Characterization of polynomial decay rate for the solution of linear evolution equation

HAL Id: hal-00129703

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00129703

Preprint submitted on 8 Feb 2007

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Characterization of polynomial decay rate for the solution of linear evolution equation

Zhyangyi Liu, Bopeng Rao

To cite this version:

Zhyangyi Liu, Bopeng Rao. Characterization of polynomial decay rate for the solution of linear evolution equation. 2004. �hal-00129703�

-

/.0 123/"4576/.0 89 :;.<

=?>A@8BDCFEDGH?I)HJ@LK M%NPO7QRCFETS"BUNTV

W1XZY[/\$]_^`[

acbdfe_gih1j_kljnm9op8qmrhfdfsutwvdfewm0twmx9k/voykldzmr{`|hz{~}iswdfg{~b_hdz{hzdzof{~bu€~}vhzdfkl‚_}im`pƒ‚_swd%bw{`d

m„+jn{~bwmb…dfgik`}i}iv4hzdfkl‚_}im8}igibwmklo†m9‡`{~}isudfg{~bmˆ+sukldfg{~buh9‰PaJdŠgih†‹Œbw{/qbdfeukldŠdfewmƒofmhz{~}‡`mb…dŠ{`jnm9oykldz{`o

{`|†hfsuxyek`bmˆ…s_kldfg{~bsuhzd‚nmsub…‚n{~subutwmt1{~bdfewm4giŽkl€~gibukloyvk3„wgih9‰suo8Žk`gib%ofmhfs_}d8gihk`b

mhzdfgiŽkldzm‘{`|dfewmtwmx9kv;oykldzmqƒewmb’dfewmsub…‚n{~subutwmtubumhfhƒgih7{`|j“{~}iv+bw{~gik`}”{`oytum9o‰?•0mdfewmb

kljuj_}v{~swoƒŽk`g–b%dfewm9{`ofm—dz{dfewofm9mhzdzoy{~bw€~}v%hzdfkl‚_}m?‚_sud8bw{`d8m„Œj“{~bumb˜dfgik`}–}vhzdfkl‚R}mhzvŒhzdzmŽh

dz{Ž{`‚udfk`gib™dfewmtwmx9kvoškldzm`puqƒeugixšegih8bw{`d8k/‡3k`g–}ikl‚_}mgib%dfeum)}igdzm9oykldfsuofm`‰

› œŠ0žFŸ !¡¢£žF¤3 

¥¦§$¨Œ©nªš«­¬n¦$®4¯°±«­©n¦3¯+®¦$²+¨Œ°­³R´«­¨+©"¦$µu³¶¯…´«±¨Œ©!¨Œ©(·4«­°±¸Z¦$®š´?ªš¹¶¯+§$¦Žº¼»

½¾

¿¾À ÁuÂ

ÁwÃ!ÄÆÅ

Â

ŠÇJÈuÉ

Ä

¶ÊlË

Çy̌ͱ̘É

Î ªšª ³nϦ´Ð¶¯˜´

Ç · ̅É9Í

ÅÑ

¦3©“¦3®¯˜´¦3ª4¯¸Z¨+³n©n¬n¦$¬ÓÒ Ê ª ¦$ϒ«

Ñ

® ¨Œ³“¹ÓÔ ÇÕÃÉ

Ä×Ö3ؔÙ

¨Œ©!º Í

Ç ·Ú É9ÍÛ °ÜÞÝ(ß Ç Å É

ÄÆà

Í

áyâAãšä˜åæèçèé?ãšê3çPë/ìníå9çèî˜ãyéå9çJïðyñDåê˜ò‘ó3çJåçèïñôçèïðyñyõ~öŠê~ïø÷/ãšæJñèïùçÕúëì“íŽïùê˜ê~ãšñèëçcå`õ~âAû˜üùû~çèîwõ…íý¼þ/þÿ ~õ$öó

ê˜ñôçèïùçèû`çAò~ã†ãšðcî~ãšæJðcî˜ãíŽåçèîãyéå9çJï$û˜ãŠ÷9å/ê˜ðãšãõ~öŠê˜ïù÷$ãyæcñôïùçãò`ã_ë/ïøû˜ñ¶å/ñôçèãšû~æ†ò`ãƒó3çèæcå/ñ+ë/û~æ~õ! "†û~ã†ãšêã#

âãšñJðyåæèçèã ñfõ$ %$ÿ7ólçèæcå/ñ…ë$û~æ'&Zãšò~ã)(Œõ*~æcåê˜ðyã+

ŠÇôÃÉ

Ä Ô ÇôÃÉc¶Ê`Ë

¥¦ª ¯0´Ð¶¯…´ ÇyÌŒÍ–Ì…É «­ª 4«

°±«­Ï

٠ŠÇôÃÉ

"!

Ä È Çy̌ÍÚ É

Õ¨Œ®¯+°±° ¶Ê$# º&%¶«­ª')(+*, -./012)«Š´Ðn¦$® ¦¦3R«­ªy´§3¨Œ©nªy´9¯+©w´ ª5476/8:9 È ªš³n§9Ð(´ ж¯…´

ŠÇÕÃÉ "!<;

4

Ö=?>

Ù

Â¶Ê "!

