Présentation tensorielle des équations macroscopiques de Maxwell

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Présentation tensorielle des équations macroscopiques de Maxwell

Marc Renaud

To cite this version:

Marc Renaud. Présentation tensorielle des équations macroscopiques de Maxwell. Rapport LAAS n°

18002. 2018, 71p. �hal-01691517�

Pr´esentation tensorielle des ´equations macroscopiques de Maxwell

Marc RENAUD

Professeur ´ em´ erite INSA-Toulouse LAAS-CNRS 7 avenue du Colonel Roche

31077 Toulouse Cedex 4 - France

e-mail : renaud@laas.fr

Chapitre 1 Introduction

Nous ´ etablissons les ´ equations macroscopiques de Maxwell pour les sub- stances di´ electriques et magn´ etiques id´ eales respectivement caract´ eris´ ees par une permitivit´ e ε et une perm´ eabilit´ e µ.

Malheureusement les d´ enominations des scalaires, des vecteurs et des ten- seurs qui interviennent dans ces ´ equations varient selon les auteurs.

Ces ´ equations font intervenir quatre vecteurs que nous appelons : champ

´

electrique E, induction ´ ~ electrique D, champ magn´ ~ etique ˘ H et induction magn´ etique ˘ B de natures d’ailleurs diff´ erentes ; vecteurs polaires pour les deux premiers et vecteurs axiaux pour les deux derniers ; ce qui est expliqu´ e par la diff´ erence des notations. Cependant d’autres noms existent pour ces vecteurs ; par exemple “d´ eplacement” ` a la place “d’induction” ou “excita- tion” ` a la place de “champ” et certains auteurs parlent de champ magn´ etique pour ˘ B [14]

¹

[17]

²

.

Nous avons choisi de ne pas utiliser la notion de “masse magn´ etique” qui n’est pas vraiment n´ ecessaire pour ´ ecrire les equations macroscopiques de Maxwell et aurait compliqu´ e l’expos´ e.

Les appellations “tenseur ´ electromagn´ etique”, “tenseur de Faraday”, “ten- seur de Maxwell” d´ ependent ´ egalement des diff´ erents auteurs.

Nous avons choisi d’utiliser le syst` eme international (SI) d’unit´ es, ap- pel´ e syst` eme Giorgi rationnalis´ e comme [1] [3]

³

[10] [11]

⁴

[14]

⁵

[17] [22],

1. p. 36 ´eq. (10) 2. p. 82

3. mais l’auteur utilise ´egalement d’autres syst`emes 4. mais l’auteur utilise ´egalement d’autres syst`emes 5. en partie

mais d’autres auteurs cit´ es utilisent le syst` eme gaussien [1]

⁶

[2] [5] [7] [9]

[12] [13] [16] ou le syst` eme de Heaviside-Lorentz [4]

⁷

[8]

⁸

[18]

⁹

et il existe d’autres syst` emes d’unit´ es tels le syst` eme ´ electrostatique (esu) ou le syst` eme

´

electrom´ ecanique (emu).

6. en partie p. 253 7. avec des particularit´es 8. avec des particularit´es 9. avec des particularit´es

Chapitre 2

Notations, relations et

´ equations de Maxwell

2.1 G´ en´ eralit´ es sur les scalaires de R , les vec- teurs de R ³ , les op´ erations utilis´ ees et quel- ques relations qui les unissent

2.1.1 Scalaire

Soit S ∈ R , fonction de x, y, z.

2.1.2 Vecteurs

Soient U , ~ ~ V , ~ W , ~ Z ∈ R

³

des vecteurs polaires ou ˘ U , V , ˘ W , ˘ Z ˘ ∈ R

³

des vecteurs axiaux [10] (cf ci-apr` es), fonctions de x, y, z. On a :

U ~ =



 U

_x

U

_y

U

_z



 ou ˘ U =



 U

_x

U

_y

U

_z



 et idem pour les autres vecteurs polaires ou axiaux ci-devant.

2.1.3 Op´ erations utiles pour la suite

• Laplacien d’un scalaire [32]

∆ S ,

^∂_{∂ x}^2S2

+

^∂_{∂ y}^2S2

+

^∂_{∂ s}^2S2

∈ R

• Produit scalaire entre 2 vecteurs :

U ~ V ~ , U

_x

V

_x

+ U

_y

V

_y

+ U

_z

V

_z

∈ R ou ˘ U V ˘ , U

_x

V

_x

+ U

_y

V

_y

+ U

_z

V

_z

∈ R .

• Gradient d’un scalaire [30] : grad ~ S ,





∂ S

∂ x∂ S

∂ y∂ S

∂ z



 ∈ R

³

ou grad ˘ S ,





∂ S

∂ S∂ x

∂ S∂ y

∂ z



 ∈ R

³

.

• Divergence d’un vecteur [27] :

div U ~ ,

^{∂ U}_{∂ x}^x

+

^{∂ U}_{∂ y}^y

+

^{∂ U}_{∂ z}^z

∈ R ou div ˘ U ,

^{∂ U}_{∂ x}^x

+

^{∂ U}_{∂ y}^y

+

^{∂ U}_{∂ z}^z

∈ R et idem pour les autres vecteurs polaires ou axiaux ci-devant.

• Produit ext´ erieur entre un scalaire et un vecteur : S ~ U ,



 S U

x

S U

_y

S U

_z



 ∈ R

³

ou S U ˘ ,



 S U

x

S U

_y

S U

_z



 ∈ R

³

et idem pour les autres vecteurs polaires ou axiaux ci-devant.

• Produit vectoriel entre 2 vecteurs : U ~ × V ~ (vecteur axial) et U ~ × V ˘ (vecteur polaire) tels que :

U ~ × V ~ ,





U

_y

V

_z

− U

_z

V

_y

U

_z

V

_x

− U

_x

V

_z

U

_x

V

_y

− U

_y

V

_z



 ∈ R

³

et U ~ × V ˘ ,





U

_y

V

_z

− U

_z

V

_y

U

_z

V

_x

− U

_x

V

_z

U

_x

V

_y

− U

_y

V

_z



 ∈ R

³

.

