Université Mohammed Premier Faculté Pluridisciplinaire Nador

Faculté Pluridisciplinaire Nador

COURS DE 

CRISTALLOGRAPHIE ET CRISTALLOCHIMIE  I

COURS DE 

CRISTALLOGRAPHIE ET CRISTALLOCHIMIE  I

Filière : SMC/SMP

½ M₂₂ /M₂₅– S₄ Filière : SMC/SMP

½ M₂₂ /M₂₅– S₄

Préparé et enseigné par : Pr. ABBAS Lhabib Année universitaire 2020-2021

Préparé et enseigné par : Pr. ABBAS Lhabib Année universitaire 2020-2021

Plan de la présentation de cours du Module 22

Module M22: Cristallographie et Cristallochimie I (18H; TP; 12H)

Chapitre I : Généralités et notions de base de la cristallographie géométrique (2H) I-1- Notions de mailles, Rangées, plans, Indices de Miller

I-2- Réseaux de Bravais I-3- Réseau réciproque

Chapitre II: La symétrie dans les cristaux (6H) II-1- Notions préliminaires de symétrie

II-2- Classes cristallines II-3- Groupes d’espaces

Chapitre III : Introduction à la diffraction X (loi de Bragg). (2H)

Module M22: Cristallographie et Cristallochimie I (18H; TP; 12H)

Chapitre I : Généralités et notions de base de la cristallographie géométrique (2H) I-1- Notions de mailles, Rangées, plans, Indices de Miller

I-2- Réseaux de Bravais I-3- Réseau réciproque

Chapitre II: La symétrie dans les cristaux (6H) II-1- Notions préliminaires de symétrie

II-2- Classes cristallines II-3- Groupes d’espaces

Chapitre III : Introduction à la diffraction X (loi de Bragg). (2H)

Chap. I :Généralités et notions de base de

la cristallographie 2

03/11/2022

• ½ module:- Cristallochimie (8H)

•Chapitre IV: généralités sur les solides cristallins (4H)

•IV-1- Introduction

•IV-2- Caractéristiques de la structure cristalline

•IV-3- Différents types de cristaux

•IV-4- Empilement compact

•IV-4-1- Structure cubique à faces centrées (cfc)

•IV-4-2- Structure hexagonal compact (hc)

•IV-5- Empilement semi- compact

•IV-5-1- Structure cubique centrée (cc)

•Chapitre V : Structures ioniques (4H)

•V-1- Structures ioniques de type MX (CsCl, NaCl, ZnS, NiAs…..)

•V-2- Structures de type MX2 : fluorine CaF2 et antifluorine, rutile TiO2, SiO2….

• ½ module:- Cristallochimie (8H)

•Chapitre IV: généralités sur les solides cristallins (4H)

•IV-1- Introduction

•IV-2- Caractéristiques de la structure cristalline

•IV-3- Différents types de cristaux

•IV-4- Empilement compact

•IV-4-1- Structure cubique à faces centrées (cfc)

•IV-4-2- Structure hexagonal compact (hc)

•IV-5- Empilement semi- compact

•IV-5-1- Structure cubique centrée (cc)

•Chapitre V : Structures ioniques (4H)

•V-1- Structures ioniques de type MX (CsCl, NaCl, ZnS, NiAs…..)

•V-2- Structures de type MX2 : fluorine CaF2 et antifluorine, rutile TiO2, SiO2….

Chapitre I :

Généralités et notions de base de la

cristallographie Chapitre I :

Généralités et notions de base de la

cristallographie

Chap. I :Généralités et notions de base de la cristallographie 4 03/11/2022

Cristal

Nœud motif

Rangée réticulaire Famille de rangées Notation [uvw]

plan réticulaire Famille de plans Notation (hkl)

Distance réticulaire Indice de Miller

7 systèmes cristallins

Maille primitive ou multiple

Six paramètres de la maille

14 réseaux de Bravais

Réseau direct

Réseau

réciproque

I-1- Maille, motif, réseau et structure cristalline

I-1-1- Maille : A trois dimensions, la maille est la plus petite entité (le plus petit volume) correspondant à un

parallélépipède, elle est définie par trois vecteurs a, b et c (les périodes suivants les axes ox, oy et oz,

respectivement) non coplanaires et trois angles α, β et γ.