6 à 9 È“Ë Çy̌ÍA@uÉ

Õ¨Œ®¯+°­° ¶ÊB# º Í ?Ðn¦3®š¦r¯+®š¦’Ï’¯+©¼ª)_ªš´ ¦3ϪDCÐn«±§9ÐÞ¯+®š¦’ªy´® ¨+©

Ñ

°E¼ªy´9¯+¸“°­¦GF¸n³“´©n¨+´¦3R¹U¨Œ©n¦3©w´ «¯+°±°E

ªš´¯+¸n°±¦ ÍIH ¨Œ®¦J3n¯…Ï’¹n°±¦GFKCÐn¦$©Ó¬¶¯+Ϲn«±©

Ñ

«­©(¯+©Ó¦$° ¯+ªy´«­§ªL_ªš´¦$Ï «±ª°­¨_§l¯…´ ¦3¬"¨Œ©n°Er¨Œ©<¯™ª ³n¸U¬n¨ŒÏ’¯+«±©"¨+®

¨Œ©<¹n¯+®š´4¨GF´ Ðn¦1¸U¨Œ³n©n¬n¯+®)GFD«±´ ª4¦$©n¦3®

Ñ

(ªš´«±°­°†¬n«±ª ªš«­¹¶¯…´ ¦3ªMFD¸n³“´Ï;¯!©n¨…´¯…´¯’³n©“«EÕ¨Œ®šÏ ®¯…´ ¦ Í$N

©Ó´Ð¶¯˜´

§l¯…ª ¦GFU¨+´ Ðn¦3®Ou«­©n¬(¨GF¬“¦3§l¯!® ¯…´¦$ª4ж¯…¬Ó¸U¦3¦3©(«­©w´®š¨R¬“³n§3¦$¬ ÍPN F´ Ðn¦3®š¦¦J3R«­ªš´ ª¯™¹U¨Œª «–´«±²+¦QÕ³n©n§$´ «­¨Œ©SR ÇÕÃÉ

C«±´ ÐUTVW

Ù R ÇôÃÉ

Ä È ª ³“§9Ð(´Ðn¯…´

ŠÇôÃÉ "!<;

R ÇôÃÉ Â¶Ê "XZY

Ø.[

6 à 9 È 6 Çy̌Í]\_É

C¦)ª ¯´Ðn¦?ªš¨Œ°­³“´ «­¨Œ©¨

Çy̌ͱ̘É

¬n¦3§3¯_ª¯…´ƒ¯®¯…´ ¦?¨G^R ÇôÃÉ

Õ¨Œ®8¯…°­°

¶Ê_#S`"Ç

Å

ÉÍba

¨+´¦?´ ж¯…´´Ð“¦)©“¨Œ® Ï ¨Œ©

´Ð“¦)®š«

Ñ

Ðw´Lczж¯+©“¬ªš«­¬n¦¨G ǚÌ+Í]\RÉ §3¯+©’©“¨+´ƒ¸Z¦?´Ð“¦ºdcc©n¨Œ®šÏ Í,e ´ Ðn¦3®LC«­ªš¦GFu¸´Ðn¦ª ¦$ϒ«

Ñ

® ¨+³n¹™¹n® ¨Œ¹U¦3®y´«±¦3ªF

ǚÌ+Í]\RÉ «±Ï’¹“°­«­¦$ª Çy̌ÍA@uÉ9Í

f ¦$²+¦3® ¯+°A´ «­Ï¦‘¬n¨ŒÏ’¯+«±©0ϒ¦/´Ðn¨_¬nªÕ¨Œ®?´Ðn¦Ž¹U¨Œ°E_©n¨+ϒ«­¯+°Z¬“¦3§l¯"®¯˜´¦¦3ªy´«±Ï;¯…´ ¦Ž¦3R«­ªy´4«±©0´Ðn¦Ž°­«–´¦$®¯gc

´³“® ¦ Íih

©n¦$®

Ñ

™¦$ªš´ «­Ï’¯…´¦Ï¦$´Ð“¨R¬§3¨ŒÏ1¸n«­©n¦$¬jC«–´ÐÏ%³n°–´«­¹“°­«­¦$®´ ¦3§9Ðn©n«±µu³n¦§3¯+©;¸U¦$Õ¨+³n©n¬«­©SkÜlmF2kÜ4ÜlmF

k܆¥nl Í Î © ¦$©n¦3®

Ñ «±©n¦3µu³¶¯+°±«±´&C7¯+ª™¦3ªš´¯+¸n°±«­ª Г¦3¬ «­©okÜ)³l?¯+ªªš³p§3«­¦$©w´’§$¨Œ©n¬n«–´«±¨Œ©qÕ¨Œ®¹U¨Œ°E_©n¨+ϒ«­¯+°

¬n¦$§l¯!®¯…´ ¦ Ì-r˜ÃÍ

?Ðn«±ª)«±©n¦3µu³¶¯…°­«±´BC¯…ª

Ñ

¦$©n¦3® ¯+°­«Es3¦$¬"«±©tkvu+$w.l Í Î

Ü)«±¦3ªxs¸n¯+ª «±ª)Ϧ$´ Ðn¨_¬UC7¯+ª)³nª ¦$¬Ó«±©

kzyŠ¸{y|Cl}CÐn«­§9Ð

Ñ

«±²+¦3ª´ Ðn¦1¹U¨Œ°E_©n¨+ϒ«­¯+°†¬n¦3§3¯Ó® ¯…´¦¸¶¯+ª ¦$¬¨Œ©Ó´ Ðn¦%¯+ªL_ϒ¹“´ ¨+´«±§1®š¦3°¯˜´«­¨+©(¨G´Ðn¦%®š¦l¯+°

¯+©n¬«­Ï’¯

Ñ

«±©¶¯+®L(¹n¯+®š´Ž¨G´Ðn¦™¦$«

Ñ

¦$©u²…¯+°±³n¦3ª Í Î

©n¨+´ Ðn¦3®ŽÏ¦$´ Ðn¨R¬¼¸¼³nªš«­©

Ñ N © Ñ

Ðn¯+Ï~ªŽ«­©n¦$µu³¶¯+°­«–´<§3¯+©

¸U¦€Õ¨+³n©n¬"«­©tkÎ yIl ÍKN ´)«­ª?©n¨+´)¨Œ³“®?«­©w´¦$©u´ «­¨Œ©0´ ¨’¬n¨¯™§3¨ŒÏ¹n°±¦$´¦®š¦$²_«­¦C ¨Œ©!´Ð“«­ª?ª ³“¸‚š¦3§/´‘Ðn¦$® ¦ Í ¥¦

® ¦Õ¦3®?´Ð“¦®š¦l¯+¬“¦3® ª?´ ¨´ Ðn¦Ž® ¦MÕ¦$® ¦$©n§3¦$ª4«±©!´ Ðn¦ŽÏ’¦$©w´«­¨+©n¦3¬"¯+¸U¨`²Œ¦€Õ¨Œ®?ϒ¨+® ¦«­©Õ¨Œ® ϒ¯…´«±¨Œ©