• Rotationnel d’un vecteur : rot ˘ ~ U (vecteur polaire) et ˘ rot U ~ (vecteur axial)

rot ˘ ~ U ,







∂ Uz

∂ y

−

^{∂ U}_{∂ z}^y

∂ Ux

∂ z

−

^{∂ U}_{∂ x}^z

∂ Uy

∂ x

−

^{∂ U}_{∂ y}^x





 ∈ R

³

et ˘ rot U ~ ,







∂ Uz

∂ y

−

^{∂ U}_{∂ z}^y

∂ Ux

∂ z

−

^{∂ U}_{∂ x}^z

∂ Uy

∂ x

−

^{∂ U}_{∂ y}^x





 ∈ R

³

. Remarque : rot est not´ e curl en anglais [25].

• Laplacien d’un vecteur : ∆ U ~ (vecteur polaire) et ∆ ˘ U (vecteur axial) tels que :

∆ U ~ ,





∆ U

x

∆ U

_y

∆ U

_z



 ,







∂²Ux

∂ x²

+

^∂_{∂ y}^2U2^x

+

^∂_{∂ z}^2U2^x

∂²Uy

∂ x²

+

^∂_{∂ y}^2U2^y

+

^∂_{∂ z}^2U2^y

∂²Uz

∂ x²

+

^∂_{∂ y}^2U2^z

+

^∂_{∂ z}^2U2^y





 ∈ R

³

et

∆ ˘ U ,





∆ U

_x

∆ U

_y

∆ U

z



 ,







∂²Ux

∂ x²

+

^∂_{∂ y}^2U2^x

+

^∂_{∂ s}^2U2^x

∂²Uy

∂ x²

+

^∂_{∂ y}^2U2^y

+

^∂_{∂ s}^2U2^y

∂²Uz

∂ x²

+

^∂_{∂ y}^2U2^z

+

^∂_{∂ s}^2U2^y





 ∈ R

³

2.1.4 Relations g´ en´ erales

Toutes ces relations sont tr` es faciles ` a d´ emontrer.

• ∆ S = div ( grad ~ S).

• div (S ~ U ) = S div U ~ + U ~ grad ~ S ou : div (S U ˘ ) = S div ˘ U + ˘ U grad ˘ S.

• rot ( ˘ ~ rot U ~ ) = grad (div ~ U ~ ) − ∆ U ~ ou : rot ( ˘ rot ˘ ~ U ) = grad (div ˘ ˘ U ) − ∆ ˘ U.

• div ( U ~ × V ˘ ) = ˘ V rot ˘ U ~ − U ~ rot ˘ ~ V .

• rot ( ˘ grad ~ S) = ˘ 0 ou rot ( ˘ ~ grad S) = ~ 0.

• div ( rot ˘ ~ U) = 0 ou div ( ˘ rot U ~ ) = 0.

2.2 Scalaires et vecteurs intervenant en

´

electromagn´ etisme

2.2.1 Scalaires

l : longueur m : masse t : temps

I : intensit´ e (ou courant) ´ electrique s : aire, surface

v : volume [3]

¹

c : vitesse de la lumi` ere

ε

₀

: permitivit´ e (´ electrique ou di´ electrique) absolue ou constante di´ electrique du vide

ε : permitivit´ e (´ electrique ou di´ electrique) absolue ou constante di´ electrique d’une substance di´ electrique id´ eale [2]

²

[3]

³

[9]

⁴

[11]

⁵

[22]

⁶

ou perm´ eabilit´ e di´ electrique [13]

⁷

1. p. 11 : not´eτ 2. p. 228

3. p. 128 ´eq. (23) et p. 658 4. p. 47 : not´ee κ

5. p. 14 6. p. 21

7. pp. 55-58 Chapitre 1 §7

ε

_r

: permitivit´ e (´ electrique ou di´ electrique) relative d’une substance di´ electrique id´ eale [14]

⁸

µ

₀

: perm´ eabilit´ e (magn´ etique) absolue du vide

µ : perm´ eabilit´ e (magn´ etique) absolue d’une substance magn´ etique id´ eale [2]

⁹

[3]

¹⁰

[9]

¹¹

[11]

¹²

[13]

¹³

[22]

¹⁴

µ

_r

: perm´ eabilit´ e (magn´ etique) relative d’une substance magn´ etique id´ eale [14]

¹⁵

ρ : densit´ e (volumique) de charge ´ electrique [1]

¹⁶

[2]

¹⁷

[3]

¹⁸

[9]

¹⁹

[10]

²⁰

[16]

²¹

[17]

²²

χ : susceptibilit´ e ´ electrique ou di´ electrique ou coefficient de polarisation de la substance [3]

²³

[10]

²⁴

[11]

²⁵

[13]

²⁶

[14]

²⁷

[22]

²⁸

κ : susceptibilit´ e magn´ etique ou coefficient d’aimantation [3]

²⁹

[10]

³⁰

[14]

³¹

[22]

³²

V : tension ´ electrique, potentiel ´ electrique, diff´ erence de potentiel ´ electrique, potentiel scalaire ´ electrique [2]

³³

[3]

³⁴

[5]

³⁵

[11]

³⁶

[17]

³⁷

8. p. 301 9. p. 228

10. p. 372 et p. 659 11. p. 47

12. p. 193 13. p. 156 14. p. 21 15. p. 321 16. p. 130 17. p. 226 18. p. 657 19. p. 44 20. p. 21

21. p. 195 : not´eeµ 22. p. 81 : not´ee T 23. p. 127

24. p. 155 : not´eeχ_e 25. p. 154 : not´eeχe

26. p. 56 : not´ee κ 27. p. 301 : not´eeκ 28. p. 76 : not´ee η 29. p. 371

30. p. 288 : not´eeχm

31. p. 321 : not´eeχ 32. p. 89 : not´ee κ 33. p. 228 : not´eeϕ 34. p. 657

35. p. 375 : not´eeQ 36. p. 30 : not´ee Φ(x) 37. p. 87

q : charge ´ electrique, quantit´ e d’´ electricit´ e [3]

³⁸

[5]

³⁹

[10]

⁴⁰

[14]

