Aspects de la quantification des théories de champs scalaires sur le cône de lumière

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Aspects de la quantification des théories de champs

scalaires sur le cône de lumière

Stéphane Salmons

To cite this version:

Stéphane Salmons. Aspects de la quantification des théories de champs scalaires sur le cône de lumière.

Physique Nucléaire Théorique [nucl-th]. Université Paris-Diderot - Paris VII, 2000. Français.

�tel-00007971�

(2)

UNIVERSITÉ PARIS 7 JUSSIEU

DenisDiderot

THÈSE

présentéeàl'UniversitéParis7Jussieu en otutelleave l'UniversitédeRegensburg

pourobtenirlediplmedeDOCTORAT

SPECIALITÉ :Physique Théorique.

FormationDo torale:Champs,Parti ules, Matière

Aspe ts de la quanti ation

des théories de hamps s alaires

sur le ne de lumière

par

Stéphane SALMONS

Soutenuele8DECEMBRE2000àMontpellierdevantlejury omposéde:

M.Pierre Grangé D.R.CNRS Dire teurdethèse M.Ernst Werner Professeur Emérite Co-dire teurdethèse

M. Thomas Heinzl Professeur Assistant Rapporteur M. Jean-FrançoisMathiot D.R.CNRS Rapporteur M. Vladimir Braun Professeur Examinateur M. Bertrand Delamotte C.R.CNRS Examinateur

(3)

(4)

Cequinel'estpasest inutilisable." PaulValéry

(5)

(6)

I Fondements de la physique sur le ne de lumière 9

1 Les formesde ladynamique relativiste 11

1.1 Dynamiquerelativistedupoint . . . 11

1.2 LesformesdeDira . . . 14

1.3 LaFrontForm . . . 18

2 La théoriequantique des hamps sur le ne de lumière 25

2.1 L'algèbredePoin arépourles hamps . . . 25

2.2 Une théoriesingulière . . . 26

2.3 Quanti ationdu hamplibre . . . 28

3 Le problèmedu vide 33

3.1 Lanature duproblème . . . 33

3.2 Se teur duvide,se teurdesparti ules . . . 34

3.3 Résolution deséquationsauxmodeszéros:exempledelathéorie

φ

4 1+1

. . . 38

II L'appro he ontinue de la quanti ation sur le ne de lumière 41

7 Les bases de la formulation ontinue 43

7.1 Quanti ationetrégularisationdu hamplibre . . . 43

7.2 Développementdu hampenintera tionensériedeHaag . . . 47

8 Le ommutateurde Pauli-Jordan 51 8.1 Evaluationà

x

+

_{= 0}

. . . 51 8.2 Evaluationpour

x

+

quel onque . . . 53

(7)

9.1 Contrainteset régularisationdesdivergen es. . . 63

9.2 Cara téristiquesdelatransitiondephase . . . 65

10Cal uls à l'ordre2 69 10.1 Contrainteset équationdumouvement. . . 69

10.1.1 L'équationdumouvement . . . 69

10.1.2 La ontrainte . . . 72

10.2 Résolutionappro héedeséquationsdumouvementetdes ontraintes. . . 73

10.3 Cal uldela onstante de ouplage . . . 76

10.4 Fon tion

β

1 (g)

et omparaisonave lesthéories ritiques . . . 77

10.5 Comparaisonave lesrésultatsdesthéories ritiques . . . 78

10.6 Con lusion . . . 78

III La théorie des hamps

ϕ

4 _O(N)

sur le ne de lumière. 81 18Développementde lathéorie

φ

4 _{O(N )}

quantiéepar intégrales de hemin 83 18.1 Miseenformedelafon tionnellegénératri e . . . 83

18.2 Algorithmepourladéterminationdesdiagrammes ontribuantauxfon tionsde orrélation 86 18.3 Développementdiagrammatiquedelafon tionàunpoint . . . 89

18.4 Développementdiagrammatiquedelafon tionàdeuxpoints . . . 91

19Versla quanti ation de la théorie

φ

4 _{O(N )}

sur le nede lumière 97 19.1 Contrainte etéquationsdumouvement. . . 97

19.2 Résolutiondel'équationdumouvementlibreetquanti ation . . . 99

19.3 Cal ulsdes hamps d'ordresupérieur. . . 101

19.3.1 Champsàl'ordre2. . . 101

19.3.2 Champsàl'ordre3. . . 103

19.4 Fon tionsde orrélationàl'ordre

1 N 2

. . . 105

19.4.1 Fon tionsàunpoint . . . 105

19.4.2 Fon tionàdeuxpoints. . . 105

(8)

A.1 Théoriesrégulièresetsingulières . . . 111

A.2 Lapro édure deDira -Bergmann . . . 115

A.3 La lassi ationdes ontraintesselonDira . . . 117

A.4 Formulationpourune théoriede hamp . . . 119

B Evaluation des éléments de matri e 121 B.1 Cal uldel'élémentdematri e

< q

+

1 |ϕ

2

1 ϕ

2 |q

2 +

>

. . . 121

B.2 Appro heformellesystématique . . . 122

C Cal uls numériques 133 C.1 Optimisationdu ouplageee tif . . . 133

C.2 Cal uldu ouplageréduitdeParisipourl'ordre2. . . 136

D Appli ation pour le al ul des fon tions de orrélation 139

(9)

Je tiens en tout premier lieu à adresser mes plus vifs remer iements à Pierre Grangé, Dire teur de Re her heCNRS,pourm'avoirproposéde ollaborerave luisur esujetdere her hepassionnantet original.Jeluisuisparti ulièrementre onnaissantpoursonsoutienetses onseilsavisés,etaussipour m'avoirmontrélelong hemindelapersévéran e.

JevoudraisexprimerégalementmatrèsgrandegratitudeàErnstWerner,Professeuràl'Universitéde Ratisbonne,pourm'avoiren adréenfaisantpreuved'unedisponibilitéde haqueinstant.Pendantmes fru tueuxséjoursàRatisbonne,j'aipuappré iersa ompéten eainsiquesonsensdel'hospitalité.

Je voudrais remer ier André Neveu, Dire teur de Re her he CNRS et dire teur du Laboratoire de Physique Mathématique et Théorique, ainsi que l'ensemble des her heurs et du personnel de ette unité,pourm'avoira ueillietavoirfaitlené essairepourquejepuisseytravaillerdansdes onditions idéales.

Ma gratitudevaégalementàThomasHeinzl, ProfesseurAssistantàl'universitéd'Iéna,pourl'intérêt qu'ilaportéàmesre her hesetpourm'avoirfaitproterdesonexpertise.

Je tiens à remer ier aussi les étudiants en thèse du laboratoire pour les longues et enri hissantes dis ussionsdephysiquequenousavonspartagéesdansla ompli ité:Pas alBasheila ,MalikBezouh, TarekNassar,YanMambrini,MariusIa omietDamien Reynaud.

Mer iégalementàDominiqueCaron,Ingénieur,quiaréussil'exploitdemeré on ilierave lesar anes del'informatiqueenfaisanttoujourspreuved'unebonnehumeurrevigorante.