Í

?Ðn¦‘ªš¦3Ï«

Ñ

®š¨Œ³n¹;Ô ÇÕÃÉ «±ªªy´® ¨+©

Ñ

°E™ªy´9¯+¸“°­¦)«EP§$¨Œ©n¬n«–´«±¨Œ© Ç ·‘Ú É Ðn¨Œ°±¬nª Ç ª ¦$¦ƒk· Ì lF„k· @ lÉ %“«­ªƒ¦3R¹U¨Œ©n¦$©c

´«­¯+°­°ªš´9¯…¸n°­¦«F¯+©“¬"¨+©n°E0«

Ç

·‘Ú

É

¯+©n¬

ªš³n¹^… Ç V†S‡ É

"!Š‰

† # °Ü5‹DŒŠ Çy̌͏ŽwÉ

ÇV†S‡

Å É

=ˆ

"!

Ä Ç Ì

† É 6 †  Ë Çy̌ÍuÉ

?Ðn¦$ª ¦ Õ® ¦$µ_³“¦3©n§—¬n¨ŒÏ’¯+«­© ®š¦3ªš³n°±´ ªÐ¶¯l²Œ¦ ¸Z¦$¦3©—³nªš¦3¬—´¨ ªš´ ³n¬ ´ Ðn¦ ¯+ªLRϹ“´ ¨+´«±§Þ¸Z¦$ж¯l²_«­¨Œ®¯…©n¬

ª Ϩ_¨+´Ðn©“¦3ª ª¨GA´Ð“¦ªš¨Œ°­³R´«­¨+©r´¨’¯

Ñ

«±²Œ¦$©(°±«­©n¦3¯+®¦/²Œ¨Œ°±³“´«±¨Œ©0¦3µu³¶¯…´ «­¨Œ©

Í

e ©n¦§3¯+©"¨Œ¸nª ¦$®š²+¦´Ðn¯…´´Ðn¦

Ñ

®š¨-C?´ Ð(® ¯…´¦Ž¨G´Ðn¦Ž®š¦3ª ¨+°±²Œ¦$©w´‘¨Œ¹U¦3® ¯…´¨Œ®?¨+©"´ Ðn¦Ž«­Ï’¯

Ñ

«­©n¯+®);¯g3R«­ª?«±ª

® ¦$°¯…´ ¦3¬¼´¨!´Ðn¦¬n¦$§l¯®¯…´ ¦¨7´Ð“¦’ªš¨Œ°­³“´ «­¨Œ©´ ¨ ǚÌ+ͱ̅ÉÍBN PC7¦jOu©n¨C,´Ð¶¯…´ ÇyÌŒÍ±Ì˜É «±ªŽªš´®š¨Œ©

Ñ

°ªš´¯+¸n°±¦

¸n³“´1©n¨+´1¦3R¹Z¨+©n¦3©w´«­¯+°­°ªš´¯+¸n°±¦GF´ Ðn¦3©Þ§$¨Œ©n¬n«–´«±¨Œ© Çy̌͏ŽwÉ Ï%³“ªš´Dô¯…«­°mFŠ« ͦ ÍFA´Ðn¦’® ¦3ªš¨Œ°±²+¦3©w´¨Œ¹U¦3® ¯…´¨+®«±ª

³n©u¸U¨Œ³n©n¬n¦$¬!¨Œ©r´Ðn¦«­Ï’¯

Ñ

«­©n¯+®)™¯-3“«±ª ÍiN ©0Ðn«±ª7ªy´³n¬;¨Œ© C7¯l²Œ¦Ž¦3µu³¶¯…´ «­¨Œ©BC«±´Ð0«±©w´¦3®š©¶¯+°U¨Œ®¸U¨Œ³n©n¬n¯+®)

¬¶¯+Ϲn«±©

Ñ

F?y†¦3¸U¦l¯+³ kvy^lUж¯+¬’³nª ¦$¬;´Ðn«±ªƒ¯+¹n¹n®š¨w¯+§9Ð;´ ¨

Ñ

¦/´7¬“¦3§l¯®¯˜´¦)¦3ªš´ «­Ï’¯…´¦ Í e ³n®8Ï;¯…«­©

Ñ

¨w¯+°¶«±ª8´ ¨

¹n®š¨~²_«±¬n¦7¯§9ж¯+® ¯+§$´ ¦3®š«2sl¯˜´«­¨+©¨“´Ð“¦¬n¦$§l¯Ž®¯˜´¦8¨Gnªš¨Œ°­³R´«­¨+©Ž´ ¨ Çy͖̌̅É

¸?´ Ðn¦ƒ¨Œ® ¬n¦$®Š¨Gn³n©u¸U¨Œ³n©n¬“¦3¬n©n¦$ª ª

¨GZ´Ðn¦)® ¦$ª ¨Œ°–²Œ¦3©w´7¨Œ¹Z¦$®¯…´ ¨Œ®8¨Œ©’´ Ðn¦)«­Ï’¯

Ñ

«­©n¯+®)1¯g3R«­ªMFR¹¶¯…®š´«±§3³n°­¯+® ° Õ¨+®ƒ´ Ðn¦4§3¯+ª ¦)¨G ÇV† ‡ Å É

=ˆ

"!

