Règles relativistes de commutation dans la théorie quantique des champs

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Règles relativistes de commutation dans la théorie

quantique des champs

M. Schönberg

To cite this version:

LE

JOURNAL

DE

_PHYSIQUE

ET

LE

RADIUM

RÈGLES

RELATIVISTES DE COMMUTATION DANS LA

THÉORIE QUANTIQUE

DES CHAMPS

Par M. M.

SCHÖNBERG.

Institut

_Physique

de l’Université de São Paulo.

Sommaire. 2014 La théorie des

règles de commutation entre les grandeurs d’un _{champ quantifié, prises} à des _{temps différents,} est _développée pour les cas où les _équations de mouvement sont linéaires. Les _rapports entre _{l’intégration} des _équations de mouvement et les fonctions _{singulières qui figurent} dans ces _règles sont étudiés.

SÉRIE VIII. - TOME I~. N° 6. Juif 19~0.

I.

1. Dans la théorie

_quantique

des

_champs

les

grandeurs

du

_champ

sont

_{représentées}

_{par des}

opérateurs sujets

à des

_règles

de commutation. Comme pour le cas d’un

_système

à un nombre fini de

_degrés

de

liberté,

on

_peut

décrire le

_champ

quan-tifié de deux

_façons

_{équivalentes,}

soit en

_adoptant

une

_{représentation}

de

_{Schrôdinger,}

soit en

_adoptant

une

_{représentation}

de

_Heisenberg.

Dans la

repré-sentation de

_{Schrôdinger,}

les

_opérateurs

corres-pondant

aux

_grandeurs

du

_champ

sont

_{indépendants}

du

_temps

et la fonctionnelle

_S~,

_{représentant}

l’état du

_champ,

varie dans le

_temps.

Dans la

représen-tation de

_Heisenberg,

c’est l’ état ~~

_qui

est

indépen-dant du

_temps

et les

_{grandeurs qui}

varient. Les

règles

de commutation entre des

_grandeurs

dans une

représentation

de

_Schrôdinger

coïncident avec celles de la

_{représentation}

de

_Heisenberg

entre les mêmes

grandeurs,

prises

au même

_temps.

Ainsi on _{a, pour}

les

_potentiels

_{électromagnétiques,}

les

_règles

où les

_{Ai (r)}

_peuvent

être considérés indifféremment

comme les

_{opérateurs indépendants}

du

_temps

_qui

interviennent

dans

_{l’équation}

de

_Schrôdinger

du

champ

électromagnétique

ou comme

les

opérateurs

de la

_{représentation}

de

Heisenberg

avec les

_équations

cltl mouvement

et

_pris

à un

_temps

arbitraire t.

D’une manière

_analogue

on a _{pour le}

_champ

électronique

les

_règles

de commutation avec le

signe

+,

_{correspondant}

à la

_statistique

de Fermi-Dirac

k est la variable du

_spin.

Dans une

_{représentation}

de

_Heisenberg

on

_peut

considérer des

_règles

de commutation d’un autre

type,

règles

où interviennent des

_opérateurs

du

_champ

pris

à des

_temps

différents. Ainsi on a _pour un

_champ

202

électromagnétique

les

_règles

de Jordan et Pauli

_(1),

Pour le

_{champ électronique}

on a des

_règles

_analogues

à celles de Jordan et Pauli

₍₂₎

la forme

_générale

de la fonction

_{(rtl~ ;}

_B

_{i r’t’1~’)}

sera

- discutée pour des cas

plus

généraux

dans le

para-graphe

2,

pour le cas d’un

_champ

d’électrons

libres,

on a

Dans ce travail nous donnerons un

_exposé

systé-matique

de la théorie des

_règles

de commutation entre"‘des

_grandeurs

d’un

_{champ prises}

à des

_temps

différents,

en la rattachant à la théorie

_générale

des

_champs

de

_Heisenberg

et Pauli

_(3).

La

_première

partie

contient l’étude détaillée des

_règles

de

commu-tation du

_{champ électromagnétique}

et du

_champ

électronique,

la seconde

_partie

est consacrée à la

théorie

_générale.

