ker(ϕ), alorsϕ(g) =ϕ_g=id_G; donc pour toutx∈G, on a : ϕg(x) =idG(x) =x⇐⇒gxg⁻¹=x⇐⇒gx=gx⇐⇒g∈Z(G).

D’où ker(ϕ) =Z(G).

3. Remarquons d’abord queϕest surjectif, en effet pour toutf ∈Int(G),f est un automorphisme intérieur, donc il existea∈Gtel que pour toutx∈G,f(x) =axa⁻¹=ϕ_a(x) =ϕ(a)(x) ; d’où ϕ(a) =f. D’après le cours on déduit queG/ker(ϕ) =G/Z(G) est isomorphe à Int(G).

SoientGun groupe et D={(x, x)|x∈G}. Il est simple de montrer queD est un sous-groupe de G×G. Montrons que Dest distingué de G×Gsi et seulement siGest abélien.

(=⇒) Supposons queD est normal dansG×G, pour tousa,betxdeGon a : (a, b)(x, x)(a, b)⁻¹∈D =⇒ ∃y∈G; (a, b)(x, x)(a, b)⁻¹= (y, y)

=⇒(a, b)(x, x)(a⁻¹, b⁻¹) = (y, y)

=⇒(axa⁻¹,bxb⁻¹) = (y, y)

=⇒y=axa⁻¹ ety=bxb⁻¹.

Donc pour b =e, on a pour tous a, x dans G, axa⁻¹ = x⇐⇒ ax =xa. Par suite G est abélien.

(⇐=) Supposons queGest abélien, alors pour tousa,bet xdeGon a :

(a, b)(x, x)(a, b)⁻¹= (a, b)(x, x)(a⁻¹, b⁻¹) = (axa⁻¹, bxb⁻¹) = (x, x)∈D.

D’oùD est un sous-groupe distingué deG×G Correction de l’exercice 14

SoitAune partie non vide d’un groupeGd’élément neutree. Le normalisateur deA dansGest l’ensemble

N(A) ={g∈G|gA=Ag}

et le centralisateur deAdansGest l’ensemble

Z(A) ={g∈G| ∀a∈A, ga=ag}.

(7)

1. Montrons queN(A) est un sous-groupe deG.

• N(A) est non vide careA=Ae, donce∈N(A),

• Soientaetb dansN(A), alorsabA=aAb=Aab, d’où ab∈N(A),

• Pour touta∈N(A), on aaA=Aa, alorsAa⁻¹=a⁻¹A, donca⁻¹∈N(A).

Par suiteN(A) est un sous-groupe deG.

2. Montrons queZ(A) est un sous-groupe distingué deN(A).

• D’abord, pour tout g ∈ Z(G), on a pour tout a ∈ A, ga = ag, donc gA = Ag, c’est qui impliqueZ(G)⊂N(A).

• Z(G) est un sous-groupe deGetZ(G)⊂N(A), alorsZ(G) est un sous-groupe deN(A).

• Soientg∈N(A) etb∈N(A). Soit a∈A, commeb⁻¹A=Ab⁻¹, alors il existea⁰∈Atel que b⁻¹a=a⁰b⁻¹⇐⇒ba⁰=ab.

Donc

bgb⁻¹a=bga⁰b⁻¹=ba⁰gb⁻¹=abgb⁻¹,

d’oùbgb⁻¹∈Z(G). Par suiteZ(G) est un sous-groupe normale deN(A).

1. Soitf : G−→G⁰ un homomorphisme de groupes surjectif. Notons parE_dG l’ensemble des sous-groupes distingués deGcontenant ker(f), et parE_dG⁰ l’ensemble des sous-groupes distin- gués deG⁰. Alors montrons qu’il existe une bijection entreEdGetEdG⁰. Soit la correspondance suivante

ϕ: EdG −→EdG⁰

H 7−→f(H)

Commef est surjective, alors nous avons déjà montrer (voir la correction de l’exercice 10) que f(H) est un sous-groupe distingué deG⁰, doncϕest bien définie.