Avec cette maille on peut remplir tout l’espace du cristal sans laisser des lacunes.

Le volume de cette maile est donné l’expression de V comme suit:

V = a b c [1 - cos²α – cos²β – cos²γ + 2 cos α cos β cos γ ]1/2 On distingue deux types de mailles, simple et multiple I-1-2- Noeud: La position occupée par un atome dans la maille s’appelle un nœud.

I-1-3- Motif: Un motif est un atome (ion ou molécule) ou un groupement d’atomes de même nature ou de nature différente qui se répète, périodiquement, suivant les trois directions de l’espace pour décrire le cristal.

I-1-1- Maille : A trois dimensions, la maille est la plus petite entité (le plus petit volume) correspondant à un

parallélépipède, elle est définie par trois vecteurs a, b et c (les périodes suivants les axes ox, oy et oz,

respectivement) non coplanaires et trois angles α, β et γ.

Avec cette maille on peut remplir tout l’espace du cristal sans laisser des lacunes.

Le volume de cette maile est donné l’expression de V comme suit:

V = a b c [1 - cos²α – cos²β – cos²γ + 2 cos α cos β cos γ ]1/2 On distingue deux types de mailles, simple et multiple I-1-2- Noeud: La position occupée par un atome dans la maille s’appelle un nœud.

I-1-3- Motif: Un motif est un atome (ion ou molécule) ou un groupement d’atomes de même nature ou de nature différente qui se répète, périodiquement, suivant les trois directions de l’espace pour décrire le cristal.

Chap. I :Généralités et notions de base de la cristallographie 6

03/11/2022

Cubique P; Cubique  simple (cs); Maille  simple (primitive); 

Nombre de motifs : 1

• (1/8) à chaque  sommet : 8(1⁄8) = 1. 

Cubique  I ;  Cubique  centrée  (cc) ;  Maille  multiple ;  Nombre  de  motifs : 2

• (1/8 ) à chaque sommet : 8(1⁄8) = 1

•Centre du cube : 1. 

Cubique F ; Cubique à faces Centrées (cfc) ; Maille multiple Nombre de motifs : 4

• (1/8) à chaque sommet : 8(1⁄8) = 1

•  (1/2)  sur  chaque  face  :  6(1⁄2)=3. 

I-1-4- Réseau : c’est l’ensemble de points (appelés nœuds) répartis d’une façon périodique (ordonnée) suivant 1, 2 ou 3 directions de l’espace. Les points du réseau (nœuds) se déduisent les unes des autres par une translation du

vecteur

T= u. a + v. b+ w. c. Tel que : u, v et w trois entiers. a, b et c

les trois périodes suivants les trois directions de l’espace ox, oy et oz, respectivement.

Un réseau est théoriquement indéfini, ainsi pour le décrire on choisit une unité structurale qui le reproduit par translation.

I-1-5- Un solide cristallin: est constitué par un grand nombre de particules (ions, atomes, molécules) situées en des points précis de l’espace.

I-1-6- Multiplicité d’une maille est le nombre de motifs par maille.

M = m1 (intérieur de la maille)+ (faces)+ (Arrêtes)+ (sommets)

I-1-4- Réseau : c’est l’ensemble de points (appelés nœuds) répartis d’une façon

périodique (ordonnée) suivant 1, 2 ou 3 directions de l’espace. Les points du réseau (nœuds) se déduisent les unes des autres par une translation du

vecteur

T= u. a + v. b+ w. c. Tel que : u, v et w trois entiers. a, b et c

les trois périodes suivants les trois directions de l’espace ox, oy et oz, respectivement.

Un réseau est théoriquement indéfini, ainsi pour le décrire on choisit une unité structurale qui le reproduit par translation.

