Inégalités de Poincaré cinétiques.

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Submitted on 4 May 2009

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Inégalités de Poincaré cinétiques.

Pascal Azerad, Stéphane Brull

To cite this version:

Pascal Azerad, Stéphane Brull. Inégalités de Poincaré cinétiques.. Comptes Rendus. Mathématique,

Académie des sciences (Paris), 2011, 349 (13-14), pp.759-763. �10.1016/j.crma.2011.06.020�. �hal-

00281738v3�

In´egalit´es de Poincar´e cin´etiques.

Pascal AZERAD

, St´ ephane BRULL

aI3M, UMR 5149, Universit´e Montpellier 2, F-34095 Montpellier cedex 5

bIMT, UMR 5219, Universit´e Paul Sabatier, F-31062 Toulouse cedex 9

R´esum´e

Dans cette note, nous ´ etablissons des in´ egalit´ es de type Poincar´ e pour une famille d’´ equations cin´ etiques. Nous appliquons ensuite cette in´ egalit´ e au traitement variationnel d’un mod` ele cin´ etique lin´ eaire.

Abstract

In this note we prove Poincar´ e type inequalities for a family of kinetic equations. We apply this inequality to the variational solution of a linear kinetic model.

Abridged English version Let T > 0 and Ω a regular domain of R

, not necessarily bounded. Denote a = (1, v) ∈ R

× R

, ∇

= (∂

, ∇

), R = (0, T ) × Ω.

Consider the ”Lie-Sobolev” spaces:

H (a, R) = {f ∈ L

(R); a · ∇

f ∈ L

(R)}, equipped with the norms kf k

= kf k

t,x(R)

+ ka · ∇

f k

t,x(R)

.

Define ∂R

= ({0} × Ω) S ((0, T ) × Γ

) where (0, T ) × Γ

= {(t, x) ∈ R

× R

; v · n

< 0}, n

being the outer unit normal to ∂Ω. We prove the following results.

Proposition 0.1 (Kinetic Poincar´e inequality.) Let T > 0 and v ∈ R

. Let R a regular enough domain of (0, T ) × R

. Let f := f (t, x) ∈ H

(a, R, ∂R

). Then

kf k

t,x

≤ 2T k ∂f

∂t + v · ∇

f k

t,x

. (1)

Proposition 0.2 (Vlasov Poincar´e inequality.) Let T > 0 and R a regular enough domain of (0, T ) × R

× R

. Let f := f (t, x, v) ∈ H

(a, R, ∂R

). Then

kf k

≤ 2T k ∂f

∂t + v · ∇

f + (E + v × B) · ∇

f k

. (2)

Email addresses:[email protected] (Pascal AZERAD),[email protected] (St´ephane BRULL).

We apply inequality (1) to the variational solution by Lax-Milgram lemma of the following linear kinetic model.

( ∂

∂t + v · ∇

)u = G(t, x, v), t ∈]0, T [, x ∈ Ω, v ∈ R

, (3)

u(t = 0, x, v) = u

(x, v), x ∈ Ω, v ∈ R

, (4)

u(t, σ, v) = u

(t, σ, v), σ ∈ Γ

, v ∈ R

. (5)

With a suitable lifting of the boundary and initial conditions (see Lemma 4.1) problem (3, 4, 5) is reformulated for each v ∈ R

:

a · ∇

f = G(·, ·, v) in R = (0, T ) × Ω, (6)

f (t, σ) = 0 on ∂R

= ({0} × Ω) ∪ ]0, T [×Γ

, (7)

and we obtain the last result

Proposition 0.3 Let Ω a domain of R

. Problem (6, 7) has a unique strong solution f := f (t, x, v) such that ∀ v ∈ R

, we have kf (·, ·, v)k

t,x

≤ 2T k G(·, ·, v) k

t,x

.

1. Introduction

Le but de cette note est d’´etablir des in´egalit´es de type Poincar´e dans un cadre cin´etique. Nous appli- quons cette in´egalite `a la r´esolution variationnelle de l’ ´equation de transport cin´etique.