⁴¹

[17]

⁴²

R : r´ esistance ´ electrique

G : conductance ´ electrique r : r´ esistivit´ e ´ electrique [3]

⁴³

γ : conductivit´ e ´ electrique ou conductibilit´ e ´ electrique [2]

⁴⁴

[3]

⁴⁵

[10]

⁴⁶

[13]

⁴⁷

[22]

⁴⁸

C : capacitance (ou capacit´ e) ´ electrique R : r´ eluctance

G : perm´ eance

Φ

_e

: flux de d’induction (ou de d´ eplacement) ´ electrique Φ

_m

: flux d’induction magn´ etique

L : inductance ´ electrique

M : coefficient d’induction magn´ etique et d’auto-induction ρ

_P

: densit´ e (volumique) de charge ´ electrique fictive [10]

⁴⁹

J

⁰

= J

₀

(cf. ci-apr` es)

A

⁰

= A

₀

(cf. ci-apr` es) f

⁰

= f

₀

(cf. ci-apr` es)

w : ´ energie du champ ´ electromagn´ etique W

_e

: densit´ e d’´ energie ´ electrique [22]

⁵⁰

W

_m

: densit´ e d’´ energie magn´ etique [22]

⁵¹

W

_J

: densit´ e d’´ energie due ` a l’effet Joule

W : densit´ e (volumique) d’´ energie du champ ´ electromagn´ etique [5]

⁵²

[12]

⁵³

[13]

⁵⁴

[17]

⁵⁵

38. p. 36 et p. 664 : not´eeqcharge ponctuelle et p. 295 : not´eeqcharge mobile 39. p. 375

40. p. 376 : not´eeQ 41. p. 34

42. p. XX : not´eeQet p. XXI : not´ee q 43. p. 229

44. p. 228 : not´eeσ 45. p. 229

46. pp. 23-24 mais ne semble pas d´efinie 47. p. 129 : not´eeσ

48. p. 20 : not´ee σ 49. p. 156

50. p. 27 51. p. 27 52. p. 373

53. p. 104 ´eq. (31,5)

54. p. 374 : not´ee d U (diff´erentielle de l’´energie interne du di´electrique `a densit´e et entropie donn´ees) et p. 392 ´eq. (80,3) [´energie ´electrom´ecanique dans un milieu di´electrique (ε) en l’absence de dispersion lorsqueεet µsont des grandeurs constantes r´eelles]

55. p. 92 ´eq. (322.1) : not´eeU (distribution ´energie ´electromagn´etique spatiale)

k

^B₁

, k

₂^B

, k

^B₃

, k

₄^B

, k

^B₅

coefficients utilis´ es par [3] (cf. ci-apr` es) k

^J₁

, k

₂^J

, k

^J₃

, λ, λ

⁰

coefficients utilis´ es par [11] (cf. ci-apr` es) Relations

ρ =

^{d q}_{d v}

[10]

⁵⁶

ε

_r

=

_ε^ε

0

= 1 + χ [3]

⁵⁷

[10]

⁵⁸

[11]

⁵⁹

[14]

⁶⁰

[22]

⁶¹

µ

r

=

_µ^µ

0

= 1 + κ [3]

⁶²

[10]

⁶³

[14]

⁶⁴

[22]

⁶⁵

γ =

¹_r

et r =

_γ¹

R =

_G¹

= r

_s^l

et G =

_R¹

= γ

^s_l

r´ esistance et conductance d’un conducteur de longueur l d’aire s de r´ esistivit´ e r et de conductivit´ e γ

R =

_G¹

=

¹_{µ s}^l

et G =

_R¹

= µ

^s_l

r´ eluctance et perm´ eance d’un materiau magn´ etique de longueur l d’aire s de perm´ eabilit´ e µ

J

⁰

= J

₀

= ρ c A

⁰

= A

₀

=

^V_c

F

⁰

= F

₀

=

¹_c

E ~ J ~ (cf. E, ~ ~ J ci-apr` es)

C =

^{ε s}_l

capacitance d’un di´ electrique de permitivit´ e ε entre deux surfaces parall` eles d’aires s situ´ ees ` a une distance l

Φ

_m

= L I

∆ V − ε µ

^∂_{∂ t}^2V2

+

^ρ_ε

= 0 : ´ equation de Poisson W

_e

=

¹₂

E ~ D ~ (cf. E, ~ D ~ ci-apr` es) [22]

⁶⁶

W

_m

=

¹₂

H ˘ B ˘ (cf. ˘ H, ˘ B ci-apr` es) [22]

⁶⁷

W

_J

= E ~ J ~ (cf. E, ~ J ~ ci-apr` es) [22]

⁶⁸

56. p. 21 :ρ=^{d Q}_{d v} 57. p. 128 ´eq. (23) 58. p. 159

59. p. 154 ´eq. (4.38) :=₀(1 +χ_e) 60. p. 301 :ε_r−1 =κ

61. p. 75 ´eq (11)

62. p. 372 ´eqs. (4) et (5)

63. p. 295 ´eq. (41) :µ=µ0(1 +χm) et p. 295 ´eq. (42) :µr= _µ^µ

0 = 1 +χm

64. p. 321 :χ=µr−1 65. p. 89 ´eq. (9) 66. p. 27 ´eq. (6) 67. p. 27 ´eq. (6) 68. p. 27 ´eq. (5)

W =

^{d w}_{d v}

= W

_e

+ W

_m

=

¹₂

( E ~ D ~ + ˘ H B) (cf. ˘ E, ~ D, ˘ ~ H, ˘ B ci-apr` es) [5]

⁶⁹

[12]

⁷⁰

[13]

⁷¹

[17]

⁷²

[22]

⁷³

ρ

P

= −div P ~ (cf. P ~ ci-apr` es) [5]

⁷⁴

[10]

⁷⁵

2.2.2 Vecteurs

Vecteurs polaires

~ x : position ; ~ x =



 x y z



 [10]

⁷⁶

~ v : vitesse ; ~ v =



 v

_x

v

_y

v

_z



 [1]

