Sur une méthode covariante de quantification locale en théorie générale des champs

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Submitted on 1 Jan 1951

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Sur une méthode covariante de quantification locale en

théorie générale des champs

Bernard Kwal

To cite this version:

572

Nous allons donc poser

et considérer les

Aj

et

_B[jkl]

comme variables

cano-niques indépendantes

dans le schéma de

Lagrange-Hamilton,

en

_partant

de l’Action stationnaire

où la fonction de

_Lagrange

L est _{donnée par}

l’expres-sion suivante :

Les

_{équations d’Euler-Lagrange,}

relatives aux

variables

_Aj,

nous fournissent alors le

_premier

groupe

d’équations

de Maxwell-Lorentz

tandis que les

équations

d’Euler-Lagrange,

relatives

aux variables

_B[jkl],

nous fournissent le second groupe

selon une _{méthode que} nous avons

_développée

récem-ment

_[1],

à la fonction de

_{Lagrange L,}

nous associons

une fonction de Hamilton H

qui

conduit au schéma

_canonique

local suivant :

définissant des «

caractéristiques

» de

_{l’équation}

géné-ralisée de Hamilton-Jacobi dans

_l’espace

fonctionnel des

_potentiels

_{(Aj, B[jklh Xj) :}

[1]

J. de _{Physique, I95I,} 12, Avril.

ManuscriL L rcçu le 2 mars _{I 951.}

SUR UNE

MÉTHODE

COVARIANTE DE

_{QUANTIFICATION}

LOCALE EN

THÉORIE

GÉNÉRALE

DES CHAMPS

Par BERNARD KWAL. Institut Henri

Poincaré,

Paris. Sommaire. - La nouvelle méthode

s’applique au schéma

canonique covariant, dérivé de l’hamiltonien scalaire _H, fonction de

_potentiels

_qj. La

_{quantification}

fait

_apparaître

une fonctionnelle d’état

_03C8j(qk;

xh),

à

_{quatre composantes}

et

_{l’opérateur-quadrivecteur 03B5j}

_agissant sur les indices de la fonctionnelle

_03C8j.

A l’hamiltonien H correspond alors

l’opérateur (0127/i)03B5j~j.

Dans une étude récente nous avons examiné

l’emploi

des méthodes covariantes de la

_Mécanique

analytique,

en théorie

générale

des

_champs.

Cette étude doit être amendée pour tenir

compte

d’une manière

plus précise

de la distinction entre la notion des

_champs

et celle des

_potentiels,

distinction que

nous _{croyons essentielle pour établir d’une manière}

rationnelle et correcte le schéma

_canonique

de toute théorie des

_champs

_physiques.

Considérons la fonction de

Lagrange L, qui dépend

de

_potentiels

_qj et de leurs dérivées

et la fonction scalaire

grâce

à

_laquelle

les

équations

de

_{Lagrange-Euler}

relatives au

_principe

variationnel

se ramènent aux

_{équations canoniques}

locales

Ces dernières

_peuvent

aussi être considérées comme

définissant les «

_{caractéristiques}

» de

_{l’équation}

de

Hamilton-Jacobi,

de

_l’espace

fonctionnel des

poten-tiels

_{(qj, xj) :}

B vzK /

Pour

_quantifier

ce schéma

canonique,

on doit effectuer le _passage de la

_Mécanique

_ponctuelle

de

l’espace

fonctionnel des

_potentiels,

à la

_Mécanique

ondulatoire de cet _espace. A cette fin nous devons introduire une

_{fonctionnelle}

d’onde ou d’état

_{tf j (qk, Xk)}

à

_{quatre composantes,}

et un

_opérateur

_{êi, de même}

variance,

agissant

sur des indices de la fonctionnelle d’état.

L’équation

de l’onde fonctionnelle s’écrira alors

et le schéma

canonique

local de la théorie

quantifiée

prendra

la forme suivante :

En

_{posant v}

= {

_exp

i

Eisj

_A,

on voit aisément

que les

_{équations (4) représentent l’approximation}

d’optique

géométrique

des

équations

(5).

Manuscrit reçu le 2 mars ig5i.

Le Gérant : MAURICE BLONDIN. 138063 IMP. _{GAUTHIER-VILLARS, 55,}

_quai

des Grands-Augustins, Paris. - 1951.