Ä

džÉ9Í

?Ðn«­ª¹n¯+¹Z¦$®%«­ª1¨Œ®

Ñ

¯…©n«2s$¦3¬ ¯+ªDÕ¨+°­°­¨C«±©

Ñ

»ª ¦$§$´ «­¨Œ© ÚÓ«­ª¬n¦$²+¨+´¦$¬ ´ ¨<´Ðn¦0ªy´9¯…´ ¦3Ϧ3©w´™¯+©“¬ ¹“® ¨_¨G

¨Gƒ´Ðn¦™Ï’¯+«­©<´ Ðn¦3¨+® ¦3Ï ÍƒN ©ª ¦3§/´«±¨Œ© @ F C¦¯+¹n¹n°<¨Œ³“®Ž´ Ðn¦3¨+® ¦3Ï ´¨0´Ðn®š¦3¦ªš´ ® ¨Œ©

Ñ

°E<ªy´9¯+¸“°­¦¸n³“´©n¨…´

¦3R¹U¨Œ©n¦$©u´ « ¯+°±°Eªš´¯+¸n°­¦7ª)_ªš´ ¦3Ϫ Í ?Ðn¦¶®šªš´8¨Œ©n¦?«±ª8¯+©¦3°­¯+ªš´ «­§ªy´®š«­©

Ñ

C«–´Ð¦3°±²_«±©c8¨Œ«

Ñ

´¬¶¯+Ϲn«­©

Ñ

¨Œ©

¯’ªš¦

Ñ

Ϧ3©w´¨GF´Ð“¦1ªš´ ® «±©

Ñ

¯+©“¬Ó¬¶¯+Ϲn«±©

Ñ

§$¨R¦p§3«­¦$©w´‘¬n«±ª §3¨+©u´ «­©u³n¨Œ³“ª‘¯…´)´Ðn¦«­©w´¦$®)ô¯+§$¦ Í ?Ðn¦%ªš¦3§$¨Œ©n¬

¨Œ©n¦1«­ª‘¯jC7¦3¯GOu°E(§3¨Œ³n¹“°­¦3¬Ó©cz¬n«±Ï’¦$©nª «±¨Œ©¶¯+°|C7¯l²Œ¦¦3µu³¶¯˜´«­¨+©¯+©n¬Ðn¦3¯…´‘¦$µu³¶¯…´«±¨Œ© Í ?Г¦%°¯+ªy´‘¨Œ©“¦1«­ª¯

C7¯`²+¦0¦3µu³¶¯…´ «­¨Œ©¨Œ© ¯"ª µu³¶¯+®š¦r¬n¨ŒÏ’¯+«­©&C«±´ в_«­ªš§3¨Œ³“ª%¬¶¯+Ϲn«­©

Ñ

¨Œ©Þ¯(ª ³“¸Z¬n¨+Ï;¯+«±©tCÐn«±§9ÐÞ§3¨+©u´¯+«­©“ª

¯0²Œ¦3®y´«±§l¯+°8ªš´ ® «±¹ Í ¥¦;¯+®š¦¯+¸n°­¦´ ¨Ó¦3ªy´«±Ï;¯…´ ¦%´Ðn¦¬n¦$§l¯®¯…´ ¦3ª Õ¨+®Ž´ Ðn¦3ªš¦;ªLRªy´¦$ϒªMF}CÐn«±§9ÐÞ¯+®š¦’©n¨…´

¯l²…¯+«­°­¯+¸n°­¦4«­©0´Ð“¦°±«±´ ¦3®¯˜´³n®š¦ Í

%¤3 ‘ Ÿ

¥¦€Õ³“®š´Ð“¦3®)¯+ª ªš³nϦŽ´ ж¯…´

Ç · @_É9Í ª ³n¹

!" # ˆ Ì

†

ÇôÛ † ‡ Å É

=ˆ

';

4 Õ¨Œ®?ª ¨ŒÏ¦QT,9 ȓÍ

$ r´ Ðn¦Ž® ¦$ª ¨Œ°–²Œ¦3©w´4«­¬n¦$©w´«±´

Ç

‡_8&%

Û

†S‡

Å É

=ˆ

Ä

ÇèÛ

†S‡

Å É

=ˆ

k' ‡:8 ÇèÛ

†‡

Å É

=ˆ

l

=ˆ

Ä

ÇèÛ †S‡

Å É

=ˆ

( ' ‡:8

‰† ‰ ÇèÛ

†‡

Å É

=ˆ

‰† ‰

=ˆ

6 Ç Ú Í±Ì˜É

C¦?ª ¦3¦?´ ж¯…´‡_8 % Û †€‡

Å

«±ª«±©u²+¦3®y´«­¸“°­¦PCÐn¦$©

‰

8Z†

‰?;

ˆ

¯+©n¬

‰†

‰

ÌŒÍ ¨Œ®š¦3¨`²Œ¦$®FFªš³n¹

! # ˆ † Ç ‡_8 %

Û † ‡ Å É

=ˆ

Q;

Ú+4 Í f «±©n§3¦

Å

=ˆ

¦3R«­ªy´ªFKÕ®š¨ŒÏ ´Ðn¦§3¨+©u´ «­©u³n«–´0¨G´ Ðn¦® ¦3ªš¨Œ°±²+¦3©w´‘¨+¹Z¦$®¯…´ ¨Œ®Fn´ Ðn¦3®š¦«±ª

¯+©!§3¨+©nªš´¯+©w´D9 È ¯+©n¬(¯™§$³n®š²+¦

Ä

Ä ‡

% Û

‰K‰

‰

Ì ‹&…

Ä

‡ % Û ‰ ‰ ‰ Œ Ì ‹ Ç Ú ÍÚ É

ª ³“§9дÐn¯…´Ž´Ðn¦™® ¦

Ñ

«­¨+©¨+©¼´ Ðn¦® «

Ñ

Ðu´Lczж¯…©n¬ª «±¬n¦™¨G

Ç

«­©n§$°­³n¬n«±©

Ñ

´Ð“¦¸U¨Œ³n©“¬¶¯+®)

