Lumière polarisée

Lumière polarisée

Dans la représentation de Jones

S.Ayrinhac (2012) simon.ayrinhac@upmc.fr

I. Représentation de Jones II. Éléments d’optique

III. Interférométrie

Champ électrique et vecteur de Jones (noté J)

) (

0 0

) (

0 0

) (

0

) (

) (

t kz i y i

y x

i x

t kz i y y x

x

t kz i

e u e E u

e E E

e u E u

E E

e E E

x y 

































 



 





p : parallèle au plan d’incidence, dans le plan de la table optique

s : perpendiculaire (du mot allemand senkrecht), perpendiculaire au plan de la table

E J E e

E E e

E e E E

s p i

y x i

y i x

x y y

x

 



 



 

 

 



 

 





 



 

0 0 0

0

0   



le terme e^i(kz-t) est appelé propagateur Cas d’une lumière monochromatique purement polarisée

- champ électrique

- longueur d’onde , fréquence , pulsation =2

- varie dans le temps comme exp(-it) - se propage suivant l’axe z

- polarisation dans le plan (x,y)

)

,

( z t

E 

 

 



 

 

 



 

0 1 0

0 i x

x H

e L E



 

 



 



1

1 2 1 L

 

 





 

 



 



 

) exp(

sin

cos sin

1 cos

0 0 2

2

E e i

e E

E E

E

x

y x

i i













- elliptique

- Linéaire (ou rectiligne) : si _y- _x=k avec kN, si E_x=0 ou E_y=0

 

 



 

 

 



 

1 0 0

0 i y

y

V

E e

L





 



 







sin

L cos

 

 





 

RH 1 i 2 1

 

 



 

LH 1 i 2 1

- circulaire droit (right-handed RH), _y- _x=/2

- circulaire gauche (left-handed LH), _y- _x=-/2

réel par convention

- Quel est l’état de polarisation du vecteur J suivant ?





 







 

i J i

1 1

i RH e e

e e e i

J i

i

 



 





 

 

 



 

 

 



 

 

 







 

1 1

1

1

2 / 4

/ 4

/ 4

/ 









Superposition



 

 



 

 

 



 

 

 



 



1 1 1

0 0

1 L

V H

i H LH i

RH  



 



 

 

 



 

 

 





 

 0

1 2 1 2

2 1 1

2 1

- les équations de Maxwell sont linéaires, les champs peuvent donc être superposés (sommés)

- attention à ce cas particulier :

 

 



 

 

 



 

 

 





0 0 0

1 0

1

de 2 ondes en opposition de phase

Le formalisme de Jones

- cas de la lumière purement polarisée uniquement

- si lumière non purement polarisée : formalisme de Stokes ou de Mueller

- adapté au cas où les faisceaux sont interdépendants : cas d’un interféromètre, propagation à travers plusieurs composants

- un élément d’optique est caractérisé par sa matrice M

- le produit matriciel se fait en sens inverse des éléments (notés 1 à n)

- exemple simple : un faisceau polarisé H traverse une lame demi-onde puis un polariseur

H HWP POL

res   

1 2 1

)

(

M M ... M M

M



*

1

*

 

 E

E

E

E

I

Calcul de l’intensité I

- quantité mesurée par un détecteur (photodiode par exemple) - le symbole * note le complexe conjugué

i n

f

M J

J 

Formules pour l’ellipse

E_x E_y



 

a b

E E E

E b

E E E

E a

E E

y x y

x

y x y

x

x y

/

cos 2

tan arctan

cos sin

cos 2

sin cos

cos sin

cos 2

sin cos

) /

arctan(

0 0 2

2 0 2

2 0

0 0 2

2 0 2

2 0

0 0

















































angle auxiliaire  demi grand-axe a demi petit-axe b angle de rotation  angle d’ellipticité 

b

a E_0x

E_0y

Polarisation orthogonale

*





 u  e e  



complexe conjugué produit vectoriel transposée

























 i i

re z

re z

ib a z

ib a z

*

*

polaire forme

e cartésienn forme

Rappels sur les complexes conjugués (notés avec une *) - symétrique de z par rapport à l’axe des réels

Rappels sur le produit vectoriel (noté avec ^)























































2 1 2 1

2 1 2 1

2 1 2 1

2 2 2

1 1 1

x y y x

z x x z

y z z y

z y x

z y x

e

est le vecteur de Jones support

e 

*

 0





e

e 



Exemple : calcul de la polarisation orthogonale de LH

RH i i

i i i

i e

LH u

e

 

 





 









 

 





 







 

 





 







 

 





 









 

 





 

















0 1 0 2

/ 1

1 0 2

2 1 1 0

1 2 1 1

0 0

*







Conclusion : RH et LH sont orthogonaux ! Il en est de même pour : - H et V

-



 







 



 









i i i

i

1 et 1 1

1

 

