LES NOMBRES COMPLEXES.

LES NOMBRES COMPLEXES.

FORMES TRIGONOMÉTRIQUE ET EXPONENTIELLE.

Dans tout le chapitre, on se place dans un repère orthonormal direct ( ^{O u v .} )

Tous les angles sont en radians !!

Ce chapitre est "sans calculatrice". Essayez de vous entraîner à effectuer le maximum de calculs sans votre calculatrice.

En bleu : ce qui aurait pu être dit à l oral. Ce n est pas rigoureux !

En violet : ce qui est un peu plus compliqué, ce n est pas grave si vous ne le comprenez pas.

En orange, les numéros des exercices. Certains seront dans le plan de travail. D autres, parfois plus difficiles ne sont que pour les volontaires. Les exercices sont ceux du chapitre 8 du livre.

I. Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul.

Pour repérer un point dans un repère, on a jusqu à maintenant utilisé les coordonnées cartésiennes (x y ) : on peut expliquer à quelqu un où est un point en donnant son abscisse et son ordonnée.

On peut chercher d autres façons de repérer un point. Il existe les coordonnées polaires : on peut expliquer à quelqu un où est un point M en donnant sa distance à l origine et l angle que forme la droite ( OM ) avec l axe des abscisses.

Par exemple, si on donne les informations OM 2 et ( u OM )

3 , on peut placer le point M comme-ci-contre :

M a pour coordonnées polaires

 

 

2 3 . On donne toujours l angle avec l axe des abscisses.

Comme on l a vu dans le premier chapitre sur les complexes, le point M est associé au nombre complexe z a ib où a et b sont l abscisse et l ordonnée de M. M est l image de z et z est l affixe de M.

1. Module et argument d’un nombre complexe non nul.

Définition : Soit z un nombre complexe non nul d’image M dans le plan complexe.

Le module de z, noté z , est la longueur OM.

L argument de z, noté arg(z) est une des mesures en radian de l angle ( ^{u OM} ) . Il est défini à 2k près avec k entier. On écrit alors arg(z) mod(2 ) ou arg(z)  (2 ). Le symbole  se lit "congru à", il a la même signification qu en spé maths.

On pose | | 0 0.

M a pour coordonnées polaires ( | | ^z ) ^.

Un nombre complexe a une infinité d arguments

En effet, si est un argument de z, alors +2 ; 4 … 2 ; 4 … sont aussi des arguments de z

(on peut ajouter ou enlever des multiples de 2 sans changer l angle).

Rappel : Pour tout complexe z, z  z = z ².

Soit z a ib l affixe de M. On va maintenant chercher un lien entre les coordonnées cartésiennes (a b ) de M et ses coordonnées polaires ( | | z ) .

D après le th de Pythagore, | | z

²

a² b² et donc | | z a² b²

D après les formules de trigonométrie vues au collège (cela fonctionne aussi si l angle est obtus) : cos( ) adjacent

hypot énuse a

| | z et sin( ) opposé hypot énuse

b

| | z Théorème : Soit z un nombre complexe non nul. On note arg(z). Alors :

z a²  b²= OM cos  a

| | z sin  b

| | z

Sur la figure, ar g( z) et on peut exprimer en fonction de les arguments des nombres z, z et z

Essayez de compléter seul les égalités ci-dessous (en fonction de arg (z)) avant de lire la propriété en dessous pour vérifier.

arg( z ) ………….

arg ( ) ^{z }

arg(  z ) 

Les quatre points sont à la même distance de O donc les quatre nombres z, z, z et z ont le même module.

Prop ri étés :

arg( z ) arg( z)  (2) arg ( ) ^{z   arg (z) (2 ) arg(  z )    arg (z ) (2)}

| | ^z | ^z | | ^z | | | ^z

Remarques :

Deux nombres complexes non nuls sont égaux ssi ils ont le même module et le même argument à un multiple de 2 près.

Un nombre complexe non nul est réel ssi son argument est 0 ou  à un multiple de 2 près.

Un nombre complexe non nul est imaginaire pur ssi son argument est 

2 ou  

2 à un multiple de 2 près.

