CONCOURS 2022 Programme des classes préparatoires

CONCOURS 2022

Programme des classes préparatoires

Filière économique et commerciale option scientifique

option économique

option technologique

Pour votre inscription aux concours :

www.concours-bce.com

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Depuis 1991, la Direction des admissions et concours de la CCI Paris Ile-de-France est l’opérateur de la Banque commune d’épreuves des écoles de management (BCE). Dans ce cadre, elle met chaque année à la disposition des candidats, des préparateurs et des écoles une brochure contenant les programmes des classes préparatoires à partir desquels sont établies les épreuves du concours.

Élaborés par les services du Ministère de l’Enseignement Supérieur, de la Recherche et de l'Innovation, avec la contribution des écoles, les programmes, tant ceux de la filière économique et commerciale que ceux des filières littéraires, ont été publiés au fil des années dans différents numéros du Bulletin Officiel de l’Education Nationale. Certains thèmes, renouvelés à chaque concours, font l'objet d'une publication annuelle dans le BOEN.

La présente brochure réunit l’ensemble des programmes applicables au concours 2022 en un unique volume, permettant aux publics concernés d’avoir une vision générale des connaissances et des compétences demandées aux élèves préparant l’entrée dans les grandes écoles de management.

Nous espérons que cette brochure sera pour tous un outil de travail utile et, au seuil de cette nouvelle année scolaire, nous souhaitons beaucoup de réussite aux candidats et à leurs professeurs.

Christian CHENEL

Directeur des admissions et concours.

Programmes des classes préparatoires aux grandes écoles

Les programmes présentés dans cette brochure sont les programmes officiels. La plupart d'entre eux ont été regroupés dans le Bulletin officiel spécial n°5 du 30 mai 2013 du Ministère de l'enseignement supérieur et de la recherche.

Programmes de la classe préparatoire économique et commerciale, option économique (ECE) arrêté du 04-04-2013 - J.O. du 30-4-2013 (NOR : ESRS1306081A) - BO spécial n°5 du 30-05-2013 arrêté du 27-11-2013 - J.O. du 24-12-2013 (NOR : ESRS1326924A) - BO spécial n°1 du 23-01-2014

Programmes de la classe préparatoire économique et commerciale, option scientifique (ECS) arrêté du 25-03-2013 - J.O. du 30-4-2013 (NOR : ESRS1306082A)- BO spécial n°5 du 30-05-2013 arrêté du 27-11-2013 - J.O. du 24-12-2013 (NOR : ESRS1326924A) - BO spécial n°1 du 23-01-2014

Programmes de la classe préparatoire économique et commerciale, option scientifique (ECT) arrêté du 25-03-2013 J.O. du 30-04-3013 (NOR : ESRS1306083A)- BO spécial n°5 du 30-05-2013 arrêté du 27-11-2013 - J.O. du 24-12-2013 (NOR : ESRS1326924A) - BO spécial n°1 du 23-01-2014

Programme de langues vivantes étrangères des classes préparatoires économiques et commerciales, option scientifique (ECS), option économique (ECE) et option technologique (ECT)

arrêté du 04-04-13 - J.O. du 02-05-2013 (NOR : ESRS1306086A)

Programme de culture générale des classes préparatoires économiques et commerciales, option scientifique (ECS), option économique (ECE) et option technologique (ECT)

Thème : arrêté du 31-05-2021 - BO 24-06-2021 (NOR : ESRS2113115A)

Objectifs de formation des classes préparatoires littéraires aux grandes écoles arrêté du 4-4-2013 - J.O. du 30-4-2013 (NOR : ESRS1306088A)

Objectifs de formation des classes préparatoires littéraires aux grandes écoles, Lettres et sciences sociales arrêté du 25-3-2013 - J.O. du 30-4-2013 (NOR : ESRS1306089A)

arrêté du 25-11-16 - J.O du 21-12-16 (NOR : MENS1633595A) arrêté du 16-03-17 - J.O du 31-03-17 (NOR : MENS1701047A)

Option scientifique ...

81 139 Option technologique ...

193 201 Mathématiques-Informatique...

Économie ...

Option économique ...

Mathématiques-Informatique... 13 Économie approfondie ...

Économie, sociologie et histoire du monde contemporain (ESH) ...

Langues vivantes étrangères ...

Filière économique et commerciale

Filière littéraire

Voie A/L - Disciplines communes de la BEL...

Langues et culture de l'Antiquité ...

Français ...

Philosophie ...

Histoire ...

Géographie ...

Programmes de la 2ème année (BEL - ENS Ulm A/L et ENS de Lyon) ...

Voie B/L ...

Français, philosophie, histoire...

Mathématiques...

Sciences sociales ...

241 244 245 270 213 217 221 225 229 233 5 9

Mathématiques-Informatique...

Économie ...

Histoire, géographie et géopolitique du monde contemporain ...

63 71

153

Management et sciences de gestion...

Culture générale...

145

Droit et thème de veille juridique...

237

Programme commun de la filière économique et commerciale

Objectifs de formation de la 1ère année...

SOMMAIRE

185

Programmes des classes

préparatoires aux Grandes Ecoles

Filière : économique et commerciale

Options :

Technologique (ECT) Economique (ECE)

Scientifique (ECS)

Discipline : culture générale

5

6

I - OBJECTIFS DE FORMATION

Commun aux classes préparatoires économiques et commerciales options scientifique, économique et technologique, cet enseignement, qui concerne à part égale les lettres et la philosophie, est partie constituante de la formation générale des étudiants.

Sa finalité est de former l'esprit à une réflexion autonome et éclairée, par la lecture ample et directe des grands textes et par la pratique de la dissertation, qui apprend à s'interroger, à conduire une pensée cohérente et à exploiter d'une manière pertinente ses lectures.