I-1-5- Un solide cristallin: est constitué par un grand nombre de particules (ions, atomes, molécules) situées en des points précis de l’espace.

I-1-6- Multiplicité d’une maille est le nombre de motifs par maille.

M = m1 (intérieur de la maille)+ (faces)+ (Arrêtes)+ (sommets)

Chap. I :Généralités et notions de base de la cristallographie 8

I-1- Maille, motif, réseau et structure cristalline

03/11/2022

I-1-7- Rangée : C’est  toute  droite  qui  contient  au  moins  deux  nœuds  jusqu’à  l’infinie,  notée  [u  v  w].  u,  v,  w  sont  les  coordonnées  du  nœud  dans  un  repère  a  ,  b  ,  c  .  Elles  sont  des  entiers  et  premiers  entre eux.

 R= u a + v b + w c : est un vecteur.

 Pour  chaque  rangée  [u  v  w],  il  y  a  une  infinité de droites // et équidistantes à cette  rangée : toutes ces droites appartiennent à  la famille [u v w].

 le  signe  négatif  est  placé  au-dessus  de  la  coordonnée correspondante [1  0].

I-1-7- Rangée : C’est  toute  droite  qui  contient  au  moins  deux  nœuds  jusqu’à  l’infinie,  notée  [u  v  w].  u,  v,  w  sont  les  coordonnées  du  nœud  dans  un  repère  a  ,  b  ,  c  .  Elles  sont  des  entiers  et  premiers  entre eux.

 R= u a + v b + w c : est un vecteur.

 Pour  chaque  rangée  [u  v  w],  il  y  a  une  infinité de droites // et équidistantes à cette  rangée : toutes ces droites appartiennent à  la famille [u v w].

 le  signe  négatif  est  placé  au-dessus  de  la  coordonnée correspondante [1  0].

Chap. I :Généralités et notions de base de la cristallographie 10

I-1- Maille, motif, réseau et structure cristalline

03/11/2022

I-1-8- Plan réticulaire : C’est un plan qui contient au moins 3 nœuds non alignés. C’est le plan le plus proche de l’origine qui coupe les axes ( a , b , c ) respectivement en a/h , b/h et c/l . h,k,l sont appelés les indices de MILLER..

Le plan réticulaire est noté (hkl).

Le plan (321) coupe les axes en OA=a/3 ,OB=b/2 ,OC=c/1. Si l’un des indices de Miller est nul, le plan réticulaire est alors // à l’axe en question.

Le plan (1 1 0) coupe les axes en ; OA = a/1 = a; OB = b/1 = b OC = c/0 =

Famille de plan réticulaire : ensemble de plans parallèles est équidistants

I-1-8- Plan réticulaire : C’est un plan qui contient au moins 3 nœuds non alignés. C’est le plan le plus proche de l’origine qui coupe les axes ( a , b , c ) respectivement en a/h , b/h et c/l . h,k,l sont appelés les indices de MILLER..

Le plan réticulaire est noté (hkl).

Le plan (321) coupe les axes en OA=a/3 ,OB=b/2 ,OC=c/1. Si l’un des indices de Miller est nul, le plan réticulaire est alors // à l’axe en question.

Le plan (1 1 0) coupe les axes en ; OA = a/1 = a; OB = b/1 = b OC = c/0 =

Famille de plan réticulaire : ensemble de plans parallèles est équidistants

(110) (4 𝟏 2)

[ 302] [𝟒𝟒𝟑 ]

03/11/2022 Chap. I :Généralités et notions de base de

la cristallographie 12

Le plan réticulaire est noté (hkl). Le plan (321) coupe les axes en

OA=a/3 ,OB=b/2 ,OC=c/1 Si l’un des indices de Miller est nul, le plan réticulaire est alors // à l’axe en question.

Le plan (1 1 0) coupe les axes en ; OA = a/1 = a OB = b/1 = b OC = c/0 :

Famille de plan réticulaire : ensemble de plans parallèles est équidistants.