⁷⁷

~a : acc´ el´ eration ; ~a =



 a

x

a

_y

a

_z





~j : suracc´ el´ eration

⁷⁸

; ~j =



 j

_x

j

_y

j

_z





~ I : courant ´ electrique ; ~ I =



 I

x

I

_y

I

_z





E ~ : champ ´ electrique ; E ~ =



 E

_x

E

_y

E

_z



 [2]

⁷⁹

[3]

⁸⁰

[5]

⁸¹

[10]

⁸²

[9]

⁸³

[17]

⁸⁴

69. p. 389 : not´eeW = _{8 Π}¹ (B . H+E . D) ; en unit´es gaussiennes 70. p. 104 ´eq. (31,5) :W = ^E2₈^+H_π ²; en unit´es gaussiennes

71. p. 374 : d U = ₄¹_π(E d D+H d B) ; en unit´es gaussiennes et p. 392 ´eq. (80,3) d U =₈¹_π(ε E²+µ H²) ; en unit´es gaussiennes

72. p. 92 ´eq. (322.1) :U = ¹₂(E~ D~ +H~ B)~ 73. p. 29 ´eq. (9) pour la deuxi`eme ´egalit´e 74. p. 373 : not´eeρp=−div~p

75. p. 156 ´eq. (12) 76. p. 21 : not´ee~r 77. p. 130 : not´eeV~ 78. “jerk” en anglais 79. p. 226 : not´eE 80. p. 657

81. p. 372 82. p. 21

83. p. 44 : not´eE 84. p. 82

D ~ : induction (ou d´ eplacement) ´ electrique ; D ~ =



 D

_x

D

y

D

_z



 [1]

⁸⁵

[2]

⁸⁶

[3]

⁸⁷

[5]

⁸⁸

[9]

⁸⁹

[10]

⁹⁰

[17]

⁹¹

A ~ : potentiel vecteur du vecteur d’induction magn´ etique (cf. ci-apr` es) ; A ~ =



 A

_x

A

y

A

_z



 [1]

⁹²

[2]

⁹³

[3]

⁹⁴

[5]

⁹⁵

[9]

⁹⁶

[17]

⁹⁷

J ~ : densit´ e (surfacique) de courant ´ electrique ; J ~ =



 J

_x

J

_y

J

_z



 [2]

⁹⁸

[3]

⁹⁹

[9]

¹⁰⁰

[10]

¹⁰¹

[17]

¹⁰²

S ~ : vecteur de Poynting ou vecteur du flux d’´ energie ; S ~ =



 S

_x

S

_y

S

_z



 [2]

¹⁰³

[9]

¹⁰⁴

[10]

¹⁰⁵

[12]

¹⁰⁶

[13]

¹⁰⁷

[17]

¹⁰⁸

[22]

¹⁰⁹

[34]

¹¹⁰

85. p. 129

86. p. 228 : not´eD 87. p. 657

88. p. 374

89. p. 44 : not´eD 90. p. 21

91. p. 82 92. p. 132

93. p. 228 : not´eA 94. p. 659

95. p. 375 : not´eA 96. p. 45 : not´eA 97. p. 87

98. p. 226 : not´eej 99. p. 660 : not´ee~i 100. p. 44 : not´eJ 101. p. 21

102. p. 81 : appel´ee “distribution courant”

103. pp. 231-232 : not´ePde mˆeme que le vecteur de polarisation (cf. ci-apr`es) d’o`u risque de confusion

104. p. 47 : not´eS

105. p. 338 ´eq. 35 : not´eS~P

106. p. 103 ´eq. (31,2) : not´eS

107. p. 163 ´eq. (30,20) et p. 373 ´eq. (75,14) : not´eS 108. p. 93 : not´eS~

109. p. 26 : not´eP

110. p. 2/4 : not´eS(densit´e d’impulsion ´electromagn´etique)

f ~ : force de Lorentz ; f ~ =



 f

_x

f

y

f

_z



 [3]

¹¹¹

[10]

¹¹²

[17]

¹¹³

F ~ : densit´ e (volumique) de force de Lorentz ; F ~ =



 F

_x

F

_y

F

_z



 [10]

¹¹⁴

[16]

¹¹⁵

~

p : moment dipolaire ; ~ p =



 p

_x

p

y

p

_z





P ~ : polarisation (´ electrique ou di´ electrique) ; P ~ =



 P

_x

P

_y

P

_z



 [1]

¹¹⁶

[2]

¹¹⁷

[3]

¹¹⁸

[5]

¹¹⁹

[10]

¹²⁰

[11]

¹²¹

[13]

¹²²

[17]

¹²³

[22]

¹²⁴

grad ~ V : gradient du potentiel ; grad ~ V =





∂ V

∂ V∂ x

∂ y

∂ V

∂ z



.

∂ ~D

∂ t

: courant de d´ eplacement (d´ enomination de Maxwell) [1]

¹²⁵

[11]

¹²⁶

Relations

~ v =

^{d ~}_dt^x

; soit : v

_x

=

^dx_dt

v

_y

=

^dy_dt

v

_z

=

^dz_dt

111. p. 408 : not´eeF~ 112. p. 49 : not´ee F~ 113. p. 91

114. p. 78 : not´ee f~ 115. p. 201 : not´eeK~ 116. p. 129

117. p. 228 : not´eePde mˆeme que le vecteur de Poynting d’o`u risque de confusion ! 118. p. 657 : not´ee~p

119. p. 373 : not´ee~p 120. p. 155

121. p. 14 : not´ee P 122. p. 54 : not´ee P 123. p. 86

124. p. 74 125. p. 131

126. p. 238 : not´e ^∂_{∂ t}^D

J ~ =

^{d ~}_{d s}^I

= ρ ~ v = γ ~ E (loi d’Ohm pour la derni` ere ´ egalit´ e) [1]

¹²⁷

[2]

¹²⁸

[3]

¹²⁹

[5]

¹³⁰

[10]

¹³¹

[22]

¹³²

[13]

¹³³

; soit :