L'exercice de la lecture et du résumé de texte(s) permet également d'aller à l'essentiel.

Cet enseignement a trois objectifs majeurs :

- 1. Il vise à développer chez les étudiants la maîtrise de l'expression écrite et orale ainsi que l'aptitude à communiquer, compétences indispensables pour leur future vie professionnelle.

- 2. Il les entraîne à approfondir leur réflexion personnelle et leur sens critique.

- 3. Il leur permet d'enrichir leur culture et de mieux comprendre le monde dans lequel ils vivent.

II - PROGRAMME

Aucune liste d'œuvres et d'auteurs n'est proposée, ni pour la première année, ni pour la seconde.

Chaque professeur, responsable de ses choix, détermine librement, selon ses compétences et ses goûts, les œuvres philosophiques, littéraires ou autres, qu'il juge nécessaires à son enseignement.

Première année

Le programme permet d'élargir et d'approfondir la culture acquise au cours des études secondaires, et de consolider les bases nécessaires à une réflexion personnelle.

Les rubriques proposées ne doivent pas être comprises comme des thèmes de connaissance empirique ou historique, mais comme des moments significatifs dans l'histoire de notre pensée.

On évitera toute étude qui séparerait les notions ou les concepts de leur passé et des corrélations et résonances à travers lesquelles, à telle époque, se précisent leur usage et leur sens. On s'efforcera de mettre en relation l'étude des œuvres littéraires ou philosophiques avec les représentations mythologiques, religieuses, esthétiques et avec l'histoire des sciences, des arts et des techniques.

On s'attachera toujours ainsi à mettre en lumière la portée universelle de ces œuvres.

VOIE ECONOMIQUE ET COMMERCIALE

OPTIONS SCIENTIFIQUE, ECONOMIQUE, TECHNOLOGIQUE CULTURE GENERALE

❏Vu code de l'éducation, notamment articles D. 612-19 à D. 612-29 ; arrêtés du 3-7-1995 modifiés ; arrêté du 30-5-2013 ; avis du Cneser du 17-3-2014 ; avis du CSE du 20-3-2014

Ce programme est constitué des rubriques suivantes : - l'héritage de la pensée grecque et latine ;

- les apports du judaïsme, du christianisme et de l'islam à la pensée occidentale ; - l'essor technologique, l'idée de progrès ;

- la société, le droit et l'Etat modernes ;

- les figures du moi et la question du sujet depuis la Renaissance ; - l'esprit des Lumières et leur destin ;

- quelques grands courants artistiques et esthétiques depuis la Renaissance ; - les principaux courants idéologiques contemporains.

Les rubriques seront abordées selon un parcours que le professeur déterminera librement en fonction de regroupements et de problématiques dont il a l'initiative et la responsabilité.

Seconde année

Arrêté du 31-05-2021 sur Bulletin Officiel du Ministère de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche - BO du 24-06-2021.

Durant l’année scolaire 2021-2022, le programme de culture générale des classes préparatoires économiques et commerciales, options scientifique, économique et technologique, porte en seconde année sur l’étude du thème suivant : "Aimer".

Programmes des classes

préparatoires aux Grandes Ecoles

Filière : économique et commerciale Options :

Technologique (ECT) Economique (ECE)

Scientifique (ECS)

Discipline : Langues vivantes étrangères

Première et seconde années

Objectifs de formation en langues vivantes étrangères

pour les CPGE économiques et commerciales, options scientifique, économique et technologique (ECS, ECE, ECT)

Objectifs de formation

L'enseignement des langues vivantes en CPGE économiques et commerciales constitue un volet essentiel de la formation générale. La raison en est claire : les carrières auxquelles se destinent les étudiants des écoles de management ont désormais une dimension internationale et interculturelle.

Dans cette perspective, et selon les préconisations européennes, l'enseignement obligatoire de deux langues vivantes est proposé aux étudiants, afin qu'ils puissent acquérir les compétences linguistiques et les connaissances culturelles nécessaires à leur insertion professionnelle et à leur ouverture au monde.

Pendant les deux années de formation, on veillera à développer chez les étudiants les compétences suivantes :

- comprendre le sens précis de textes d’origine et de nature variées, relativement longs et complexes, portant plutôt sur des questions contemporaines, notamment dans le domaine des institutions et des réalités politiques, économiques et sociales, en lien direct avec la langue étudiée. En comprendre le contenu, la structure et la fonction (informative, argumentative, explicative, etc.), en percevoir les enjeux dans une perspective propre à l’aire linguistique concernée, en saisir le sens explicite ou implicite et les connotations culturelles (humour, politesse, registre de langue, etc.).

Pour favoriser cette compréhension fine, on veillera à diversifier les types d’exercices : commentaire, confrontation de points de vue, synthèse, analyse, traductions ;

- comprendre un locuteur natif s’exprimant clairement à une allure normale et poursuivant une argumentation, même complexe, sur un sujet général en lien avec l'aire linguistique concernée. On veillera pour l’entraînement à cette compréhension, à avoir recours à des documents authentiques (vidéos, podcasts, émissions de télévision, de radio) ;

- s’exprimer dans une langue correcte (maîtrise grammaticale, phonologie) et riche (lexique pertinent et nuancé), avec fluidité et authenticité (en respectant les codes et registres spécifiques de la langue orale), de façon claire et efficace, pour développer un point de vue de façon nuancée. Se montrer capable d'auto-correction ;

- participer à une conversation avec un locuteur natif, dans une langue correcte, avec aisance et spontanéité, en adoptant un registre pertinent, un lexique varié et en obéissant aux codes sociolinguistiques appropriés à la situation de communication ; - rédiger un rapport ou un essai dans une langue correcte, de manière claire, détaillée

et structurée, sur une grande gamme de sujets, pour développer un point de vue, exposer une argumentation et donner une opinion, en respectant les codes et registres spécifiques de la langue écrite.