Réseau hexagonal: on utilise 3 axes coplanaires , , , faisant un angle  de 120° entre eux et  perpendiculaire à (, , ). Un plan sera 

déterminé par les quatre indices (hkjl) avec j =-(h+k).

Exemple (100)  (100)

Le plan réticulaire est noté (hkl). Le plan (321) coupe les axes en

OA=a/3 ,OB=b/2 ,OC=c/1 Si l’un des indices de Miller est nul, le plan réticulaire est alors // à l’axe en question.

Le plan (1 1 0) coupe les axes en ; OA = a/1 = a OB = b/1 = b OC = c/0 :

Famille de plan réticulaire : ensemble de plans parallèles est équidistants.

Réseau hexagonal: on utilise 3 axes coplanaires , , , faisant un angle  de 120° entre eux et  perpendiculaire à (, , ). Un plan sera 

déterminé par les quatre indices (hkjl) avec j =-(h+k).

Exemple (100)  (100)

I-2- Réseaux à trois dimensions (7 Systèmes cristallins et 14 réseaux de Bravais (

Auguste Bravais (1848) a montré que le nombre de systèmes cristallins possibles était très limité. Il a répertorié 14 types de réseaux qui sont des variantes de seulement 7 systèmes cristallins.

Les 7 systèmes cristallins sont engendrés par les différentes combinaisons possibles d’un côté entre les paramètres linéaires (a, b et c) et de l’autre côté entre les paramètres angulaires (α, β et γ).

La maille est parfois primitive (P) avec un seul site par maille. Si un deuxième site existe au centre de la maille, c'est une maille centrée (I). Lorsque chacune des 6 faces comportent un site (F), ce site étant commun à deux mailles contigües, cela fait 4 sites par maille.

Auguste Bravais (1848) a montré que le nombre de systèmes cristallins possibles était très limité. Il a répertorié 14 types de réseaux qui sont des variantes de seulement 7 systèmes cristallins.

Les 7 systèmes cristallins sont engendrés par les différentes combinaisons possibles d’un côté entre les paramètres linéaires (a, b et c) et de l’autre côté entre les paramètres angulaires (α, β et γ).

La maille est parfois primitive (P) avec un seul site par maille. Si un deuxième site existe au centre de la maille, c'est une maille centrée (I). Lorsque chacune des 6 faces comportent un site (F), ce site étant commun à deux mailles contigües, cela fait 4 sites par maille.

Chap. I :Généralités et notions de base de la cristallographie 14 03/11/2022

On rencontre parfois aussi des mailles avec seulement deux faces centrées (C : plan (a,b) centré ; B : plan (a,c) centré et A : plan (b,c) centré), soit 2 sites par maille. Pour ce dernier type on compte seulement un seul type C, B ou A, car sont identique de vu symétrique. Donc en fin, on compte 4 modes de réseau (P, I, F et C).

Toutes les combinaisons possibles entre les 7 systèmes cristallines (c’est-à-dire les 7 formes géométriques des mailles sans tenir compte de la présence des atomes) avec les 4 modes de réseaux (présence des atomes) aboutissant aux 14 réseaux de Bravais.

On rencontre parfois aussi des mailles avec seulement deux faces centrées (C : plan (a,b) centré ; B : plan (a,c) centré et A : plan (b,c) centré), soit 2 sites par maille. Pour ce dernier type on compte seulement un seul type C, B ou A, car sont identique de vu symétrique. Donc en fin, on compte 4 modes de réseau (P, I, F et C).

Toutes les combinaisons possibles entre les 7 systèmes cristallines (c’est-à-dire les 7 formes géométriques des mailles sans tenir compte de la présence des atomes) avec les 4 modes de réseaux (présence des atomes) aboutissant aux 14 réseaux de Bravais.

I-2- Réseaux à trois dimensions (7 Systèmes cristallins et 14 réseaux de Bravais (

Chaque réseau est caractérisé par 6 paramètres a, b, c, Les combinaisons possibles des distances (a, b, c) et des angles ( conduisant à 7 systèmes cristallins.