Nous

_appellerons

les

_règles

de commutation entre les

_grandeurs

à

_temps

différents :

règles

relativistes de commutation. Cette

dénomi-nation _suppose

_{implicitement}

_{que la théorie du}

_champ

considérée est

relativiste,

ce

_qui

n’est _pas

néces-saire. On

_pourrait

_développer

un formalisme

semblable pour une théorie non relativiste d’un

champ,

comme celle

_qu’on

obtiendrait en faisant

l’hyperquantification

de

_{l’équation}

de

_Schrôdinger

de

_{l’électron,}

on aurait des

_règles

de commutation

(1) P. JORDAN et W. PAULI, Z. für Physik, g 2 8, 47,

p. 15 l, ces

règles

établies pour un _champ électromagnétique

dans le vide peuvent être _appliquées au cas _général, voir Ive. _{SCHONBERG, Physica, r g38, 5, p. g6 ~,} on reviendra sur ce

point au paragraphe 13.

(2) G. WATAGHIN, NUOVO Cimento, 1935, 3, p. 290, pour le cas d’un champ électronique en interaction avec un

champ électromagnétique stationnaire, pour le cas _général

I~~T. SCHONBERG, Physical, 1938, 5, p. 553.

(3) W. HEISENBERG et W. PAULI, Z. _{f Llr Physik, I g 2 g,}

56, p. i et ig3o, 59, p. 168.

entre les fonctions d’onde

_{quantifiées, à}

_temps

diffé-rents,

qui

ne seraient _pas relativistes. La

dénomi-nation de

_règles

relativistes a

cependant l’avantage

de

_{rappeler qu’on}

_peut

faire la

_{quantification}

d’un

champ

d’une

_façon

intuitivement relativiste.

2.

_{L’équation}

de mouvement d’une

_grandeur

U,

dans la

_{représentation}

de

_Heisenberg,

a la forme

é’é est le hamiltonien du

_système.

Pour le cas du

champ

électromagnétique

Je a la forme

(.3),

_{pour le}

champ

électronique,

on a

L’équation générale (12)

donne dans les deux cas

considérés,

en tenant

_compte

des

_règles

de

commu-tation

₍₁₎

et

_(5),

_pour les

_potentiels

et les fonctions d’onde les

_équations

de mouvement

c’est-à-dire,

les

_équations

de mouvement

_quantiques

de ces

_grandeurs

ont la même _{forme que} les

_équations

de mouvement dans la théorie des

_champs

non

quantifiés.

Pour les

_potentiels

on a les

_équations

de

d’Alembert et pour les fonctions d’onde les

_équations

de Dirac.

Les fonctions

_singulières

à

_(r

-

r, 1 -

t’)

et

(r tk 1 B 1 r’ i’ k’), qui figurent

dans les

_règles

relati-vistes de commutation doivent être déterminées par les

équations

de mouvement des

champs

respec-tifs. On étudiera maintenant ce

_point.

Du fait que

les

_potentiels

Ai

et la If sont des solutions des

équa-tions linéaires et

_{homogènes (14)}

et

_(15),

respectai-vement,

il résulte

_{que à (r-r,}

_{1 -1’)}

et

_(rtk

_{1 B ruz)}

sont des solutions de

_{l’équation}

de d’Alembert et de

_Dirac,

_{respectivement}

On

_peut

observer _que

_{~rtk ~ .B}

_{1 r’l’k’)}

est aussi solution

de

_{l’équation conjuguée}

à celle de

Dirac,

considérée

comme fonction des variables

_{(r’t’k’)}

Les conditions

₍₁₆₎

et

₍₁₇₎

ne sont _pas encore

suffi-santes pour déterminer

_{complètement â}

et

_B,

le

problème

serait résolu si l’on connaissait les valeurs de .1

à

et

_{(rik B !}

_{r’l’k’)}

à un instant initial. Pour

cela il suffit de _{considérer que} les

_règles

₍₁₎

et

_(5),

considérées comme des

_règles

de commutation dans

respectivement,

des

_{règles (6)}

et

_(8),

donc on a les

valeurs initiales cherchées

Dans le cas où

_{l’équation}

de Dirac

₍₁₅₎

a des solutions stationnaires

la fonction

_(rtk

_{i, B}

_{1 r’t’ k/)}

se réduit à un élément de matrice de la densité relativiste de Dirac

Ri

La formule

₍₂₁₎

découle immédiatement

des

consi-dérations

_{précédentes,}

en effet

_(rtk

_{1 rif 1 r’t’ k’)}

est

la solution de

_{l’équation}

de Dirac

_{(4) qui}

_{pour t}

= t’

prend

la

_{forme ~(r2013r~)~~.}

le

_système

des ii,, étant un

_{système complet}

de fonc-tions

_orthogonales

et normalisées.