On proposera, le cas échéant, des thématiques croisées avec d’autres disciplines. Il convient de rappeler que si ces compétences sont distinguées par commodité pour en décrire le niveau attendu, elles doivent toujours être travaillées et évaluées conjointement.

Il convient de rappeler que, bien que prenant place dans ce cadre général, le premier semestre de la première année aura une fonction bien particulière, dont l’objectif essentiel est l’homogénéisation du niveau des étudiants. Pour cela, les premiers mois devront être axés sur :

- l’accès à une compréhension fine et non seulement globale, à l’écrit comme à l’oral,

- l’acquisition d’une expression maîtrisée et adéquate,

- l’acquisition d’une méthode solide pour chaque exercice proposé.

Programmes des classes

préparatoires aux Grandes Ecoles

Filière : économique et commerciale Option : Economique (ECE)

Discipline : Mathématiques- Informatique

Première année

INTRODUCTION

1 Objectifs g´ en´ eraux de la formation

Lesmathe´matiques jouentunrˆoleimportanten sciencese´conomiquesetengestion,danslesdomaines notammentdelafinanceoudelagestiond’entreprise,delafinancedemarch´e,dessciencessociales.Les probabilit´esetlastatistiqueinterviennentdanstouslessecteursdel’´economieetdansunegrandevari´et

´

e de contextes(actuariat,biologie, ´epid´emiologie, financequantitative,pr´evision´economique...) o`u la mode´lisationdeph´enom`enesal´eatoires`apartirdebasesdedonn´eesestindispensable.

Les programmes d´efinissent les objectifs de l’enseignement des classes pre´paratoires e´conomiques et commercialesetd´ecriventles connaissances etles capacite´s exigiblesdese´tudiants. Ilspr´ecisent e´ga- lementcertainspointsdeterminologieetcertainesnotations.

Leslimitesduprogrammesontclairementpr´ecis´ees.Ellesdoiventˆetrerespecte´esaussibiendansle cadredel’enseignementenclassequedansl’e´valuation.

L’objectif n’est pas de former des professionnels des mathe´matiques, mais des personnes capables d’utiliserdesoutilsmath´ematiquesoud’encomprendrel’usagedansdiversessituationsdeleurparcours acad´emique etprofessionnel.

Unefonctionfondamentalede l’enseignementdesmath´ematiques dansces classesestde structurer la pens´ee des´etudiants et de les former `a la rigueur et `a la logique en insistant sur les divers types de raisonnement(par´equivalence, implication,l’absurde,analyse-synthe`se, ...).

2 Comp´ etences d´ evelopp´ ees

L’enseignement de math´ematiques en classes pr´eparatoires ´economiques et commerciales vise en par- ticulier `a d´evelopper chez les ´etudiants les comp´etences suivantes :

• Rechercher et mettre en œuvre des strat´egies ad´equates : savoir analyser un probl`eme,

´

emettre des conjectures notamment `a partir d’exemples, choisir des concepts et des outils math´e- matiques pertinents.

• Mod´eliser : savoir conceptualiser des situations concr`etes (ph´enom`enes al´eatoires ou d´eterministes) et les traduire en langage math´ematique, ´elaborer des algorithmes.

• Interpr´eter : ˆetre en mesure d’interpr´eter des r´esultats math´ematiques dans des situations concr`etes, avoir un regard critique sur ces r´esultats.

• Raisonner et argumenter : savoir conduire une d´emonstration, confirmer ou infirmer des conjec- tures.

• Maˆıtriser le formalisme et les techniques math´ematiques : savoir employer les symboles math´ematiques `a bon escient, ˆetre capable de mener des calculs de mani`ere pertinente et efficace.

Utiliser avec discernement l’outil informatique.

• Communiquer par ´ecrit et oralement : comprendre les ´enonc´es math´ematiques, savoir r´ediger une solution rigoureuse, pr´esenter une production math´ematique.

3 Architecture des programmes

Le niveau de r´ef´erence `a l’entr´ee de la fili`ere EC voie ´economique est celui de l’enseignement obligatoire de la classe de terminale ´economique et sociale ou de l’enseignement de sp´ecialit´e de la classe de terminale litt´eraire.

Le programme se situe dans le prolongement de ceux des classes de premi`ere et terminale de la fili`ere ES ou de sp´ecialit´e de premi`ere et terminale L.

Il est indispensable que chaque enseignant ait une bonne connaissance des programmes du lyc´ee, afin que ses approches p´edagogiques ne soient pas en rupture avec l’enseignement qu’auront re¸cu les ´etu- diants en classes de premi`ere et de terminale.

Le programme s’organise autour de quatre points forts qui trouveront leur prolongement dans les

´

etudes futures des ´etudiants :

• L’alg`ebre lin´eaire est abord´ee, en premi`ere ann´ee, par le biais du calcul : calcul matriciel, syst`emes d’´equations lin´eaires. Seule la pr´esentation de l’espace vectorielM_n,1(R) muni de sa base canonique est exigible. L’espace vectoriel, comme objet g´en´eral, n’est pr´esent´e qu’en seconde ann´ee. Ce choix a pour ambition de familiariser les ´etudiants avec le calcul multidimensionnel tout en les pr´eparant

`

a l’introduction de la notion abstraite d’espace vectoriel.

• L’analyse vise `a mettre en place les m´ethodes courantes de travail sur les suites et les fonctions et permet de d´evelopper la rigueur. On s’attache principalement `a d´evelopper l’aspect op´eratoire. On n’insiste donc ni sur les questions trop fines ou sp´ecialis´ees ni sur les exemples«pathologiques». On

´

evite les situations conduisant `a une trop grande technicit´e calculatoire.