É

¸U¦3°­¨+©

Ñ

ª‘´¨!´Ð“¦

® ¦$ª ¨Œ°–²Œ¦$©u´4ª ¦/´)¨G

Å Í

!#"%$'&)(*(+&-,/.*0#12.43"'0654.578!#&)(93-:;$'&-<>=?(*(@.*065A"B1C"'<ED

Ì

=)0F3G=?(*(

Â#

ºH

Ö

ÙØ

Ç ' ‡ Å É

=I

Â Ä Ì

ÚJ Û KML

ÇON '€‡

Å É

=ˆ

Â

ÇšÌ ‡ N“É

I Ö

Ù9P ÁN

Ä Ì

ÚJ Û KQLSR

ÇON '€‡

Å É

=ˆ

Â

ÇyÌ ‡ NnÉ

I Ö

Ù9P

ÁN Ç Ú ÍA@uÉ

,/!#"'<T"E

Ä … N Ä ˆ % Û ‰ # °Ü5‹ Ë

UWV-XYXFZT y†¦$´[

ÄÅ

‡ ' Í ?Ðn¦$©Ó¸0¦$µ_³n¯…´«±¨Œ© ǚ͖̌Ì@_É «±©qka ¯glmF

Ö

Ù9\

[

=I

Â Ä Ì

ÚJ Û K

=/]

^`_

Û

= ]^ = Û

ÇOa ' ‡b[ É

=ˆ

Â

a I Ö

Ù9c

Á#a Ç Ú

Í]\_É

Õ¨Œ®¦$²+¦3®L Â&# º*¯+©n¬ à 9 ÈRÍ Ü)¦/´³n®š©n«­©

Ñ

´¨´Ðn¦¨Œ®š«

Ñ

«±©¶¯+°P¨Œ¹U¦3® ¯…´¨+®

Å

¯+©n¬Ó°±¦$´š´«­©

Ñ N Ä a % Ì FKC¦

¨Œ¸“´¯+«­©r´ Ðn¦¶® ªy´¦$µu³¶¯+°­«–´ Íd ª «­©

Ñ

´ Ðn¦QÕ¨Œ°­°±¨C«­©

Ñ

¦$ªš´ «­Ï’¯…´¦$ª3»

½¾

¿¾À

ÇON '€‡

Å É

=ˆ

Â

';

Ò Â 6

ˆ

ˆL=

P ; P Ç Ú ÍŽwÉ

´Ð“¦ªš¦3§$¨Œ©n¬Ó¦$µu³¶¯+°­«–´r«±© Ç Ú Í]@_É §l¯+©"¸U¦¦3¯+ª «±°E’¦3ªy´9¯+¸n°±«­ªšÐn¦3¬"¸"¯™§$¨Œ©w´¨Œ³“®)«±©w´¦

Ñ

®¯…´ «­¨Œ© Í e

fhg XiV- jlkimnCno&:Q"p54!=?55!#"2!C7`no&)5!#"q:Q"q:srOtvu'wyxzrOtv{Qw|!#&)(93}~!#"'0€@$'&-<2=)0i7>no&:`.5.*-"‚.*065A"B1C"'<

D5!#"'<T"p"zƒ-.„:q5:…=‡†z&-0€:q5ˆ=)065Ò

I 9 È :`m€†'!‡54!=?5

Ö ÙØ

"! ; Ò

Iv‰

°­© Ã

ˊWŒ

Ç °±© ÃÉ Â X YØ Œ [ Ç Ú ÍuÉ

$'&-<h=?(*(

ÂS#`"Ç

Å I É9Ë

ܦ3ϒ¯+®xO”» h ªš´ «­Ï’¯…´¦ Ç Ú Í_É «±ª©n¨+´¨Œ¹R´«­Ï’¯+° Í}N ©0´Ð“¦¹¶¯+¹U¦3® ª kÜl¯+©“¬ kÜP¥nlF“´Ðn¦

Ñ

¨+´7´Ðn¦‘¸U¦3ªy´)¬n¦3§3¯

®¯˜´¦

ˆ

Ù

]Ž

^

Õ¨Œ®´Ðn¦ª ¨+°­³“´ «­¨Œ©¨G¯+©Ð?_¸n®š«­¬ª)_ªš´ ¦3Ï

Í

$7³R´1³nªš«­©

Ñ Ç Ú Í_É

F|C7¦§l¯+©¨Œ©n°

Ñ

¦/´´ Ðn¦¬n¦3§3¯

®¯˜´¦

Y‘’

Ù[9“

Ž ^

Ù ^ Í e ³n®?¦q”D¨Œ®y´´¨™® ¦$ϒ¨`²Œ¦´ Ðn¦Ž°­© à ´ ¦3®šÏ «­© Ç Ú Í_É Ðn¯+ª©n¨+´¸U¦3¦3©"ª ³“§3§3¦$ª ªLÕ³n° Í

Ñ Ñ

Ö

ÙØ

Ç ' ‡ Å É

=I

Â Ä Ì

ÚJ Û K L K _

= Ì

ÚyJ Ö=

Û

^

^

Á#a

ÇON ‡ Å É

=ˆ

Â

ÇyÌ ‡ N“É

I Ö

Ù9P ÁN

Ä ' ˆ % ' Ç Ú ÍwÉ

CÐn¦$® ¦

' ˆ Ä K L R6K

c

]

Y

[

]Ž



ÇøÉzÁ#a”ÁN 6 ' Ä K L K c

]

Y

[

]Ž



ÇøÉcÁoa¶ÁN¶Ë

h ªy´«­Ï’¯…´ «­¨Œ©r¨ ' ˆ

H ¨Œ® NB# FC¦Ð¶¯l²+¦

ÇOa % Û`N“É

Ä ½¾

¿¾À

ÇAa ‡ É ‡ ^

^  ‡ Ú ÇAa ‡ É  Û ‰

‰?

Ì

ÇAa

‡ É

‡

‡ Ú

ÇOa

‡ É Û ‰ ‰ Œ Ì 6

‰Ì ‡ N ‰ ½¾

¿¾À Ò ÇyÌ % ‰ ‰É ‰

‰?

Ì

Ò ‰ ‰ Œ Ì 6

ÇON ‡ Å É

=ˆ

 ; ½¾

¿¾À ‰ ‰  ‰

‰

Ì

 ‰ ‰ Œ

̌Ë

$7®š¦l¯GO ' ˆ

¯…ªÕ¨+°­°­¨Cª

' ˆ Ä K c > ] K ˆ

ÇøÉzÁNwÁ#a % K c > ] K > ^ # # ˆ

ÇøÉzÁNwÁ#a % K c > ] K > ^

ÇøÉzÁNwÁ#a

Ä '

ˆˆ % '

ˆ

% '

ˆ 6 Ç Ú ÍuÉ

CÐn¦$® ¦ 8!

