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Submitted on 1 Jan 1984
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THE OPTICS OF SURFACE PLASMONS
G. Stegeman, A. Maradudin, R. Wallis
To cite this version:
G. Stegeman, A. Maradudin, R. Wallis. THE OPTICS OF SURFACE PLASMONS. Journal de
Physique Colloques, 1984, 45 (C5), pp.C5-233-C5-241. �10.1051/jphyscol:1984535�. �jpa-00224153�
C o l l o q u e C 5 , supplCrnent a u n 0 4 , T o m e 45, a v r i l 1 9 8 4 page
THE O P T I C S O F SURFACE PLASMONS
G . I . S t e g e m a n , A . A . M a r a d u d i n * a n d R.F. w a l l i s *
@ t i c a l Sciences Center and t h e Arizona Research Laboratories, U n i v e r s i t y of Arizona, Tucson, Arizona 85721, U.S. A .
*llePartrnent o f Physics, U n i v e r s i t y o f C a l i f o r n i a a t I r v i n e , I r v i n e , CA 92717, U.S.A.
~ 6 s u m 6
-
On 6 t u d i e l ' i n c i d e n c e d e p l a s m o n s de s u r f a c e o u d e c h a m p s de r a y o n n e m e n t ( a ) s u r l e b o r d d'une s u r f a c e a d a p t e ' e 1 l a p r o p a g a t i o n d'un p l a s m o n d e s u r f a c e e t ( b ) s u r une b a r r i s r e d e l a r g e u r v a r i a b l e e n t r e d e u x t e l l e s s u r f a c e s , e t on c a l c u l e n u m 6 r i q u e m e n t l a r g f l e x i o n , l a t r a n s m i s s i o n e t l a c o n v e r s i o n e n champ d e r a y o n n e m e n t . Nous u t i l i s o n s d a n s n o t r e m o d s l e d e u x p l a n s c o n d u c t e u r s a u d e s s u s e t a u d e s s o u s d e l a s u r f a c e d e p r o p a g a t i o n p o u r l i m i t e r l e nombre d e modes d e p r o p a g a t i o n .A b s t r a c t
-
We h a v e s t c d i e d n u m e r i c a l l y t h e r e f l e c t i o n , t r a n s m i s s i o n , a n d c o n v e r s i o n t o r a d i a t i o n f i e l d s o f s u r f a c e p o l a r i t o n s o r r a d i a t i o n f i e l d s i n c i d e n t ( a ) o n t o t h e e n d f a c e o f a p o l a r i t o n a c t i v e medium o r ( b ) f r o m o n e p o l a r i t o n a c t i v e medium t o a n o t h e r s e p a r a t e d by a v a r i a b l e w i d t h b a r r i e r . T h i s p r o b l e m w a s m o d e l e d by p l a c i n g s h o r t i n g p l a n e s a b o v e and b e l o w t h e p r o p a g a t i o n s u r f a c e t o l i m i t t o a d i s c r e t e n u m b e r t h e p r o p a g a t i n g modes.I
-
INTRODUCTIONS u r f a c e p l a s m o n p o l a r i t o n s a r e a c l a s s i c e x a m p l e o f e l e c t r o m a g n e t i c w a v e s t h a t a r e g u i d e d by a s u r f a c e / I / . T h e i r d i s p e r s i o n r e l a t i o n s a r e w e l l known, a s a r e t h e i r f i e l d d i s t r i b u t i o n s w i t h d i s t a n c e f r o m t h e s u r f a c e i n t o b o t h media b o u n d i n g t h e s u r - f a c e 121. The f i e l d s d e c a y e x p o n e n t i a l l y i n t o b o t h media. It is e x a c t l y t h i s e x p o - n e n t i a l c h a r a c t e r t h a t makes t h e p a s s a g e o f a s u r f a c e p l a s m o n t h r o u g h a b o u n d a r y s u c h a n i n t e r e s t i n g phenomenon. The i n c i d e n c e o f p l a n e w a v e s o n t o a n i n t e r f a c e r e - s u l t s i n a f i n i t e number of r e f l e c t e d a n d t r a n s m i t t e d waves. E v a n e s c e n t f i e l d s con- t a i n a s p e c t r u m o f F o u r i e r c o m p o n e n t s a n d h e n c e t h e i r i n c i d e n c e on a b o u n d a r y c r e - a t e s a c o m p l e x d i s t r i b u t i o n o f f i e l d s a t a b o u n d a r y . The s a t i s f a c t i o n o f t h e u s u a l e l e c t r o m a g n e t i c b o u n d a r y c o n d i t i o n s r e q u i r e s n o t o n l y r e f l e c t e d and t r a n s m i t t e d s u r - f a c e p o l a r i t o n s ( i f s u p p o r t e d by t h e t r a n s m i s s i o n medium), b u t a l s o a c o n t i n u u m o f r a d i a t i o n f i e l d s l e a v i n g t h e i n t e r f a c e r e g i o n .