Il est `a noter que, dans ce programme, les comparaisons des suites et des fonctions en termes de n´egligeabilit´e et d’´equivalents ne seront trait´ees qu’en seconde ann´ee. L’´etude des s´eries et des int´e- grales g´en´eralis´ees par crit`eres de comparaison n’est pas au programme de la premi`ere ann´ee.

• Les probabilit´es s’inscrivent dans la continuit´e de la formation initi´ee d`es la classe de troisi`eme et poursuivie jusqu’en classe de terminale. Le formalisme abstrait (axiomatique de Kolmogorov) don- nera de nouveaux outils de mod´elisation de situations concr`etes.

On consid´erera des espaces probabilis´es finis au premier semestre, plus g´en´eraux au second semestre.

En continuit´e avec les programmes du lyc´ee, le concept de variable al´eatoire `a densit´e est pr´esent´e d`es la premi`ere ann´ee sur des exemples simples, et permet de justifier une premi`ere approche des int´egrales g´en´eralis´ees en analyse, qui sera ´etoff´ee en seconde ann´ee.

• L’informatique est enseign´ee tout au long de l’ann´ee en lien direct avec le programme de math´e- matiques. Cette pratique r´eguli`ere permettra aux ´etudiants de construire ou de reconnaˆıtre des algorithmes relevant par exemple de la simulation de lois de probabilit´e, de la recherche de valeurs approch´ees en analyse ou du traitement de calculs matriciels en alg`ebre lin´eaire.

Il est important de mettre en valeur l’interaction entre les diffe´rentes parties du programme. Les probabilit´espermettentenparticulierd’utilisercertainsr´esultatsd’analyse(suites,se´ries,int´egrales, ...) etd’alg`ebre lin´eaireetjustifientl’introductiondu vocabulaire ensembliste.

Leprogrammedemath´ematiquesestorganise´endeuxsemestresdevolumesensiblement´equivalent.

Ce d´ecoupage endeuxsemestres d’enseignementdoitˆetre respect´e.En revanche,au sein dechaque semestre,aucun ordre particuliern’estimpos´e etchaque professeurconduiten touteliberte´ l’orga- nisation de sonenseignement, bienque lapre´sentationparblocssoitfortement d´econseille´e.

Dans lecontenu dupremiersemestre,figurentlesnotionsne´cessairesetles objetsdebasequiservi- rontd’appui`alasuiteducours.Ces´el´ementssontaccessibles`atousles´etudiantsquellesquesoient les pratiques ant´erieuresetpotentiellement variablesde leurslyc´eesd’origine, etlasp´ecialit´e qu’ils auront choisie en classe de terminale. Cescontenus vont, d’une part, permettre une approche plus approfondie et rigoureuse de concepts d´ej`a pr´esents mais peu explicit´es en classe de terminale, et d’autre part, mettre en place certaines notions et techniques de calcul et de raisonnement fonda- mentales pour lasuitedu cursus.

Le programme se pr´esente de la mani`ere suivante : dans la colonne de gauche figurent les conte- nus exigibles des ´etudiants; la colonne de droite comporte des pr´ecisions sur ces contenus ou des exemples d’activit´esou d’applications.

Lesd´eveloppementsformelsoutropth´eoriquesdoiventˆetre´evit´es.Ilsnecorrespondentpasaucœur de formation de cesclassespre´paratoires.

Les r´esultatsmentionn´esdansleprogrammeseront admisoud´emontre´s selon leschoix didactiques faits parleprofesseur. Pour certains r´esultats, marqu´es comme «admis»,lapr´esentation d’uned´e- monstration en classe estd´econseill´ee.

Les s´eances de travaux dirig´es permettent de privil´egier la prise en main, puis la mise en œuvre par les´etudiants, destechniques usuelles etbien de´limite´es, inscrites dansle corps du programme.

Cette maˆıtrises’acquiertnotammentparl’´etudedeprobl`emesqueles´etudiantsdoiventin fineˆetre capables de r´esoudrepareux-mˆemes.

Lesymbole I indiquelespartiesduprogrammepouvantˆetretrait´eesenliaisonavecl’informatique.

L’enseignementinformatiqueestcommun`al’ensembledesfilie`resdesclasses´economiques.Lelogiciel de r´ef´erencechoisipourceprogramme estScilab

ENSEIGNEMENT DE MATH´EMATIQUES DU PREMIER SEMESTRE

I - Raisonnement et vocabulaire ensembliste

Ce chapitre pr´esente des points de vocabulaire, des notations, ainsi que certains types de raisonnement (par l’absurde, par contrapos´ee, par r´ecurrence...) et de d´emonstrations (d’implications, d’´equivalences, d’inclusions...) dont la maˆıtrise s’av`ere indispensable `a une argumentation rigoureuse sur le plan ma- th´ematique.

Les sections de ce chapitre ne doivent pas faire l’objet d’un expos´e th´eorique. Les notions seront intro- duites progressivement au cours du semestre, `a l’aide d’exemples vari´es issus des diff´erents chapitres

´

etudi´es, et pourront ˆetre renforc´ees au-del`a, en fonction de leur utilit´e.

1 - El´ements de logique Les ´etudiants doivent savoir :

• utiliser correctement les connecteurs logiques

«et»,«ou»;

• utiliser `a bon escient les quantificateurs uni- versel et existentiel ; rep´erer les quantifications implicites dans certaines propositions et, par- ticuli`erement, dans les propositions condition- nelles ;

Notations :∃,∀.

Les ´etudiants doivent savoir employer les quan- tificateurs pour formuler de fa¸con pr´ecise cer- tains ´enonc´es et leur n´egation. En revanche, l’emploi des quantificateurs `a des fins d’abr´e- viation est exclu.