En effet, les nombres réels sont associ és aux points de l axe des absci ss es (à droi te de l ori gi ne si le nombre est pos itif, à gauche si l e nombre est négati f) et l es nom bres

imagi naires purs sont as soci és aux points de l axe des ordonnées (au des sus de l ori gi ne si le nombre est de l a form e ki avec k 0, en dessous si le nombre est de l a form e ki avec k 0) Rappel : ( ^{u OM} ) ^.

4 est un réel 3 est un réel 2i est imaginaire pur 2 i est imaginaire pur

arg(4)0(2 ) arg( 3) (2 ) arg(2 i) 2(2 ) arg ( 2i ) 2(2 )

Exem ples : S ans calcul, dét erminer l e m odul e et l argum ent des nom bres sui vants : z

₁

3 ; z

₂

2 ; z

₃

5i ; z

₄

i ; z

₅

1 i ; z

₆

2 2 i.

Cherch er l exempl e avan t d e regard er l a correcti on. Aid ez -vous d un e figu re !

Vous p ouvez utilis er l e fai t qu e l a diagonale d un carré de côté a mesure a 2 (vu dans la fiche Rappels sur les racines carrées).

Correction des exemples :

| | ^{3 3 car OM 3}

arg(3)  0[2 ] car ( u OM ) 0[ 2 ]

| ² | ^{2 car OM} 2 (une distance est positive) arg( 2)  [2 ] car ( ^{u OM} )  [2

| | 5 i 5 car OM 5 et arg (5i )

2 [2 ] car ( u OM ) 

2 [2 ]

| i | 1 car OM 1 arg( i ) 3

2 [2 ] 

2 [2 ]

les deux sont justes mais on choisi t en général l argum ent entre et (mesure principal e de l angle)

| ^{1 i} | ^{2 OM} est la diagonale d un carré de côté 1 donc OM 1 2 2 arg (1 i )

4 [2 ] car ( u OM ) 

4 [2 ] L angl e ent re l axe des abs ciss es et l a droit e (OM) mesure 45° donc /4 radians

| ^{2 2i} | ^{2 2} OM est la diagonale d un carré de côté 2 donc OM 2 2 arg( 2 2 i ) 3

4 [2 ] l angle entre u et OM mesure 3

4 (voir figure)

Méthode à connaître :

Exem ple : P ar l e cal cul , dét erminer l e m odul e et l argum ent de z 3 i . Ici z est sous la forme algébrique a ib avec a 3 et b 1.

On com mence par calcul er l e m odul e avec l a formul e | | ^{z a ² b ² .}

| | ^z ( ³ ) ^{² 1² 3 1 4 2}

On donne ensui te un nom à l argum ent de z pour simplifier la rédaction :

Soit un argum ent de z On dit un argument et pas l argument car un nombre complexe a une infinité d arguments.

On cherche ensuite cos( ) et sin( ) à l aide des formules cos( ) a

| | ^{z et sin( )}

b

| | ^z

cos( ) a

| | ^z

3

2 et sin ( ) b

| | ^z

1 2

On cherche enfin en utilisant les valeurs remarquables et, si nécessaire, le cercle trigo comme en calcul mental.

cos( ) 3

2 et sin( ) 1

2 donc 

6 [2 ] Ainsi, un argu ment d e z est

6 . 44, 45, 70, 71, 72, 73

2. Forme trigonométrique d’un nombre complexe non n ul.

Soit z a ib la forme algébrique d un nombre complexe.

On a vu que cos( a

| | z et sin( ) b

| | z . Alors a | | z cos et b | | z sin on multiplie juste les égalités par | | z Ainsi , z a ib z cos ( ) i z sin( ) z (cos( ) isin( ) ) on rem place a et b par ce qu on a trouvé avant et on factorise par | | z

Propriété définition : Soit z un nombre complexe non nul de module r et d’argument .

On a z r(cos( )+ isin( ) : c’est la forme trigonométrique de z.

Att ention : il faut avoir un nom bre posit if en fact eur et un dans la parenthèse, et bien sin(…) et cos(…).