X I
metal A X 3
Fig. 1
-
One o f t h e g e o m e t r i e s s t u d i e d t h e o r e t i c a l l y . H e r e d = d,.E d
...
surface active 5
The p r o b l e m t h a t we h a v e a d d r e s s e d i s t h e c a l c u l a t i o n o f t h e r e f l e c t i o n , t r a n s m i s - s i o n , and c o n v e r s i o n i n t o r a d i a t i o n f i e l d s o f a s u r f a c e p l a s m o n p o l a r i t o n i n c i d e n t
dielectric:€(w)
2
$ d i e l e c t r i c : ~ ( w ) L '/'" "/'''''// " ,//,/,,///,/,/,,~metal
E g c i
:surface active
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1984535
C5-234 J O U R N A L
DE
PHYSIQUEo n t o a s i n g l e o r m u l t i p l e t r a n s v e r s e b o u n d a r i e s . We h a v e found t h i s t o be a v e r y d i f f i c u l t p r o b l e m i f t h e media i n v o l v e d a r e s e m i - i n f i n i t e . In o r d e r t o g a i n i n s i g h t i n t o t h i s t y p e o f p r o b l e m , we h a v e n o d e l e d i t by l i m i t i n g t h e i n t e r a c t i o n v o l u m e ( a n d h e n c e t h e number o f p r o p a g a t i n g modes) by means o f t w o s h o r t i n g p l a n e s p l a c e d a b o v e and b e l o w t h e p r o p a g a t i o n s u r f a c e . An e x a m p l e i s shown i n Fig. 1 i n which one s i d e o f t h e b o u n d a r y x , = 0 i s o c c u p i e d b y a medium o f d i e l e c t r i c c o n s t a n t ~ d . T h e r e i s a g a p i n O<x,<G o c c u p i e d by a medium of d i e l e c t r i c c o n s t a n t c and t h e r e g i o n x,>G is p o l a r i t o n a c t i v e ( r ( u ) < O f o r x,<O w h e r e we a s s u m e t h e g r m r ( u ) = l - ( u p 2 / 0 2 ) . T h e r e is a d i e l e c t r i c medium o f d i e l e c t r i c c o n s t a n t edt a b o v e (x,>O). To l i m l t t h e number o f modes, we p l a c e s h o r t i n g p l a n e s a t x , = fd. T h e s e p l a n e s a r e p e r f e c t con- d u c t o r s t h a t f o r c e t h e t a n g e n t i a l e l e c t r i c f i e l d s a t t h e i r s u r f a c e s t o b e z e r o . One c a n now s o l v e f o r t h e n o r m a l modes o f t h i s "waveguide" 1 3 1 . They i n c l u d e s u r -
f a c e p o l a r i t o n s c h a r a c t e r i s t i c o f t h e i n t e r f a c e b e t w e e n two s e m i - i n f i n t e media a s l o n g a s t h e s h o r t i n g p l a n e s e p a r a t i o n is much g r e a t e r t h a n t h e p o l a r i t o n f i e l d d e c a y d i s t a n c e i n t o b o t h t h e u p p e r ( r d ) a n d l o w e r ( p o l a r i t o n a c t i v e ) media. The r a d i a t i o n f i e l d s i n t h i s c a s e a r e n o t t h o s e o f t w o s e m i - i n f i n i t e media. They a r e s t a n d i n g w a v e s i n t h e u p p e r medium and h e n c e r a d i a t i o n i s b e i n g r e t u r n e d t o t h e p r o p a g a t i o n p l a n e away from t h e i n t e r f a c e x , = 0, t h e a p p r o p r i a t e d i s t a n c e d e p e n d i n g on t h e p r o p a g a t i o n a n g l e s a s s o c i a t e d w i t h t h e r a d i a t i o n modes. A l s o r e q u i r e d f o r s o l v i n g t h e b o u n d a r y p r o b l e m a r e f i e l d s t h a t d e c a y e x p o n e n t i a l l y a l o n g +x, away from t h e b o u n d a r y x , = 0. The m a j o r d i f f e r e n c e b e t w e e n t h i s m o d e l and t h e s e m i - i n f i n i t e media g e o m e t r y is t h e t y p e o f r a d i a t i o n f i e l d s t h a t e x i s t . I n t h e s h o r t i n g p l a n e m o d e l , t h e r e is a d i s c r e t e n u m b e r o f r a d i a t i o n f i e l d s ( i n s t e a d o f a c o n t i n u u m ) a n d t h e modes a r e s t a n d i n g waves, i.e. a s u p e r p o s i t i o n o f t w o r a d i a t i o n f i e l d s . F o r t h i s model t o be a u s e f u l a p p r o x i m a t i o n , t h e number o f r a d i a t i o n f i e l d s s h o u l d be l a r g e e n o u g h s o t h a t t h e r e s u l t s p r o d u c e a q u a s i - c o n t i n u u m o f r a d i a t i o n f i e l d s . F u r t h e r m o r e , i f t h e r a d i a t i o n modes t r a v e l i n g a l m o s t p e r p e n d i c u l a r t o t h e b o u n d a r y t a k e on a l a r g e amp-
l i t u d e , o n e would e x p e c t t h e m o d e l t o b r e a k down b e c a u s e t h e e f f e c t o f t h e s h o r t i n g p l a n e s is t o f e e d e n e r g y b a c k t o t h e s u r f a c e i n t h e n e a r v i c i n i t y o f t h e t r a n s v e r s e i n t e r f a c e . R e p e r c u s s i o n s o f t h i s e f f e c t w i l l be d i s c u s s e d w i t h r e f e r e n c e t o s p e c i f i c c a s e s