Jevoudraisaussidirel'extrêmeimportan edespersonnesquim'ontformétoutaulongdemon appren-tissage.Mer iàRenéBoulangeonet àNoëlChornetpourm'avoirdonnélegoûtdelas ien eet dela rigueur.Mer iaussiàmesmaîtresd'université:Frédéri Géniet, LouisCe hi,respe tivementMaître de Conféren es et Professeur àl'Université de MontpellierII, Alain Laverne, Maîtrede Conféren es à l'Université de Paris7, Bernard Diu, Françoise Balibar et Lu Valentin, Professeurs à l'Université Paris7,ainsiqueBertrandDelamotte,ChargédeRe her hesauCNRSetPierre Binétruy,Professeur àl'UniversitéParisXI.Tousàunniveauouàunautreont ontribuéauplaisirintensedeladé ouverte et delapratiquedelaphysique.

J'adresse unepensée pleine de tendresse et d'émotion àAnne pour m'avoira ompagné et supporté pendant esannées.Sonsoutiendanslesmomentsdi iles aété apital.

Enn et surtout,je voudraisexprimer magratitude innieaux personnes sanslesquelles pasun mot de ette thèse n'auraitvu lejour. Aux personnes qui m'ontébloui parla perfe tion de leurprésen e tout au long de mavie. Pour leursensibilité, leur déli atesse et leur intelligen e, pourleur présen e irremplaçable,que etravailleursoitdédié.

(10)

(11)

(12)

≡

égalpardénition

g

µν

métriqueminkowskienne

η

µν

métriquedu nedelumière

ω

p

≡

p

(p

o

₎

2 _{− (p}

i

₎

2

énergiesur ou hedemassedansle asminkowskien

ξ

−

_≡

(p

⊥

₎

2 _+m

2 p

+

énergiesur ou hedemassesurle nedelumière

p

of f

_{≡ (p}

−

_{, p}

+

_{, p}

⊥

₎

[ou

(p

o

_{, p}

i

₎

℄, impulsionhors ou hedemasse(o-shell)

p

on

_{≡ (ξ}

−

_{, p}

+

_{, p}

⊥

₎

[ou

(ω

p

, p

i

₎

℄,impulsion sur ou hedemasse(on-shell)

hx, yi

M

≡ x

o

y

o

− x

i

y

i

produit s alaireminkowskien

hx, yi

CL

≡

1

2 x

+

y

−

+

1

2 x

−

y

+

− x

⊥

y

⊥

produit s alaire du ne de lumière (dans la onvention de Brodsky-Lepage)

sgn(x)

fon tionsignedex,

=







1 si x > 0

−1 si x < 0

0 si x = 0

θ(x)

fon tioné helondex,

=







1 si x > 0

0 si x < 0

1

2 si x = 0

CLP(AP) ConditionsauxLimitesPériodiques(Anti-Périodiques)

Lalettrexreprésenteraindiéremmentlavariable xunidimensionnelle,lequadrupletde oordonnées (

x

o

_{, x}

1 _{, x}

2 _{, x}

3 ₎

, ou

(x

+

_{, x}

−

_{, x}

⊥

₎

, selon le ontexte. On utilisera le mot lassique pour signier non quantique et onventionnelle pour qualier la quanti ation dans l'Instant Form. Enn toutes les sommationsserontee tuéesdansla onventiond'Einstein.

(13)

(14)

"Pourl'essentiel, epointde vuesubsisteen ore aujourd'huietformeledogme entraldelathéoriequantique des hamps :laréalitéessentielleestunensemble de hampssoumis auxloisdelarelativitérestreinteetde lamé aniquequantique; tout leresten'estqu'une onséquen e deladynamique quantiquede es hamps." StevenWeinberg

Une des tâ hes essentielles de la physique théorique duvingtième siè le aété d'élaborer une théorie rassemblant le prin ipe de relativité d'Einstein ave eux de la mé anique quantique. Le résultat, la Théorie Quantique des Champs, est le fondement a tuel du Modèle Standard de la physique des parti ules. De façon plus inattendue, elle permit aussi de grands progrès dans la ompréhension de la physique statistique, notamment pour les phénomènes ritiques. Son élément entral, le hamp quantique, est en eet unobjet qui permet de dé rire des intera tions à nombre inni de degrés de liberté, e qui est né essaire dans la théorie relativiste, où l'équivalen e masse-énergie implique un nombredeparti ulesindéterminé, maisaussidanslesmodèlesdé rivantlesphénomènes ritiques.

Lepro essusdequanti ation,danssaversion anoniqueparprin ipede orrespondan e,s'ee tueà partirde laformulationhamiltonienne, en faisant orrespondreaux ro hetsde Poisson, les ommu-tateursdesvariables anoniques, onsidérées ommedesq-nombres.Dans ette optique,l'élaboration d'unethéoriequantiqueETrelativistedemandedon ommepréalableuneformulationhamiltonienne deladynamique relativiste.En 1945Dira [12℄ montreque, ontrairementau as lassique, une telle formulation n'est pas unique. A té de la formulation onventionnelle, qu'il nomme Instant Form, oexistentdeuxautres formulations(onmontreraplustard[38℄ qu'ilenexisteenfait inq): laFront Formet laPoint Form.Dans l'InstantForm, lasurfa edes onditionsinitiales estl'hyperplant= te, danslaPointForm 'estunhyperboloïdederévolution,et danslaFrontFormils'agitd'unhyperplan tangentau nedelumière.Cesformulationssontéquivalentesmaisellesprésententdesparti ularités trèsdiérentes.

Bienquel'essentiel delaThéorieQuantiquedesChamps sesoit développédans le adre del'Instant Form,desre her hessontpoursuiviesdepuisDira pourbâtiruneTQCquantiéesurle nedelumière (LCQ) ( 'est-à-dire dans la Front Form). La question de savoir si l'équivalen e de es formulations survitaupro essusdequanti ationestunequestionen oreouverte.L'enjeuestdetaille arl'unedes propriétésessentiellesdelaLCQest latrivialitédel'étatfondamentaldel'hamiltonien enintera tion, 'est-à-direl'étatduvide, equisimplie onsidérablementles al uls.Mais ettemédaillesembleavoir unbiensombrereverspuisquealors,dira-t-on,laLCQnepouvantpasdé rireunautrevidequelevide trivial,restera antonnée au domaineperturbatif. En fait laLCQ semble bien apable dedé rire un videnontrivial,dumoinsdanslesthéoriesde hampss alaires,oùlephénomènedebrisurespontanée desymétrieàétédé ritave su ès[26℄[1℄[48℄.Lastru tureduvidenepouvantsetrouverdansleket

(15)

modes parune ou des relationsaussi omplexesque l'hamiltonien en intera tion. Cette situation est ara téristiquedelaLCQ:ellesemblebiendé rirelamêmephysiquequelaTQC onventionnellemais pardes on epts,desméthodesetdes al ulstrèsdiérents.L'obje tifultimea héde esre her hes est une formulation onsistante de QCD sur le ne de lumière, ave l'espoir que les simpli ations apportéessurl'étatfondamentaldel'hamiltonienpermettentdedé riredesdomainesnonpertubatifs, impossiblesàatteindreenquanti ation onventionnelle.Beau oupdeprogrèsontétéréalisés[60℄[33℄ [19℄[47℄[7℄maislebutn'estpasen oreatteint.

