Séries géométriques

Séries géométriques

Progression géométrique

A Ar Ar² Ar³ · · · Ar^k Ar^k+1 · · · Arⁿ

×r ×r ×r

A=3 r= 1 2

3 3

2 3 2²

3

2³ · · · 3 1 2

!k

· · ·

Progression géométrique — terminologie

terme initialA raisonr terme généralAr^k

A Ar Ar² Ar² · · · Ar^k · · · Arⁿ

×r

Généralité du terme général

0 1 2 3 · · · k k+1 · · · n

A Ar Ar² Ar³ · · · Ar^k Ar^k+1 · · · Arⁿ

terme général=Ar^k Ar⁰=A(1)=A

La raison est constante

A Ar Ar² Ar³ · · · Ar^k Ar^k+1 · · · Arⁿ

Ar^k+1 Ar^k =r

Exemples de progressions géométriques

terme initialA=2 raisonr=₁₀¹ 2 2

10 2 100

2 1000· · ·

terme initialA=1 raisonr=−¹

2

1−1 2

1 2²− 1

2³· · ·

terme initialA=−1 raisonr=2

−1−2−4−8· · ·

Notation pour le terme général d’une suite

terme général a_k=Ar^k

a₀, a₁, a₂, · · ·, a_k, · · ·, a_n A, Ar, Ar², · · ·, Ar^k, · · ·, Arⁿ

Exemples

a_k= 1

k 1,1

2,1 3,1

4,· · · a_k=2 1

10

!k

2, 2 10, 2

100, 2 1000,· · ·

Exemples

a_k=(−1)^k+1

k²+1 −1,1 2,−1

5, 1 10,· · · a_k= 2k

2k+1 0,2

3,4 5,6

7,· · ·

Terme général d’une suite donnée

−1,1 2,−1

3,1 4,· · ·

a_k= (−1)^k

k , k=1,2,3,· · ·

Terme général d’une suite donnée

−1,1 2,−1

3,1 4,· · ·

a_k= (−1)^k

k , k=1,2,3,· · ·

−1,1 2, 3

4,5 8, 7

16,· · ·

a_k=2k−1

2^k , k=0,1,2,3,· · ·

−1,1 2, 3

4,5 8, 7

16,· · ·

a_k=2k−1

2^k , k=0,1,2,3,· · ·

Quelques trucs pour trouver le terme général

• Signes qui alternent . . . (−1)^kou (−1)^k+1

• Nombres pairs . . . 2k

• Nombres impairs . . . 2k+1 ou 2k−1

• Carrés 1,4,9,16, etc. . . .k²

• Cubes 1,8,27, 64, 125, etc. . . .k³

• Puissances de 2 : 2, 4, 8, 16, 32, etc. . . 2^k

• Puissances de 3 : 3, 9, 27, 81, etc. . . 3^k

• Factorielle 1,2,6,24, etc. . . .k!=1·2·3· · ·(k−1)(k)

Terme général=fonction

a:Z→R a_k= f(k)

a_k=k, k≥0 a_k=1

k, k≥1 a_k=(−1)^k

k! , k≥0 a_k=2k−1

2^k , k≥0

En général, on utilise les indices commea_kbjpour les fonctions surZet des variables f(x),g(y) pour les fonctions surR.

Somme géométrique

n

X

k=0

Ar^k=A| {z }+Ar+Ar²+· · ·+Ar⁽ⁿ⁻¹⁾+Arⁿ

n+1 termes

Sommes géométriques

n

X

k=0

Ar

= A 1 − r

1 − r

Rappel

n

X

k=1

k=n(n+1) 2

S = 1 + 2 + 3 +· · ·+ n

S = n +(n−1)+(n−2)+· · ·+ 1 2S=(n+1)+(n+1)+(n+1)+· · ·+(n+1)

On adapte l’idée aux séries géométriques

S =Ar⁰+Ar¹+Ar²+· · ·Ar⁽ⁿ⁻¹⁾+Arⁿ

rS =Ar¹+Ar²+Ar³+· · ·+Arⁿ+Ar⁽ⁿ⁺¹⁾

×r

S =Ar⁰+Ar¹+Ar²+· · · + Ar⁽ⁿ⁻¹⁾+Arⁿ

−rS = Ar¹+Ar²+Ar³ + · · · +Arⁿ+Ar⁽ⁿ⁺¹⁾ S −rS=Ar⁰+ 0 + 0 + · · · + 0 −Ar⁽ⁿ⁺¹⁾

(1−r)S =A

1−r⁽ⁿ⁺¹⁾ S =A1−r⁽ⁿ⁺¹⁾

1−r (sir,1)

Note : c’est possible d’écrire ce résultat d’une manière (légèrement) différente :

n

X

k=0

Ar^k=Arⁿ⁺¹−1 r−1

Série géométrique

∞

X

k=0

Ar^k=A+Ar+Ar²+Ar³+Ar⁴+· · ·=?

Série géométrique

∞

X

k=0

Ar^{k def}= lim

n→∞

Xn

k=0

Ar^k

Terme général Sommes partielles Série a_k=Ar^k S_n=

n

X

k=0

Ar^k

∞

X

k=0

Ar^k= lim

n→∞S_n

Valeur d’une série géométrique ?

∞

X

k=0

Ar^k= lim

n→∞

n

X

k=0

Ar^k _n→∞^limrn+1=



















0 si−1<r<1 1 sir=1

@ sir=−1

@ sir>1 our<−1

= lim

n→∞A1−rⁿ⁺¹ 1−r

=A 1 1−r

1− lim

n→∞rⁿ⁺¹

=























A_1−r¹ si −1<r<1

@ sir=1

@ sir=−1

@ sir>1 our<−1

∞

X

k=0

Ar^k=











A₁₋¹_r si −1<r<1

@ sir≥1 our≤ −1

Sir=−1,

∞

X

k=0

(−1)^k=1−1+1−1+1−1+· · ·@ est une série divergente.

Sir=1,

∞

X

k=0

1^k=1+1+1+1+1+1+· · ·=∞ est une série divergente.

Sir=2,

∞

X

k=0

2^k=1+2+4+8+16+32+· · ·=∞ est une série divergente.

0.3=0.33333333· · ·

= 3 10+ 3

10² + 3 10³ +· · ·

=

∞

X

n=0

3 10

1 10

!n

= 3/10 1−1/10

= 3/10 9/10 =1

3

0,9=0,99999999· · ·

= 9 10+ 9

100 + 9

1000+ 9 10000· · ·

= 9 10+ 9

10 1 10

! + 9

10 1 10

!2

+ 9 10

1 10

!3

· · ·

=

∞

X

k=0

9 10

1 10

!k

= 9 10

1 1− ¹

10

= 9 10

1 9/10 =1

Que vaut 0,2341=0,2341414141· · ·? 0,2341=0,2341414141· · ·

= 23 100 + 41

100² + 41 100³+ 41

100⁴· · ·

= 23 100 + 41

100² + 41 100²

1 100

! + 41

100² 1 100

!2

· · ·

= 23 100 +

∞

X

k=0

41 100²

1 100

!k

= 23 100 + 41

100² 1 1−₁₀₀¹

= 23 100 + 41

100² 1

99/100 = 23 100 + 41

9900 = 1159 4950

Tout nombre décimal périodique correspond à une fraction

STOP !