I1 - MODAL EXPANSIONS
The m o d a l e x p a n s i o n s f o r t h e g e o m e t r y o f Fig. 1 h a v e b e e n t r e a t e d i n d e t a i l i n r e f e r - e n c e s 3-6. The modes a r e e x p e n d e d i n t e r m s o f t h e i r m a g n e t i c f i e l d s a s
and t h e c o r r e s p o n d i n g e l e c t r i c f i e l d s a r e o b t a i n e d f r o m V X H = c-'aD/at. The d e t a i l e d f o r m o f H,(x,x,:w) d e p e n d s on t h e m a t e r i a l s p r e s e n t b e t w e e n t h e two s h o r t i n g p l a n e s . F o r media w i t h d i e l e c t r i c c o n s t a n t s cd i n t h e r e g i o n O<x,<d a n d ~ ( w ) i n O>x3>-d,
c o s h [ a,(d-x,)]
H,(x,x,:u) = e x p ( i i g x , )
,
O<x,<dC O S ~ [ ad]
f o r w a v e s p r o p a g a t i n g a l o n g t h e +x, a x i s . The t r a n s v e r s e w a v e v e c t o r s a r e g i v e n by
The d i s p e r s i o n r e l a t i o n s g i v e n by
6 = 6 , + i g , , t h e n t h e wave m u s t d e c a y w i t h p r o p a g a t i o n d i s t a n c e . The modes a r e l a b e l e d a s 6,. The modes w i t h g 2 = 0 a r e p r o p a g a t i n g modes and t h e i r t i m e - a v e r a g e d power f l o w a l o n g t h e x , d i r e c t i o n i s g i v e n by
The modes i n a r e g i o n t o t a l l y f i l l e d w i t h a medium o f d i e l e c t r i c c o n s t a n t c g a r e s i m p l e r . Mere
w h e r e m l a b e l s t h e mode a n d Eq. ( 5 ) g i v e s t h e p o w e r f l o w . Note t h a t t h e number o f p r o p a g a t i n g modes ( 6 , = 0 ) i s g i v e n f r o m Eq. ( 8 ) by m' = 2 F g ( f + 1 ) w h e r e f = d w / c n , i.e. m' i s t h e number o f t r a n s v e r s e r e s o n a n c e s p o s s i b l e b e t w e e n t h e s h o r t i n g p l a n e s . S o l u t i o n o f Eq. ( 4 ) s h o w s t h a t t h e r e a r e sKdf r a d i a t i o n f i e l d s p l u s one s u r f a c e po- l a r i t o n f o r t h e r e g i o n O<x,.
The r e f l e c t i o n and o t h e r c h a r a c t e r i s t i c s o f a s u r f a c e p o l a r i t o n i n c i d e n t o n t o a t r a n s v e r s e b o u n d a r y a r e e v a l u a t e d a s f o l l o w s . Each b o u n d a r y r e g i o n d>x,>-d is t y p i - c a l l y s u b d i v i d e d i n t o 50 t o 80 e q u a l i n t e r v a l s N. The a v e r a g e f i e l d p r o d u c e d a t t h e b o u n d a r y by a n i n c i d e n t s u r f a c e p o l a r i t o n i n e a c h i n t e r v a l i s c a l c u l a t e d . U s u a l l y t h e r e a r e t w o t r a n s v e r s e e l e c t r o m a g n e t i c f i e l d s t h a t m u s t be c o n t i n u o u s a c r o s s t h e i n t e r f a c e , n a m e l y E, and Hz. The f i r s t N modes on e a c h s i d e o f t h e b o u n d a r y , on r e - f l e c t i o n f o r O>x, and on t r a n s m i s s i o n f o r xl>O a r e t a k e n , and t h e i r t a n g e n t i a l f i e l d s a r e a v e r a g e d o v e r e a c h i n t e r v a l . The a m p l i t u d e s o f t h e s e modes a r e t h e n a d j u s t e d s o t h a t t h e 2N b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e c o n t i n u o u s a c r o s s x , = 0. The power c a r r i e d away f r o m t h e i n t e r f a c e b y t h e p r o p a g a t i n g modes i s t h e n c a l c u l a t e d and c o m p a r e d t o t h e i n c i d e n t s u r f a c e p o l a r i t o n p o w e r f l o w t o e n s u r e t h a t e n e r g y is c o n s e r v e d . We t y p i c a l l y r e q u i r e d t h a t a t l e a s t 9 9 % o f t h e i n c i d e n t e n e r g y be a c c o u n t e d f o r .
111
-
REFLECTION FROM AND RADIATION THROUGH-AN END FACEWe now c o n s i d e r t h e c a s e o f a s u r f a c e p l a s m o n p o l a r i t o n i n c i d e n t o n t o t h e e n d f a c e o f a s a m p l e 141, a s i l l u s t r a t e d i n Fig. 1 w i t h i n f i n i t e b a r r i e r w i d t h . The i n c i d e n t p o l a r i t o n e n e r g y i s p a r t i t i o n e d i n t o a r e f l e c t e d s u r f a c e p o l a r i t o n , r a d i a t i o n f i e l d s g e n e r a t e d i n t o t h e d i e l e c t r i c ~ d on " r e f l e c t i o n , " and r a d i a t i o n f i e l d s g e n e r a t e d i n t o
t h e medium E~ ( w i t h G + 0).
The c a l c u l a t i o n s w e r e made f o r t h e p a r a m e t e r f i n t h e r a n g e 10>f>3. T y p i c a l l y s / E - d ( f + l ) r a d i a t i o n modes i n t h e d i e l e c t r i c a b o v e t h e p o l a r i t o n a c t i v e medium and s 2 J E - ( f + l ) r a d i a t i o n modes i n t h e d i e l e c t r i c E
g w e r e u s e d i n t h e m o d a l e x p a n s i o n .
