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Mines Maths 1 PC 2000 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Brice Goglin (ENS Lyon) ; il a été relu par Thomas Chomette (ENS Ulm) et Renaud Durand (ENS Ulm).
L’épreuve se compose d’un unique problème d’algèbre, dans le cadre des espaces vectoriels normés.
L’objet du problème est de donner une majoration précise de la valeur absolue du déterminant de Van der Monde associé à un vecteur dans un espace complexe.
L’étude est d’abord réalisée en dimension 2, puis 3, et enfin généralisée en dimension quelconque.
Ce problème assez calculatoire requiert principalement des connaissances en algèbre des espaces normés, mais fait également appel à quelques notions d’algèbre bilinéaire, de topologie et d’analyse.
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Indications
1. Définition du réelρ
1.b Montrer que Sest compacte.
3. Cas n= 3
3.a Étudier le signe de la dérivée seconde deln.
3.a Pour le cas d’égalité, on peut par exemple introduire une relation de conve- xité sur deux des trois points, puis une deuxième relation sur le troisième point et le milieu du segment joignant les deux précédents.
3.d Utiliser l’inégalité obtenue à la question 3.a.
3.d Pour calculer ρ, supposer que la valeur obtenue est bonne puis étudier les cas d’égalité que cela impose.
4. Une minoration du réel ρ
4.a Faire apparaître une somme connue dans le développement d’un terme de la matrice produit.
5. Une inégalité de Hadamard
5.b PoserM(Ui) = P×M(Vi), étudier la formePet en déduire son déterminant.
5.b Pour montrer l’inégalité de Hadamard, appliquer le théorème de Pythagore aux vecteursUi et proji−1(Vi).
6. Une majoration du réel ρ
6 Utiliser les vecteursVi= 1, . . . , xni−1 .
7. Recherche des vecteurs W
7.b Optimiser la majoration utilisée entre les deux résultats du 6.
7.b Utiliser les vecteursVi= Wi1−1, . . . ,Win−1.
7.d Dériver l’expression dePWsous forme d’un produit pour obtenir une somme de produits.
7.e L’inverse d’un nombre complexe de module 1 est son conjugué.
7.f On pourra, par exemple, raisonner sur le terme de plus bas degré deP′W.
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1. Définition du réel ρ
I.a Par définition,ν(X) =
1 x1 . . . xn1−1
... ... ... ... 1 xn . . . xnn−1
.
On a donc ν(λ.X) =
1 λx1 . . . λn−1xn1−1
... ... ... ... 1 λxn . . . λn−1xnn−1
En utilisant lan-linéarité du déterminant, il vient
ν(λ.X) = 1×λ× · · · ×λn−1
1 x1 . . . xn1−1
... ... ... ... 1 xn . . . xnn−1
=λn(n2−1)ν(X)
ν(λ.X) =λn(n2−1)ν(X) Soit maintenantY = X
kXk, vecteur de norme 1 et colinéaire àX.
On a ν(X) =kXkn(n2−1)ν(Y)
I.b Notons fi avec 06i6n−1 les applications qui à un vecteurX de coordon- nées (x1, . . . , xn)associent le vecteur fi(X)de coordonnées(xi1, . . . , xin). ν est alors la composée de ces n applications et de l’application qui à n vecteurs associe leur déterminant.
Les n applications fi sont clairement continues dans Cn. En effet, on peut remarquer quekfi(x−y)k6kx−yki. Le déterminant étant une forme multilinéaire, il est également continu par rapport à chacun desnvecteurs variables. La composée est donc continue.
ν est continue.
La sphère unitéS deCn est un fermé, car c’est l’image réciproque du fermé {1} par l’applicationk·k, qui est continue. Par ailleurs, cette sphèreSest bornée. Comme on travaille dans un espace vectoriel normé de dimension finie, les fermés bornés sont compacts.Sest donc compacte. La fonction|ν|étant continue surS, elle y admet un maximum.
(X7−→ |ν(X)|)admet un maximum surS.
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I.c.i D’après la question I.a,
ν(X) =kXkn(n2−1)ν 1
kXkX
Or 1
kXkX∈S donc
ν
1 kXkX
6ρ
d’où |ν(X)|6ρkXkn(n2−1)
I.c.ii Comme on l’a vu à la question I.b, |ν| admet un maximumρsur la sphère unitéSdeEn. Il existe donc un vecteur W∈S tel que|ν(W)|=ρ.
Il existe un vecteur unitaireW∈En tel que |ν(W)|=ρ.
2. Cas n = 2
Un vecteur X de coordonnées complexes (x, y) appartient à la sphère unité S deE2si et seulement sisup{|x|,|y|}= 1.
Soit (x, y)∈S⇐⇒
|x|= 1et |y|61 ou
|y|= 1 et|x|61
En notantUle groupe des complexes de module 1, etB(0,1) la boule unité fermée (ensemble des complexes de module inférieur ou égal à 1), on a
S = U×B(0,1)
∪ B(0,1)×U
Soit S ={(eiθ, reiφ),(reiθ, eiφ)|06r61, θ∈R, φ∈R} Or, en dimension 2 ν(x, y) =y−x
donc |ν(eiθ, reiφ)|=
reiφ−eiθ =
q
(reiφ−eiθ) (reiφ−eiθ) soit |ν(eiθ, reiφ)|=p
r2−2rcos(θ−φ) + 1 Cette expression est majorée par √
r2+ 2r+ 1, qui est elle-même majorée par
√1 + 2 + 1 = 2carr61. On voit que 2 est atteint quand, d’une partcos(θ−φ) =−1, et d’autre partr= 1. SurU×B(0,1), le maximum est atteint pour les vecteurs de la forme eiθ,−e−iθ
oùθ est un réel.
L’étude de la partieB(0,1)×Uest complètement symétrique et conduit donc au même résultat.
Les vecteurs maximisant|ν|surSsont les vecteurs proportionnels à(1,−1).
Et on a ρ= 2
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