Terminale S Devoir maison n˚8 2016 - 2017
A rendre le mardi 6 décembre 2016
EXERCICE 1 Un camion, occupant les 4 mètres de large d’un chemin rectiligne, arrive à la vitesse de 60 km.h−1 à proximité d’un lapin. Au moment où le camion n’est plus qu’à 7 mètres du lapin, celui-ci sursaute et traverse le chemin en ligne droite à 30 km.h−1.
Sur le schéma ci dessous : le segment [CC′] représente l’avant du camion ; le lapin va du point A au point D avec un angleθ=BAD\ où 06θ <π
2 (en radians).
1. Déterminer les distancesADetCDen fonction deθet les tempst1 ett2 mis par le lapin et le camion pour parcourir respectivement les distancesAD etCD.
2. On posef(θ) = 7
2 +2 sinθ−4 cosθ .
Montrer que le lapin aura traversé la route avant le passage du camion si et seulement si f(θ)>0.
3. Conclure.
• • • EXERCICE 2 Pour tout nombre complexez, on pose
f(z) =z4−10z3+ 38z2−90z+ 261
1. Démontrer que siz est solution de l’équation, alors son conjuguéz l’est aussi.
2. Soitb∈R, exprimer en fonction de bles parties réelle et imaginaire de f(ib).
3. En déduire que l’équationf(z) = 0 admet deux solutions imaginaires pures.
4. Démontrer qu’il existe deux nombres réels α et β que l’on déterminera, tels que pour tout nombre complexez on ait
f(z) = (z2+ 9)(z2+αz+β).
5. Résoudre dansCl’équation f(z) = 0.
6. Dans le plan complexe, le quadrilatère non croisé dont les sommets sont les points images des solutions de l’équation f(z) = 0 est-il un parallélogramme ?
• • •
EXERCICE 3 On considère les suites (un) et (vn) définies, pour tout entier natureln, par : u01 , v0 =√
2 , un+1 = un+vn
2 etvn+1 = un+vn
√2 1 +√
2 . 1. Soit (wn) la suite définie, pour tout entier naturelnpar :wn=vn−un.
(a) Montrer que la suite (wn) est une suite géométrique de raison 3 2 −√
2.
(b) En déduire sa limite.
2. Montrer que, pour tout entier natureln,un6vn. 3. Déterminer le sens de variation des suites (un) et (vn).
4. Démontrer alors que les suites (un) et (vn) sont convergentes et ont la même limite.
Lycée Bertran de Born - Périgueux 1 sur 1