F o r t h e v a l u e o f w p / w = 4 u s e d i n t h e c a l c u l a t i o n s , t h e s u r f a c e p o l a r i t o n f i e l d was n e g l i g i b l e (<0.01+0.001) a t t h e s h o r t i n g p l a n e b o u n d a r i e s .
The p e r c e n t a g e o f t h e i n c i d e n t p o l a r i t o n t r a n s m i t t e d a s a r a d i a t i o n f i e l d i n t o c g i s shown i n Fig. 2 a s a f u n c t i o n o f E. T h i s i s a c l a s s i c e x a m p l e o f o n e o f t h e l i m l t a - t i o n s o f t h e model. I n e a c h i n t e r v a l A € = 1, t h e number of r a d i a t i o n E i e l d s f o r xl<O i n c r e a s e s by o n e , and f o r x,>O by two. T h e s e t h i c k n e s s e s a r e m a r k e d by a r r o w s i n t h e f i g u r e . T h i s means t h a t o n e o f t h e m o d a l s o l u t i o n s i n e a c h c a s e p a s s e s t h r o u g h 0 = 0, i.e. t h e mode is e f f e c t i v e l y a r e s o n a n c e b e t w e e n t h e s h o r t i n g p l a n e s w h i c h f o r 6>0 c a r r i e s e n e r g y a l o n g t h e t r a n s v e r s e p l a n e . R i g h t a t c u t - o f f t h e a m p l i t u d e o f
C5-236 J O U R N A L
DE
PHYSIQUEt h i s mode b e c o m e s l a r g e and t h e s o l u t i o n s r e f l e c t c u t - o f f p r o p e r t i e s o f t h e wave- g u i d e s t r u c t u r e a n d n o t t h e s e m i - i n f i n i t e c a s e we a r e t r y i n g t o model. T h i s r e g i o n i s c h a r a c t e r i z e d i n Fig. 2 bv r a p i d l y v a r y i n g v a l u e s o f t h e t r a n s m i s s i o n c o e f f i c i e n t . The r e g i o n s in which t h e s o l u t i o n s v a r y l i t t l e w i t h i n c r e a s i n g f a r e t h e p l a t e a u s i d e n t i f i e d b y t h e d a s h e d l i n e , and i t is t h e s e r e g i o n s w h i c h we a s s o c i a t e w i t h t h e s e m i - i n f i n i t e media c a s e . T h i s t y p e o f b e h a v i o r , n a m e l y r e g i o n s o v e r w h i c h t h e s o l u - t i o n s c h a n g e d r a p i d l y w i t h some v a r i a b l e , o c c u r r e d r e g u l a r l y i n o u r c a l c u l a t i o n s a n d w e r e i d e n t i f i e d a s c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e w a v e g u i d i n g s t r u c t u r e .
The t o t a l f r a c t i o n o f e n e r g y r e f l e c t e d , a s w e l l a s t h e s u r f a c e p o l a r i t o n c o n t r i b u t i o n a r e p l o t t e d i n Fig. 3 a s a f u n c t i o n o f A E = ~ d - c g ( = l ) . As t h e m i s m a t c h b e t w e e n t h e t w o d i e l e c t r i c media i n c r e a s e s , b o t h t h e t o t a l r e f l e c t e d e n e r g y and t h e r e f l e c t e d s u r f a c e p o l a r i t o n f r a c t i o n i n c r e a s e . T h i s i n c r e a s e is f a s t e r t h a n t h e a m o u n t e x p e c t e d f o r t h e r e f l e c t i o n o f p l a n e w a v e s a t t h e s a m e As d i s c o n t i n u i t y . The con- c o m i t a n t c h a n g e i n t h e r a d i a t i o n p a t t e r n s is shown i n Fig. 4. As t h e e f f e c t i v e a p e r - t u r e f o r m e d by t h e p o l a r i t o n e v a n e s c e n t f i e l d d e c r e a s e s a n d b e c o m e s s u b - w a v e l e n g t h i n t h e t r a n s m i s s i o n medium, t h e r a d i a t i o n p a t t e r n b r o a d e n s c o n s i d e r a b l y a n d s i g n i f i - c a n t a m o u n t s o f power a r e p r e d i c t e d t o r a d i a t e a t l a r g e a n g l e s f r o m t h e f o r w a r d d i r e c t i o n .
C sd-- I Total
0
Fig. 2
-
The d e p e n d e n c e on f ( = 2 d ) o f Fig. 3 - The f r a c t i o n o f t h e i n c i d e n t t h e p e r c e n t a g e o f i n c i d e n t s u r f a c e po- s u r f a c e p o l a r i t o n e n e r g y r e f l e c t e d l a r i t o n power t h a t i s c o n v e r t e d i n t o i n t o p r o p a g a t i n g w a v e s and i n t o a s u r - r a d i a t i o n f i e l d s i n t o x,>O f o r = 4, f a c e p o l a r i t o n v e r s u s A E = E ~ - Ew i t h ~Ed = bg = 1. E g = 1.