Ä

Ç#"

Ù

’ Ù É ]

¯+©n¬ " Z9 È ´¨™¸U¦Ž§9Ðn¨Œª ¦$© Í ?Ðn¦3©

‰'

ˆˆ

‰‚;

Ò K c > ] K ˆ Ö = Ù Á Á#a Â

_;

Ú+Ò 8 ˆ Ö = Ù Â

Ä ÇÕÃ

= É Â 6 Ç Ú

Í$uÉ

¯+©n¬

‰'

ˆ

‰ ; Ò K c > ] K > ^ # # ˆ Ö = R

%&'%

 _ R^

^ %&'%

^ ‰ ‰

ÇšÌ % ‰ ‰É I Á Á#a Â

; Ò 8 ˆ 8 Ö = R

^)(

^ Ç 8 É

=I

Â

Ä

Ò+*

Ã

°­© Ã,

^

-

Œ

 à = R

.^ Â Ä

ÇôÃ

= É Â 6 Ç Ú Í–Ì`È_É

¹n®š¨~²_«±¬n¦3¬!´Ð¶¯˜´ "

«­ª?ªšÏ;¯+°±°P¦3©“¨Œ³

Ñ Ð Í e ©n§$¦ "

«­ª 3R¦3¬ F C¦Ž§9Ðn¨_¨Œª ¦ " ˆ # ÇèÈ 6 " É ª ³n§9Ð"´Ð¶¯˜´

ÇAa ‡ É

Ú0/ Ç % a É

Ú0/

Õ¨Œ®?ªš¨ŒÏ’¦ / 9 È CГ¦3© a 8 ˆ

¯+©n¬

8 Í ?Г¦3® ¦Õ¨Œ® ¦F

‰'

ˆ ‰ ; K c > ] K > ^ ‰ ‰

ÇyÌ % ‰ ‰É I Ö

=/]

^ Yc = [^ _ ^R

%&'%

 = R^

& ^ Á Áoa Â

; Ò 8 ˆ K > ^ ‰ ‰

ǚÌ

% ‰ ‰É I Ö=

^ Á Â

Ä ÇÕÃ

= É Â Ç Ú Í–ÌŒÌ…É

¨ŒÏ%¸“«­©n«±©

Ñ Ç Ú Í$_É c Ç Ú Í±ÌŒÌ˜É FC¦ŽÐ¶¯l²Œ¦

‰' ˆ

‰?;

ÇÕÃ

= É Â Ë Ç Ú Í–Ì Ú É

h

ªš´ «­Ï’¯…´«±¨Œ©r¨G '

¥'¦Ž®š¦MC® «–´¦ '

¯+ª

'

Ä×Ö ÙØ

CÐn¦$® ¦

Ä Ì

ÚJ

Û

KML%K

c > ] Ì ÚJ

Ö =

Û

^

^

Á#a

LjN ‡ Å É

=ˆ

Â

ǚÌ

‡

N“É

I

ÁN¶Ë

‘¦ n©n¦´Ðn¦Žª ¦/´)¨Œ©(§$¨ŒÏ¹n°­¦J3 a ¹n°­¯+©n¦

Ù Ä … a Ä 8 ˆ ‡ ÛÚ

%

Ö = Û

‰ È 6 # kÈ 6 J

l‹ Ë

H

¨Œ®¯+©

aS# Ù

FC7¦§3¨Œ©“ªš´®š³n§$´¯§3¨Œ©w´ ¨Œ³n®¨Œ©

N

¹n°­¯+©n¦

_

c Ä … N Ä

Û~ÇšÌ % É ‡ 'W a ‰ È ‹?6

=

c Ä … N Ä

Û~ÇšÌ % É % ÌÚ ‰ ; È ‹?6

Ê

c Ä … N Ä Û % Ì

Ú % É ‰ È ; ; ‡ 'W a ‡ Ì

Ú ‹ Ë

y†¦$´

c ÇèÂ

6

N“É

Ä Ì

ÚJ Û Ì

ÚyJ ÇON

‡ Å É

=ˆ

Â

ÇyÌ ‡ N“É

I

Ö= ]^ Yc _ Û P)[

^ 6

a# Ù Ë

?Ðn¦$©

Ä _ % =

CÐn¦3®š¦

Ä K

€c

# > ] K L c ÇôÂ

6

N“ÉzÁNwÁ#a

Ä K K

= Û^

>+=

Û^ K L c ÇôÂ

6

N“ÉzÁNwÁoa

Ä K K

= Û^

> ] = Û^ K -

c

ÇèÂ

6

N“ÉzÁNwÁ#aŠË

Ç Ú Í–Ì@_É

a ¨…´¦‘´Ðn¯…´?´Ðn¦Ž§$¨Œ©w´¨Œ³n®?¨«±©u´ ¦

Ñ

® ¯…´«±¨Œ© Õ¨Œ® a ¯+©n¬ N Ðn¯`²+¦¸U¦3¦$©(ªšÐn«E ´ ¦3¬ ÍiN ©UCж¯…´Õ¨+°­°­¨CªMFC¦€C«±°­°

§l¯…® ®)r¨Œ³“´?´Ð“¦¦$ªš´ «­Ï’¯…´«±¨Œ©0¨G

_ Í =

§3¯+©(¸U¦Ž¦3ªy´«­Ï’¯…´ ¦3¬!ª «±Ï’«±°¯+®š°E Í

H ¨Œ® aS# Ù

¯+©n¬ NB# c F

a % ÛqN

Ä Ç 8 ˆ % Ž§3¨Œª 5‡ Ì…É % Û~Ç

‡ Žª «­© É 6 ;