3. Les fonctions

_{0 (r - r,}

_{i - i’)}

et

_{(rlk ) ¡ B 1 r/i’k’)}

ont une

_propriété

fondamentale : La connaissance

de à et de B

_permet

d’effectuer

_{l’intégration}

de

l’équation

de d’Alembert et de

_{l’équation}

de Dirac. Considérons d’abord ce dernier cas,

_{soit f (rik)}

une

solution arbitraire de

_{l’équation}

de

Dirac,

alors on a

En effet les deux membres de

₍₂₃₎

sont des solutions

de

_{l’équation}

de

Dirac,

qui

prennent

la même valeur

pour t =

t’,

(rik j B

r’l’k’)

se réduisant à

_{3(r2013r’)~~/,}

pour t

= t’,

donc ils seront

_égaux

pour 1

_quelconque,

ce

_qui

démontre la formule

(23).

Pour

_{l’équation}

de d’Alembert il faut

_remplacer

₍₂₃₎

par la formule suivante :

g

(ri)

étant une solution

_quelconque

de

_{l’équation}

de d’Alembert. En effet les deux membres de

₍₂₄₎

(4) P. A. M. DIRAC, Proc. _Cambridge Phil. Soc., 1934,

30, p. 50; pour l’étude de la densité relativiste R~~.

sont des solutions de

_{l’équation}

de

_{d’Alembert,}

_qui

coïncident ainsi _{que leurs dérivées par}

_rapport

au

temps pour 1

=

t’,

_{comme on} le vérifie aisément _en

utilisant les formules

_(19).

Ce

_qui

_précède

_{montre que la} connaissance de à

et de B est

_équivalente

à celle des

_équations

de mouvement

₍₁₄₎

et

_{(15), qui}

_peuvent

être

_remplacées

par

(23)

et

₍₂₄₎

Considérons pour un instant

_{l’équation}

de Dirac

non

_quantifiée

y est la fonction d’onde d’un électron. Les

consi-dérations faites _pour la fonction d’onde

_quantifiée

’IF et

_qui

ont conduit à la formule

₍₂₃₎

_peuvent

être

répétées

pour la fonction

d’onde y

et en

_particulier

on

_peut

remplacer l’équation

différentielle

₍₂₅₎

_par

l’équation intégrale

L’équation intégrale (26)

donne l’état de l’électron

au

_{temps 1}

en fonction de l’état de l’électron à un

autre

_temps

_quelconque

t’ et ainsi

_{généralise l’équation}

différentielle

_{(25) qui}

donne l’état au

_{temps 1}

₊

dt

en fonction de l’état au

_temps

t.

Nous montrerons ailleurs _que ce fait est absolument

général,

l’équation

de

_Schrôdinger

d’un

_système

quelconque

peut

toujours

être

_{généralisée}

sous la

forme d’une

_{équation intégrale}

rattachant les états

du

_système

à deux

_temps

_quelconques.

Les formules

₍₂₃₎

et

₍₂₄₎

_permettent

de _passer directement des

_règles

de commutation

₍₁₎

et

₍₅₎

aux

règles

relativistes

₍₆₎

et

_(8).

En

effet,

_multipliant

les deux membres de

₍₅₎

_par

_(r"1"k"

_{B ! r’l’k’)}

et

intégrant

par

rapport

à r’ et 1~’ on obtient

_(8);

pour obtenir

(6)

il suffit de

multiplier

les deux membres de la

_première

formule

₍₁₎

_par

ceux de la seconde par

d’intégrer

les deux membres des

_égalités

ainsi obtenues par

rapport

à r’ et de sommer les

_égalités

résultantes. Il est

_important

de _remarquer

_qu’ainsi

on donne la démonstration des formules

₍₆₎

et

_(8),

les considérations du

_paragraphe

2 déterminent

seule-ment A et

B,

mais ne _{démontrent pas l’existence de}

relations des

_types

₍₆₎

et

_(8),

il faut les

_suppléer

par la démonstration de l’existence de telles rela-tions.