• distinguer, dans le cas d’une proposition conditionnelle, la proposition directe, sa r´eci- proque, sa contrapos´ee et sa n´egation ;

• utiliser `a bon escient les expressions «condi- tion n´ecessaire »,«condition suffisante »;

• formuler la n´egation d’une proposition ;

•utiliser un contre-exemple pour infirmer une proposition universelle ;

• reconnaˆıtre et utiliser des types de raisonne- ment sp´ecifiques : raisonnement par disjonction des cas, recours `a la contrapos´ee, raisonnement par l’absurde.

2 - Raisonnement par r´ecurrence

Apprentissage et emploi du raisonnement par r´ecurrence.

Tout expos´e th´eorique sur le raisonnement par r´ecurrence est exclu.

NotationsP ,Q

. Illustration par manipulation de sommes et de

produits. I Formules donnant :

n

X

k=1

k,

n

X

k=1

k².

Les ´etudiants doivent savoir employer les notations

n

X

i=1

ui et X

α∈A

uα o`u A d´esigne un sous-ensemble fini deN ou deN².

3 - Ensembles, applications

L’objectif de cette section est d’acqu´erir le vocabulaire ´el´ementaire sur les ensembles et les applications, mais tout expos´e th´eorique est exclu.

a) Ensembles, parties d’un ensemble Ensemble, ´el´ement, appartenance.

Sous-ensemble (ou partie), inclusion.

EnsembleP(E) des parties deE.

R´eunion. Intersection.

On fera le lien entre les op´erations ensemblistes et les connecteurs logiques usuels («et»,«ou», ...).

Compl´ementaire. Compl´ementaire d’une union et d’une intersection.

Le compl´ementaire d’une partieAdeEest not´e A.¯

Produit cart´esien. On introduira les notationsR² etRⁿ. b) Applications

D´efinition.

Composition.

Injection, surjection, bijection, application r´eciproque.

Compos´ee de deux bijections, r´eciproque de la compos´ee.

Ces notions seront introduites sur des exemples simples, toute manipulation trop complexe

´

etant exclue.

La notion d’image r´eciproque d’une partie de l’ensemble d’arriv´ee n’est pas un attendu du programme.

On pourra donner des exemples issus du cours d’analyse.

II - Calcul matriciel et r´esolution de syst`emes lin´eaires L’objectif de cette partie du programme est :

−d’une part d’initier au calcul matriciel afin de permettre la r´esolution de probl`emes issus, notamment, des probabilit´es.

− d’autre part de parvenir `a une bonne maˆıtrise de la r´esolution des syst`emes lin´eaires et de les interpr´eter sous forme matricielle.

L’´etude de ce chapitre pourra ˆetre men´ee en lien avec l’informatique. I 1 - Calcul matriciel

a) D´efinitions

D´efinition d’une matrice r´eelle `a n lignes et p colonnes. EnsembleM_n,p(R).

Matrices colonnes, matrices lignes.

Ensemble M_n(R). Matrices triangulaires, diagonales. Matrice identit´e.

Transpos´ee d’une matrice. Matrices sym´e- triques.

Notation ^tA. On caract´erisera les matrices sy- m´etriques `a l’aide de la transpos´ee.

b) Op´erations matricielles

Somme, produit par un nombre r´eel, produit.

Propri´et´es des op´erations.

Transpos´ee d’une somme, d’un produit de ma- trices carr´ees.

On pourra faire le lien entre le produit AB et le produit de Aavec les colonnes de B. I

Op´erations sur les matrices carr´ees ; puissances. Exemples de calcul des puissancesn-`emes d’une matrice carr´ee ; application `a l’´etude de suites r´eelles satisfaisant `a une relation de r´ecurrence lin´eaire `a coefficients constants. I

La formule du binˆome n’est pas un attendu du programme du premier semestre.

Matrices inversibles.

Inverse d’un produit.

On admettra que pour une matrice carr´ee, un inverse gauche ou droit est l’inverse.

2 - Syst`emes lin´eaires

Tout d´eveloppement th´eorique est hors programme.

D´efinition d’un syst`eme lin´eaire.

Syst`eme homog`ene, syst`eme de Cramer.

R´esolution par la m´ethode du pivot de Gauss. La m´ethode sera pr´esent´ee `a l’aide d’exemples.

On codera les op´erations ´el´ementaires sur les lignes de la fa¸con suivante :

Li ←Li+bLj (i6=j),Li ←aLi (a6= 0), L_i ↔L_j,L_i←aL_i+bL_j (i6=j, a6= 0). I Ecriture matricielle´ AX = Y d’un syst`eme li-

n´eaire.

La r´esolution directe sans application syst´ema- tique de la m´ethode du Pivot peut ˆetre avanta- geuse lorsque certaines ´equations ont des coef- ficients nuls.

Calcul de l’inverse de la matrice A par la r´eso- lution du syst`emeAX =Y.

Caract´erisation de l’inversibilit´e des matrices triangulaires.

Caract´erisation de l’inversibilit´e d’une matrice carr´ee d’ordre 2.

III - Suites de nombres r´eels

L’´etude des suites num´eriques au premier semestre permet aux ´etudiants de se familiariser avec la notion de suite r´eelle et de convergence. Tout expos´e trop th´eorique sur ces notions est `a exclure.

Cette premi`ere approche des suites ´elargit la conception de la notion de fonction.

L’´etude des suites classiques pourra se faire en lien ´etroit avec la partie probabilit´es pour mettre en avant l’utilit´e de cet outil num´erique.

La notion de convergence d’une suite r´eelle pourra ˆetre introduite en lien avec l’informatique. I

1 - G´en´eralit´es sur les suites r´eelles D´efinitions, notations.

Exemples de d´efinitions : par formules r´ecur- sives ou explicites, par restriction d’une fonction de variable r´eelle aux entiers.

2 - Suites usuelles : formes explicites

Suite arithm´etique, suite g´eom´etrique. Formule donnant

n

X

k=0

q^k.