IV
-
END-FIRE EXCITATIONThe t r a d i t i o n a l m e a n s o f e x c i t i n g s u r f a c e p l a s m o n s i s by m a t c h i n g t h e wave v e c t o r o f a n e x t e r n a l beam t o t h e p o l a r i t o n wave v e c t o r a n d a l l o w i n g t h e wave t o g r o w i n a p h a s e - m a t c h e d way o v e r some p r o p a g a t i o n d i s t a n c e . A n o t h e r p o s s i b i l i t y , w e l l known i n i n t e g r a t e d o p t i c s / 7 / , i s t o f o c u s r a d i a t i o n o n t o t h e e n d - f a c e of a s a m p l e i n o r d e r t o o v e r l a p a s much a s p o s s i b l e w i t h t h e p o l a r i t o n f i e l d . We h a v e i n v e s t i g a t e d
1 5 1
t h i s c o u p l i n g s c h e m e w i t h o u r m o d e l by t a k i n g a l i n e a r s u p e r p o s i t o n o f i n c o m i n g f i e l d s i n e g t o s i m u l a t e t h e f o c u s i n g a c t i o n o f a l e n s . T h i s s u p e r p o s i t i o n i s c h o s e n s o t h a t t h e t o t a l i n c i d e n t f i e l d a t t h e x , = 0 i n t e r f a c e i s u n i t y For h ,
-
112 ~ h <x,<
h , + 1 1 2 ~ h a n d z e r o e l s e w h e r e , i.e. t h e f o c u s e d l i g h t is c e n t e r e d a t h , and h a s a w i d t h o f ~ h . The c o r r e s p o n d i n g c o e f f i c i e n t s a m f o r t h e i n c i d e n t modes ( e r n ) a r eThe r e s u l t s o f t h i s c a l c u l a t i o n a r e s i m i l a r t o t h o s e shown p r e v i o u s l y i n Fig. 2, a g a i n a s a f u n c t i o n of f. F o r t h e r e a s o n s d i s c u s s e d i n t h e p r e v i o u s c a s e , we c o n s i d e r e d t h e p l a t e a u r e g i o n i n d i c a t i v e o f t h e c o u p l i n g e f f i c i e n c i e s p o s s i b l e f o r t h e semi-in- f i n i t e media c a s e . The p l a t e a u i n d i c a t e d a c o u p l i n g e f f i c i e n c y o f ~ 8 9 % . The d i f f e r - e n c e b e t w e e n t h e t r a n s m i s s i o n c a s e ( 9 8 % t r a n s m i s s i o n ) , and t h e c o u p l i n g c a s e ( 8 9 % g e n e r a t i o n e f f i c i e n c y ) is p r o b a b l y due t o t h e n o n - e q u i v a l e n c e o f t h e two c a l c u l a -
t i o n s , i.e. t h e r a d i a t e d f i e l d s h a v e a d i f f e r e n t a m p l i t u d e a n d p h a s e d i s t r i b u t i o n f r o m t h e i n c i d e n t f i e l d s u s e d t o c r e a t e a u n i f o r m a p e r t u r e a t t h e c o u p l i n g f a c e . T h e s e c a l c u l a t i o n s w e r e p e r f o r m e d o v e r t h e r a n g e 7.0 > w p / w > 2.7, w h i c h c o r r e s p o n d s t o -6.3 > c(w) > -48 o v e r which t h e g e n e r a t i o n e f f i c i e n c y r e m a i n e d 8 8 f 2 % . O u t s i d e o f t h i s r a n g e , e n e r g y c o n s e r v a t i o n c o u l d n o t be m a i n t a i n e d n u m e r i c a l l y .
Shown i n Fig. 5 is t h e c o u p l i n g e f f i c i e n c y a s a f u n c t i o n o f t h e d i e l e c t r i c c o n s t a n t o f t h e medium a b o v e t h e p o l a r i t o n a c t i v e medium w i t h i n c i d e n c e f r o m vacuum. The u n t r a n s m i t t e d e n e r g y a p p e a r s a s r e f l e c t e d r a d i a t i o n f i e l d s . As e x p e c t e d , t h e p o l a r i - t o n g e n e r a t i o n e f f i c i e n c y d e c r e a s e s w i t h Ac = cd
-
1. Note a l s o t h a t a n i n c r e a s i n g f r a c t i o n o f t h e t r a n s m i t t e d e n e r g y is t r a n s m i t t e d t h r o u g h t h e i n t e r f a c e a s r a d i a t i o n f i e l d s . N e v e r t h e l e s s , t h e c o u p l i n g e f f i c i e n c y r e m a i n s high.V
-
FRESNEL RELATIONS FOR A SINGLE TRANSVERSE BOUNDARYS u r f a c e p l a s m o n p o l a r i t o n r e f l e c t i o n , t r a n s m i s s i o n , a n d c o n v e r s i o n t o r a d i a t i o n f i e l d s h a s a l s o b e e n c a l c u l a t e d f o r a t r a n s v e r s e i n t e r f a c e s e p a r a t i n g t w o p o l a r i t o n a c t i v e media. The a p p r o p r i a t e g e o m e t r y c o n s i s t s o f p o l a r i t o n a c t i v e media on b o t h s i d e s o f t h e b o u n d a r y x l = 0. The medium i n t h e r e g i o n d>x,>O h a s a d i e l e c t r i c c o n s t a n t ca f o r x,<O and eb f o r x,>O, i.e. g = 0. A s u r f a c e p o l a r i t o n wave i s i n c i d e n t i n t h e x,-x, p l a n e o n t o t h e b o u n d a r y f r o m t h e r e g i o n xl<O a t a n a n g l e 8 t o t h e x l - a x i s .