Les mailles élémentaires des 7 systèmes cristallins sont dites mailles primitives.

+

3

2

1

1

Chaque réseau est caractérisé par 6 paramètres a, b, c, Les combinaisons possibles des distances (a, b, c) et des angles ( conduisant à 7 systèmes cristallins.

Les mailles élémentaires des 7 systèmes cristallins sont dites mailles primitives.

+

3

2

1

1

Chap. I :Généralités et notions de base de

la cristallographie 16

Système Description Distances (a, b, c) Angles (

Système 

cubique Toutes les faces sont des carrées. a=b=c ===

Système  hexagonal

2  faces  opposées  sont  des  hexagones  .il  y  a  3 

mailles élémentaires. a=bc = = et =

Système 

tétragone 2 faces opposées sont des carrées et les 4 autres 

sont des rectangles. a=bc ===

Système 

orthorhombique Toutes les faces sont des rectangles. abc ===

Système 

trigonal Toutes les faces sont des losanges. a=b=c ==

Système 

monoclinique 2  faces  opposées  sont  des  parallélogrammes  et 

les 4 autres sont des rectangles. abc ==

Système 

triclinique Toutes les faces sont des parallélogrammes. abc

Système Description Distances (a, b, c)

Système 

cubique Toutes les faces sont des carrées. a=b=c

Système 

hexagonal 2  faces  opposées  sont  des  hexagones  .il  y  a  3  mailles élémentaires.

Système 

tétragone 2 faces opposées sont des carrées et les 4 autres  sont des rectangles.

Système 

orthorhombique Toutes les faces sont des rectangles.

Système 

trigonal Toutes les faces sont des losanges. a=b=c Système 

monoclinique 2  faces  opposées  sont  des  parallélogrammes  et  les 4 autres sont des rectangles.

Système 

triclinique Toutes les faces sont des parallélogrammes.

03/11/2022

I-3-1- Introduction

La détermination de la structure des cristaux (ou de la texture d’un ensemble de cristaux) à partir de la diffraction des rayonnements (R-X par exemple) nécessitera l’utilisation de deux espaces :

-Espace objet (E) et réseau direct (R) (ou réseau cristallin) : dans lequel on repère les positions des atomes, ou ions, constituant le cristal ;

-Espace image (E^*) et réseau réciproque (R^*) : dans lequel on repère les directions des rayons X diffractés par l’objet, et à partir duquel on déduira les éléments structuraux (paramètres de maille linéaires et angulaire, la distance entre les plans cristallins) repérables dans l’espace objet.

I-3-1- Introduction

La détermination de la structure des cristaux (ou de la texture d’un ensemble de cristaux) à partir de la diffraction des rayonnements (R-X par exemple) nécessitera l’utilisation de deux espaces :

-Espace objet (E) et réseau direct (R) (ou réseau cristallin) : dans lequel on repère les positions des atomes, ou ions, constituant le cristal ;

-Espace image (E^*) et réseau réciproque (R^*) : dans lequel on repère les directions des rayons X diffractés par l’objet, et à partir duquel on déduira les éléments structuraux (paramètres de maille linéaires et angulaire, la distance entre les plans cristallins) repérables dans l’espace objet.

I-3- Réseau réciproque

Chap. I :Généralités et notions de base de la cristallographie 18 03/11/2022

 Simplifier  les  calculs  en  radiocristallographie.

  Donner  une  représentation  géométrique  aisée au phénomène de diffraction.

  Exprimer  de  nombreuses  propriétés  physiques des cristaux.

 Simplifier  les  calculs  en  radiocristallographie.

  Donner  une  représentation  géométrique  aisée au phénomène de diffraction.

  Exprimer  de  nombreuses  propriétés 

physiques des cristaux.