Calculs de sommes portant sur les suites arith- m´etiques et g´eom´etriques.

Suite arithm´etico-g´eom´etrique. Les ´etudiants devront se ramener au cas d’une suite g´eom´etrique.

Suite v´erifiant une relation lin´eaire de r´ecur- rence d’ordre 2.

On se limitera au cas des racines r´eelles. I

3 - Convergence d’une suite r´eelle

Aucune d´emonstration concernant les r´esultats de cette section n’est exigible.

Limite d’une suite, suites convergentes. (un)n∈N converge vers `, ´el´ement de R, si tout intervalle ouvert contenant `, contient les termes un pour tous les indices n, hormis un nombre fini d’entre eux.

G´en´eralisation aux limites infinies.

Unicit´e de la limite.

Op´erations alg´ebriques sur les suites conver- gentes. Compatibilit´e du passage `a la limite avec la relation d’ordre.

Existence d’une limite par encadrement.

Aucune technicit´e sur ces op´erations ne sera exi- g´ee.

Suites monotones. Suites adjacentes.

Th´eor`eme de la limite monotone. Toute suite croissante (respectivement d´ecrois- sante) et major´ee (respectivement minor´ee) converge.

Toute suite croissante (respectivement d´ecrois- sante) non major´ee (respectivement non mino- r´ee) tend vers +∞(respectivement−∞) . Deux suites adjacentes convergent et ont la

mˆeme limite.

4 - Comportement asymptotique des suites usuelles

Croissances compar´ees. Comparaison des suites (n^a), (qⁿ), ((ln(n))^b).

IV - Fonctions r´eelles d’une variable r´eelle

Il s’agit, dans ce chapitre, de fournir aux ´etudiants un ensemble de connaissances de r´ef´erence sur les fonctions usuelles et quelques th´eor`emes sur les fonctions d’une variable r´eelle. Ils pourront m´emori- ser ces r´esultats grˆace aux repr´esentations graphiques qui en constituent une synth`ese. Le champ des fonctions ´etudi´ees se limite aux fonctions usuelles et `a celles qui s’en d´eduisent de fa¸con simple. On se restreindra aux fonctions d´efinies sur un intervalle de R. Les fonctions trigonom´etriques sont hors programme.

L’´etude des fonctions usuelles donnera aux ´etudiants l’occasion de mobiliser leurs connaissances de terminale concernant les fonctions d’une variable r´eelle.

L’analyse reposant largement sur la pratique des in´egalit´es, on s’assurera que celle-ci est acquise `a l’occasion d’exercices.

Aucune d´emonstration concernant les r´esultats de ce chapitre n’est exigible.

1 - Compl´ements sur les fonctions usuelles

a) Fonctions polynomiales, polynˆomes

Degr´e, somme et produit de polynˆomes. Par convention, deg 0 =−∞.

La construction des polynˆomes formels n’est pas au programme, on pourra identifier poly- nˆomes et fonctions polynomiales.

Ensemble R[X] des polynˆomes `a coefficients dansR, ensemblesR<sub>n</sub>[X] des polynˆomes `a coef- ficients dansRde degr´e au plusn.

Racines d’un polynˆome. Factorisation par (X−a) dans un polynˆome ayant acomme ra- cine.

Application : un polynˆome deRn[X] admettant plus den+ 1 racines distinctes est nul.

Pratique, sur des exemples, de la division eucli- dienne. I

Trinˆomes du second degr´e. Discriminant d’un trinˆome du second degr´e.

Factorisation dans le cas de racines r´eelles. Lors- qu’il n’y a pas de racine r´eelle, le signe du tri- nˆome reste constant surR.

b) Fonctions logarithme et exponentielle Rappel des propri´et´es. Positions relatives des courbes repr´esentatives de ln,exp, x7−→x.

Etudes asymptotiques, croissances compar´´ ees.

c) Fonction racine carr´ee, fonction inverse, fonctions puissances x7−→x^α

D´efinitions ; notations, propri´et´es, repr´esenta- tions graphiques.

On fera une ´etude d´etaill´ee des fonctions puis- sances. Les ´etudiants doivent connaˆıtre les r`egles de calcul sur les puissances.

Par le biais d’exercices, ´etude de fonctions du type x7−→u(x)^v(x).

d) Fonction valeur absolue

D´efinition. Propri´et´es, repr´esentation gra- phique.

Lien avec la distance sur R.

On insistera sur la fonction valeur absolue, non

´

etudi´ee au lyc´ee.

e) Fonction partie enti`ere

D´efinition. Repr´esentation graphique. Notation x7−→ bxc.

La notation E est r´eserv´ee `a l’esp´erance math´e- matique. La fonction partie enti`ere permet de discr´etiser des ph´enom`enes continus.

2 - Limite et continuit´e d’une fonction en un point D´efinition de la limite d’une fonction en un point et de la continuit´e d’une fonction en un point.

Unicit´e de la limite.

Limite `a gauche, limite `a droite. Extension au cas o`u la fonction est d´efinie surI\ {x₀}.

Extension de la notion de limite en ±∞et aux cas des limites infinies.

On adoptera la d´efinition suivante :f ´etant une fonction d´efinie sur un intervalleI,x₀ ´etant un r´eel ´el´ement deI ou une extr´emit´e deI, et`un

´

el´ement deR, on dit que f admet`pour limite en x<sub>0</sub> si, pour tout nombre ε > 0, il existe un nombre α > 0 tel que pour tout ´el´ement x de I ∩[x<sub>0</sub>−α, x<sub>0</sub> +α], |f(x)−`|6 ε; par suite, lorsquex₀ appartient `aI, cela signifie quef est continue au point x0 et, dans le cas contraire, que f se prolonge en une fonction continue au point x₀.