Dans la su ite, nous pourrons noter (même si c est un p eu moins ri gou reux) p our qu e ce soi t p lus si mpl e et plus lisibl e : arg (z ) … pour dire " un argument de z est …"

Méthodes des exemples 1 et 2 à connaître :

Exem ple 1 : Soit z −2 2i 3 . Donner l a forme t ri gonom ét rique de z.

On cherche le module et l argument de z à l aide de la méthode de la page précédente : z a ib avec a 2 et b 2 3 .

r | | z ( 2)² ( ^{2 3} )

²

^{4 12 4}

cos( ) a

| | ^z

2 4

1

2 et sin( ) b

| | ^z

2 3 4

3 2 Alors  2

3 [2 On a les valeurs de π

3 mais le signe du cos change donc c’est π− π 3 = 2π

3 Il ne reste qu à remplacer r et dans la forme trigonométrique qui est z r(cos i sin ) Ainsi la forme trigonométrique de z est z 4

 

  cos  

  2

3 isin

 

  2

3 on laisse comme ça : on doit voir apparaître l angle donc on ne remplace pas cos

 

  2

3 et sin

 

  2

3 par leurs valeurs (sinon on va retrouver la forme de l énoncé de départ).

Exemple 2 : Soit z 3

 

  cos  

  3 isin

 

 

3 . Donner la forme algébrique de z.

Pour passer de la forme trigonométrique à la forme algébrique, on remplace cos et sin par leurs valeurs puis on développe.

cos  

  3

1 2 et sin

 

  3

3

2 donc la forme algébrique de z est z 3

 

  1

2 i 3

2 3 2

i3 3

2

Propriété : Si z r(cos( ) isin( )) avec r 0, alors r(cos( ) isin( )) est la forme trigonométrique de z.

On a alors | | ^{z r et arg (z ) .}

Cette propriété signifie que la forme trigonométrique est unique.

Attention : r 0 est nécessaire.

Exemple plus difficile : Donner la forme trigonométrique de

z 2

 

  cos  

  5 isin

 

 

5 . Donner | | ^z et arg(z).

Ce n est pas la forme trigonométrique car 2 0. Il faut donc transformer pour avoir un nombre positif devant la parenthèse. Ici ce nombre sera 2 (on ne voit pas ce que ce pourrait être d autre).

z 2

 

  cos  

  5 isin

 

 

5 2 ( 1)

 

  cos  

  5 isin

 

  5

=2  

  cos  

  5 i

 

  sin  

  5

On a bien 2 devant la parenthèse mais on n a pas cos( )+isin( ) dans la parenthèse : il faut se débarasser des devant le cos et le sin.

On cherche donc un angle tel que cos cos

 

 

5 et sin sin

 

  5 . L angle a le sinus opposé à celui de

5 et le cosinus opposé à celui de /5: On utilise le cercle trigo pour trouver .

A l aide du cercle, on obtient

5 [2 ] On a cos

 

 

5 cos

 

  5 et sin

 

 

5 sin

 

 

5 donc on peut remplacer dans l expression de z : Alors z 2

 

  cos  

  5 isin

 

  5 = 2

 

  cos  

  6

5 i sin

 

  6

5

On a bien la forme trigonométrique de z (2 est bien positif, et on a cos(…) isin(..) dans la parenthèse.

Donc | | ^z 2 et un argu ment de z est 6 5 .

20, 21, 22 (plu s du r), 77 (a à g), 78(plu s dur)

II. Opérations sur l es modul es et l es argu men ts .

Propriétés : Pour tous nombres complexes non nuls z et z′ et pour tout entier naturel non nul n : z  z’  z + z’ On ne peut pas "couper un module (ni un argument) en 2" quand il y a une somme dedans.

zz’ z  z’ arg(zz ′) arg( z ) arg (z ′) z

ⁿ

 z

ⁿ

arg(z

ⁿ

) n arg(z)

 

  1 z

1

| | z arg

 

  1

z arg(z)

 

  z z

| | ^z

| | ^{z arg }

 ^z  

z arg(z)  arg(z ) Rappel de première à connaître (utile dans la démonstration)

Pour tous reels a et b : cos(a b) cosa cosb sina sinb et sin(a b) sina cosb sinb cosa

Démonstration de la propriété dans le cas de zz’ :

Soient z r (cos isin ) et z r (cos i sin ) deux complexes écrits sous forme trigonométrique.