Fig. 4
-
R a d i a t i o n p a t t e r n s f o r t h e b u l k Fig. 5 - P e r c e n t a g e o f t h e i n c i d e n t w a v e s g e n e r a t e d i n t o x,>O when a s u r - r a d i a t i o n c o n v e r t e d i n t o a s u r f a c e po- f a c e p o l a r i t o n is i n c i d e n t o n t o a n e n d l a r i t o n and i n t o a l l t r a n s m i t t e d w a v e s f a c e f o r w p / w = 4, E = 9.7. ( a ) edz4, v e r s u s A E = s d - c g ( w i t h c g = 1 ) f o r E~ = 1: ( b ) ~ d = 1, c g = 1. w p / w = 4 a n d f = 6.7.C5-238 J O U R N A L DE PHYSIQUE
The c o n t i n u i t y o f t h e t a n g e n t i a l c o m p o n e n t s o f t h e f i e l d s r e q u i r e s t h a t t h e w a v e v e c t o r c o m p o n e i i t s p a r a l l e l t o t h e i n t e r f a c e , 00, b e c o n s e r v e d . T h u s S n e l l ' s l a w f o r t h e ~ r o p a g a t i n g f i e l d s c a n b e w r i t t e n a s
w h e r e 8;, B t , a n d 8, a r e t h e a n g l e s o f i n c i d e n c e , t r a n s m i s s i o n ( f o r t h e m ' t h p r o p a g a t - i n g mode) a n d r e f l e c t i o n ( f o r t h e n ' t h p r o p a g a t i n g mode). N o t e t h a t a s t h e a n g l e s 8 i n c r e a s e , p r o g r e s s i v e l y f e w e r o f t h e m o d e s r e t a i n t h e i r p r o p a g a t i n g c h a r a c t e r s i n c e t h e c o n d i t i o n B I ; > B m m u s t b e s a t i s f i e d .
The s u r f a c e p o l a r i t o n r e f l e c t i o n a n d t r a n s m i s s i o n c o e f f i c i e n t s a r e s h o w n i n F i g s . 6 a n d 7 f o r t h e c a s e s E, = 1 + ~ b = 2 a n d = 2 * cb = 1 r e s p e c t i v e l y ( s e e Fig. 6 f o r n o t a t i o n ) . T h e a n g u l a r v a r i a t i o n o f t h e s u r f a c e p o l a r i t o n c o e f f i c i e n t s i s r e m i n i s c e n t o f t h e a n a l o g o u s p l a n e w a v e c a s e . F o r E, = 2 + EP = 1, t h e i n c i d e n t s u r f a c e p o l a r i - t o n is t o t a l l y r e f l e c t e d a t t h e c r i t i c a l a n g l e o f i n c i d e n c e
The p r i n c i p a l d i f f e r e n c e b e t w e e n o u r r e s u l t s a n d t h o s e f o r p l a n e w a v e s is t h e c o n v e r s i o n , t y p i c a l l y 10 t o 2 0 % , o f t h e i n c i d e n t s u r f a c e p o l a r i t o n p o w e r i n t o a n a n g - u l a r s p e c t r u m o f r a d i a t i o n f i e l d s , p r i n i a r i l y p - p o l a r i z e d . T h e g e n e r a t i o n o f s - p o l a r - i z e d w a v e s w a s f o u n d t o b e n e g l i g i b l e f o r t h e c a s e s s h o w n i n F i g s . 6 a n d 7 ( w p / w = 4 ) , b u t w a s f o u n d t o b e n u m e r i c a l l y s i g n i f i c a n t f o r w / w = 2.5 ( a f e w p e r - c e n t ) . F o r t h e c a s e E ~ > E ~ , t h e s u r f a c e p o l a r i t o n r e f l e c t i o n c o e f f i c i e n t d o e s n o t P b e c o m e u n i t y u n t i l c o u p l i n g t o a l l r a d i a t i o n m o d e s , i n c l u d i n g t h e r e f l e c t e d o n e s , is c u t o f f by Eq. ( 1 0 ) . T h i s o c c u r s a t 7 S 0 i n Fig. 7.
Fig. 6 - T h e f r a c t i o n o f i n c i d e n t s u r - f a c e p o l a r i t o n f l u x c o n v e r t e d i n t o r e f - l e c t e d s u r f a c e p o l a r i t o n I t r a n s ~ r ~ i t t e d s u r f a c e p o l a r i t o n +%, a n d t r a n s m i t t e d b u l k p o l a r i t o n s 4 + * v e r s u s a n g l e o l i n c i d e n c e 8;. wp/w = 4, d = 6.7, E, = 1 + c b = 2.
Fig. 7 - The f r a c t i o n o f i n c i d e n t s u r - f a c e p o l a r i t o n f l u x c o n v e r t e d t o r e f - l e c t e d s u r f a c e p o l a r i t o n s - , t r a n s m i t - t e d s u r f a c e p o l a r i t o n - , t r a n s m i t t e d r a d i a t i o n f i e l d s
-
+ a n d r e f l e c t e d r a d - i a t i o n f i e l d s L' v e r s u s i n c i d e n c ea n g l e 8 i . wp/w = 4, d = 6.7,
E a = 2 + € b = 1.
Fig. 8 - The s u r f a c e p o l a r i t o n r e f l e c t i o n a n d t r a n s m i s s i o n C O P E - f i c i e n t s a s a f u n c t i o n o f Ac f o r b o t h Ac<O
-
and Ac>O- -
a tn o r m a l i n c i d e n c e w i t h w p / w = 4 a n d d = 6.7.