204

faites à

_temps

différents,

on doit s’attendre à

l’exis-tence de

_rapports

entre A et B et les fonctions de Green de

_{l’équation}

de d’Alembert et de

_{l’équation}

de Dirac. On

_peut

observer _que les fonctions de

Green d’une

_équation

différentielle linéaire et

homo-gène

sont les solutions de

_{l’équation}

En effet une solution de

_{l’équation}

non

_homogène

est _{donnée par}

Ainsi les fonctions de Green de

_{l’équation}

de d’Alem-bert sont les solutions de

_{l’équation}

à ne

_peut

donc être une fonction de Green en étant une solution de

_{l’équation}

de

d’Alembert,

_cependant

on

_peut

former avec A la fonction de Green

_qui

s’annule ainsi _que sa _{dérivée par}

_rapport

au

_temps

pour 1

= t’

Si l’on substitue W _par

_{l’expression (32)}

dans le

premier

membre de

₍₃₁₎

on a

Tenant

_compte

des formules

il s’ensuit _que W est une solution de

_(31),

ce

_qu’on

veut démontrer.

Les fonctions de Green de

_{l’équation}

de Dirac

sont les solutions de

_{l’équation}

Comme pour le cas de

_{l’équation}

de

_{d’Alembert,}

(rt

)B’ r’t’)

n’est _pas une fonction de Green de

l’équation

de

Dirac,

mais on

_peut

aisément former la fonction de Green

_qui

s’annule

_{pour 1}

= t’

ce

_qu’on

vérifie facilement.

II.

5. La

_{première partie}

a été consacrée à l’étude

des

_règles

relativistes de commutation du

_champ

électromagnétique

et du

_champ

_{électronique.}

Les deux cas ont des

_{analogies générales,}

_cependant

il y

a

_beaucoup

de différence dans les détails. Main-tenant nous _{passerons à} l’étude des cas

_généraux

d’équations

de mouvement linéaires

_quelconques,

du

_premier

ou du second ordre. Nous

_partirons

des

règles

de commutation entre les

_grandeurs

du

_champ

au même instant et des

_équations

de mouvement de

ces

_grandeurs.

Il faudra

_distinguer

nettement le cas

des

_équations

de mouvement du

_premier

ordre de celui des

_équations

du deuxième

ordre,

dans ce

dernier cas nous _pourrons utiliser la théorie de

Heisen-berg

et Pauli

_qui,

en

_général,

ne

_peut

_pas être

appliquée

au

_{premier (5).}

Cela

_permettra

de traiter

plus explicitement

ce second cas.

6. Pour faciliter

_l’exposé

nous

_rappellerons

rapi-dement certains

_points

de la théorie des

_champs

de

Heisenberg

et Pauli. La

_description

du

_champ

sera faite au _{moyen d’un}

système

de variables ou

coordonnées réelles

_Qk,

dont les

_équations

de

mouve-ment résultent d’un

_principe

variationnel

Nous admettrons que les

_équations

de mouvement sont du

_premier

ou du second ordre et

relativistes,

donc la

_{lagrangienne u}

sera

_{l’intégrale d’espace}

d’un invariant

L,

fonction des variables

Qk

et de

1 d’.’ .,

Q

t rJQ k

leurs dérivées

_{premières Q}

et

2013 :

- 6

Le

_principe

variationnel conduit aux

_équations

de

mouvement

Pour _{passer des}

_équations

de

_{Lagrange (40)}

aux

équations

’de Hamilton il faut introduire les

moments Pk

conjugués

aux coordonnées

_Q

Le hamiltonien est

Si les

_équations

de

_Lagrange

₍₄₀₎

sont du second

ordre,

les moments PI contiennent les dérivées des

coordonnées _par

_rapport

au

_temps

Ùà,

_que nous

nommerons vitesses. Alors on

_peut

_exprimer

les vitesses en fonction des moments et les éliminer

de

_{l’expression}

du hamiltonien. Si les

_{équations (40)}

sont du

_premier

ordre,

les moments ne

_peuvent

_pas

dépendre

des vitesses

et,

à moins que le hamiltonien

ne

_dépende

_que des

_{cooordonnées,}

il ne sera

_possible

d’éliminer les vitesses

_qu’en

utilisant les

_équations

de mouvement.