On a donc r 0 et r 0.

zz rr ((cos isin )(cos isin )) On développe et on met i en facteur de la partie imaginaire.

rr ((cos cos −sin sin ) i(sin cos cos sin ))

On utilise le cours de première : cos(a b) cosa cosb sina sinb et sin(a b) sina cosb sinb cosa Ainsi zz rr (cos( ) isin( )) avec rr 0.

rr (cos( ) isin( )) est donc la forme trigonométrique de zz et on a | | ^{zz r r} | | ^z | | ^{z et}

arg(zz ) arg(z) arg(z )

L argument transforme les produits en sommes et les quotients en différences.

Application :

On pose Z ( ^{3 i} ) ^{(1 i)}

1. Déterminer la forme algébrique

2. Déterminer la forme trigonométrique de Z 3. En déduire les valeurs exactes de cos

 

  7

12 et sin

 

  7

12 .

Chercher l appli cation avant de regarder la correcti o n même si ell e es t un peu dure.

Correction de l application :

1. Pour la forme algébrique, on va développer :

La forme algébrique de Z est Z 3 i 3 i i² 3 i 3 i 1 ( ^{1 3} ) ⁱ ( ^{1 3} )

2. Si on part de la forme algébrique de Z pour trouver sa forme trigonométrique avec la méthode vue avant, on arrive à des valeurs compliquées de cos( ) et sin( ) et on ne peut pas trouver avec le tableau des valeurs remarquables et le cercle. Il faut donc procéder autrement en revenant à l expression de départ de Z et en cherchant une forme trigonométrique de chacun des facteurs 3 i et 1 i puis en u tilis ant la propri ét é précédent e .

On pose z 3 i et z' 1 i. Alors Z z z .

 On cherche le module et un argument de z avec la méthode de la page 4 : z 3 i a i b avec ) 3 et b 1.

| | ^z ( ³ )

¹

^{1² 4 2}

Soit un argument de z.

cos( ) a r

3

2 et sin( ) b r

1

2 . Alors

6 5

6 (on reconnaît les valeurs de

6 au signe près puis on utilise le cercle)

La forme trigonométrique de z est 2

 

  cos  

  5

6 i sin

 

  5

6 .

 On cherche le module et un argument de z avec la méthode de la page 4 : z 1 i. On peut procéder comme ci-dessus ou le faire graphiquement :

| | ^{z OM 2} car c est la diagonale d un carré de côté 1.

arg(z ) 4

La forme trigonométrique de z est 2

 

  cos  

  4 isin

 

  4 .

 On cherche le module et un argument de Z en utilisant ce qu on vient de trouver et la propriété : Z z z donc | | ^{Z zz et arg(Z) arg(z) arg(z ).}

On a donc | | Z | | z | | z 2 2 et arg(Z) arg(z) arg(z ) 5

6 4

7

12 .

La forme trigonométrique de Z est donc Z 2 2

 

  cos  

  7

12 isin

 

  7 12 3. On cherche le cos et le sin de 7

12 . C est l argument de Z que nous venons de trouver. On va donc essayer d utiliser Z. On a la forme algébrique de Z, son module et son argument. On peut donc utiliser les formules reliant a, b, | | z , cos( ) et sin( ).

D après le 1., la forme algébrique de Z est Z ( ^{1 3} ) ⁱ ( ^{1 3} ) ^{donc a 1 3 et b 1 3 .}

D après le 2., l argument de Z est 7

12 et le module de Z est | | z 2 2 . On a cos( ) a

| | ^z donc, ici, cos

 

  7 12

1 3

2 2

( ^{1 3} ) ²

2 2 2

2 6

4 et sin( ) b

| | z donc, ici, sin

 

  7

12

1 3

2 2

( ^{1 3} ) ²

2 2 2

2 6

4 76, 77 (h,i ,j ), 81 , 46,

III. Interp rétati on géométriqu e.

A et B sont deux points d abscisses respectives z

A

et z

B

.