Notre travailse situe dans le adre plus restreintde la théories alaire

φ

4

, qui est bien onnue dans l'Instant Form et qui permet don des omparaisons entre les deux formulations. La détermination des modes zérosdes hamps est une étape essentielle. Des tentatives ont été ee tuées, en utilisant une approximationde hampmoyen. Cettethèse s'ins ritdans la ontinuitéde re her hesqui visent à obtenir une expression des modes zéros par d'autres moyens dans le but d'obtenir des résultats non perturbatifs. La première méthode étudiée utilise un développement en série de Haag asso ié àuntraitementdes hamps ausensdesdistributions.Cette méthodepermet enoutre untraitement satisfaisantdesdivergen esinfrarougesetultraviolettesetnousapermisd'é lair irlanaturedelalimite entre la des ription dis rète et la des ription ontinue sur l'exemple de la fon tion de Pauli-Jordan. Nous avons également obtenu des résultats dans l'étude de la transition de phase qui se omparent avantageusement ave eux des méthodes onventionnelles. Le deuxième pro édé étudié onsiste à rajouteràlathéorie

φ

4

unesymétrieinterneO(N)pourpermettreundéveloppementdesmodeszéros ensériede1/N.Nostravaux omplètentetpré isent euxdéjàee tuésdans edomaine,notamment en equi on erneles hampsetlespropagateurs.Néanmoinsl'étudedelatransitiondephasedans e formalismeresteàmener.

(16)

Fondements de la physique sur le ne

(17)

(18)

Les formes de la dynamique relativiste

"Workingwithafront isapro essthat isunfamiliartophysi ists. ButstillIfeelthatthemathemati alsimpli ationthatitintrodu es isall-important.I onsiderthemethodtobepromisingandhavere ently beenmakinganextensivestudyofit.Itoersnewopportunities, whilethefamiliarinstantformseemstobe playedout." P.A.M. Dira (1977)

1.1 Dynamique relativiste du point

Enguised'introdu tionàlaFrontFormnousallonsexaminerle asdeladynamiquerelativisted'une parti ulepon tuellelibre.

Son a tiona une origine géométrique, 'est la longueurde son histoire,prise entre deux événements xesA etB:

S = −m

Z

A→B

ds

oùds estl'abs isse urviligne:

ds =

√

_g

µν

x

µ

x

ν

=

p

(x

o

₎

2 _{− (x}

i

₎

2

Pourfaireapparaîtreunlagrangien,ilfautintroduireunparamètred'évolution

τ

,généralement inter-prété ommeétantletemps:

S = −m

Z

τ

B

τ

A

dτ

r

(

dx

o

dτ

)

2 _{− (}

dx

i

dτ

)

2

Ilparamétrisel'histoirede laparti ule

x

o

_{= x}

o

_{(τ )}

et

x

i

_{= x}

i

_{(τ )}

. Lelagrangienasso ié à e hoix de paramètres'é ritdon :

L

τ

(x

o

, x

i

) = −m

p

( ˙x

o

₎

2 _{− ( ˙x}

i

₎

2

(19)

Lapropriétéessentiellepourlasuiteest que ettea tion estinvariantesous hangementde

τ

(ondit qu'elleestinvariante sousreparamétrisation):

τ

′

= f (τ ) ⇒ S

′

= S

ave

τ

′

A

= τ

A

et

τ

′

B

= τ

B

Un hoixhabituel onsisteàdireque

τ

estletempspropredelaparti ule,soit :

dτ = ds

e qui permet de dénir une 4-vitesse(puisque ds est uns alairede Lorentz alors u

µ

_≡

dx

µ

dτ

est bien un4-ve teur). Ce hoixn'est ependant pasadapté àune formulationlagrangiennede ladynamique puisqu'ildénit ommelagrangien L

τ

= −m

.

Un autre hoixpossibleestletempsdel'observateur

τ = x

o

pourlequellelagrangiens'é rit:

L

x

o

= −m

r

1 −

dx

i

dx

o

Dansle asgénéralleséquationsdumouvements'é rivent:

d

dτ

˙x

µ

p

( ˙x

o

₎

2 _{− ( ˙x}

i

₎

2 = 0

soit

¨

x

µ

( ˙x

ν

. ˙x

v

) − ˙x

µ

(¨

x

v

. ˙x

v

) = 0

Sur es quatreéquationsseulestroissontindépendantes.

On onstateenoutrequelahessienne

W

µv

≡

∂

2 _L

∂ ˙x

µ

_{∂ ˙x}

v

= −

m

2 ( ˙x

σ

_{. ˙x}

σ

)

[g

µv

( ˙x

σ

. ˙x

σ

) − ˙x

µ

˙x

v

] ̟

estderang3.Ilyaunevaleurproprenulle

˙x

µ

_W

µv

= 0

Le lagrangienest don singulier. Le passage à laformulation hamiltonienne né essitel'utilisation de l'AlgorithmedeDira -Bergmann(DBA).

1

Lesmoments onjuguésde

x

µ

sont:

−p

µ

≡

_{∂( ˙x}

∂L

µ

₎

= m

˙x

µ

√

˙x

2

(1.1) 1

Cf.appendi eA.Onpeutaussiutilisertoutautreméthodeadaptée omme,parexemple, elledeFadeev-Ja kiw[16℄ quiprésentel'avantagedetraiterdire tementles ontraintesse ondaires.

(20)

(oùlesignemoins est onventionnelet

˙x

2 _{≡ ˙x}

ν

_{. ˙x}

v

)

Ces quatre momentssontliés parune ontrainte ( omme l'indique le rang trois de lahessienne) qui n'estautrequelarelationde ou hedemasse:

p

µ

.p

µ

= 0

L'inversiondesrelations(1.1)donne

˙x

i

_{(τ ) =}

p

i

p

o

˙x

o

_{(τ )}

quineditriensur

˙x

o

.

Commedanslaformulationlagrangienneilyaune indétermination.

L'hamiltonien anoniqueest mêmenul:

H

c

≡ −p

µ

˙x

µ

− L = 0

Tout e iest ara téristiquedesa tionsinvariantessousreparamétrisation.UtilisonsDBA:

Larelationde ou hedemassedénit une ontrainteprimaire:

θ(τ ) ≡ p

2 − m

2

(1.2)

etl'hamiltonien primaires'é rit :

H

1 = u(τ ).θ(τ )

où

u(τ )

estunmultipli ateurdeLagrange.On onstateimmédiatementque

θ(τ )

estune ontraintede première lasse:

{θ(τ), θ(τ)} = 0

et don la onditionde onsistan e

˙θ(τ) = 0

ne permet pasla détermination de

u(τ ).

Les équations d'Hamilton,en oreindéterminéesà estade,s'é rivent:

˙x

µ

_{= {x}

µ

_{, H}

1 } = −2u(τ)p

µ

˙p

µ

_{= {p}

µ

_{, H}

1 } = 0

Pourdéterminer

u(τ )

et xerladynamique ilfautimposerune onditionsubsidiaire(oudejauge)sur lesvariablesdynamiqueset sur

τ

:

Ω(x

µ

, τ ) = 0

(21)

˙Ω(τ) ≡

∂Ω

_∂τ

+ {Ω, H

1 } = 0

et onentire :

u(τ ) =

∂Ω

∂τ

1

2 ∂Ω

∂x

σ

p

σ

Onvoit qu'ilest ru ialque

Ω

dépendeàlafoisde

τ

et aumoins del'undes

x

σ

_.