J

_x

=

^{d I}_{d s}^x

= ρ v

_x

= γ E

_x

J

y

=

^{d I}_{d s}^y

= ρ v

y

= γ E

y

J

_z

=

^{d I}_{d s}^z

= ρ v

_z

= γ E

_z

div J ~ +

^{d ρ}_dt

= 0 (´ equation de continuit´ e ou conservation de la charge ou relation entre courant et charge) [3]

¹³⁴

[5]

¹³⁵

[17]

¹³⁶

; soit

∂ Jx

∂ x

+

^{∂ J}_{∂ y}^y

+

^{∂ J}_{∂ z}^z

+

^{d ρ}_dt

= 0

E ~ = − grad ~ V −

^{∂ ~}_{∂ t}^A

[2]

¹³⁷

[5]

¹³⁸

[7]

¹³⁹

[10]

¹⁴⁰

[12]

¹⁴¹

[14]

¹⁴²

[16]

¹⁴³

[17]

¹⁴⁴

; soit :

E

_x

= −(

^{∂ V}_{∂ x}

+

^∂A_{∂ t}^x

) E

_y

= −(

^{∂ V}_{∂ y}

+

^∂A_{∂ t}^y

) E

_z

= −(

^{∂ V}_{∂ z}

+

^∂A_{∂ t}^z

)

f ~ = q ( E ~ + ~ v × B) (cf. ˘ ˘ B ci-apr` es) [3]

¹⁴⁵

[5]

¹⁴⁶

[17]

¹⁴⁷

; soit : f

x

= q (E

x

+ v

y

B

z

− v

z

B

y

)

f

_y

= q (E

_y

+ v

_z

B

_x

− v

_x

B

_z

) f

_z

= q (E

_z

+ v

_x

B

_y

− v

_y

B

_x

) On en d´ eduit que :

127. p. 130 pour la premi`ere ´egalit´e :J~=ρ ~V 128. p. 228 :j=σE

129. p. 229 ´eq. (7) p. 660 ´eq. (21) et p. 665 ´eq. (40) :~i=γ ~E 130. p. 386 pour la deuxi`eme ´egalit´e

131. p. 23 ´eq. (19) et p. 201 ´eq. (20) 132. p. 20 ´eq. (5) :J=σE

133. p. 129 ´eq. (21,3) :j=σE 134. p. 661 ´eq. (26) : div~i+^{d ρ}_dt = 0 135. p. 381 : divJ+^{d ρ}_dt = 0

136. p. 81 ´eq. (111.1) :∇~ J~+^{∂ T}_{∂ t} = 0

137. p. 229 ´eq. (5.115) : E=−¹_c ^∂_{∂ t}^A − ∇ϕ; en unit´es gaussiennes 138. p. 375 :E=−¹_c ^{∂ A}_{∂ t} −gradQ; en unit´es gaussiennes

139. p. 367 :E=−¹_c ^∂_{∂ t}^A−grad (ϕ) ; en unit´es gaussiennes 140. p. 335 ´eq. (5)

141. p. 68 et p. 91 : E=−¹_c ^∂_{∂ t}^A −gradϕ; en unit´es gaussiennes 142. p. 36 ´eq. (9) :E~ =−grad~ ϕ−^{∂ ~}_{∂ t}^A

143. p. 192 ´eq. (119.1) premi`ere :E~ =−grad Φ~ −¹_c ^{∂ ~}_{∂ t}^A; en unit´es gaussiennes 144. p. 87 ´eq. (211.3) :∇~ V =−(^{∂ ~}_{∂ t}^A+E)~

145. p. 296 ´eq. (2) p. 408 ´eq. (I) :F~ =q[E~ +~v ×B]~ 146. p. 375 :F =q(E+¹_cv × B) ; en unit´es gaussiennes 147. p. 91 ´eq. (311.3) :f~=q(E~ +~v × B)~

F ~ =

^{d ~}_{d v}^f

= ρ ~ E + J ~ × B ˘ [10]

¹⁴⁸

[16]

¹⁴⁹

; soit : F

_x

= ρ E

_x

+ J

_y

B

_z

− J

_z

B

_y

F

_y

= ρ E

_y

+ J

_z

B

_x

− J

_x

B

_z

F

_z

= ρ E

_z

+ J

_x

B

_y

− J

_y

B

_x

S ~ = E ~ × H ˘ (cf. ˘ H ci-apr` es) [2]

¹⁵⁰

[10]

¹⁵¹

[12]

¹⁵²

[13]

¹⁵³

[17]

¹⁵⁴

[34]

¹⁵⁵

[22]

¹⁵⁶

; soit :

S

_x

= E

_y

H

_z

− E

_z

H

_y

S

_y

= E

_z

H

_x

− E

_x

H

_z

S

_z

= E

_x

H

_y

− E

_y

H

_x

P ~ =

^{d ~}_{d v}^p

= ε

₀

χ ~ E [3]

¹⁵⁷

[10]

¹⁵⁸

[14]

¹⁵⁹

; soit : P

_x

=

^{d p}_{d v}^x

= ε

₀

χ E

_x

P

y

=

^{d p}_{d v}^y

= ε

0

χ E

y

P

_z

=

^{d p}_{d v}^z

= ε

₀

χ E

_z

D ~ = ε

₀

E ~ + P ~ = ε

₀

(1 + χ) E ~ = ε ~ E [1]

¹⁶⁰

[2]

¹⁶¹

[3]

¹⁶²

[11]

¹⁶³

[13]

¹⁶⁴

[14]

¹⁶⁵

[17]

¹⁶⁶

[22]

¹⁶⁷

; soit :

D

_x

= ε

₀

E

_x

+ P

_x

= ε E

_x

D

_y

= ε

₀

E

_y

+ P

_y

= ε E

_y

D

_z

= ε

₀

E

_z

+ P

_z

= ε E

_z

148. p. 360 pour la premi`ere ´egalit´e et p. 360 ´eq. (54-4) pour la seconde ´egalit´e 149. p. 201 ´eq. (125,1) : K~ =µ ~E+^{−µ v→}_c ∧ H~ ; en unit´es gaussiennes

150. p. 231 ´eq. (5.126) : P= ₄^c_π(E ×H) ; en unit´es gaussiennes 151. p. 328 ´eq. (35) :S~P =E~ × H˘