Alors AB | ^z

^B

^z

^A

| ( u AB ) arg ( ^z

^B

^z

^A

)

On en déduit que : AC AB  

  z

_C

z

_A

z

B

z

A

et ( AB AC ) arg

 

  z

_C

z

_A

z

B

z

A

A retenir : pour calculer une longueur, on calcule un module pour calculer un angle, on calcule un argument

Démonstration du troisième et du quatrième point à partir du premier et du deuxième : D après le premier point, AB | ^z

^B

^z

^A

| ^{et AC} | ^z

^C

^z

^A

| ^{donc AC}

AB

| ^z

^C

^z

^A

|

| ^z

^B

^z

^A

| ^.

Et on a vu avant que | | z

| | z  

  z

z On peut "regrouper les modules quand on a un quotient ou un produit".

Alors AC AB  

  z

C

z

A

z

B

z

A

.

D après le deuxième point, ( ^{u AB} ) ^arg ( ^z

B

z

_A

) et ( ^{u AC} ) ^arg ( ^z

C

z

_A

)

De plus, on a vu en première que pour tous vecteurs u et v , ( u v ) v u

Alors ( ^{AB AC} ) ( ^{AB u} ) ( ^{u AC} ) ( ^{u AB} ) ( ^{u AC} ) ( ^{u AC} ) ( ^{u AB} )

( ^{AB AC} ) ^arg ( ^z

B

z

_A

) arg ( ^z

C

z

_A

) arg ( ^z

C

z

_A

) arg ( ^z

B

z

_A

) arg

 

  z

C

z

A

z

B

z

A

Application : Chercher l application avant de regarder la correction

Dans le plan complexe, A est le point d affixe 1 i; B est le point d affixe 1 + i et C est le point d affixe 1 3 .

1. Calculer z

C

z

A

z

B

z

A

et l'écrire sous forme algébrique.

2. En déduire que le triangle ABC est équilatéral.

3. Déterminer et représenter l ensemble (E) des points M d affixe z tels que | ^{z 1 i} | ^3.

4. Déterminer et représenter l ensemble (F) des points M d affixe z tels que | ^{z 1 i} | | ^{z 1 3} |

5. Déterminer et représenter l ensemble ( G) des points M d affixe z tels que arg (z 1 i )

4 .

Correction de l application : 1. z

C

z

A

z

_B

z

_A

1 3 1 i

1 i 1 i

3 i 2i

( ^{3 i i} )

2i²

3 i 1 2

1 2

i 3

2 . La forme algébrique de z

C

z

A

z

B

z

A

est 1 2

i 3 2 .

2. "En déduire" signifie qu on doit utiliser la question précédente.

Pour montrer que le triangle est équilatéral, on aurait pu calculer les trois longueurs (en utilisant les modules) mais cela ne respecterait pas la consigne "en déduire".

Pour montrer qu un triangle est équilatéral, on peut montrer qu il a deux côtés de même longueur et un angle de 3 (60°). On a calculé z

C

z

A

z

_B

z

_A

donc on va essayer d utiliser la dernière ligne de la propriété de la page précédente.

On a z

C

z

A

z

_B

z

_A

1 2

i 3 2 .

 On cherche le module et l argument de z

C

z

A

z

B

z

A

. Méthode 1 : on réfléchit.

z

C

z

A

z

B

z

A

1  

  cos  

  3 isin

 

 

3 avec 1 0. On a donc la forme trigonométrique de z

C

z

A

z

B

z

A

et on peut en déduire que

 



 

 z

_C

z

_A

z

B

z

A

1 et arg

 



 

 z

_C

z

_A

z

B

z

A

3 .

Méthode 2 : on applique la méthode vue avant.

 



 

 z

C

z

A

z

B

z

A

a ² b²

 

  1 2

2

 

  3 2

2

1

4 3 4 1 Soit un argument de z

_C

z

_A

z

B

z

A

cos( ) a

| | z 1 2 1

1

2 et sin( ) b

| | z 3 2 1

3

2 . Alors

3 , c'est-à-dire arg

 



 

 z

C

z

A

z

B

z

A

3

 On conclut.

( ^{AB AC} ) ^arg

 



 

 z

C

z

A

z

_B

z

_A

3 et AB AC   

 

 z

C

z

A

z

_B

z

_A

1, c est-à-dire AB AC.