Cette ondition subsidiaire exprime don le paramètre d'évolution en fon tion des oordonnées et orrespondàun hoixdeparamétrisation.Onpeutl'é riresouslaforme:

Ω(x

µ

_{, τ ) = τ − F (x}

µ

₎

(1.3)

Dansle as onventionnelelles'é ritsimplement:

Ω(x

µ

, τ ) = τ − x

o

quidonne

u(τ ) = −

1 2p

o

L'hamiltonienprimaireestalors 2

H

1 = −

p

2 −m

2 2p

o

et leséquationsd'Hamilton :

(

˙x

i

_{= {x}

i

_{, H}

1 } =

p

i

p

o

˙p

i

_{= {p}

i

_{, H}

1 } = 0

1.2 Les formes de Dira

La dynamique relativiste d'une parti ule est don engendrée pour partie par la ontrainte primaire (1.2)etpourpartieparla onditionsubsidiaire(1.3).Lapremière ontientl'informationdynamiqueet lase ondexeleparamètred'évolution.Dira s'estdemandé ombiende hoixpossiblesilyavaitpour ette ondition

Ω

.Choisirunparamètredetempsrevientàxerlasurfa esurlaquelleonexprimeles onditionsinitiales.Defait,à haque

Ω

orrespondunefoliationdel'espa edeMinkowskiparamétrée par

τ = F (x

µ

_{) = cte}

. A une surfa e donnée orrespond un temps unique xé (dans le as habituel

τ = x

o

,ils'agitbiensûrdeshyperplansdegenreespa eorthogonauxàl'axe

x

o

),unemétriqueet un systèmede oordonnéesnaturel.

Appelons

ξ

i

_(x

µ

₎

lestrois oordonnéesqui paramétrisentnotresurfa eet

ξ

o

_(x

µ

_{)≡ τ}

letemps. Alors

ds =

p

g

µν

dx

µ

dx

ν

=

s

g

µν

∂x

µ

∂ξ

α

∂x

ν

∂ξ

β

dξ

α

dξ

β

2

Cethamiltonienestéquivalentàl'hamiltonienhabituel

H

p

=

p

(p

i

₎

2 _{+ m}

2

(onvériequ'ilengendrelesmêmes équa-tionsd'Hamilton).Pourl'obtenir,ilsutde onsidérerla ontraintesouslaforme(équivalente)

θ

= p

o

₋

p

_(p

i

₎

2 _{+ m}

2 _{≈ 0}

. Alors

u

(τ ) = −1

et

H

1 ≡ uθ = −p

o

₊

p

_(p

i

₎

2 _{+ m}

2

.Comme

x

o

_{= τ}

n'estplusunevariabledynamique,savariable onju-guée

p

o

se omporte ommeune onstanteetn'estplusunevariabledynamique(ladérivationparrapportà

p

o

disparaît des ro hets dePoisson).L'é riturelaplussimpledel'hamiltonienestbien

H

1 =

p

(p

i

₎

2 _{+ m}

2

(22)

où

η

αβ

≡ g

µν

∂x

µ

∂ξ

α

∂x

ν

∂ξ

β

(1.4)

estlamétriquenaturelle pour es oordonnées(

η

ij

est lamétriquedelasurfa e

τ = F (x

µ

_{) = cte}

).

Pourêtrea eptableslessurfa esinitialesdoiventrespe terla onditionde ausalitésuivante: ouper toutesleslignesd'univers,uneseuleetuniquefois.Enoutretouteformulationdeladynamique relati-vistedoitengendrerunereprésentationdugroupedePoin aréentermes desesvariablesdynamiques. Ces onditionssonttrèsrestri tivesetDira amontré[12℄qu'iln'existequetroissortesdesurfa esqui larespe tent

3

: l'InstantForm,la PointFormet la Front Form. Laquestionse pose de savoirquelle estlameilleuresurfa einitiale,don lameilleureformulationdeladynamiquerelativiste.Iln'y apas deréponseabsolue à ette questionet haqueformulationsemblejouird'avantagesetd'in onvénients selonlessituationsauxquellesonl'applique.

Cependant on s'attend à e que la dynamique d'un système relativiste soit la plus simple possible si le nombre de générateurs du groupe de Poin aré qui font évoluer le système hors de la surfa e intialeestminimum.Onappelle esgénérateurslesgénérateursdynamiques,puisqu'ils ontiennentles informationssurl'intera tion.Lesautres,quiformentungroupe,ditdestabilité,laissentinvariantela surfa einitialeetsontappelésgénérateurs inématiques.

UnetransformationdePoin arés'é rit:

U (ω

µν

, a

µ

) = e

−

1

2 M

µν

_ω

µν

+P

µ

a

µ

où

M

µν

et

P

µ

sontlesgénérateurs:

M

oi

_{= K}

i

génèrentlesboosts,

M

ij

_{= ǫ}

ijk

_J

k

génèrentlesrotations,et

P

µ

génèrentlestranslationsd'espa e-temps

et

ω

µν

et

a

µ

sontlesparamètres.Lestenseurs

M

µν

et

ω

µν

étantantisymétriquesetdemêmestru ture. Cesgénérateursobéissentàl'algèbredeLiedugroupedePoin aré:

[P

µ

_{, P}

ν

_{] =}

₀

[M

µν

, P

ρ

] =

g

νρ

P

µ

− g

µρ

P

ν

[M

µν

, M

ρσ

[ =

g

µσ

M

νρ

+ g

νρ

M

µσ

− g

µρ

M

νσ

− g

νσ

M

µρ

(1.5)

Uneréalisationsimplede ettealgèbreàl'aidedesvariablesdynamiquesest:

P

µ

≡ p

µ

, et M

µν

≡ x

µ

p

ν

− x

ν

p

µ

(1.6)

ave

{x

µ

, p

ν

} = −g

µν

(1.7)

Cetteréalisationest triviale dansle sensoù ellene dé rit au une intera tion et ne représente au un hoixdeparamétrisation.

3

EnfaitLeutwyleretStern[38℄ontmontréplustardqu'ilenexistait2deplus.Ilyadon 5formespourladynamique relativistemais,ànotre onnaissan e, esdeuxdernièresformesn'ontpas(en ore?)trouvéd'utilisationpratique.

(23)

Unetransformationinnitésimales'é rit:

δU (ω

µν

, a

µ

) = −

1

2 M

µν

_δω

µν

+ P

µ

δa

µ

et l'a tionde

δU

surunefon tions alaire

F (x

µ

₎

est:

δF = {F, δU} = ∂

ν

_F

∂(δU )

∂p

ν

= −x

µ

∂

ν

F.δω

µν

+ ∂

ν

F.a

ν

= −

1

2 (x

µ

∂

ν

− x

ν

∂

µ

)F.δω

µν

+ ∂

µ

F.a

µ

(1.8)

Examinonsàprésentles3formesdeDira .

L'INSTANT FORM

C'estlaformulation onventionnelledeladynamiquerelativiste.