Fig. 9 - The s u r f a c e p o l a r i t o n t r a n s m i s s i o n c o e f f i c i e n t s a s a f u n c t i o n o f g w i t h c g = 4 and
€ = 9.7.
Ac = ca-eb, a s shown i n Fig. 8. The d e c r e a s e i n t h e t r a n s m i s s i o n w i t h A E i s f a s t e r t h a n
€ o r t h e a n a l o g o u s p l a n e wave c a s e b e c a u s e o f t h e m i s m a t c h i n f i e l d p r o f i l e s a t t h e i n t e r - f a c e . Note t h a t c o n v e r s i o n t o r a d i a t i o n f i e l d s (1-R-T) a l s o i n c r e a s e s w i t h A E . An a p p r o x i m a t e f o r m u l a t h a t t a k e s b o t h t h e
" F r e s n e l " and f i e l d m i s m a t c h e f f e c t s i n t o
p r o v i d e s a u s e f u l e s t i m a t e f o r R and T.
V I
-
REFLECTION AND TRANSMISSION AT A BARRIEROR GAP
The r e f l e c t i o n and t r a n s m i s s i o n o f s u r f a c e p o l a r i t o n s t h r o u g h a b a r r i e r h a s b e e n exam- i n e d f o r a number of c a s e s / 6 / f o r t h e ge- o m e t r y o f Fig l . We c o n s i d e r s u r f a c e p o l a r i - t o n s i n c i d e n t f r o m n e g a t i v e x , o n t o t h e s t r u c t u r e . The g a p w i d t h G is n o r m a l i z e d t o t h e w a v e l e n g t h of a p l a n e wave r a d i a t i o n f i e l d t r a v e l i n g a l o n g t h e x , - a x i s i n t h e gap, i.e. g = Gw/2rrc. The modes i n t h i s r e g i o n c o n s i s t of r a d i a t i o n f i e l d s m u l t i - r e f l e c t i n g b e t w e e n t h e e n d f a c e s a n d e v a n e s c e n t f i e l d s d e c a y i n g e x p o n e n t i a l l y f r o m e a c h v e r t i c a l in- t e r f a c e t o w a r d s t h e o p p o s i t e b o u n d a r y . T h e i r f o r m w a s g i v e n i n s e c t i o n 11. The b o u n d a r y c o n d i t i o n s w e r e m a t c h e d a t e a c h o f t h e i n t e r f a c e s x , = 0 and x , = G.
F o r t h e f i r s t c a s e s t u d i e d , t h e g a p i s f i l l e d w i t h a d i e l e c t r i c medium w i t h c g = 4 and e d = = 1. The modes i n t h e g a p c o n s i s t o f r a d i a t i o n f i e l d s t r a v e l i n g b e t w e e n t h e g a p e n d f a c e s a n d e v a n e s c e n t f i e l d s d e c a y i n g f r o m e a c h v e r t i c a l i n t e r f a c e t o w a r d s t h e o p p o s i t e boundary. As i n d i c a t e d i n Fig. 9, o s c i l l a t i o n s o c c u r d u e t o i n t e r f e r e n c e e f E e c t s b e t w e e n m u l t i - r e f l e c t i o n s o c c u r r i n g b e t w e e n t h e g a p b o u n d a r i e s . The t r a n s m i s s i o n peak d e c r e a s e s w i t h i n c r e a s i n g g b e c a u s e o f d i f f r a c t i o n s p r e a d i n g o f t h e f i e l d s l a u n c h e d a t t h e x , = 0 boundary. A l s o o b s e r v e d w e r e v e r y r a p i d o s c i l l a t i o n s i n t h e t r a n s m i s s i o n c o e f f i c i e n t which we i n t e r p r e t a s o r i g i n a t i n g f r o m t h e f i n i t e n a t u r e o f t h e w a v e g u i d e s t r u c t u r e .
The n u m e r i c a l r e s u l t s f o r a p o l a r i t o n a c t i v e medium c h a r a c t e r i z e d by w p / w = 4 o c c u p y i n g t h e g a p a r e shown i n Fig. 10 a s a f u n c t i o n o f
C5-240 JOURNAL DE PHYSIQUE
g a p t h i c k n e s s w i t h s d = s d ' = 1. I n t h i s c a s e t h e f i e l d s i n t h e g a p a r e a l l c h a r a c - t e r i z e d by e x p o n e n t i a l decay. No c o n v e r s i o n t o r a d i a t i o n f i e l d s e i t h e r on r e f l e c t i o n o r t r a n s m i s s i o n w a s p r e d i c t e d a n d t h e t o t a l i n c i d e n t wave e n e r g y w a s d i v i d e d b e t w e e n a r e f l e c t e d and a n i n c i d e n t s u r f a c e p o l a r i t o n . T h e s e r e s u l t s i n d i c a t e t h a t a t h i c k e n o u g h m e t a l f i l m c a n a c t a s a r e f l e c t o r w i t h o u t l o s s t o r a d i a t i o n f i e l d s . (1f a n i m a g i n a r y c o m p o n e n t i s i n c l u d e d i n E( w), t h e r e f l e c t i o n c o e f f i c i e n t w i l l be r e d u c e d d u e t o d i s s i p a t i o n i n t h e r e f l e c t o r . )
Fig. 1 0
-
The t r a n s n ; i s s i o n a n d r e f l e c t i o n c o e f f i c i e n t s f o r s u r f a c e p o l a r i t o n s a s a f u n c t i o n o f t h e n o r m a l i z e d b a r r i e r w i d t h g i n t h e c a s e t h a t t h e g a p is f i l l e d w i t h t h e s a m e m e t a l a s x,<O, O>x,>-d and x,>G, x,<O<-d.The l a s t g a p g e o m e t r y e x a m i n e d w a s f o r sd = 1.0, s g = 2.0 ( f o r x,>O), s d ' = 4.0 and v a r i a b l e g. In t h e g a p r e g i o n , c(w) f o r x,<O i s t h e same a s f o r x,<O and x,>G, i.e.