Op´erations alg´ebriques sur les limites.

Compatibilit´e du passage `a la limite avec les relations d’ordre.

Existence d’une limite par encadrement.

Limite d’une fonction compos´ee.

Si f est une fonction d´efinie sur un intervalle I admettant une limite ` en un point x0, et si (u<sub>n</sub>) est une suite d’´el´ements de I convergeant vers x0, alors la suite (f(un)) converge vers `.

Comparaison des fonctions exponentielle, puis- sance et logarithme au voisinage de +∞et des fonctions puissance et logarithme au voisinage de 0.

Les notions d’´equivalence et de n´egligeabilit´e ne seront abord´ees qu’en deuxi`eme ann´ee.

3 - ´Etude globale des fonctions d’une variable sur un intervalle

Fonctions paires, impaires.

Fonctions major´ees, minor´ees, born´ees.

Fonctions monotones.

Th´eor`eme de la limite monotone. Toute fonction monotone sur ]a, b[

(−∞6a < b6+∞) admet des limites fi- nies `a droite et `a gauche en tout point de ]a, b[.

Comportement en aetb.

Fonctions continues sur un intervalle. Op´era- tions alg´ebriques, composition.

Fonctions continues par morceaux. Une fonction f est continue par morceaux sur le segment [a, b] s’il existe une subdivision a₀=a < a₁<· · ·< a_n=btelle que les restric- tions de f `a chaque intervalle ouvert ]a<sub>i</sub>, a<sub>i+1</sub>[ admettent un prolongement continu `a l’inter- valle ferm´e [a_i, a_i+1].

Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires.

L’image d’un intervalle (respectivement un segment) par une fonction continue est un intervalle (respectivement un segment).

R´esultat admis.

Notations : max

t∈[a,b]f(t) et min

t∈[a,b]f(t).

On illustrera ces r´esultats par des repr´esenta- tions graphiques et on montrera comment les mettre en ´evidence sur un tableau de variations.

Th´eor`eme de la bijection. Toute fonction continue et strictement mono- tone sur un intervalleI d´efinit une bijection de I sur l’intervallef(I).

Continuit´e et sens de variation de la fonction r´eciproque.

Repr´esentation graphique de la fonction r´eci- proque.

On utilisera ces r´esultats pour l’´etude des ´equa- tions du type f(x) =k.

En liaison avec l’algorithmique, m´ethode de dichotomie. I

Application `a l’´etude de suites (un) telles que vn=f(un).

V - Probabilit´es sur un univers fini

L’objectif de ce chapitre est de mettre en place, dans le cas fini, un cadre dans lequel on puisse ´enoncer des r´esultats g´en´eraux et mener des calculs de probabilit´es sans difficult´e th´eorique.

On fera le lien avec les arbres pond´er´es, pr´econis´es durant le cycle terminal du lyc´ee. Ils seront remplac´es par des raisonnements dont l’emploi, plus souple, pourra ˆetre g´en´eralis´e, par la suite, aux univers infinis.

Les coefficients binomiaux doivent ˆetre repris en conformit´e avec l’approche du cycle terminal du lyc´ee.

Dans tout ce chapitre, Ω est un ensemble fini (on g´en´eralisera les notions rencontr´ees au second se- mestre).

1 - ´Ev´enements

Exp´erience al´eatoire.

Univers des r´esultats observables.

On d´egagera ces concepts `a partir de l’´etude de quelques situations simples o`u l’ensemble Ω des r´esultats possibles est fini, et o`u P(Ω) est l’ensemble des ´ev´enements.

Ev´´ enements, ´ev´enements ´el´ementaires, op´e- rations sur les ´ev´enements, ´ev´enements incompatibles.

On fera le lien entre connecteurs logiques et op´e- rations sur les ´ev´enements.

Syst`eme complet d’´ev´enements fini. On se limitera aux syst`emes complets d’´ev´ene- ments de type A1, ..., An (n ∈ N^∗), o`u les Ai

sont des parties deux `a deux disjointes et de r´eunion ´egale `a Ω.

2 - Coefficients binomiaux

Factorielle, notationn!. Interpr´etation den! en tant que nombre de per- mutations d’un ensemble `an´el´ements. I Parties `a p ´el´ements d’un ensemble `a n ´el´e-

ments.

Coefficients binomiaux, notation n

p

. Relation

n p

= n

n−p

.

On fera le lien entre les parties `ap´el´ements d’un ensemble `a n´el´ements et le nombre de chemins d’un arbre r´ealisantpsucc`es pournr´ep´etitions.

Formule du triangle de Pascal. La formule de Pascal fournit un algorithme de calcul efficace pour le calcul num´erique des co- efficients binomiaux. I

n p

= n!

p!(n−p)!. On pourra d´emontrer cette formule par r´e-

currence `a partir de la formule du triangle de Pascal.

3 - Probabilit´e

D´efinition d’une probabilit´e surP(Ω). On restreindra, pour ce premier semestre, la no- tion de probabilit´e `a une applicationP deP(Ω) dans [0,1] v´erifiant :

•pour tousAetB deP(Ω) tels queA∩B=∅, P(A∪B) =P(A) +P(B)

• P(Ω) = 1.

Cas de l’´equiprobabilit´e.

Formule de Poincar´e ou du crible dans le cas n63.

4 - Probabilit´e conditionnelle

Probabilit´e conditionnelle. Notation PA.

Formule des probabilit´es compos´ees. • SiP(A)6= 0, P(A∩B) =P(A)PA(B).

• SiP(A1∩A2∩. . .∩An−1)6= 0, P

_n T

i=1

A_i

=P(A₁)P_A1(A₂). . . P_A1∩A₂∩...∩An−1(A_n).

Formule des probabilit´es totales.

Formule de Bayes.