2. In´ egalit´ e de Poincar´ e cin´ etique.

Soit T > 0 et Ω un ouvert r´egulier de R

, pas n´ecessairement born´e. Notons a = (1, v) ∈ R

× R

, ∇

= (∂

, ∇

), R = (0, T ) × Ω.

Consid´erons les espaces de « Lie-Sobolev », espaces naturels introduits dans [6] : H (a, R) = {f ∈ L

(R); a · ∇

f = ∂f

∂t + v · ∇

f ∈ L

(R)}, munis des normes

kf k

= kf k

t,x(R)

+ ka · ∇

f k

t,x(R)

.

Le vecteur a = (1, v) ´etant constant, on montre que H(a, R) est un espace de Hilbert et que les fonctions C

sont denses dans H (a, R). Comme div(a) = 0, f ∈ H(a, R) implique que

f · a ∈ H (div, R) = {ϕ ∈ L

(R); ∇

· ϕ ∈ L

(R)}.

On peut donc d´efinir l’op´erateur de trace normal γ

: f ∈ H(a, R) 7→ f (a · n) ∈ H

(∂R)

o` u n = (n

, n

) ∈ R

×R

est le vecteur normal ext´erieur et ∂R = (]0, T [×∂Ω)∪({0, T } × Ω) . On introduit alors la fronti`ere entrante (resp. sortante) spatio-temporelle ∂R

= {(t, σ) ∈ ∂R; n

+ v · n

< 0} (resp

∂R

= {(t, σ) ∈ ∂R; n

+ v · n

> 0}).

2

Remarque 1 La fronti`ere entrante regroupe la condition initiale et la condition limite entrante : ∂R

= ({0} × Ω) S ((0, T ) × Γ

).

On peut alors d´efinir l’espace

H

(a, R, ∂R

) = {f ∈ H(a, R); γ

f = 0 sur ∂R

}.

Le principal r´esultat est l’in´egalit´e de Poincar´e cin´etique suivante.

Proposition 2.1 (In´egalit´e de Poincar´e cin´etique.) Soit T > 0 et v ∈ R

. Soit R un ouvert r´egulier de (0, T ) × R

. Soit f := f (t, x) ∈ H

(a, R, ∂R

). On a l’in´egalit´e

kf k

≤ 2T k ∂f

∂t + v · ∇

f k

. (8)

(Propri´et´e 2.1). On raisonne par densit´e en prenant f lisse. Consid´erons w(t, x) := t − T. Pour tout (x, t) ∈ R, w(t, x) ≤ 0 et

∂w

∂t + v · ∇

w = 1.

D’apr`es la formule de Stokes, on obtient Z Z

R

∂

∂t + v · ∇

(w · f

) = Z

∂R

wf

(n

+ v · n

).

Or f (n

+ v · n

) = γ

f = 0 sur ∂R

. Donc comme w ≤ 0 et f

≥ 0, on a Z Z

R

∂

∂t + v · ∇

(w · f

) = Z

∂R⁺

wf

(n

+ v · n

) ≤ 0.

D’autre part, ∂

∂t + v · ∇

(w · f

) = f

+ 2w f ( ∂f

∂t + v · ∇

f ).

On obtient alors Z Z

Q

f

≤ 2kwk

Z Z

Q

|f |

∂f

∂t + v · ∇

f .

Avec l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz kf k

t,x

≤ 2kwk

k ∂f

∂t + v · ∇

f k

t,x

. Comme kwk

≤ T , on obtient le r´esultat.

Remarque 2 La constante T est ind´ependante de v et le domaine Ω n’a pas besoin d’ˆetre born´e. En effet le domaine espace-temps R est automatiquement born´e dans la direction du temps.