152. p. 103 ´eq. (31,2) :S=₄^c_πE × H; en unit´es gaussiennes

153. p. 163 ´eq. (30.20) et p. 373 ´eq. (75,14) :S=₄^c_π[E H] ; en unit´es gaussiennes 154. p. 93 ´eq. (323.1) :S~ =E~ ×H~

155. p. 2/4 :S=ε₀E ×B 156. p. 26 ´eq. (3)

157. p. 127 ´eq. (20) :p~=χ ε0E~

158. p. 155 ´eq. (7) pour la premi`ere ´egalit´e et p. 155 ´eq. (8) pour la seconde ´egalit´e : P~ =ε0χeE~

159. p. 301 ´eq. (7) :P~ =κε₀E~ 160. p. 129 pour la premi`ere ´egalit´e

161. p. 228 :D=E+ 4πP; en unit´es gaussiennes

162. p. 657 ´eq. (1) pour la premi`ere ´egalit´e : D~ = ε0E~ +~p et p. 658 ´eq. (6) pour la derni`ere ´egalit´e

163. p. 780 Appendix ´eq. (A.12) :D=ε0E+λPavecλ= 1 pour les syst`emes ration- nalis´es etλ= 4πpour les syst`emes non rationnalis´es

164. p. 56 ´eq. (7.1) :D=εE 165. p. 301 pour la derni`ere ´egalit´e

166. p. 86 ´eq. (131.3) pour la premi`ere ´egalit´e 167. p. 21 ´eq. (6) :D=εEpour la derni`ere ´egalit´e

div A ~ + ε µ

^{∂ V}_{∂ t}

= 0 ; soit :

∂ Ax

∂ x

+

^{∂ A}_{∂ y}^y

+

^{∂ A}_{∂ z}^z

+ ε µ

^{∂ V}_{∂ t}

= 0 (Condition de Lorentz [2]

¹⁶⁸

ou relation de Lorentz-condition de jauge [17]

¹⁶⁹

).

ρ = div D ~ = ε

0

div E ~ + div P ~ ou ρ + ρ

P

= ε

0

div E ~ [10]

¹⁷⁰

. Equations de Maxwell avec second membre ´

Ces ´ equations concernent l’induction ´ electrique D ~ et le champ magn´ e- tique ˘ H. Elles d´ ependantes de la m´ etrique pseudo-euclidienne d´ efinie ci-apr` es.

On verra qu’elles sont li´ ees au champ de tenseurs de Maxwell (cf. ci-apr` es).

Pour beaucoup d’auteurs elles constituent le second couple (ou la seconde paire) des ´ equations de Maxwell [12]

¹⁷¹

[13]

¹⁷²

.

Elles sont parfois dites pour les sources.

• div D ~ = ρ [5]

¹⁷³

[10]

¹⁷⁴

[14]

¹⁷⁵

[17]

¹⁷⁶

; soit :

∂ Dx

∂ x

+

^{∂ D}_{∂ y}^y

+

^{∂ D}_{∂ z}^z

= ρ (´ equation de conservation ou lois de Coulomb et de Gauss)

• rot ˘ ~ H −

^{∂ ~}_{∂ t}^D

= J ~ (cf. ˘ H ci-apr` es) ; [5]

¹⁷⁷

[10]

¹⁷⁸

[14]

¹⁷⁹

[17]

¹⁸⁰

; soit :

∂ Hz

∂ y

−

^{∂ H}_{∂ z}^y

−

^{∂ D}_{∂ t}^x

= J

_x

∂ Hx

∂ z

−

^{∂ H}_{∂ x}^z

−

^{∂ D}_{∂ t}^y

= J

_y

∂ Hy

∂ x

−

^{∂ H}_{∂ y}^x

−

^{∂ D}_{∂ t}^z

= J

_z

(loi d’Amp` ere) Vecteurs axiaux

˘

γ : couple-effort ou moment d’une force ; ˘ γ =



 γ

x

γ

_y

γ

_z





168. p. 230

169. p. 88 ´eq. (221.1) :∇~ A~+ε0µ0∂ V

∂ t = 0 (dans le vide) 170. p. 158 ´eq. (21)

171. p. 102 eqs. (30.3) et (30.4) mais c’est le champ ´electriqueE~ qui est utilis´e `a la place de l’induction ´electriqueD~

172. p. 376 ´eq. (76.4) et p. 377 ´eq. (76.5)

173. p. 380 ´eq. (I) : divD= 4π ρ; en unit´es gaussiennes 174. p. 21 ´eq. (1) et p. 335

175. p. 49 ´eq. (35) : divE~ =_ε^ρ

0

176. p. 82 ´eq. (111.2) :∇~ D~ =T~

177. p. 379 et p. 380 ´eq. (IV) :∇ × H = rotH = ^{4π J}_c +¹_c ^{∂ D}_{∂ t} ; en unit´es gaussiennes 178. p. 21 ´eq. (4) et p. 335 ´eq. (4)

179. p. 49 ´eq. (354) :rot~ B~ = _c¹2

∂ ~E

∂ t +µ0~j 180. p. 82 ´eq. (111.3) :∇ ×~ H~ −^{∂ ~}_{∂ t}^D =J~

Γ : densit´ ˘ e (volumique) d’un couple-effort ou densit´ e (volumique) du mo- ment d’une force ;

Γ = ˘



 Γ

_x

Γ

_y

Γ

_z





H ˘ : champ (ou excitation) magn´ etique ; ˘ H =



 H

_x

H

y

H

_z



 [2]

¹⁸¹

[3]

¹⁸²

[9]

¹⁸³

[10]

¹⁸⁴

[13]

¹⁸⁵

[17]

¹⁸⁶

[22]

¹⁸⁷

B ˘ : induction magn´ etique ; ˘ B =



 B

_x

B

_y

B

_z



 [2]

¹⁸⁸

[3]

¹⁸⁹

[5]

¹⁹⁰

[9]

¹⁹¹

[10]

¹⁹²

[13]

¹⁹³

[17]

¹⁹⁴

˘

m : moment magn´ etique ; ˘ m =



 m

_x

m

_y

m

_z



 [10]