Les

_équations

de mouvement

_peuvent

être écrites

sous forme hamiltonienne

On

_peut

_{généraliser}

les

_équations

de Hamilton

₍₄₄₎

en introduisant les

_parenthèses

de Poisson

On a

L’équation

de mouvement d’une

_grandeur

quel-conque U est

-7. Le passage à la théorie

_quantique

se fait en

remplaçant

la

_parenthèse

de Poisson

_classique

_par

son

_{analogue quantique}

Ainsi on obtient les

_règles

de commutation

et

_{l’équation}

de mouvement

Il faut observer que, dans le cas

_{d’équations}

de

Lagrange

du

_premier

_ordre,

les

_règles

de

commuta-tion

₍₄₉₎

sont contradictoires. En effet les moments

Pl,

ne contenant _que les coordonnées

_{Q k}

et leurs dérivées

spatiales

2013

> devraient commuter avec les

coor-dxj

données,

puisque

les coordonnées et leurs dérivées

spatiales

forment un

_{système d’opérateurs}

commu-tables,

comme il résulte de la

_{première règle (49).}

La

théorie de

_Heisenberg

et Pauli est donc

inappli-cable à ce cas. On

_peut

aisément

_comprendre

les

raisons de cette

_{inapplicabilité.}

La théorie

_quantique

des

_champs

de

_Heisenberg

et Pauli _{n’est que le}

passage

de la

mécanique quantique

des

systèmes

discrets à un nombre fini de

_degrés

de

_liberté,

aux

systèmes

continus à un nombre infini de

_degrés

de

liberté,

or la théorie

_classique

des

_systèmes

à un

nombre fini de

_degrés

de liberté est la

_mécanique

classique

des

_systèmes

de

_points

où les

_équations

de

_Lagrange

sont du second

_ordre,

on doit donc

s’attendre _{que la théorie de}

_Heisenberg

et Pauli ne

soit

_{applicable qu’aux champs}

dont les

_équations

de

_Lagrange

sont du second ordre.

L’équation

de mouvement

_{(50) appliquée}

aux

coordonnées et aux moments doit conduire aux

équations

de

Hamilton,

en tenant

_compte

des

_règles

de commutation

_(49).

On

_peut

le vérifier

facilement,

parce

qu’on

a _pour une

_{grandeur 5}

les formules

donc

de

Bose-Einstein,

on

_peut

construire un autre

forma-lisme,

correspondant

à la

_statistique

de

Fermi-Dirac,

changeant

le

_signe

dans les

_{règles de}

commu-tation

_{(49) :}

’

Évidemment

on ne

_peut

_appliquer

les

_{règles (54)}

qu’au

cas où les coordonnées et les moments ne

sont pas observables. On ne

_peut

_pas

_développer

dans ce cas une théorie

_analogue

à celle de

_Heisenberg

et

Pauli,

parce que le cas limite

_classique

d’un

champ

avec

_statistique

de _{Fermi-Dirac n’est pas}

un

_champ,

mais un

_système

de

_corpuscules

et _pour

cela on n’a pas de critérium pour savoir a

_priori

à

_quels

cas on

_peut

_appliquer

les

_règles

_(54).

On

peut

encore observer _{que des}

_règles

de

commu-tation

₍₅₄₎

et de

_{l’équation}

de mouvement

_(50),

on ne

_peut

_pas

déduire,

en

_général,

les

_équations

de

Hamilton,

parce

qu’il n’y

a _{pas, pour la}

_statistique

de

Fermi-Dirac,

des formules

_analogues

à

_(52).

On voit donc _que la

_statistique

de Fermi-Dirac

est seulement

_compatible

avec des

_équations

de mouvement telles

_qu’il

_y ait

_équivalence

entre

₍₅₀₎

et

_(54).

9. Nous _{pouvons maintenant}

_envisager

le

_problème

du _passage des

_règles

de commutation entre les

grandeurs

d’un

_champ,

d’un même

instant,

aux

règles

relativistes. Considérons d’abord le cas

206

deux

_statistiques

_peuvent

être traitées de la même

façon.

Si les

_équations

de mouvement sont du

_premier

ordre,

la

_règle

de

_commutation,

entre les

_Q

corres-pondant

au même

_temps,

est de la forme

On ne

_peut

donner

_{explicitement}

la forme

_générale

de la fonction

_(rk

_A

_r’k’).