3. Une in´ egalit´ e de Vlasov-Poincar´ e.

A partir de maintenant d = 3. Soit R = (0, T ) × Ω × R

. Consid`erons l’´equation de Vlasov

∂f

∂t + v · ∇

f + (E + v × B) · ∇

f = 0

o` u E := E(t, x) et B := B(t, x) sont respectivement les champs ´electriques et magn´etiques, suppos´es r´eguliers, par exemple C

. Notons

a = (1, v, E(t, x) + v × B(t, x)) ∈ R

× R

× R

. On remarque que ∇

· a = ∇

· (v × B(t, x)) = P

j

∂

∂v_j

(v × B(t, x))

= 0, car (v × B(t, x))

d´epend seulement de v

pour i 6= j. On a alors

∇

· (f · a) = a · ∇

f (9)

Remarque 3 La propri´et´e (9) permettrait certainement d’abaisser la r´egularit´e de E et B.

On consid`ere l’espace de Sobolev anisotrope :

H (a, R) = {f ∈ L

(R); f · a ∈ L

(R) et a · ∇

f ∈ L

(R)}, muni de la norme

kf k

= kf · ak

t,x,v(R)

+ ka · ∇

f k

t,x,v(R)

.

Remarque 4 Comme v peut ˆetre arbitraire, a est non born´e.

D’apr`es (9) on a

H (a, R) = {f ∈ L

(R); f · a ∈ H (div, R)}.

On peut alors d´efinir un op´erateur de trace normal γ

: f ∈ H(a, R) 7→ f (a · n) ∈ H

(∂R)

o` u n = (n

, n

, 0) ∈ R

× R

× R

est la normale ext´erieure au bord

∂R = ]0, T [×∂Ω × R

∪ {0, T } × Ω × R

.

Notons qu’il n’y a pas de bord dans la direction v. On a a · n = n

+ v · n

et le bord entrant est

∂R

= ]0, T [×Γ

× R

∪ {0} × Ω × R

. On d´efinit alors l’espace

H

(a, R, ∂R

) = {f ∈ H(a, R); f (a · n) = 0 sur ∂R

}.

La proposition s’´enonce.

Proposition 3.1 (In´egalit´e de Vlasov Poincar´e.) Soit T > 0 et R un ouvert r´egulier de (0, T )×R

×R

. Let f := f (t, x, v) ∈ H

(a, R, ∂R

). On a l’in´egalit´e

kf k

≤ 2T k ∂f

∂t + v · ∇

f + (E + v × B) · ∇

f k

. (10)

Preuve (analogue `a la proposition 16). On consid`ere w(t, x) := t − T. Pour tout (x, t) ∈ R, w(t, x) ≤ 0 et

∂w

∂t + v · ∇

w + (E + v × B) · ∇

w = 1.

D’apr`es la formule de Stokes, on obtient

4

Z Z Z

R

∂

∂t + v · ∇

+ (E + v × B) · ∇

(w · f

)(t, x, v) dtdxdv

= Z Z Z

R

∇

(wf

· a) = Z Z

∂R

wf

(n

+ v · n

) = Z Z

∂R⁺

wf

(n

+ v · n

) ≤ 0.

Or

+ v · ∇

+ (E + v × B) · ∇

(w · f

) = f

+ 2 w f

∂t

+ v · ∇

f + (E + v × B) · ∇

f , donc Z

R

f

≤ 2kwk

Z

R

|f |

∂f

∂t + v · ∇

f + (E + v × B) · ∇

f

et on conclut comme dans la preuve de (2.1) 2

4. Application ` a la forme variationnelle du transport cin´ etique.

Soit v ∈ R

7→ G(·, ·, v) ∈ L

((0, T ) × Ω). Consid´erons le probl`eme suivant, pour chaque v ∈ R

. ( ∂

∂t + v · ∇

)u = G(t, x, v), t ∈]0, T [, x ∈ Ω, (11)

u(t = 0, x, v) = u

(x, v), x ∈ Ω, (12)

u(t, σ, v) = u

(t, σ, v), σ ∈ Γ

. (13)

Le probl`eme (11, 12, 13) est reformul´e pour chaque v ∈ R

: a · ∇

u = G(·, ·, v) dans R = (0, T ) × Ω,

u(t, σ) = g(t, σ, v) sur ∂R

= ({0} × Ω) ∪ ]0, T [×Γ

.

Pour se ramener `a des conditions de bord de type Dirichlet homog`ene on d´emontre ais´ement le lemme suivant par la m´ethode des caract´eristiques, qui sont ici rectilignes.