 





 











sin cos

sin rot cos

Opération de rotation sur une matrice de Jones M







rot M rot

M 

 

matrice de rotation d’un angle 

I. Représentation de Jones II. Éléments d’optique

III. Interférométrie

Miroir R de réflectance r (ou miroir parfait m) - en incidence normale (_i=0)

- à la réflexion, z change de direction et x devient –x - une onde polarisée RH devient LH, et inversement

- les miroirs dépolarisent légèrement la lumière polarisée

- les miroirs d’argent servent pour le rouge et l’infrarouge, l’aluminium sert pour le bleu et l’ultraviolet (jusqu’à une certaine limite)

Miroir vibrant

- utile en interférométrie

- miroir monté sur une platine piézoélectrique

- compense les changements de chemin optique via un asservissement dynamique

 

 



 

r R r

0

 0



 



 

1 0

0 m 1

 

 



 

 _i

i

e M e

0

0

Miroir R, en incidence quelconque _i, taillé dans un matériau d’indice n

r_p et r_s sont les coefficients de Fresnel

t i

t i

s

i t

i t

p

n r n

n r n

















cos cos

cos cos

cos cos

cos cos



 



 

 

 



 

s p

r R r

0

0

dans le plan d’incidence

où _t est donné par la loi de Snell-Descartes :

sin 

 n sin 

parallèle au plan de la surface réfléchissante

Exemple : performance des miroirs Thorlabs en argent (protected silver), à

_i=45° d’angle d’incidence, pour une longueur d’onde de 800 nm R _moy=98.333 %

R_p=98.70 % R_s=97.65 %

2 p

p r

R 

Polariseur

- appelé aussi film polaroïd

- formé d’une grille (ou de polymères étirés) suivant un certain axe, seule la composante perpendiculaire à cet axe est transmise

- obtenu naturellement avec un cristal dichroïque (ex.: tourmaline)

- transforme une lumière naturelle (non polarisée) en lumière polarisée - aussi appelé analyseur juste après un autre polariseur

- la rotation du polariseur n’affecte pas l’intensité dans le cas d’une pola. circulaire incidente

- les écrans plats ou de téléphone émettent une lumière polarisée

- certaines lunettes 3D ont des verres avec une polar. différente pour chaque œil

 

 



 



1 1

1 1 2 1 POL

 

 







 



1 1

1 1

2 1 POL

 

 



 

1 0

0 0 POL

 

 



 

0 0

0 1 POL

 

 



 













 ₂

2

sin sin

cos

sin cos

POL cos

Cube polarisant (polarizing beam splitter, PBS) - travaille en réflexion (r) ou en transmission (t) - réfléchit V à 90° ou transmet H

 

 



 

1 0

0 0

PBS





 



 

0 0

0 1 PBS

V, s

H,p

- le prisme de Glan-Taylor est le plus commun, il est fabriqué à base de calcite - il existe des cubes en verre, c’est le traitement de séparation entre 2 demi- prismes qui polarise (exemple avec les cubes PBS de Thorlabs)

- les cubes ont généralement un Rp non nul (dans la gamme 600-1000 nm)

Rs=100%

Rp=5%

Tp=95%

Ts=0%

source : catalogue Thorlabs

Cube non polarisant (nonpolarizing beam splitter NPBS)

 

 



 

1 0

0 1 2

1 NPBS

 

 



 

1 0

0 1 2 1 NPBS

Filtre neutre (neutral density filter ND) de transmission t

- la densité optique (DO) est définie dans le facteur de transmission t=I/I₀=10^DO (exemple : un filtre de densité 1 atténue d’un facteur 10)

 

 



 

1 0

0 t 1

ND

matrice identité I₂

équivaut à un miroir (avec _i=/4)

2 0

1I I_r 

2 0

1I I_t  I0

Lame d’onde (wave plate, WP)

- ligne neutre tournée d’un angle  par rapport à l’axe x

- une lame d’épaisseur L introduit un retard  = _y-_x = 2L/

 

 





 



 







 



 



 



  















sin cos

sin cos

) exp(

0

0 1

cos sin

sin cos

,

i

WP

 

 



 

 i

WP e

0

0 1





rot

WP rot

WP







Lame demi-onde (half-wave plate, HWP) - épaisseur L= /2, retard  = 

- possède deux lignes neutres à 90° l’une de l’autre

- transforme une pola. rect. incidente en son symétrique par rapport à la ligne neutre. Autrement dit : une pola. rect. tournée de  par rapport aux lignes neutres tourne de 2. Exemple : pour =45° la pola.

émergente est perpendiculaire à la pola. incidente

 

 





 



0 1

0 1

HWP





 



 



1 0

1 0

HWP





 



 



0 1

0 1 HWP















45 5

. 22 45

L V

HWP

V H

HWP

 2

HWP

 

 





 



1 1

1 1

2 1

5 .