ªš«­© Ë

?Ðn¦$©

Ö

ÇOa % ÛqN“É

Ä Ç 8 ˆ % Ž§$¨Œª Q‡ ̅É

‡ Ç ‡

% Žª «­© É

Ú0/ Ç % % 8 ˆ

É9Ë

H ¨Œ® a# Ù

¯+©n¬ NB# =

c F

a % Û`N

Ä Ç 8 ˆ % Ž§$¨Œª 5‡

‡ Ì…É % Û Žª «­© ‚6

;

ȓË

?Ðn¦$©

Ö

ÇAa % Û`N“É

Ä Ç 8 ˆ

% §$¨Œª Q‡

‡ ̘É

‡

ª «±©

§3¨ŒªUÚ % % Ç 8 ˆ ‡ ̅É

Ú0/ Ç % % 8 ˆ

ÉË Ç Ú Í–Ì\RÉ

N ´Õ¨Œ°­°±¨Cª7´Ð¶¯˜´

K -

c

ÇèÂ

6

N“ÉcÁ#N

; Ò Â

Ö=

> ^] K _

Ê Ö =

Y

^ _ ^ [

ÇyÌ % ‰ ‰É I Á ; Ò Â Ö=

> ^]

Ö=

^ Ë Ç Ú

͖Ì-ŽuÉ

H

¨Œ®

a# Ù

¯+©n¬

NB#

_c

F{C¦Ð¶¯l²+¦

ÇOa % Û`N“É

Ä Ç 8 ˆ % Ž§3¨+ª 5‡

‡ ̅É

6 Ç Ú Í–Ì _É

ÇON ‡ Å É

=ˆ

; Ò

‰ Ö N ‰ Ä Ò

‰

'W a ‰ ; Ò

Žªš«­© % Ì 6 Ç Ú Í–Ì uÉ

ÇON ‡ Å É

=ˆ

 ;

Ò

Ì % ‰N ‰ ; Ò

Ì % ‰ ‰ Ç Ú Í–Ì_É

?Ðn¦$©^F”«±´IÕ¨Œ°±°­¨CªIÕ® ¨+Ï Ç Ú Í±Ì uÉ ¯+©n¬ Ç Ú Í–Ì_É ´ ж¯…´

K c

Çô 6 N“ÉzÁN ;

Ò K _

Ê Ö = ]^ Y> ] _

=ˆ

[= ^

ÇšÌ % ‰ ‰É I _ ˆ Á

;

Ò

Ç 8 ˆ % Ž§3¨Œª É I _ ˆ Ç Ú Í–Ì$_É

?Ðn¦$® ¦MÕ¨+® ¦GF”¸0§$¨Œ©w´¨Œ³n®«±©u´ ¦

Ñ

® ¯…´«±¨Œ©^F‚C7¦§l¯+©"® ¦C® «–´¦

_ Ä K K - c

Çô 6 N“ÉzÁNwÁoa 6

CÐn¦$® ¦

Ä … a Ä 8 ˆ ‡

%

Ö = ‰ È ‹ Í e ©"´ Ðn¦Ž¨+´Ð“¦3®Ð¶¯+©n¬ F¶³nª «±©

Ñ Ç Ú Í–Ì _É c Ç Ú Í±Ì wÉ FC¦ŽÐ¶¯l²Œ¦

K c

Çô 6 N“ÉzÁN

; Ò Â

‰

Žª «±© % Ì ‰ K _

Ê Ö = ]^ Y> ] _

=ˆ

[ = ^

ÇyÌ % ‰ ‰É I Á

; Ò Â

‰

Žª «±© % Ì ‰ Ì

Ç 8 ˆ

% Ž§3¨Œª É I

; Ò Â

Ç % ̘ÉÇ % 8 ˆ É I Ë Ç Ú ÍÚ È_É

¨ŒÏ%¸“«­©n«±©

Ñ Ç Ú Í–Ì-ŽuÉ ¯…©n¬ Ç Ú ÍÚ È_É FC7¦§3¨+©n§3°±³n¬n¦´Ð¶¯˜´

‰ _ ‰ ; Ò Â K _

Ê (

Ö=

> ^]

Ö=

^ % Ì

Ç %

̅É9Ç

% 8 ˆ É I ) Á

; Ò Â ‰

Ö=

> ^] %

°­©8

ˆ

8 Iˆ Š

; Ò Â °­© Ç " ˆ Ã

°­© Ã É ] Ç " ˆ Ã

°­© Ã É =

Œ

; Ò Â ‰

°­©

Ã

à Š Œ

°­©

ÃË Ç Ú ÍÚ

̅É

Î ´ ¦3®)¯ª «±Ï’«±°¯+®ƒ¦3ªy´«­Ï’¯…´ «­¨Œ©0¨G

=

F{C7¦Ž¨Œ¸“´¯+«­©

‰

‰‚;

Ò Â ‰

°­©

Ã

à Š Œ

°±©

ÃË Ç Ú Í

ڌÚ

É

?Ðn¦$® ¦MÕ¨+® ¦GF

‰'

‰?;

Ò Â ‰

°­© Ã

Ê Œ

°±© ÃË Ç Ú ÍÚ @_É

H «±©¶¯+°­°+F?C7¦§3¨+©n§3°±³n¬n¦ Ç Ú Í_É Õ®š¨ŒÏ Ç Ú ÍwÉ F Ç Ú Í±Ì Ú É ¯+©n¬ Ç Ú ÍÚ @_ÉÍ e

l¤3£ ž¤3 

N ©<´Ð“«­ªªš¦3§/´«­¨+©^F C¦%§3¨Œ©“ª «­¬“¦3®´ Ðn® ¦$¦ªš´®š¨Œ©

Ñ

°"ªš´9¯…¸n°­¦¸n³“´©n¨…´‘¦3R¹U¨Œ©n¦$©u´ «¯+°±°E"ªš´¯+¸n°±¦1ª)_ªy´¦3Ϫ Í $

?Ðn¦$¨Œ® ¦$Ï Ú Í±Ì FC7¦¯+®š¦Ž¯+¸n°­¦‘´ ¨’¨+¸“´9¯+«±©r´Ðn¦Ž¬n¦$§l¯!®¯˜´¦3ªÕ¨Œ®´ Ðn¦Žª ¨Œ°±³“´«±¨Œ©nª´ ¨™´ Ðn¦3ªš¦ªL_ªš´¦$ϒª Í

h 3“¯+ϒ¹“°­¦ ÌŒÍ ¥'¦§3¨Œ©nªš«­¬n¦$®¯ Ì cz¬ C¯l²Œ¦1¦3µu³¶¯…´ «­¨Œ© C«±´Ð(°­¨_§l¯+° ¦$°±²_«­©c 8¨Œ«