Le

_problème

se réduit à démontrer l’existence d’une fonction

_{(rik B}

_{r’t’k’)}

telle que

et de déterminer cette fonction. L’existence de B

peut

être établie

_développant

_{Q k’ (r’ i’)}

en série de

Taylor

et

_remarquant

que les coordonnées et leurs

dérivées par

rapport

au

_temps,

d’un ordre

quel-conque,

ont des

_règles

de commutation

_qui

résultent

de

₍₅₅₎

et des

_équations

de mouvement. Pour déter-miner B il suffit d’observer _que les fonctions

forment un

_système

de solutions des

_équations

du

mouvement et

_qu’on

a

. comme il résulte de la

comparaison

de

(55)

et

(56).

Le cas des

_équations

de mouvement du second

ordre,

linéaires et

_homogènes,

est

_susceptible

d’une

discussion

_{plus explicite,}

les

_règles

de commutation

entre les

_grandeurs

du

_{champ, prises}

au même

instant,

étant _{données par} la théorie de

_Heisenberg

et Pauli. Nous devons déterminer une

fonc-tion

_{(rik C}

_{r’i’k’),}

telle

_qu’on

ait

L’existence de C résulte de considérations semblables à celles

_qui

furent

_{développées}

_{pour le} cas des

équations

de mouvement du

_premier

ordre. De la

comparaison

de

₍₅₈₎

avec la

_première

des

_{règles (49),}

on déduit

--Pour déterminer

_{complètement}

C il suffit de

déter-miner la forme

de -

_{(rtk 1 C i r’l’k’)}

_{pour 1}

= t’.

dt

En dérivant les deux membres de

₍₅₈₎

_par

_rapport

à t et faisant 1 === Il il résulte

donc pour

déterminer d

(rtk

C

1 r’lk’),-,,

il suffit

t

-de connaître les

_règles

de commutation entre les coordonnées et les

vitesses,

au même

_temps.

On

_peut

obtenir cette

_règle

en

_exprimant

les vitesses en

fonc-tion des moments et en

_appliquant

les formules

_(49).

Pour faire le calcul

_{explicitement}

on _{supposera que}

le

_système

de coordonnées a été choisi de telle manière

que le -moment

Pic

ne

_dépende

_que de la vitesse

_Qu

Ckl, Ckli et

dk

sont des nombres c

_qui

_peuvent

_dépendre

de r et t. Si l’on

_remplace

dans la seconde formule

_(49),

Pk

par son

_{expression (61),}

on

_obtient,

donc

et

10. Les considérations du

_paragraphe

_précédent

peuvent

être étendues au cas des

_équations

de

Lagrange

linéaires,

mais non

_homogènes.

Pour le

cas de la

_statistique

de Bose-Einstein on a le

théo-rème suivant : Les

_règles

relativistes de

commu-tation sont

_{indépendantes}

des caractères de

non-homogénéité

des

_équations

de

mouvement,

si les

règles

de commutation entre les mêmes

_grandeurs

au même

_temps

le sont.

Les

_{équations homogènes}

sont de la

forme

et

les

_équations

non

_{homogènes correspondantes}

sont

les

Ki

étant des fonctions connues,

_{indépendantes}

des variables du

_champ.

La

_règle

relativiste de commutation

_{correspondante}

au cas de

_{l’équation}

(66)

est

On a

mais,

Kl

étant un nombre c, commute avec les variables

du

_champ

donc

L’équation

(70)

montre que les

U;,

==

(rlk

1 D

1 r’t’ k’),

comme les

Uk

=

(rtk

1 C ¡ r’t’ k’),

forment un

_système

de solutions des

_équations

_homogènes

_(65).

Si les

règles

de commutation entre les

_grandeurs

du

_champ,

correspondant

au même

_temps,

ne

_dépendent

_pas

des

_Kl,

les

_Uk

et

_LT;,

sont deux

_systèmes

de solutions d’un

_{système d’équations}

différentielles avec les mêmes valeurs initiales et elles seront donc

_identiques,

ce

_qui

démontre le théorème. Dans le cas des

_équations

règles

relativistes de commutation ne

_dépendent

pas des

non-homogénéités,

les

règles

de

Heisenberg

et Pauli n’en

_dépendant

_pas.

Pour la

_statistique

de Fermi-Dirac il y a un autre

théorème

_{(6) :}

la

_{non-homogénéité}

des

_équations

linéaires de mouvement est

_incompatible

avec la

statistique

de Fermi-Dirac.