Paramètre d'évolution:

τ ≡ x

o

Surfa e intiale:

Σ : x

o

_{= 0}

Coordonnéesnaturelles :

x

µ

( oordonnéeslorentziennes)

Lamétriquenaturelle estbien sûrlamétriqueminkowskienne:

g

µν

=







1 −1

−1







(1.9)

Représentationdu groupe de Poin aré

PourbâtirlareprésentationdugroupedePoin aréengendréeparl'InstantFormnousdevonsajouter dans(1.6)l'information surladynamique (1.2)etsur le hoixdel'InstantForm(1.3).Cela revientà éliminerlavariable

p

o

dans(1.6)etàprendre

x

o

_{= 0}

.Onobtient:

P

i

₌

_p

i

_M

ij

₌

_x

i

_p

j

_{− x}

j

_p

i

P

o

_{= ω}

p

M

io

=

x

i

ω

p

avec

ω

p

≡

p

(p

i

₎

2 _{+ m}

2

Groupede stabilité:

L'a tiond'unetranformationdePoin aré(1.8)surlasurfa einitiale

F (x

µ

_{) ≡ x}

o

donne:

δF = {F, δU} = −x

i

_δω

io

+ δa

o

Onlitsur ette relationlesgénérateursdynamiques:

l'hamiltonien :

P

o

les3boosts:

K

1 _{, K}

2 _{, K}

3

et lesgénérateurs inématiques:

les3translationsd'espa e:

P

(24)

les3rotations:

J

1 _{, J}

2 _{, J}

3

Legroupedestabilitéest don dedimension6.

LA POINTFORM Paramètred'évolution:

τ =

√

_x

σ

_x

σ

Surfa e initiale :

Σ : (x

o

₎

2 _{− (x}

1 ₎

2 _{− (x}

2 ₎

2 _{− (x}

3 ₎

2 _{= cte}

. Ils'agit deshyperboloïdesderévolution entrésautourdupoint0

4

.Ils sontentièrement ontenusàl'intérieurdu nedelumièreetrespe tent la onditionde ausalité,ex eptépourle as

τ = 0

,oùl'hyperboloïdeseréduitau nedelumièrequi n'estpasunesurfa ea eptable.Pouréviter elaon hoisit

τ > 0

.

Les oordonnéesnaturellessontles oordonnéeshyperboliques:

x

0 _{= τ chω}

x

1 _{= τ shωsinθcosϕ}

x

2 _{= τ shωsinθsinϕ}

x

3 _{= τ shωcosϕ}

De(1.4)et (1.9)ontire lamétriquelo aledel'hyperboloïde:







1

0

0 −τ

2 ₀

₀

0

0 −τ

2 _sh

2 _ω

₀

0

0 −τ

2 _sin

2 _θsh

2 _ω







Représentation du groupe de Poin aré : On pourrait, de la même façon que pré édemment, éliminerdans(1.6)lavariabledynamiqueasso iéeà

τ

,maisles oordonnéeshyperboliques ompliquent unpeul'opération.IlestplussimpledesuivrelaméthodeDira qui onsisteàintroduiredans(1.6)la ontrainte (1.2)ave des multipli ateursde Lagrange

λ

µ

et

λ

µν

qui seront déterminésendemandant queles ro hetsdePoissonde

P

µ

et

M

µν

ave

x

σ

_x

σ

soientnuls:

P

µ

_{= p}

µ

_{+ λ}

µ

_(p

σ

_p

σ

− m

2 )

M

µν

_{= x}

µ

_p

ν

_{− x}

ν

_p

µ

_{+ λ}

µν

_(p

σ

_p

σ

− m

2 )

Ilvient:

λ

µ

= −

x

µ

2(p

σ

x

σ

)

et λ

µν

= 0

etdon

P

µ

₌

_p

µ

₋

x

µ

2(p

σ

x

σ

)

(p

σ

_p

σ

− m

2 )

M

µν

₌

_x

µ

_p

ν

_{− x}

ν

_p

µ

4 Onpourrait,endénissant

τ

=

√

x

2 _{− a}

2

(25)

Générateurs etgroupe de stabilité :On litdire tementsur lareprésentationpré édente que les rotations et lesboosts sont inématiquesdans laPoint Form, equi n'estpas surprenant puisque les surfa esinitiales

Σ : τ =

√

x

σ

x

σ

= cte

sontdess alairessouslegroupedeLorentz.C'estd'ailleurslàle prin ipalavantagedelaPointForm.Les4moments

P

µ

sontdynamiques,legroupedestabilitéestdon dedimension6, ommedansl'InstantForm.L'autreavantagedelaPointFormest quelaséparation entregénérateurs inématiques etdynamiques respe tele ara tèretensorielde esquantitésrendant les équations transparentes à e point de vue. Cependant les oordonnées hyperboliques rendent la quanti ationparti ulièrementdi ileetpeudetravauxontétéee tués[17℄[56℄dans etteformede ladynamiquerelativiste.

1.3 La Front Form

C'estlaformulationdanslaquelle onvasepla er danstoutelasuitede etravail.

Paramètred'évolution:On hoisit ommeaxetempsl'axe

τ ≡ x

o

_{+ x}

3

.C'estl'unedesgénératri es du nedelumière.

Surfa eintiale:Lasurfa e orrespondanteapouréquation:

Σ : x

o

_−x

3 _{= 0}

.C'estl'hyperplantangent au ne delumière et orthogonal(au sensminkowskien) à l'axe

x

o

_{+ x}

3 _{= 0}

. On l'appelle parfoisle front de lumière

5

. La ondition de ausalité n'est pas pleinement satisfaite pour les parti ules de massenulle, puisque leurshistoires sont ontenuesdans lefrontde lumière. Onpeutdon s'attendre (et 'est equiarrive)àavoirdesproblèmespourformulersurle nedelumièrelesthéoriesàmasses nulles.Danslasuiteons'intéresseraseulementauxthéoriesmassives.

5

Le hoixde

τ

≡ x

o

_{+ x}

3

ommeparamètred'évolutionestpurement onventionnel.Onpourraitpareillement hoisir

τ

_{≡ x}

o

− x

3

et

Σ : x

o

_{+ x}

3 _{= 0}

(26)

Cneetfrontdelumière

Les oordonnéesnaturellesdelaFrontFormsont elles du nedelumière:

x

µ

_CL

= C

µ

ν

x

ν

avec C

µ

ν

≡







1 0

0

1 0 1

0

0 0 0

1

0 1 0

0 −1







Onnotera

C

µ

ν

≡ [C

−1

]

ν

µ =







1

2

0

1

2

0

1

0

1

0

1

2

0

0 −

1

2 





Enpratique 6 :

x

o

CL

= x

o

+ x

3 ≡ x

+

x

1 CL

= x

1 x

2 CL

= x

2 x

2 CL

= x

o

− x

3 ≡ x

−

Les omposantesin hangées

x

1 _{, x}

2

,notées olle tivement

x

i

ou

x

⊥

,sontditestransverses,tandisque la omposante

x

−

est ditelongitudinale 7

.

Lamétriqueinduites'obtientàpartirde(1.4)et de(1.9):

6

L'indi eCLserasous-entendupartoutoùonutiliseralesindi es

+,⊥, et −

.Ainsiparexemple

x

o

CL

= x

+

.Parailleurs onnoteraque esystèmede oordonnéesn'estpluslorentzienpuisqueledéterminantdeCest-2.