Ñ

´¬¶¯+Ϲn«­©

Ñ

¯+©n¬(¬n«­ªš§3¨Œ©‚c

´«±©u³n¨Œ³nª§3¨_¦Mp§$«­¦3©w´Õ³n©n§/´«±¨Œ©nª3»

½¾¾¾¾¾

¿¾¾¾¾¾À ÇôÂDÉ

ÙÙ

Çè 6 ÃÉ ‡Šk ÇèÂDÉÇè 6 ÃÉ % ÁZÇôÂDÉ

Ù

Çô 6 ÃÉ l Ä È «±© ÇJÈ 6 É °Ü _ 6

AÇJÈ 6 ÃÉ

Ä

AÇ 6 ÃÉ

Ä È 6

AÇè 6 È_É

Ä

”Ê`ÇèÂDÉ 6 Çè 6 È_É

Ä ÇèÂDÉ 6

Ç@“ͱ̘É

CÐn¦$® ¦

ÇôÂDÉ 6 ÇèÂDÉ "Ê 9 È ¯+©n¬ ÁUÇôÂDÉ

Ä È ¨+© ÇJÈ 6"8 É F ÁUÇèÂDÉ "Ê ¨+© Ç 8 6 É F 6 # ˆ

ÇJÈ 6/8 É

ˆ Ç8 6

É

¯+©“¬

ÁB#

Ò Ç 8 6 ÉÍ

?Ðn¦¹“® «­Ï¦‘¬n¦$©n¨+´ ¦3ª´Ðn¦Ž¬n¦$® «±²…¯…´ «±²+¦3ªC«±´ Ð"®š¦3ªš¹Z¦$§$´)´¨

†Í

?Ðn¦¦3©n¦$®

Ñ

0¨´Ð“«­ª?ª)_ªy´¦3Ï «±ª?¬n¦ n©n¦3¬(¸?

ÇôÃÉ

Ä Ì

Ú

K

Ê k ÇèÂDÉ

‰ Ù ‰ %

ÇôÂDÉ

‰

‰ l

ÁuÂ†Ë Ç@“Í

Ú É

y†¦$´

Ç 6 "`É

Ä

Ç 6 "`É 6

Y

[ Ä K

ÇèÂDÉ

‰

ÇèÂDÉ

‰

Áu 6

Ç 6 "lÉ

Ä ˆ

Ê

Ç 6 "`É 6

Y

[ Ä K ÇèÂDÉ

‰

ÇôÂDÉ

‰

Á_Â 6

¯+©n¬

º Ä

ÇèÈ

6

É

ÇJÈ

6

É 6 Ç 6 É ! Ä YÊ [ %

| YÊ [ Ë

¥¦Ž´ Ðn¦3©"¬n¦ ¶©n¦«­©0º ´ ж¯…´

ÇÅ É Ä Ç 6 É

‰

# i6 % Á # ˆ

ÇJÈ 6 É 6 Ç@“ÍA@uÉ

¯+©n¬

Å Ç 6 É Ä Ç 6 Ì

Ç % Á É

ÉË Ç@“Í]\_É

?Ðu³nª Çm@“Í–Ì…É §l¯…©(¸U¦Ž® ¦MC®š«±´š´¦3©"¯+ª)¯+©(¯+¸nªy´® ¯+§$´)¦$²+¨Œ°­³R´«­¨+©0¦3µu³¶¯…´ «­¨Œ©"¨Œ©0º¼»

Á

ÁwÃ Ç 6 É

ÄÆÅ

Ç 6 É 6 Ç AÇJÈuÉ 6 ÇJÈuÉ É

Ä Ç ”Ê 6 ˆ

ÉË Ç@“͏ŽwÉ

N ´‘«±ª'Ou©n¨C©´Ð¶¯˜´ Ç ªš¦3¦ kzy y|lÉ Å

ª ¯…´«±ª¶¦$ª´Ð“¦%ÐR¹U¨+´ Ðn¦3ªš¦3ª Ç · Ì…É ¯+©“¬ Ç ·Ú É9Í ¨Œ® ¦$¨~²+¦3®MF

Ö ÙØ

«±ª©n¨…´

¦3R¹U¨Œ©n¦$©u´ « ¯+°±°E;ªš´9¯…¸n°­¦ Í

N ©BCж¯˜´ Õ¨+°­°­¨CªMF+C7¦4ª Ðn¨C ´ ж¯…´8´Ðn¦)Ð_¹Z¨+´ Ðn¦3ªš«­ª Ç · @_É Ðn¨Œ°­¬“ªƒÐ“¦3® ¦Õ¨Œ® T Ä

ˆ

Í,N †«±´8«±ªiô¯+°­ªš¦GFŒ´Ð“¦3©

´Ð“¦3® ¦Ž¦J3“«±ªš´† # °Ü _ 6 Ç ‚6

É # Ç Å É F

Ä Ì 6ڂ6 6{C«–´Ð

Ç ‚6 É

"!

Ä Ì 6 †  6 Ç@“ÍuÉ

¯+©n¬

† ]^

ÇèÛ †Q‡

Å

É9Ç ‚6

É Ç R6 É È «­© º&6 Ç@“ÍwÉ

« ͦ ÍF † ]^

ÇèÛ † '‡

É Ä

R È «­© ÇJÈ 6 É 6 Ç@“ÍuÉ

† ]^

ÇèÛ †

Q‡

Ì

É Ä

È «­© ÇJÈ 6 ÉË Ç@“Í$uÉ