En

effet,

la

_règle

relativiste de _{commutation pour}

l’équation

non

_homogène

est de la forme

d’où l’on déduit que

le second membre de

_{l’équation}

ne

_dépendant

_pas

des

_Q,

le

_premier

non

_plus

ne doit pas en

dépendre,

donc

Les

_{développements précédents}

se rattachent à

une

_question

fondamentale pour la théorie des

_règles

relativistes de

commutation,

c’est-à-dire à la ques-tion de savoir si ces

_règles

contiennent

_déjà

les

équations

de mouvement des

_grandeurs

du

_champ.

La

_réponse

diffère selon les

_{statistiques.}

Pour la

statistique

de Fermi-Dirac il résulte de ce

_{qui précède}

que les

équations

de mouvement sont

complè-tement déterminées _{par les}

_règles

relativistes de

commutation. Pour la

_statistique

de Bose-Einstein le cas est

_{plus complexe.}

Si les

_règles

de

commu-tation entre les

_grandeurs,

au même

instant,

sont

indépendantes

de la

_{non-homogénéité}

des

_équations

de

mouvement,

alors on

_peut

_{voir que} les

_règles

relativistes ne déterminent les

_équations

de

mouve-ment

_qu’à

cette

_{non-homogénéité près.}

En

_effet,

supposons que les

équations

de mouvement sont les

équations (66),

alors on a

donc

6~

(Q~)

commute avec toutes les

_grandeurs

du

.

champ

et

par suite se réduit à un nombre c

mais on ne

_peut

_{pas affirmer que H est}

_identique

à

Ki.

11. La

_possibilité

d’effectuer

_{l’intégration}

des

équations

de mouvement au _moyen des fonctions

singulières qui

interviennent dans les

_règles

relati-vistes de

commutation,

_{possibilité qui}

a été établie

pour des cas

_particuliers

dans la

_{première partie,}

peut

être

_largement

étendue. On discutera seulement les

_{équations homogènes. L’intégration}

des

_équations

non

_homogènes

se rattache aux fonctions de Green

qui

seront discutées au

_paragraphe

suivant.

(fi) Cette proposition peut être établie sans la

hyperquanti-fication : M. SCHONBERG, Annals da Academia Brasileira de

Sciencias, vol. XI, p. 265, 1939.

Pour le cas des

_équations

du

_premier

ordre on

considérera seulement des

_champs

_pour

_lesquels

la fonction

_(rk

A

_{~, r’~’)}

de la formule

₍₅₅₎

se réduit à

_à(r

-

r’)

Oltk’,

alors on a _pour une solution

arbi-traire des

_équations

de mouvement

formule

_identique

à celle établie pour

l’équation

de Dirac et

_qui

se démontre de la même

_façon.

Le cas des

_équations

du second ordre est un _peu

plus

difficile. Il faut

_{généraliser}

la formule établie pour

l’équation

de d’Alembert. On

_peut

écrire les

équations

de mouvement sous la forme

où les

Li

ne contiennent pas de dérivées par

_rapport

au

_temps.

On a, pour un

_système

de solutions de

_(77),

V(rtk;

r’t’k’)

est la solution de

₍₇₇₎

définie

_par

les conditions initiales

Pour vérifier

₍₇₈₎

il suffit de remarquer que les deux

membres sont des solutions de

_{(77) qui}

ont la même

valeur

_{pour t}

= t’ et dont les dérivées par

rapport

au

_temps

coïncident

_{pour t}

= 1’,

ce

_qui

résulte de ce

que V étant une solution de

(77),

on a

Il suffirait de

_reprendre

les raisonnements de la

première

partie

pour passer directement des

règles

de commutation entre les

_grandeurs

du

_champ

du

même instant aux

_règles

relativistes au _{moyen des}

208

12. Les fonctions

_{(rtk 1 B r’t’k’)}

et

_(rik

_C

_{1 r/i’ k’)}

sont rattachées aux fonctions de Green des

respec-tives

_équations

différentielles.

On

_peut

écrire les

_équations

du

_premier

ordre sous

la forme

Les fonctions de Green de

₍₈₁₎

sont les solutions de

l’équation

Si

_(rtk

_{1 B!}

_{r’t’k’)}

Ôkk’

=

à(r -- r’)

ôj;,,

on

_peut

former

avec

_{(rtk ;}

_B

_{r’t’k’)}

la fonction de Green

_qui

s’annule

pour 1

= l’

pour le

vérifier,

il suffit de substituer W’ dans le

premier

membre de

_{(82) :}

On a, pour la fonction 6 de

Dirac,

la formule

donc W’ est une solution de

_(82).