HWP





 



 



1 1

1 1 2

1

5 .

HWP

ligne neutre

Lame quart-d’onde (quarter-wave plate QWP) - épaissseur L= /4, retard  = /2

- possède 2 lignes neutres : un axe lent et un axe rapide - l’axe lent déphase la composante associée à cet axe de /2

- transforme une pola. rectiligne en pola. elliptique dans le cas général.

- transforme une pola. rectiligne en pola. circulaire si =45°.

- transforme une pola. circulaire incidente en pola. rectiligne à 45° des lignes neutres.

- une pola. linéaire tombant sur une ligne neutre reste inchangée

 

 





 



i

QWP 0

0 1

0

 

 











 



i i

i QWP i

1 1

1 1

2 1

45





 















 



i i

i QWP i

1 1

1 1

2 1

135

 

 



 



0 1

0

90

QWP i

- deux lames quart d’onde à 45° tournent la pola. de H en V (et inversement)

H circulaire V



QWP45 QWP_45

I. Représentation de Jones II. Éléments d’optique

III. Interférométrie

Interférences

 

  cos( )

cos 2

cos 2

1 2

1 2

2 1 2

1

2 1 1 2

2 1 2

2 2

1

*

2 2

1 1

2 1









































I I I

I I

u u E

E E

E EE

I

u e E u

e E

E







 

La formule essentielle est la suivante :

- 2 champs  n’interférent pas : H et V, RH et LH, etc.

u 

u 

 0

E1

E2 x y

1 2

Les lois d'interférences de Fresnel et Arago (livre E.Collett p.255-277) 1. Deux ondes PL dans le même plan interfèrent.

2. Deux ondes PL avec des pola perpendiculaires n'interfèrent pas.

3. Deux ondes PL avec des pola. perp. , si elles dérivent des composantes d'une lumière non polarisée et sont amenées dans le même plan, n'interfèrent pas.

4. Deux ondes PL avec des pola. perp. , si elles dérivent des composantes d'une même onde PL et sont amenées dans le même plan, interfèrent.

Etude de cas : interféromètre de Michelson

PBS₂

PBS₁

M₁ (échantillon)

M₂ (miroir de référence)

/4

/4

/2

/4 (ou /2) détecteur A

détecteur B











les faisceaux interfèrent après PBS2 grâce à la /4 (ou /2)

LH RH

RH LH L₄₅

E_R

E_S

pour un faisceau pulsé les deux bras doivent avoir la même longueur

E_B

E_A

Notes : S pour signal, R pour référence, M₁ est m, M₂ est M_ 1) QWP₄₅ et QWP₁₃₅ sont permutables

2) le produit HWP_22.5 V équivaut à L₄₅

3) la lame demi-onde permet d’envoyer 50%/50% dans les 2 bras si M1 et M2 sont parfaits

4) E_R est rectiligne H, E_S est rectiligne V

5) HWP_22.5 peut être remplacé par QWP₄₅ (le réglage de la /2 en rotation est plus sensible)

* (6)

* (5)

45 ,

2 45

, 2 (4)

45 ,

2 45

, 2 (3)

5 . 22 ,

1 135

45 ,

1 (2)

5 . 22 ,

1 45

135 ,

1 (1)

B B B

A A A

S r

R r

B

S t

R t

A

r t

R

t r

S

E E I

E E I

E QWP

PBS E

QWP PBS

E

E QWP

PBS E

QWP PBS

E

V HWP

PBS QWP

M QWP

PBS E

V HWP

PBS QWP

m QWP

PBS E

























































 1

2 3

4

5 5

Utilisation du formalisme de Jones

pour déterminer l’intensité reçue sur chaque photodiode

Références

Formalisme de Jones :

- T. Tachizaki et al, Rev. Sci. Instrum. 043713 77 (2006)

- E.Collett, Polarized light (Dekker, 1993) ISBN 0-8247-8729-3 - cours de F. Goudail et N. Westbrook de l’Institut d’Optique (sur les lumières partiellement et non polarisées)

http://paristech.iota.u-psud.fr/site.php?id=18

- cours de Kevin Hewitt (Dalhouse University, Halifax) Lecture 34: Polarization: Jones matricies and vectors.

http://fizz.phys.dal.ca/~hewitt/Web/PHYC3540/Lecture34.ppt - polarization with Interferometry (Michael Ireland)

Michelson Summer Workshop, July 27, 2006

http://nexsci.caltech.edu/workshop/2006/talks/Ireland.pdf - Orthogonalité (Cantrell, 2004, University of Texas at Dallas) http://www.utdallas.edu/~cantrell/ee6334/polarization.pdf

- Interféromètre de Michelson homodyne (optique pour l’ingénieur)

http://www.optique-ingenieur.org/fr/cours/OPI_fr_M02_C07/co/Contenu_06.html