La base ⃗�∗ ⃗�∗ , , * du réseau réciproque est définie à partir de la base, �⃗ , , du réseau direct, par les relations suivantes: ⃗�

= ; = ; =

Tel que : = . ˄| volume de la maille élémentaire dans le réseau direct. � |�⃗ (⃗�

Ces ensembles de relations définissent sans ambigüité les trois vecteurs (les trois périodes) ;; du réseau réciproque.

La base ⃗�∗ ⃗�∗ , , * du réseau réciproque est définie à partir de la base, �⃗, , du réseau direct, par les relations suivantes: ⃗�

= ; = ; =

Tel que : = . ˄| volume de la maille élémentaire dans le réseau direct. � |�⃗ (⃗�

Ces ensembles de relations définissent sans ambigüité les trois vecteurs (les trois périodes) ;; du réseau réciproque.

Chap. I :Généralités et notions de base de la cristallographie 20

I-3-1- Définition du réseau réciproque

 =   = 0  = 0

 = 0  =   = 0

 = 0  = 0  = 

03/11/2022

 Modules des vecteurs réciproques.

 1/ | a *| = d₁₀₀ ; 1/ |b *| = d₀₁₀ ; 1/ | c *| = d₀₀₁ soit : 1/ | a *| = |a|.cos(a, a*) soit a   ⋅ a *= 1

 Principe :  a * est perpendiculaire au plan (b,c). Le module de | a *| doit donc être  égal à l’inverse de la hauteur de parallélépipède élémentaire.

 Les deux réseaux ont même symétrie.

Dimensions inversement proportionnelles.

Le réseau réciproque est une représentation des plans réticulaires du réseau direct.

Les réseaux réciproque et direct ont même origine (origines confondues).

 Dimension du réseau réciproque : Å^-1

  Le réseau réciproque du réseau réciproque est le réseau direct.

 Modules des vecteurs réciproques.

 1/ | a *| = d₁₀₀ ; 1/ |b *| = d₀₁₀ ; 1/ | c *| = d₀₀₁ soit : 1/ | a *| = |a|.cos(a, a*) soit a   ⋅ a *= 1

 Principe :  a * est perpendiculaire au plan (b,c). Le module de | a *| doit donc être  égal à l’inverse de la hauteur de parallélépipède élémentaire.

 Les deux réseaux ont même symétrie.

Dimensions inversement proportionnelles.

Le réseau réciproque est une représentation des plans réticulaires du réseau direct.

Les réseaux réciproque et direct ont même origine (origines confondues).

 Dimension du réseau réciproque : Å^-1

  Le réseau réciproque du réseau réciproque est le réseau direct.

Le réseau construit sur les trois vecteurs de la  base ;;  s’appelle Réseau réciproque R*. Il est  constitué  par  l’ensemble  des  points,  ou  nœuds,  extrémités  de  tous  les  vecteurs  ()  définis par :

  = h  + k  + l avec h, k et l des entiers

Considérons, par ailleurs un plan (hkl) du  réseau direct son équation est hx+ky+lz=m Nous avons d’une part : 

  = h  + k  + l 

Et d’autre part =x+y+z

D étant un point du plan de coordonnées x, y,  z. L’équation du plan équivalent donc à:

 . =m  Or . =OR. OH

H étant la projection de D sur OR Par suite OH=m/OR=cte.

Le réseau construit sur les trois vecteurs de la  base ;;  s’appelle Réseau réciproque R*. Il est  constitué  par  l’ensemble  des  points,  ou  nœuds,  extrémités  de  tous  les  vecteurs  ()  définis par :

  = h  + k  + l avec h, k et l des entiers

Considérons, par ailleurs un plan (hkl) du  réseau direct son équation est hx+ky+lz=m Nous avons d’une part : 

  = h  + k  + l 

Et d’autre part =x+y+z

D étant un point du plan de coordonnées x, y,  z. L’équation du plan équivalent donc à:

 . =m  Or . =OR. OH

H étant la projection de D sur OR Par suite OH=m/OR=cte.