ABC a deux côtés ( AB et AC ) de même longueur et un angle mesurant /3 donc il est équilatéral.

Le triangle ABC est donc équilatéral.

Des questions du type des questions 3 et 4 ont déjà été traitées dans le premier chapitre sur les complexes.

3. M(z) ϵ (E)  | ^{z 1 i} | ^{3 } | ^{z (1 i )} | ^{3 } | ^z

^M

^z

^A

| ^{3  AM 3.}

(E) est le cercle de centre A et de rayon 3.

4. M(z) ϵ (F)  | ^{z 1 i} | | ^{z 1 3} | ^ | ^z

M

z

_A

| z

_M

z

_C

 AM CM.

Les points situés à égale distance de A et C sont les points de la médiatrice de [ AC ].

(F) est la médiatrice du segment [AC].

5. M(z) ϵ (G)  arg (z 1 i)

4  arg (z 1 i)) 4 M(z) ϵ (G)  arg ( ^{z z}

^B

)

4  ( u BM )

4

On cherche à placer M pour que l angle entre u et BM mesure /4 (voir figure)

(G ) est la demi-droite d origine B formant un angle de /4 (45°) avec

l horizontale.

75 (a et b) c et d sont difficiles, 91, 92

IV. La notation exponentielle d’un nombre complexe non nul.

Soit f la fonction définie sur et à valeurs dans par f( ) cos( ) isin( )

f est définie sur donc est un réel et à valeurs dans donc f ( ) est un complexe.

On remarque que :

 Pour tout réels et ’ :

f( ) f( ) (cos( ) i sin( )) (cos( ) i sin( ))

cos( ) cos( ) i sin( ) cos( ) icos( ) sin( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( ) sin( ) sin( ) i (sin( ) cos( ) cos( ) sin( ))

Or, pour tous réels a et b, cos( a b ) cos a cos b sin a sin b et sin( a b) sin a cos b cos a sin b.

Alors : f ( ) f( ) cos( ) i sin( ), c'est-à-dire f ( ) f( ) f( ) f( )

 f(0) = cos(0) isin(0) 1 i 0 1.

Comme la fonction exponentielle, f "transforme les sommes en produits" et vaut 1 en 0. On pose alors la notation :

Pour tout réel , on note e

ⁱ

cos( ) isin( ) e

ⁱ

se lit "exponentielle i "

Attention : ce n est qu une notation pour écrire plus simplement cos( ) i sin( ). On ne fait pas de lien en terminale entre la notation e

ⁱ

et la fonction exponentielle, sauf pour retenir les règles de calcul.

Exem ples :

Ecrire sous forme algébrique e

ⁱ⁰

; e

ⁱ

; e

i

2

; e

i

2

; e

2i 3

Chercher les exemples avant de regarder la correction

Correction des exemples :

e

ⁱ⁰

cos(0) isin(0) 1 0 i 1 e

ⁱ

= cos( ) isin( ) 1 0 i 1 e

i

2

cos

 

  2 i sin

 

 

2 0 1i i

e

i

2

cos

 

  2 isin

 

 

2 0 1 i i e

2i

3

cos

 

  2

3 i sin

 

  2

3

1

2 i 3

2

On a vu que tout nombre complexe non nul z de module r et d’argument pouvait s’écrire z r(cos  + i sin . Ainsi :

Définition : Tout nombre complexe non nul z de module r et d’argument  peut s’écrire z = re

^i

. C’est la forme exponentielle de z.

C est juste une autre écriture de la forme trigonométrique où on remplace cos( ) isin ( ) par la notation e

ⁱ

D après cette définition :

| ^e

ⁱ

| ^{1 et arg e}

ⁱ

^

On a alors avec cette notation (en traduisant simplement les propriétés déjà vues) : Pour tous réels et et tout entier naturel non nul n :

e

ⁱ

e

ⁱ

e

^{i( )}

e

ⁱ

e

ⁱ

e

^{i( )}

e

^{i n}

e

ⁿⁱ

(formule de Moivre)

Exem ple : Calculer e

ⁱ

e

ⁱ

2 .