¹⁹⁵

M ˘ : aimantation ou magn´ etisation ; ˘ M =



 M

_x

M

y

M

_z



 [2]

¹⁹⁶

[3]

¹⁹⁷

[5]

¹⁹⁸

[10]

¹⁹⁹

[13]

²⁰⁰

[17]

²⁰¹

[22]

²⁰²

181. p. 226 : not´eH 182. p. 658

183. p. 44 : not´eH 184. p. 21

185. p. 155 : not´eH 186. p. 82

187. p. 89 : not´eH 188. p. 228 : not´eeB 189. p. 658

190. p. 372 et p. 374 : ce n’est pas tr`es clair ! 191. p. 44 : not´ee B

192. p. 21

193. p. 154 : not´eeB 194. p. 82

195. p. 242 et p. 243 : not´e ˘M 196. p. 228 : not´eeM

197. p. 371 : not´eeJ~ 198. p. 378 : not´eem~ 199. p. 288 : not´ee ˘J 200. p. 155 : not´eeM 201. p. 86 : not´ee ~I 202. p. 89 : not´ee M

rot ˘ E ~ : rotationnel du champ ´ electrique ; ˘ rot E ~ =







∂ Ez

∂ y

−

^{∂ E}_{∂ z}^y

∂ Ex

∂ z

−

^{∂ E}_{∂ x}^z

∂ Ey

∂ x

−

^{∂ E}_{∂ y}^x







rot ˘ A ~ : rotationnel du potentiel vecteur du vecteur d’induction magn´ etique ; rot ˘ A ~ =







∂ Az

∂ y

−

^{∂ A}_{∂ z}^y

∂ Ax

∂ z

−

^{∂ A}_{∂ x}^z

∂ Ay

∂ x

−

^{∂ A}_{∂ y}^x







Relations

Γ = ˘

^d_{d v}^˘γ

; soit : Γ

_x

=

^{d γ}_{d v}^x

Γ

_x

=

^{d γ}_{d v}^x

Γ

_x

=

^{d γ}_{d v}^x

B ˘ = ˘ rot A ~ [1]

²⁰³

[3]

²⁰⁴

[5]

²⁰⁵

[10]

²⁰⁶

[14]

²⁰⁷

[17]

²⁰⁸

; soit : B

_x

=

^{∂ A}_{∂ y}^z

−

^{∂ A}_{∂ z}^y

B

_y

=

^{∂ A}_{∂ z}^x

−

^{∂ A}_{∂ x}^z

B

_z

=

^{∂ A}_{∂ x}^y

−

^{∂ A}_{∂ y}^x

M ˘ =

^d_{d v}^m˘

= κ H ˘ [3]

²⁰⁹

[10]

²¹⁰

[14]

²¹¹

[22]

²¹²

; soit : M

_x

=

^{d m}_{d v}^x

= κ H

_x

M

y

=

^{d m}_{d v}^y

= κ H

y

M

_z

=

^{d m}_{d v}^z

= κ H

_z

203. pp. 132-133 :B~ = rotA~

204. p. 659 ´eq. (17) et p. 669 ´eq. (43) :B~ =−−−→

rotA 205. p. 375

206. p. 217 et p. 335 ´eq. (6)

207. p. 36 ´eq. (10) :B~ =rot~ A~ o`u B~ est appel´e `a tort champ magn´etique 208. p. 87 ´eq. (211.1) :B~ =∇ ×~ A~

209. p. 371 ´eq. (1) :J~ =κH~

210. p. 288 : ˘J = ^d_{d v}^M˘ pour la premi`ere ´egalit´e et p. 295 ´eq. (5) : ˘J = χmH˘ pour la seconde ´egalit´e

211. p. 317 :d ~M=M d τ~ et p. 321 : M~ =χ ~H 212. p. 89 ´eq. (8a) :M=κH

B ˘ = µ

₀

( ˘ H + ˘ M ) = µ

₀

(1 + κ ) ˘ H = µ H ˘ [2]

²¹³

[3]

²¹⁴

[10]

²¹⁵

[11]

²¹⁶

[14]

²¹⁷

[13]

²¹⁸

[22]

²¹⁹

[17]

²²⁰

; soit :

B

_x

= µ

₀

(H

_x

+ M

_x

) = µ H

_x

B

_y

= µ

₀

(H

_y

+ M

_y

) = µ H

_y

B

_z

= µ

₀

(H

_z

+ M

_z

) = µ H

_z

div S ~ = ˘ H rot ˘ E ~ − E ~ rot ˘ ~ H D´ emonstration

Il s’agit de l’une des relations pr´ ec´ edemment indiqu´ ees. Cependant nous allons la d´ emontrer.

div S ~ ,

^{∂ S}_{∂ x}^x

+

^{∂ S}_{∂ y}^y

+

^{∂ S}_{∂ z}^z

=

^∂(EyH_{∂ x}^z−EzHy)

+

^∂(EzH_{∂ y}^x−ExHz)

+

^∂(ExH_{∂ z}^y−EyHx)

= E

_y ^{∂ H}_{∂ x}^z

+

^{∂ E}_{∂ x}^y

H

_z

− E

_z ^{∂ H}_{∂ x}^y

−

^{∂ E}_{∂ x}^z

H

_y

+ E

_z ^{∂ H}_{∂ y}^x

+

^{∂ E}_{∂ y}^z

H

_x

− E

_x ^{∂ H}_{∂ y}^z

−

^{∂ E}_{∂ y}^x

H

_z

+ E

_x ^{∂ H}_{∂ z}^y

+

^{∂ E}_{∂ z}^x

H

_y

− E

_y ^{∂ H}_{∂ z}^x

−

^{∂ E}_{∂ z}^y

H

_x

= H

_x

(

^{∂ E}_{∂ y}^z

−

^{∂ E}_{∂ z}^y

) + H

_y

(

^{∂ E}_{∂ z}^x

−

^{∂ E}_{∂ x}^z

) + H

_z

(

^{∂ E}_{∂ x}^y

−

^{∂ E}_{∂ y}^x

)

− E

_x

(

^{∂ H}_{∂ y}^z

−

^{∂ H}_{∂ z}^y

) − E

_y

(

^{∂ H}_{∂ z}^x

−

^{∂ H}_{∂ x}^z

) − E

_z

(

^{∂ H}_{∂ x}^y

−

^{∂ H}_{∂ y}^x

)

= ˘ H rot ˘ E ~ − E ~ rot ˘ ~ H QED.