Lemma 4.1 Soit Ω un domaine de R

. Le vecteur v ∈ R

´etant donn´e, il existe g(t, x, v) solution du probl`eme

a · ∇

g = 0, t ∈]0, T [, x ∈ Ω g(0, x, v) = u

(x, v), x ∈ Ω,

g(t, σ, v) = u

(t, σ, v), t ∈]0, T [, σ ∈ Γ

.

De plus, si u

(·, v) ∈ L

(Ω) et si u

(·, ·, v) ∈ L

((0, T ) × Γ

) alors g(·, ·, v) ∈ L

([0, T ] × Ω) et kg(·, ·, v)k

≤ ku

(·, v)k

+ ku

(·, ·, v)k

.

On effectue alors le changement d’inconnue f = u− g o` u g est le rel`evement d´efini par le lemme 4.1. Ainsi f devient solution du probl`eme de Dirichlet homog`ene suivant

a · ∇

f (t, x, v) = G(t, x, v) dans R, (14)

f (t, σ, v) = 0 sur ∂R

. (15)

On obtient alors la proposition suivante.

Proposition 4.1 Soit Ω un domaine de R

. Le probl`eme (14, 15) poss`ede une unique solution forte f := f (t, x, v) v´erifiant pour chaque v ∈ R

kf (·, ·, v)k

t,x

≤ C k G(·, ·, v) k

t,x

(16)

o` u C est une constante positive ind´ependante de la variable v et born´ee par 2T .

Remarque 5 La preuve est inspir´ee de la m´ethode STILS d´evelopp´ee dans ([2], [3], [5]), adapt´ee ` a un cadre cin´etique. Mais la constante C est ind´ependante de la variable v contrairement ` a ([2]).

(Proposition 4.1). Pour chaque v fix´e, consid´erons la forme bilin´eaire suivante B(f, g) =

Z Z

R

(a · ∇

f ) (a · ∇

g) dtdx

et la forme lin´eaire L(g) =

Z Z

R

G (a · ∇

g).

La formulation STILS ([3,2]) du probl`eme s’´ecrit : G ∈ L

(R) ´etant donn´e, trouver f ∈ H

(a, R, ∂R

) telle que

B(f, g) = L(g), ∀g ∈ H

(a, R, ∂R

). (17)

D’apr`es l’in´egalit´e de Poincar´e 2.1, la forme bilin´eaire B est coercive. En utilisant le th´eor`eme de Lax- Milgam, on obtient que le probl`eme (17) est bien pos´e. Il reste ` a prouver que f satisfait `a (14, 15) fortement. Il suffit alors de prouver que

{ ∂ϕ

∂t + v · ∇

ϕ ∈ L

; ϕ ∈ H

(a, R, ∂R

)}

est dense dans L

. Pour cela on reproduit la preuve donn´ee dans [1] (Th´eor`eme 16, pp. 83-84). 2

R´ef´erences

[1] P. Azerad,Analyse des ´equations de Navier-Stokes en bassin peu profond et de l’´equation de transportTh`ese, Universit´e de Neuchˆatel (1996)on line onhttp ://doc.rero.ch.

[2] P. Azerad, J. Pousin In´egalit´e de Poincar´e courbe pour le traitement variationnel de l’´equation de transport C.R.Acad.Sci.Paris 322 (1996), 721-727.

[3] P. Perrochet, P. AzeradSpace-time integrated least squares : Solving a pure advection-diffusion equation with a pure diffusion operator J.Comput.Phys. 117 (1995) 183-193.

[4] O. Besson, J. PousinHele-Shaw approximation for resin transfer molding Z.Angew.Math.Mech. 85 No4, (2005), 227–

241.

[5] O. Besson, J. PousinSolutions for linear conservation law with velocity field inL^∞.Arch.Ration.Mech.Anal. 186, 2007, 159-175.

[6] M. CessenatTh´eor`eme de trace pour les espaces de fonctions de la neutronique.C.R.Acad.Sci.Paris 300(1) 1985 89-92.

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