Chercher l exemple avant de regarder la correction Correction de l exemple :

e

ⁱ

e

ⁱ

2

cos ( ) isin ( ) cos ( ) isin ( ) 2

Or cos( ) cos( ) et sin( ) sin( ).

Alors e

ⁱ

e

ⁱ

2

cos( ) i sin( ) cos( ) i sin( ) 2

2cos( )

2 cos( )

On démontre de même que e

ⁱ

e

ⁱ

2i sin( ) On a donc :

Pour tout réel : cos ()= e

^i

 e

^i

 et sin()= e

^i

 e

^i

i

Rappel : si z a ib avec a et b des réels, alors z a i b. z est le conjugué de z/

Exem ple : Montrer que e

ⁱ

e

ⁱ

Chercher l exemple avant de regarder la correction

Correction de l exemple : D une part,

e

ⁱ

cos ( i si n( ) cos ( ) isi n( ) D autre part, e

ⁱ

cos( ) isin( )

Or on sait que sin( ) sin( ) et cos( ) cos( ) Donc e

ⁱ

cos( ) isin( )

On trouve la même chose que pour e

ⁱ

Ainsi, e

ⁱ

e

ⁱ

On a donc

Pour tout réel : e

ⁱ

e

ⁱ

Exem ple s :

1. Écrire sous forme algébrique z 4e

i 6

2. Écrire sous forme exponentielle z 3 2 2

3 2 2 i

3. Écrire le plus rapidement possible, sous forme exponentielle z 1 4. Écrire le plus rapidement possible, sous forme exponentielle z i 5. Écrire le plus rapidement possible, sous forme exponentielle z i 6. Plus difficile. Écrire sous forme exponentielle z 2e

i 7

7. Plus difficile. Écrire sous forme exponentielle z ie

i 3

Chercher les exemples avant de regarder la correction

Correction des exemples :

1. Pour écrire z sous forme algébrique, on remplace e

ⁱ

par cos( ) isin( ) puis cos( ) et sin( ) par leurs valeurs et on développe :

z 4 e

i

6

4

 

  cos  

  6 i sin

 

 

6 4

 

  3

2 i

 

  1

2 2 3 2 i. La forme algébrique de z 4e

i 6

est 2 3 2i .

2. Pour écrire z sous forme exponentielle, on cherche le module et l argument avec les méthodes vues au début du chapitre. On écrit ensuite z sous la forme re

ⁱ

.

| | ^{z a ² b²} _ ^{ 3 2} _ ^

2

2

 

  3 2

2

2

18

4 18

4 9 3

Soit un argument de z.

cos( ) a

| | ^z

3 2 2 3

2

2 et sin( ) b

| | ^z

3 2 2 3

2 2 donc

4 On a | | ^{z 3 et arg (z )}

4 donc la forme exponentielle de z 3 2 2

3 2

2 i est 3e

i 4

3. z 1. On repère facilement sur un graphique le module et l argument de z : OM 1 donc | | 1 1

( u OM ) 0 donc arg(1) 0

Alors la forme exponentielle de z 1 est e

ⁱ⁰

4. z i . On repère facilement sur un graphique le module et l argument de z : OM 1 donc | ⁱ | ¹

( u OM )

2 donc arg ( i ) 2 Alors la forme exponentielle de z i est e

i 2

5. z i. On repère facilement sur un graphique le module et l argument de z : OM 1 donc | | i 1

( u OM )

2 donc arg(i ) 2

Alors la forme exponentielle de z i est e

i 2

6. z 2e

i

7

n est pas écrit sous forme exponentielle car 2 0.

z 2 e

i

2

2 ( 1)e

i

7

. Or on a vu que 1 e

ⁱ

donc z 2e

ⁱ

e

i

7

2 e

ⁱ

(

⁷

) _{2 e}

ⁱ⁸⁷

_.

La forme exponentielle de z 2 e

i

2

est 2e

i8 7

. 7. z ie

i

3

n est pas sous forme exponentielle car i n est pas un réel.

On a vu que i e

i 2

z ie

i

3

e

i

2

e

i

3

e

ⁱ

(

^{2 3}

) _e

ⁱ⁵⁶

La forme exponentielle de z ie

i 3

est e

i5 6

.

47, 83, 84, , 85, 23, 25, 86