Université Mohammed Premier Faculté Pluridisciplinaire de Nador
Département de Mathématiques et Informatique
Filières SMA S4. Algèbre 6. Série: 1 Année universitaire: 2020-2021 Exercice 1
1. SoientH etK deux sous-groupes d’un groupeG. Montrer queH∪Kest un sous-groupe de G si et seulement siH ⊂K ouK⊂H. Déduire qu’un groupe ne peut jamais être la réunion de deux de ses sous-groupes propres.
2. Déduire queaZ∪bZest un sous-groupe de (Z,+) si et seulement siadiviseb oubdivisea, où aetbsont dansN∗. Que dire de 5Z∪8Z?
Exercice 2
SoientGun groupe et H une partie non vide deG, finie et stable pour la loi de G. Montrer que H est un sous-groupe deG. Donner un contre-exemple à la propriété précédente dans le cas d’une partieH infinie.
Exercice 3
SoitGun groupe d’élément neutreetel pour tout x∈G, x2 =e. Montrer queGest abélien, et que siGest fini, son ordrenest une puissance de 2.
Exercice 4
SoientGun groupe etH un sous-groupe deG.
1. Montrer que siH est un sous-groupe deGd’indice 2, alorsH est distingué deG.
2. Montrer que siH est un sous-groupe deZ(G), alors il distingué dansG.
3. Supposons que G est un groupe fini et que H est un sous-groupe distingué d’ordre 2 de G.
Montrer queH⊂Z(G).
4. Supposons queGest fini d’ordren, alors montrer que pour tout a∈G,an=e.
Exercice 5
Désignons parS3 le groupe des permutations de l’ensembleE={1,2,3}, la loi de groupe étant la composition (σ, τ)7−→στ. Soit la transposition (12), il est simple de voir queH ={idE,(12)}est un sous-groupe deS3. Montrer queH n’est pas un sous-groupe normal deS3.
Exercice 6
Soit un groupe (G,·) d’élément neutree, on note para−1le symétrique d’un élémenta∈G.
1. SoientH un sous-groupe deGetgun élément deG. Montrer que l’ensembleHg={ghg−1|h∈ H} est un sous-groupe deG.
2. Soit l’applicationf : G−→G;a7−→a−1. Montrer quef est un automorphisme si et seulement si (G,·) est abélien.
Exercice 7
Soient G et G0 deux groupes finis d’ordres m et n respectivement. On suppose que m∧n = 1, démontrer que le seul morphisme de groupesf deGversG0 est le morphisme trivial.
Exercice 8
SoientH et K deux sous-groupes d’un groupeG. Rappelons queHK={hk |h∈hetk∈K}.
1. Montrer queHK est un sous-groupe deGsi et seulement siHK =KH.
2. Montrer que siH est un sous-groupe normal deGalorsHK est un sous-groupe deG.
3. Montrer que siH est un sous-groupe normal deGalorsH∩Kest normal deK.
4. Montrer que siH,K sont normaux, alors le sous-groupe engendré parH∪Kest normal deG.
Exercice 9
SoientGun groupe et (Hi)i∈I une famille de sous-groupes deG. On désigne parH le sous-groupe deG engendré par lesHi. Montrer que \
i∈I
NG(Hi)⊆NG(H), et que l’inclusion réciproque n’est pas forcément vraie.
Exercice 10
SoientG1 etG2 deux groupes,f un homomorphisme surjectif deG1 surG2. SoitAune partie de G1. Désignons parDist(A) le sous-groupe distingué deG1engendré parA. Prouver quef(Dist(A)) est le sous-groupe distingué deG2 engendré parf(A).
Imprimé avec LATEX 2ε 1/2
Exercice 11
Soient (G, .) un groupe fini d’ordren>2 etH un sous-groupe distingué deG. Montrer que l’ordre deg dansGest un multiple de l’ordre degdansG/H.
Exercice 12 SoitGun groupe.
1. Démontrer que Int(G) est un sous-groupe normal de Aut(G).
2. Soitϕ:G−→Int(G) défini parϕ(g) =ϕg tel queϕg:G−→G, x7−→gxg−1. Démontrer que ϕest un morphisme de groupes. Quel est son noyau ?
3. En déduire queG/Z(G) est isomorphe à Int(G).
Exercice 13
SoientGun groupe etD={(x, x)|x∈G}. Montrer queDest un sous-groupe distingué deG×G si et seulement siGest abélien.
Exercice 14
Soit A une partie non vide d’un groupe G. On appelle normalisateur de A dans G l’ensemble N(A) = {g ∈ G| gA = Ag} et on appelle centralisateur de A dans G l’ensemble Z(A) = {g ∈ G| ∀a∈A, ga=ag}.
1. Montrer queN(A) est un sous-groupe deG.
2. Montrer queZ(A) est un sous-groupe distingué deN(A).
Exercice 15
1. Soitf : G−→G0 un homomorphisme de groupes surjectif, montrer qu’il existe une bijection entre les sous-groupes distingués deGcontenant kerf et les sous-groupes distingués deG0. 2. Étudier le cas oùGest un groupe,HCG,G0=G/H etf =πla surjection canonique.
Exercice 16
SoientH, Kdeux sous-groupes d’un groupe fini G. Montrer que card(HK) = |H||K|
|H∩K|, rappelons queHK ={hk |h∈H etk∈K}.
Série 1: Les groupes TD d’Algèbre 6 2/2