Les

_équations

du second ordre

₍₇₇₎

ont comme

fonctions de Green les solutions de

La fonction de Green

_qui

s’annule,

ainsi que sa dérivée par

rapport

au

_{temps, pour 1}

.--- f est

En

effet,

remplaçant,

dans le

_premier

membre de

_(86),

_{W’ par} son

_expression

_(87),

on obtient

13. Les résultats

_généraux

obtenus seront main-tenant

_appliqués

à

_quelques

cas

_{particuliers.}

Jordan

et Pauli ont donné les

_règles

relativistes de

commu-tation des

_composantes

du

_champ

électromagné-tique

dans le vide

permutation paire

de

Les

_règles

₍₈₉₎

résultent immédiatement des

règles (6)

pour les

potentiels.

Il est

_cependant

inté-ressant de les étudier

directement,

en connection

avec les

_équations

de Maxwell. Ces

_équations

étant du

_premier

ordre,

on aura un autre

_exemple

de

_champ

aux

_équations

de mouvement du

_premier

ordre. Le

champ

sera

_représenté

sous la forme de matrice à

une colonne

Avec la

_{représentation (90)}

les

_équations

de Maxwell ont la forme

Les

_règles

de commutation entre les

_composantes

du

_{champ, prises}

au même

instant,

sont

On a ainsi un

_exemple

d’un cas où

pour cela considérons la matrice

symbolique

M

On voit _que les éléments de M sont les

combi-naisons de dérivées

_appliquées

à la fonction dans les

_règles

de commutation

_{(89). B}

_peut

être formée

au _moyen de QUI

Il est facile de vérifier _{que B}

_remplit

les conditions initiales résultant des

_règles

de commutation

_(94).

Pour _{démontrer que}

_{(rfk !}

_{1 B )}

_{r’t’k’)}

est une solution

des

_équations

de

Maxwell,

il faut tenir

_compte

de l’identité

On

_peut

observer,

en

_passant,

_qu’une

_{solution ~1~}

du

_système

de Maxwell

_peut

être formée avec six

solutions _xi, différentes ou non, de

_{l’équation}

de

d’Alembert .

c’est un fait

_analogue

à celui

_qu’il

_y a _pour

_{l’équation}

de Dirac de l’électron

libre,

où l’on

_peut

former une

solution de

_1"équation

de Dirac avec

_quatre

solu-tions,

différentes ou _non, de

_{l’équation}

de Klein-Gordon

_(1).

(’7) M. SCHONBERG, Physica, 1938, 5, p. 553.

La connaissance de

_{(rlk )}

_{’, B}

_permet

de former

des fonctions de Green des

_équations

de Maxwell

Une autre

_àpplication

de la théorie

_générale

_peut

être faite au

_{champ électromagnétique,}

montrant

que les

règles

de commutation relativistes

(6)

et

(89)

sont aussi

_applicables

au cas d’un

_champ

avec

_charges.

En

_effet,

il

_s’agit

d’un cas où le

_premier

théorème du

paragraphe

10 est directement

_{applicable, puisque}

les

_{règles (1)}

et

₍₉₄₎

ne

_dépendent

_pas de la

non-homogénéité

introduite par le

_{quadrivecteur}

de la densité de

_charge

et courant dans les

_équations

de Maxwell et dans les

_équations

de d’Alembert des

_{potentiels électromagnétiques.}

Les

_{règles (6)}

et

₍₈₉₎

sont donc

_{toujours applicables.}

Il est intéressant de

_rapprocher

ce fait de celui

qu’on

a _pour le

_champ

_{électronique.}

Les

_règles

relativistes de commutation d’un

_champ

électro-nique

sont modifiées

_quand

on _passe du cas

d’élec-trons libres à celui d’électrons dans un

_champ

électromagnétique.

On

_peut

le voir aisément dans le

cas où le

_{champ électromagnétique}

est

_indépendant

du

_temps,

cas où la

_(rtk

_B

_{r’t’k’)}

_peut

être formée

avec les fonctions propres des états stationnaires

d’un

électron,

au _{moyen de la formule}

_(21).

Je remercie M. U. Fano et M. J.

_Serpe

_{pour les}

discussions.