I-3-Proprieté fondamentale du réseau réciproque

Chap. I :Généralités et notions de base de la cristallographie 22 03/11/2022

Tous les points D du plan se projettent en H. Le plan est perpendiculaire à OR en H. Tel est le 1^er résultat important: tout plan (hkl) du réseau direct est

perpendiculaire à la rangée [hkl]* du réseau

réciproque. Par ailleurs si le plan (hkl) considéré est le plan voisin du plan passant par l’origine. Son

équation est hx + ky + lz = 1 et OH et la distance inter-réticulaire d_hkl par conséquent: OH=1/OR

2^éme résultat important: la distance inter réticulaire d_hkl est l’inverse de la longueur du vecteur

réciproque de coordonnées hkl:

d_hkl=1/

Tous les points D du plan se projettent en H. Le plan est perpendiculaire à OR en H. Tel est le 1^er résultat important: tout plan (hkl) du réseau direct est

perpendiculaire à la rangée [hkl]* du réseau

réciproque. Par ailleurs si le plan (hkl) considéré est le plan voisin du plan passant par l’origine. Son

équation est hx + ky + lz = 1 et OH et la distance inter-réticulaire d_hkl par conséquent: OH=1/OR

2^éme résultat important: la distance inter réticulaire d_hkl est l’inverse de la longueur du vecteur

réciproque de coordonnées hkl:

d_hkl=1/

Comme d_hkl=1/ on déduit la relation générale:

Pour le système hexagonal : (a = b ≠ c et α = β = π/2, γ = 2π/3).

Pour le système cubique : (a = b = c et α = β =γ = π/2).

Comme d_hkl=1/ on déduit la relation générale:

Pour le système hexagonal : (a = b ≠ c et α = β = π/2, γ = 2π/3).

Pour le système cubique : (a = b = c et α = β =γ = π/2).

I-3-5- La distance inter rétculaire (distance entre plans cristallins) �

Chap. I :Généralités et notions de base de la cristallographie 24 03/11/2022

I-3-4-1- Paramétres angulaires

Quant  aux  paramètres  angulaires  du  réseau  réciproque,  ils  peuvent  être  calculés à partir de la géométrie sphérique:

La maille réciproque a pour volume : V=

.(

˄

)

I-3-4-1- Paramétres angulaires

Quant  aux  paramètres  angulaires  du  réseau  réciproque,  ils  peuvent  être  calculés à partir de la géométrie sphérique:

La maille réciproque a pour volume : V=

.(

˄

)

= = =

I-3-4-2- Relation entre paramètres linéaires et angulaires:

Les paramètres du réseau réciproque a*, b*, c * peuvent être déterminé selon les relations décrit dans le tableau suivant. Appliquant le même raisonnement au réseau réciproque, on déduit les paramètres du réseau direct. a, b, c.

I-3-4-3- Relation entre les volumes de mailles directe et réciproque:

Appelons V et V* respectivement les 2 volumes on a:

V= ab sin /c* on aura de même: V*=a*b* sin/c d’où V. V*=1 I-3-4-2- Relation entre paramètres linéaires et angulaires:

Les paramètres du réseau réciproque a*, b*, c * peuvent être déterminé selon les relations décrit dans le tableau suivant. Appliquant le même raisonnement au réseau réciproque, on déduit les paramètres du réseau direct. a, b, c.

I-3-4-3- Relation entre les volumes de mailles directe et réciproque:

Appelons V et V* respectivement les 2 volumes on a:

V= ab sin /c* on aura de même: V*=a*b* sin/c d’où V. V*=1

I-3-4- Relations entre les grandeurs directes et réciproques

Chap. I :Généralités et notions de base de la cristallographie 26

a*= b*= c*=

a= b= c=

03/11/2022

Chap. I :Généralités et notions de base de la cristallographie 28

Réseau direct Réseau  réciproque

Noeud uvw hkl

Rangée [uvw] [hkl]

Plan réticulaire (hkl) (uvw)

03/11/2022

Fin de chapitre I