7

(27)

η

µν

=







0

1

2

0 −1

0

0 −1 0

1

2

0

0 





(1.10)

et onduitauproduit s alaire

x.y =

1

2 x

+

_y

−

₊

1

2 x

−

_y

+

− x

⊥

y

⊥

Le ara tèreantidiagonalde(1.10)danslesindi es

+

et

−

apoureet,lorsdupassagedes oordonnées ontravariantesaux oordonnées ovariantes,de hangeraussilanature dela omposante:

x

+

₌

1

2 x

−

x

−

₌

1

2 x

+

Ce iest parti ulièrementimportantpourlesopérateursdiérentiels,puisque :

∂

−

₌

∂

∂x

₋

=

1

2 ∂x

∂

+

=

1 ₂

∂

+

∂

₋

=

∂

∂x

−

= 2

_∂x

∂

₊

= 2∂

+

ne dériventpasparrapport àla même variable.C'est pour ela queleséquations dynamiques surle nedelumièreontunestru turediérentede ellesdel'InstantForm.D'autrepartledéveloppement duproduits alaire:

p.x =

1

2 p

+

_x

−

₊

1

2 p

−

_x

+

− p

⊥

x

⊥

montrequesi

x

+

est la oordonnéedetemps alors 'est

p

−

, 'est-à-direlaquatrième omposante du 4-ve teur

p

,qui estl'énergiedusystème.

Représentationdu groupe de Poin aré

Dansles oordonnéesdu nedelumièrela ontrainte(1.2)s'é rit:

p

−

=

(p

⊥

)

2 _{+ m}

2 p

+

(1.11)

Cetterelationsediéren iedesonanaloguedansl'InstantFormsurplusieurspoints:

absen edera ine arrée

p

+

et

p

−

sontdemême signe dis ontinuitéen

p

+

_{= 0}

qui suggèrentquelaphysiquesurle nedelumière doits'exprimerdefaçonradi alementdiérente. Nous reviendrons sur es points dans la suite. On peut aussi remarquer que la limite des grandes énergies

p

−

peuts'obtenirave degrands

p

⊥

,maisaussiave depetits

p

+

, e quiades onséquen es majeuressurlarenormalisationet onstituelabasedestravauxdeWilsonsurl'appli ationdugroupe derenormalisationauxthéoriessurle nedelumière[63℄

De(1.11)et de(1.6),et enprenant

x

+

_{= 0}

(28)

P

+

₌

_p

+

_M

−+

₌

_x

−

_p

+

P

⊥

₌

_p

⊥

_M

⊥+

₌

_x

⊥

_p

+

P

−

₌

_ξ

−

p

M

⊥−

=

x

⊥

ξ

p

−

− x

−

p

⊥

et

M

12 ₌

_x

1 _p

2 _{− x}

2 _p

1 avec

ξ

−

p

≡

(p

⊥

₎

2 _+m

2 p

+

(1.12)

Générateurs etgroupede stabilité :

E rivonslesgénérateursdansles oordonnéesdu nedelumière:

P

CL

µ

= C

µ

ν

P

ν

, M

CL

µν

= C

µ

α

M

αβ

C

ν

β

donne:

P

+

₌

_P

o

_{+ P}

3 P

−

=

P

o

− P

3 P

⊥

₌

_P

1 _{, P}

2 M

+1

=

J

2 + K

1 ≡ E

1 M

+2

_{= −J}

1 _{+ K}

2 _{≡ E}

2 M

+−

₌

_−2K

3 M

−1

_{= −J}

2 _{+ K}

1 _{≡ F}

1 M

−2

₌

_J

1 _{+ K}

2 _{≡ F}

2 M

12 ₌

_J

3

L'a tionde esgénérateurssurlasurfa eintiale

Σ : x

+

_{= 0}

est, d'après(1.8):

δF = {F, δU} = −2x

⊥

δω

_⊥−

+ 2δa

₋

oùonlitlesgénérateursdynamiques:

l'hamiltonien

P

−

les

M

⊥−

, 'est-à-dire

F

1

et

F

2

quigénèrentlesrotationsautourdesdire tionstransverses

etlesgénérateurs inématiques 8

:

Les3translationsd'espa e

P

+

_{, P}

1 _{, P}

2

les

M

⊥+

, 'est-à-dire

E

1

et

E

2

quigénèrentlesboostsdanslesdire tionstransverses

M

12 _,

'est-à-dire

J

3

legénérateurdesrotationsautourdel'axe longitudinal

M

+−

, 'est-à-dire

−2K

3

legénérateurdesboostsdansladire tionlongitudinale.

C'estdon danslaFrontFormquelegroupedestabilité,dedimension7,estmaximal.

Quelquespropriétésdu groupede Poin aré sur le nede lumière:

Un boost longitudinal est un simple hangementd'é helle. La représentation matri ielle de

K

3

dans unebaselorentzienne étant

8

Legénérateur

K

3

n'est inématiquequesil'on hoisitexpli itement

x

+

_{= 0}

,àl'ex lusiondetoutautre onstante, ontrairementauxautresgénérateurs inématiquesquilerestentpourtoutesurfa edutype

x

(29)

[K

Lz

3 ]

µ

ν

=







0 0 0

1

0 0 0

0

0 0 0

0

1 0 0

0 





onendéduitsa représentationsurle nedelumière:

[K

CL

3 ]

µ

ν

= C

α

ν

[K

Lz

3 ] C

β

ν

=







1 0

0

0 0 0

0

0 0 0

0

0 0 0

0 −1







Si on onsidère deux systèmes de oordonnées reliés par un boost longitudinal de rapidité

ω

, soit

x

′

µ

_{= e}

−

1

2 ω(−2[K

3 CL

]

µ

ν

)

_x

ν

,onobtient:

x

′

+

_{= e}

ω

_x

+

x

′

−

_{= e}

−ω

_x

−

Ainsile omportementdusystème dansuntelboost estparti ulièrementsimple. Onpeutànouveau remarquerqueseulelasurfa e

x

+

_{= 0}

estinvariante.

Al'aidede(1.12) etde(1.7)onpeut al ulersansdi ulté lesrelationsde ommutation ( f.tableau i-après).Onvoit apparaîtreplusieursstru tures:

J

3 _{, F}

1 _{et F}

2

formentunsous-groupe:

{F

1 _{, F}

2 _{} = 0}

{J

3 _{, F}

i

_{} = ǫ}

ij

_F

j

K

3 _{, E}

1 _{, et E}

2

formentunsous-groupedugroupedestabilité :

{E

1 _{, E}

2 _{} = 0}

{K

3 _{, E}

i

_{} = E}

i

P

i

_{, P}

−

_{, P}

+

_E

i

_{, et J}

3

onstituentunsous-groupeisomorpheaugroupedeGaliléeà1+1dimensions:

{J

3 _{, E}

i

_{} = ǫ}

ij

_E

i

{J

3 _{, P}

i

_{} = ǫ}

ij

_P

i

{E

i

_{, P}

−

_{} = −2P}

i

{E

i

_{, P}

j

_{} = −δ}

ij

_P

+

ave touslesautres ro hetsdePoissonquisontnuls.Onpeutvérierl'isomorphismeenidentiant

P

−

àl'hamiltonien,

P

i

auxdeuxgénérateursdestranslationsd'espa e,

J

3

àlarotation,

E

i

auxdeuxboosts galiléenset

P

+

àlamassequi estl'opérateurdeCasimir.L'existen ede esous-groupegaliléenlaisse supposerqu'onvaretrouverdansladynamiquesurle nedelumière ertainsaspe tsdeladynamique galiléenne. Et 'est ee tivement e qui sepasse.On peutmontrer [58℄ [32℄ que dans unsystème de parti ules en intera tionsur le ne de lumière, lemouvementrelatifdé oupledumouvementglobal du entredemasse,exa tement ommedansle asnonrelativiste.

