I) Rappels
Rappel 1
Il existe différents ensembles de nombres, qui s’imbriquent les uns dans les autres :
On remarque qu’il y a des nombres qui ne sont pas rationnels (on ne peut pas les écrire sous forme d’une fraction ; la démonstration est un petit peu compliquée pour des élèves de 3ème).
Rappel 2
Pour additionner/soustraire des fractions, elles doivent avoir le même dénominateur :
8 et 12 ne sont pas dans la table l’un de l’autre. Il vaut mieux chercher le plus petit dans les 2 tables, c’est plus facile : Table de 8 :
Table de 12 :
Hors programme : 24 est appelé le plus petit multiple commun (PPCM) de 8 et de 12.
II) Arithmétique
1) Rappel : la division euclidienne
est un entier naturel et un entier naturel non nul.
Définition 1 :
si ou avec entier naturel alors est un multiple de ou
est divisible par ou
est un diviseur de ou
divise . Exemples :
1 274 est-il un multiple de 49 ? 1 974 est-il divisible par 84 ?
Définition 2 :
la division euclidienne de par , c’est trouver deux entiers naturels et tels que
est appelé le quotient et le reste.
Exemples :
Effectuer la division euclidienne de 183 par 12.
; quelle(s) division(s) euclidienne(s) cette égalité représente-t-elle ?
Remarque :
Si sont des multiples de , alors et sont aussi des multiples de . Preuve : et alors
( ) et ( )
2) PGCD de deux entiers naturels
Définition :
le PGCD de deux entiers naturels non nuls est leur Plus Grand Diviseur Commun.Remarques :
avec des entiers naturels si divise alors : ( )
Preuve : divise et se divise lui-même, donc c’est bien un diviseur ; et c’est le plus grand car on ne peut pas avoir un diviseur plus grand que le nombre lui-même, donc que .
( ) ( )
Théorème 1 :
entiers naturels avec On a : ( ) ( )Preuve : c’est grâce à la remarque faite dans le 1).
Soit le ( ). Alors est un multiple de et aussi, donc est un multiple de aussi d’après la remarque.
Donc est un diviseur commun à et .
On peut montrer que c’est le plus grand en raisonnant par l’absurde (hors programme).
Méthode des soustractions successives :
Déterminer ( ) :𝑎 𝑟 𝑞
𝑏
Théorème 2 :
entiers naturels avecOn a : ( ) ( ) où est le reste de la division euclidienne de .
Preuve : hors programme, mais l’idée principale d’une preuve reste toujours la remarque du 1) et le raisonnement par l’absurde.
Remarque : l
e PGCD est alors le dernier reste non nul.Méthode : algorithme d’Euclide
Déterminer ( ) :III) Simplification d’une fraction
Définition :
Si deux entiers naturels ont leur PGCD égal à 1, alors ils sont « premiers entre eux ».Exemples :
45 et 91 sont-ils premiers entre eux ?
426 et 568 sont-ils premiers entre eux ?
Définition :
une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.Exemples :
Rendre la fraction irréductible. Rendre la fraction irréductible.