t h e l o w e r medium is t h e same i n a l l t h r e e r e g i o n s a n d t h e g a p c a n s u p p o r t s u r f a c e p o l a r i t o n s . I n p l a n e wave o p t i c s t h i s g a p c o r r e s p o n d s t o a n a n t i - r e f l e c t i o n c o a t i n g w i t h s d x c d l = s In t h i s c a s e , we e x p e c t e d t o o n l y s o m e w h a t e l i m i n a t e t h e " F r e s n e l
g
-.
c o e f f i c i e n t " contribution t o t h e r e f l e c t i o n c o e f f i c i e n t . What m u s t r e m a i n is t h e con- t r i b u t i o n d u e t o t h e m i s m a t c h o f t h e f i e l d p r o f i l e s , p r i m a r i l y p e n e t r a t i o n d i s t a n c e s , a t e a c h o f t h e b o u n d a r i e s . One w o u l d a l s o e x p e c t t o s e e i n t e r f e r e n c e e f f e c t s d u e t o m u l t i - r e f l e c t i o n s i n s i d e t h e gap. The " F r e s n e l c o n t r i b u t i o n " f o r a p l a n e wave, ( [ / < ' - / T d ] / [ / q ' + / q ] ) 2 , i s ~ 1 1 %. I n Fig. 11, t h e n e t i m p r o v e m e n t i n t h e t r a n s m i s s i o n is ~ 1 1 X a t a t h i c k n e s s c o r r e s p o n d i n g t o i n t e r f e r e n c e e f f e c t s i n s i d e t h e gap. Note t h a t t h e r e f l e c t i o n c o e f f i c i e n t u n d e r t h e a p p r o p r i a t e c o n d i t i o n s d o e s become v e r y s m a l l . The s l o w i n c r e a s e i n t h e s u r f a c e p o l a r i t o n t r a n s m i s s i o n ( w h i c h e v e n t u a l l y s a t u r a t e s a t 0 7 5 % ) i s p r o b a b l y d u e t o i n t e r f e r e n c e e f f e c t s b e t w e e n t h e s u r f a c e po- l a r i t o n a n d t h e r a d i a t i o n f i e l d s g e n e r a t e d a t x , = 0. T h i s i n t e r f e r e n c e would be e x p e c t e d t o d i s a p p e a r a s t h e r a d i a t i o n f i e l d s d i f f r a c t a n d no l o n g e r i n t e r c e p t t h e s u r f a c e p o l a r i t o n p r o f i l e s a t x, = G.
VII - S U M M A R Y
We h a v e c a l c u l a t e d s u r f a c e p o l a r i t o n r e f l e c t i o n , t r a n s m i s s i o n , and c o n v e r s i o n t o r a d - i a t i o n f i e l d s f o r a v a r i e t y o f t r a n s v e r s e b o u n d a r i e s . T h i s w a s a c h i e v e d b y p l a c i n g p e r f e c t l y c o n d u c t i n g s h o r t i n g p l a n e s b o t h a b o v e and b e l o w t h e p r o p a g a t i o n p l a n e a n d making a "waveguide" s t r u c t u r e . It was f o u n d t h a t a l t h o u g h t h e t r a n s v e r s e r e s o - n a n c e s i n t r o d u c e d by t h i s s t r u c t u r e i n f l u e n c e d t h e r e s u l t s f o r c e r t a i n r a n g e s o f s h o r t i n g p l a n e s e p a r a t i o n , t h e r e w e r e a l s o r e g i o n s t h a t a p p e a r e d t o be c h a r a c t e r i s t i c o f a s e m i - i n f i n i t e g e o m e t r y . With t h i s m o d e l we h a v e e x a m i n e d t h e r a d i a t i o n t h r o u g h and r e f l e c t i o n f r o m a s a m p l e e n d - f a c e , t h e t r a n s m i s s i o n t h r o u g h a n d r e f l e c t i o n f r o m a s e r i e s o f v e r t i c a l b a r r i e r s , a n d t h e F r e s n e l r e l a t i o n s f o r n o n - n o r m a l i n c i d e n c e o n t o a i n t e r f a c e b e t w e e n t w o p o l a r i t o n a c t i v e p r o p a g a t i o n p l a n e s , a l l f o r i n c i d e n t
t h e s a m e m a t e r i a l f o r a l l x , w r t h ,,,,/w = 4.
s u r f a c e p o l a r i t o n waves. The e x c i t a t i o n o f s u r f a c e p o l a r i t o n s b y f o c u s i n g o n t o t h e e n d - f a c e o f a s a m p l e h a s a l s o b e e n i n v e s t i g a t e d n u m e r i c a l l y and p r o m i s i n g c o n v e r s i o n e f f i c i e n c i e s h a v e b e e n p r e d i c t e d .
T h i s r e s e a r c h w a s p a r t i a l l y s u p p o r t e d by U.S. ARO C o n t r a c t No. DAAG 29-82-K-0018.
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