(30)

P

−

_P

+

_P

1 _P

2 _E

1 _E

2 _J

3 _K

3 _F

1 _F

2 P

−

₀

_2P

1 _2P

2 ₀

_P

−

₀

P

+

₀

_−P

+

_2P

1 _2P

2 P

1 ₀

₀

_P

+

₀

_−P

2 ₀

_P

−

₀

P

2 ₀

₀

_P

+

_P

1 ₀

₀

_P

−

E

1 _−2P

1 ₀

_−P

+

₀

_−E

2 _−E

1 _2K

3 _−2J

3 E

2 _−2P

2 ₀

₀

_−P

+

₀

_E

1 _−E

2 _2J

3 _2K

3 J

3 ₀

₀

_P

2 _−P

1 _E

2 _−E

1 ₀

₀

_F

2 _−F

1 K

3 _−P

−

_P

+

₀

_E

1 _E

2 ₀

₀

_−F

1 _−F

2 F

1 ₀

_−2P

1 _−P

−

₀

_2K

3 _−2J

3 _−F

2 _F

1 ₀

₀

F

2 ₀

_−2P

2 ₀

_−P

−

_2J

3 _−2K

3 _−F

1 _F

2 ₀

₀

GroupedePoin arésurle nedelumière:lere tanglegrisfon éestlegroupe

(31)

(32)

La théorie quantique des hamps sur le

ne de lumière

"Qu'exigelalumière?Quetut'y perdes." VilhelmEkelund

2.1 L'algèbre de Poin aré pour les hamps

Danslasuiteonva onsidérerunethéoried'un hamps alaire

φ(x)

dotéed'uneintera tion

V (φ)

sans termedérivatif:

L ≡

1 ₂

∂

µ

φ∂

µ

φ −

1

2 m

2 _φ

2 − V (φ)

(2.1)

Suiteàl'invarian edePoin aréde elagrangienonsait,parappli ationduthéorèmedeNoether,qu'il existe2 ourants onservés:

square

letenseurénergie-impulsion

T

µν

_≡

∂L

∂(∂

µ

φ)

∂

ν

_{φ − η}

µν

_{L = ∂}

µ

_φ∂

ν

_{φ − η}

µν

_L

square

etletenseurboost-angulaire

J

ρµν

_{≡ T}

ρν

_x

µ

_{− T}

ρµ

_x

ν

dontlesintégralesàtraversunesurfa einitiale

Σ : τ = F (x)

sontles harges onservées :

P

µ

_≡

R

Σ

T

µν

_dσ

ν

M

µν

_≡

R

Σ

J

ρµν

dσ

ρ

quiobéissentàl'algèbredeLiedugroupedePoin aré.

Plaçons-noussurle nedelumière :

L ≡

1 ₂

∂

+

φ∂

−

φ −

1

2 (∂

⊥

_φ)

2 −

1 ₂

m

2 φ

2 − V (φ)

(2.2)

(33)

(∂

+

_∂

−

_{+ m}

2 _{)φ = −}

δV (φ)

δφ

(2.3)

L'élémentdesurfa edelasurfa e

Σ : τ = x

+

_{= 0}

s'é rit:

dσ

µ

=

1

2 dx

−

_d

2 _x

⊥

_n

µ

ave

n

µ

≡







1

0

0 





ve teurnormalà

Σ

.Onobtientpourlesgénérateurs:

P

µ

₌

1

2 R

T

µ+

_dx

−

_d

2 _x

⊥

M

µν

₌

1

2 R

(T

+ν

_x

µ

_{− T}

+µ

_x

ν

_)dx

−

_d

2 _x

⊥

Dansle asdu hamplibre(

V = 0

)onobtientexpli itement:

P

+

₌

1

2 R

dx

−

_d

2 _x

⊥

_(∂

+

_φ)

2 P

⊥

₌

1

2 R

dx

−

_d

2 _x

⊥

_[∂

+

_φ∂

⊥

_φ]

P

−

₌

1

2 R

dx

−

_d

2 _x

⊥

_[(∂

⊥

_φ)

2 _{+ m}

2 _φ

2 _]

J

3 ₌

1

2 R

dx

−

_d

2 _x

⊥

_∂

+

_[x

1 _∂

2 _{φ − x}

2 _∂

1 _φ]

K

3 ₌

1

4 R

dx

−

_d

2 _x

⊥

_x

−

_(∂

+

_φ)

2 E

i

₌

1

2 R

dx

−

_d

2 _x

⊥

_x

i

_(∂

+

_φ)

2 F

i

₌

1

2 R

dx

−

_d

2 _x

⊥

_x

i

_[(∂

⊥

_φ)

2 _{+ m}

2 _φ

2 _{] − x}

−

_∂

+

_φ∂

i

_φ

2.2 Une théorie singulière

Apartirdemaintenant,onvasepla erà1+1dimensions.Leterme inétique dulagrangien(2.2)est linéairedanslesvitesses

∂φ

∂x

+

=

1 ₂

∂

−

φ

et elasigniequelelagrangienestsingulier 1

.Leréférentieldu nedelumièrenepeutdon pasêtreappro héparunesuitederéférentielsdeLorentzdontonferait tendrel'impulsion

p

3

versl'inni 2

.Unetellelimiteestdis ontinuepuisquedanstoutréférentiel lorent-zienlelagrangien(2.1)demeurerégulier:lesstru turessimple tiquessontdiérentes.Historiquement

1

Lahessienneestidentiquementnulle:

W

(x, y) =

δ

2 L

δ[∂

−

φ(x)]δ[∂

−

φ(y)]

= 0

2

On onsidèreunréférentiellorentzien,qu'onappelleréférentieldemomentinni,sedéplaçantselonl'axe

x

3

àvitesse vparrapportà eluidulaboratoire.Ona

p

3 IM F

=

p

3 +vp

o

√

1−v

2

.Danslalimite

v

→ 1

l'impulsionlongitudinale

p

3 IM F

devient innieet lades riptiondumouvements'ee tueenunitéde

α

≡ p

3 _{+ vp}

0

quiresteni.Dans ettelimitedumoment inni,

α

s'identieàl'énergie

p

−

(34)

'est ependantpar e biaisquede nombreusesre her hesont ommen é,notammentave Weinberg [62℄etSusskind[58℄ .