Equations de Maxwell sans second membre ´

Ces ´ equations concernent le champ ´ electrique E ~ et l’induction magn´ etique ˘ B.

Elles sont ind´ ependantes de la m´ etrique pseudo-euclidienne d´ efinie ci-apr` es.

On verra qu’elles sont li´ ees au champ de tenseurs de Faraday (cf. ci-apr` es).

Pour beaucoup d’auteurs elles constituent le premier couple (ou la premi` ere paire) des ´ equations de Maxwell [12]

²²¹

[13]

²²²

.

Elles sont parfois dites pour les champs, mais cette d´ enomination n’est pas

213. p. 228 :B=H+ 4πM; en unit´es gaussiennes 214. p. 658 ´eq. (11) :H~ =_µ¹

0

B~ −J~ et p. 659 ´eq. (16) pour la derni`ere ´egalit´e :B~ =µ ~H 215. p. 295 ´eq. (40) : ˘B =µ0( ˘H+χmH) =˘ µ0(1 +χm) ˘H=µH˘

216. p. 780 Appendix ´eq (A.12) : H = _µ¹

0B−λ⁰M avec λ⁰ = 1 pour les syst`emes rationnalis´es etλ<sup>0</sup> = 4πpour les syst`emes non rationnalis´es

217. p. 319 :B~ =µ0H~ +M~ (attention !) et p. 320 :B~ =µ ~H 218. p. 155 ´eq. (29,8) :B=H+ 4πM; en unit´es gaussiennes 219. p 380. 21 ´eq. (7) p. 79 ´eq. (2) et p. 89 ´eq. (8)

220. p. 86 ´eq. (131.4) :H~ =_µ¹

0

B~ −I~

221. p. 91 eqs. (26.1) et (26.2) mais c’est le champ magn´etiqueH~ qui est utilis´e `a la place de l’induction magn´etique ˘B

222. p. 376 ´eqs. (76.1) et (76.2)

tr` es claire car ces ´ equations concernent le champ ´ electrique mais l’induction magn´ etique .

• div ˘ B = 0 [5]

²²³

[10]

²²⁴

[14]

²²⁵

[17]

²²⁶

; soit

^{∂ B}_{∂ x}^x

+

^{∂ B}_{∂ y}^y

+

^{∂ B}_{∂ z}^z

= 0 (non existence de charges magn´ etiques libres)

• rot ˘ E ~ +

^∂_{∂ t}^B˘

= ˘ 0 [1]

²²⁷

[3]

²²⁸

[5]

²²⁹

[10]

²³⁰

[14]

²³¹

[17]

²³²

; soit :

∂ Ez

∂ y

−

^{∂ E}_{∂ z}^y

+

^{∂ B}_{∂ t}^x

= 0

∂ Ex

∂ z

−

^{∂ E}_{∂ x}^z

+

^{∂ B}_{∂ t}^y

= 0

∂ Ey

∂ x

−

^{∂ E}_{∂ y}^x

+

^{∂ B}_{∂ t}^z

= 0 (loi de Faraday).

Cons´ equence des ´ equations de Maxwell

On d´ eduit donc des lois de Faraday et d’Amp` ere que :

div S ~ = ˘ H (−

^∂_{∂ t}^B˘

) − E ~ (

^{∂ ~}_{∂ t}^D

+ J ~ ). C’est le th´ eor` eme de Poynting [22]

²³³

. Si D ~ = ε

₀

E ~ et si ˘ B = µ

₀

H ˘ on a div S ~ = −

^{∂ W}_{∂ t}

− E ~ J ~ [17]

²³⁴

[22]

²³⁵

D´ emonstration

W =

¹₂

( E ~ D ~ + ˘ H B) donc : ˘

∂ W

∂ t

=

¹₂

( E ~

^{∂ ~}_{∂ t}^D

+ D ~

^{∂ ~}_{∂ t}^E

+ ˘ H

^∂_{∂ t}^B˘

+ ˘ B

^∂_{∂ t}^H˘

).

Mais si D ~ = ε

0

E ~ et si ˘ B = µ

0

H ˘ on a D ~

^{∂ ~}_{∂ t}^E

= E ~

^{∂ ~}_{∂ t}^D

et ˘ B

^∂_{∂ t}^H˘

= ˘ H

^∂_{∂ t}^B˘

et donc :

∂ W

∂ t

= E ~

^{∂ ~}_{∂ t}^D

+ ˘ H

^∂_{∂ t}^B˘

.

Soit, d’apr` es les ´ equations de Maxwell :

∂ W

∂ t

= E ~ ( rot ˘ ~ H − J ~ ) + ˘ H (− rot ˘ E) = ~ −div S ~ − E ~ J ~ . et donc : div S ~ = −

^{∂ W}_{∂ t}

− E ~ J ~ QED.

223. p. 380 ´eq. (II) : divB= 0 224. p. 335 ´eq. (3)

225. p. 37 ´eq. (16) : divB~ = 0 226. p. 82 ´eq. (111.5) :∇~ B~ = 0 227. p. 131 ´eq. (63) 3e : rotE~ =−^{∂ ~}_{∂ t}^B 228. p. 664 ´eq. (31) :−−−→

rotE=−^{∂ ~}_{∂ t}^B

229. p. 380 ´eq. (III) : rotE=−¹_c ^{∂ B}_{∂ t} ; en unit´es gaussiennes 230. p. 21 ´eq. (2) et p. 335 ´eq. (2)

231. p. 37 ´eq. (15) :rot~ E~ =−^{∂ ~}_{∂ t}^B 232. p. 82 ´eq. (111.4) :∇ ×~ E~ +^{∂ ~}_{∂ t}^B =~0 233. p. 26 ´eq. (4)

234. mais pas tr`es clair ! 235. p. 29 ´eq. (7)