• SoientH etH⁰deux éléments deEdGtels queϕ(H) =ϕ(H⁰), alorsf(H) =f(H⁰). Montrons queH =H⁰. Soitx⁰∈H⁰, commef(H) =f(H⁰) alors il existex∈H tel quef(x) =f(x⁰), on a donc

f(x) =f(x⁰) =⇒f(x⁰)f(x)⁻¹=e⁰

=⇒f(x⁰x⁻¹) =e⁰

=⇒x⁰x⁻¹∈ker(f)

=⇒x⁰x⁻¹∈H, car ker(f)⊂H

=⇒x⁰ ∈Hx⊂H.

Par suiteH⁰⊂H. De la même façon, on montre queH ⊂H⁰, d’où H =H⁰.

• Soit maintenant K un élément de EdG⁰, comme f est surjective, alors H =f⁻¹(K) est un sous-groupe distingué deG. Il reste à montrer queH contient ker(f). Pour x∈ker(f), on a f(x) =e⁰ ∈K, doncx∈f⁻¹(K) =H. C’est-à-dire que H contient ker(f). Par suite ϕest surjective, et donc bijective.

2. Soit le cas suivant :Gest un groupe,H CG,G⁰=G/Hetf =πla surjection canonique. On sait bien que ker(π) =H, donc par la question précédente, il existe une bijection entre l’ensemble des sous-groupes distingués de G contenant H et l’ensemble des sous-groupes distingués de G⁰ =G/H. Si T est un sous-groupe distingué deG⁰ =G/H, il existe doncK un sous-groupe distingué de G contenant H tel que π(K) = T. Or π(K) = {kH | k ∈ K} = K/H, alors T =K/H.

SoientH,Kdeux sous-groupes d’un groupe finiG, montrons que card(HK) = |H||K|

|H∩K|. Rappelons queHK ={hk |h∈H etk∈K}.*

CommeH et K sont des sous-groupes deG, alorsI=H∩K est un sous-groupe des groupesH, K et G. Donc card(K/I)_d =m = ^|K|_|I_| = [K : I]. Soient {Ik1, Ik₂,· · · , Ik_m} les classes de K à droite moduloI, il est bien connu que ces classes forment une partition deK, donc

K=

m

a

i=1

(Ik_i) (la réunion disjointe).

Montrons que la famille{Hk₁, Hk₂,· · ·, Hk_m}forme une partition de HK.

(8)

• Soitx∈Hk_i∩Hk_j, alors il existeh,h⁰ dansH tels quex=hk_i=h⁰k_j, donc hk_i=h⁰k_j =⇒h⁻¹h⁰ =k_ik⁻¹_j

=⇒h⁻¹h⁰ =kik⁻¹_j ∈I=H∩Kcarh⁻¹h⁰∈H etkik⁻¹_j ∈K

=⇒Ik_i=Ik_j

=⇒i=j car les classesIk_i etIk_j sont disjointes.

Par suite les éléments de la famille{Hk₁, Hk₂,· · · , Hk_m}sont disjoints deux à deux.

• Il est simple de voir queSm

i=1Hki ⊂HK; montrons la réciproque. SoithkßHK, alors puisque k ∈ K, il existe i ∈ {1,2,· · ·, m} tel que Ik = Iki. Donc il existeh⁰ ∈ I = H ∩K vérifiant k=h⁰ki, d’où hk=hh⁰ki∈Hki⊂Sm

i=1Hki. Ceci implique queHK⊂Sm

i=1Hki, et par suite HK =

m

[

i=1

Hki.

Rappelons d’abord quecard(Hk_i) =|H|), alors ce que nous venons de montrer implique que card(HK) =

m

X

i=1

card(Hk_i) =

m

X

i=1

card(H) =m|H|.

Orm= ^|K|_|I| =m=_|H∩K|^|K| , alors

card(HK) =m|H|= |H||K|

|H∩K|.