Ilfautdon utiliserl'algorithmedeDira -Bergmannpour onstruireladynamique.Lemoment onjugué du hampest:

Π ≡

∂L

∂(

_∂x

∂φ

+

)

= ∂

+

φ

quiestindépendantde

∂

−

_φ

etengendrela ontrainteprimaire:

θ(x) = Π(x) − ∂

+

φ(x) ≈ 0

(2.4)

L'hamiltonienprimaires'é rit:

H

1 (x

+

) = H

C

(x

+

) +

Z

dy µ(y)θ(y)

où

H

c

estl'hamiltonien anonique

H

C

=

Z

dx

−

1

2 m

2 _φ(x)

2 _{+ V (φ(x))}

Sa hantque

δθ(x)

δφ(z)

=

−

δ(∂

+

_φ(x))

δφ(z)

= −

∂

+

_(δφ(x))

δφ(z)

=

−∂

+

x

δ(x − z)

δθ(x)

δΠ(z)

=

δ(x − z)

(2.5)

onobtientpourlamatri edes ontraintesprimaires:

C(x, y)

=

∂

−

y

δ(y − x) − ∂

x

−

δ(x − y)

C'estunopérateurdiérentieldontl'a tionsurunefon tion

f

quel onqueest:

Z

dy C(x, y)f (y) = −4

∂f (x)

_∂x

₋

La onditionde onsistan es'é rit:

˙θ(X) = {θ(x), H

1 } = {θ(x), H

C

(x

+

)} +

Z

dyC(x, y)µ(y)

soit

∂

∂x

−

µ(x) =

1

4 B(x)

(2.6) ave

B(x) ≡ −{θ(x), H

C

(x

+

_)}

. La forme de

C(x, y)

montre que l'unique ontrainte

θ(x)

est de deuxième lasse.L'équation(2.6)estee tivementsoluble

3

et

C(x, y)

admetpourinverse: 3

Lasolutionlaplusgénéraleestenfait:

C

−1

(x, y) = −

1

4 sgn(x

−

− y

−

) + g(x

+

)

,où

g(x

+

₎

estunefon tionarbitraire quenousprenonsi inulle.Ellepeutêtredéterminéeparun hoixde onditionsauxlimites.

(35)

C

−1

(x, y) = −

1 ₄

sgn(x

−

− y

−

)

d'où

µ(x) = −

1

4 Z

dy

−

_sgn(x

−

_{− y}

−

_)B(x

+

_{, y}

−

₎

Ladynamiqueest alorsentièrementdéterminéeparles ro hetsdeDira :

{A(x), B(y)}

∗

x+ =y+

= {A(x), B(y)}

x

+

_=y

+

1

4 R

dzdw{A(x), θ(z)}

x+ =z+

sgn(z

−

_{− w}

−

_{){θ(w), B(y)}}

w+ =y+

(2.7)

Enutilisant(2.5)et(2.7)ontrouveles ro hetsfondamentaux:

{φ(x), φ(y)}

∗

x

+

_=y

+

=

−

₄

1 sgn(x

−

− y

−

)

{Π(x), Π(y)}

∗

x

+

_=y

+

=

1 ₄

_∂x

∂

−

δ(x

−

− y

−

)

{φ(x), Π(y)}

∗

x

+

_=y

+

=

1 ₂

δ(x

−

− y

−

)

(2.8)

Les deux premiers ro hets, non nuls, indiquent qu'il existe une relation ausaleentre deux hamps pris àtemps égaux.Cette situation ontrasteave ladynamique onventionnelledansles référentiels de Lorentz,mais n'est pas étonnante puisque la surfa e des temps égaux est i i justement de genre lumière.Cesrésultatsontétéobtenuspard'autresauteurs,ave d'autresméthodes,dansdes ontextes diérents.Notamment,enétudiantl'invarian epartranslationlelongduplan

x

o

_{+ x}

3 _{= 0}

,Nevilleet Rohrli h [43℄trouventaussiunfa teur

1

2

dansle ommutateur

[φ(x), Π(y)] =

1

2 δ(x

−

− y

−

)

.

Signalonsunautreaspe tdu ara tèresingulierdelathéorie:leproblèmedeCau hyestmalposé.A priorila onnaissan edes onditionsinitialessurlessurfa es ara téristiquesdel'équationhyperbolique (2.3), parexemple

x

+

_{= 0}

et

x

−

_{= 0}

, est né essaire pouren déterminer omplètement les solutions. OrdanslaFrontFormlaquanti ationestréaliséesurl'hyperplan

x

+

_{= 0}

,enfaisant orrespondreles ro hets(2.8)àdes ommutateurs.Poursatisfaireaux ritèresduproblèmedeCau hyilfaudraitaussi quantierle hampsur lasurfa e

x

−

_{= 0}

, omme l'ont noté plusieursauteurs [43℄ [55℄ [31℄, e qui a pourin onvénientd'introduire undeuxièmetempsetd'obs ur irainsil'élaborationd'uneformulation hamiltonienne.

Néanmoins, Heinzl et Werner [31℄ ontmontré que lavaleurdu hampsur lasurfa e

x

−

_{= 0}

pouvait s'exprimerentièrementenfon tionde elle sur

x

+

_{= 0}

,pourvuquel'onintroduisedes onditionsaux limitespériodiques,levantainsil'apparenteambiguïtédans laformulationduproblèmedeCau hy.

2.3 Quanti ation du hamp libre

La ontrainte (2.4) étant de se onde lasse, la quanti ation est réaliséeen remplaçant les ro hets de Dira dans (2.8) par les ommutateurs et en élevant les hamps fondamentaux

φ

et

Π

au rang

(36)

d'opérateurs 4

.Dans le as du hamplibre

V ≡ 0

, l'équation du mouvement est l'équation de Klein-Gordonsurle nedelumière:

(∂

+

∂

−

+ m

2 )φ(x) = 0

soitdansl'espa edeFourier 5 :

(−4k

+

k

−

+ m

2 ) e

φ(k) = 0

ave

φ(x) =

Z

+∞

−∞

dk

+

_dk

−

(2π)

2 φ(k)e

e

−i(k

+

x

−

_+k

−

_x

+

)

Ilexistedon unedistribution

φ(k)

telle que

e

φ(k) = δ(4k

+

k

−

− m

2 )φ(k)

d'où:

φ(x)

=

R

₀

+∞

dk

+

2π

R

+∞

−∞

dk

−

2π

θ(k

−

₎

|k

+

_|

δ(k

−

− ξ

−

_k

)φ(k

+

, k

−

)e

−

i

2 (k

+

_x

−

_+k

−

_x

+

₎

+

R

_−∞

0 dk

_2π

+

R

_−∞

+∞

dk

_2π

−

θ(−k

_|k

+

−

_|

)

δ(k

−

− ξ

_k

−

)φ(k

+

, k

−

)e

−

i

2 (k

+

x

−

_+k

−

_x

+

)

La diéren eave la résolution en oordonnéesde Minkowski est, qu'i i, l'énergie on-shell

ξ

−

k

≡

m

2 k

+

dépend dusignede

k

+

,d'oùlaséparationendeuxintégrales i-dessus.

Onobtient:

φ(x)

=

R

₀

+∞

dk

+

2π

1 k

+

φ(k

+

, ξ

_k

−

)e

−

i

2 (ξ

−

k

x

+

_+k

+

_x

−

₎

+

R

₀

+∞

dk

+

2π

1 k

+

φ(−k

+

, −ξ

−

_k

)e

i

2 (ξ

−

k

x

+

_+k

+

_x

−

₎

aprèsavoir hangé

k

+

en

−k

+

dansladeuxièmeintégrale.

Enposant ommepres riptiondequanti ation,pour

k

+

_{> 0}

:

φ(k

+

_{, ξ}

−

k

)

p

2(2π)k

+

φ(k

_√

+

,ξ

k

−

)

2πk

+

→ a

k

φ(−k

+

,−ξ

−

k

)

√

2πk

+

→ a

†

k

avec

a

k

, a

†

q

=

δ(k

+

_{− q}

+

₎

4

L'autreappro hepossible,laquanti ationparintégralede hemindessystèmessinguliers,aétéétudiéepar Senja-novi [54℄.

5

Lefa teur4vientdesfa teurs

1