Si (Ai)i∈I est un syst`eme complet d’´ev´enements fini, alors pour tout ´ev´enement B : P(B) = P

i∈I

P(B∩A_i).

On donnera de nombreux exemples d’utilisation de ces formules. En particulier on pourra appli- quer la formule des probabilit´es totales `a l’´etude de chaˆınes de Markov simples.

5 - Ind´ependance en probabilit´e

Ind´ependance de deux ´ev´enements. Si P(A) 6= 0, A et B sont ind´ependants si et seulement siP_A(B) =P(B).

Ind´ependance mutuelle de n ´ev´enements (n∈N^∗).

Si n ´ev´enements A_i sont mutuellement ind´ependants, il en est de mˆeme pour les

´

ev´enementsBi, avec Bi =Ai ouAi.

ENSEIGNEMENT DE MATH´EMATIQUES DU SECOND SEMESTRE

I - Calcul diff´erentiel et int´egral

Le but de ce chapitre est de mettre en place les m´ethodes courantes de travail sur les fonctions.

Les int´egrales g´en´eralis´ees sont introduites en tant qu’outil pour la d´efinition et l’´etude des variables al´eatoires `a densit´e. Toute technicit´e sur les int´egrales g´en´eralis´ees est `a exclure.

Aucune d´emonstration concernant les r´esultats de ce chapitre n’est exigible.

1 - Calcul diff´erentiel

a) D´erivation

D´eriv´ee en un point, d´eveloppement limit´e `a l’ordre 1 au voisinage d’un point.

Tangente au graphe en un point.

D´eriv´ee `a gauche, `a droite.

Fonction d´erivable sur un intervalle, fonction d´eriv´ee.

Notation f⁰.

Op´erations sur les d´eriv´ees : lin´earit´e, produit, quotient, fonctions puissances.

D´eriv´ee des fonctions compos´ees.

D´erivation des fonctions r´eciproques.

On ´evitera tout exc`es de technicit´e dans les cal- culs de d´eriv´ees.

In´egalit´es des accroissements finis. (1) Si m 6 f⁰ 6M sur un intervalle I, alors :

∀(a, b)∈I²,a6b,

m(b−a)6f(b)−f(a)6M(b−a).

(2) Si|f⁰|6k sur un intervalle I, alors :

∀(a, b)∈I², |f(b)−f(a)|6k|b−a|.

Application, sur des exemples, `a l’´etude de suites r´ecurrentes du type : un+1 = f(un) lorsque

|f⁰|6k <1. I

Tout expos´e th´eorique sur les suites r´ecurrentes g´en´erales est exclu.

Caract´erisation des fonctions constantes et monotones par le signe de la d´eriv´ee.

R´esultat admis.

Sif est une fonction d´erivable sur un intervalle I et si f⁰ > 0 sur I,f⁰ ne s’annulant qu’en un nombre fini de points, alors f est strictement croissante sur I.

Extremum local d’une fonction d´erivable. Une fonction f, d´erivable sur un intervalle ou- vertI, admet un extremum local en un point de I si sa d´eriv´ee s’annule en changeant de signe en ce point.

b) D´eriv´ees successives Fonctions p fois d´erivables.

Fonctions de classeC^p, de classe C^∞. Op´erations alg´ebriques.

Notation f^(p).

c) Convexit´e

Tous les r´esultats de cette section seront admis.

D´efinition d’une fonction convexe. Une fonction est convexe sur un inter- valle I si : ∀(x₁, x2) ∈ I²,∀(t₁, t2) ∈ [0,1]² tels que t₁ + t₂ = 1,

f(t1x1+t2x2)6t1f(x1) +t2f(x2).

Interpr´etation g´eom´etrique. I Fonctions concaves.

Points d’inflexion.

Caract´erisation des fonctions convexes de classe C¹.

Si f est de classe C¹, f est convexe si et seulement si l’une de ces deux propositions est v´erifi´ee :

• f⁰ est croissante ;

• C_f est au-dessus de ses tangentes.

27

Caract´erisation des fonctions convexes et concaves de classeC².

2 - Int´egration sur un segment

a) D´efinition

Aire sous la courbe d’une fonction positive. Dans le cas o`u f est continue monotone, on constatera que cette fonction « aire sous la courbe» admetf pour d´eriv´ee.

Primitive d’une fonction continue sur un inter- valle.

Toute fonction continue sur un intervalle admet, sur cet intervalle, au moins une primitive.

Admis.

Int´egrale d’une fonction continue sur un seg- ment.

Relation de Chasles.

Sif est continue sur un intervalle I, pour tout (a, b) ∈ I², on d´efinit l’int´egrale de f de a `a b par :

Z b a

f(t)dt=F(b)−F(a),

o`u F est une primitive de f sur I. Cette d´efini- tion est ind´ependante du choix de la primitive F de f sur I.

Int´egrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment.

b) Propri´et´es de l’int´egrale

Lin´earit´e et positivit´e de l’int´egrale.

L’int´egrale d’une fonction positive sur un segment est positive.

L’int´egrale d’une fonction continue et positive sur un segment est nulle si et seulement si la fonction est identiquement nulle sur le segment.

Sia6b,

Z b a

f(t) dt 6

Z b a

|f(t)|dt6(b−a) max

t∈[a,b]|f(t)|.

On apprendra aux ´etudiants `a majorer et `a mi- norer des int´egrales, par utilisation de ces in-

´

egalit´es ou par int´egration d’in´egalit´es.

c) Techniques de calcul d’int´egrales

On ´evitera tout exc`es de technicit´e pour les calculs d’int´egrales par changement de variable.

Calcul de primitives«`a vue», d´eduites de la re- connaissance de sch´emas inverses de d´erivation.

On insistera sur le mod`eleu⁰(x)u(x)^α (α 6=−1 ouα=−1).

Int´egration par parties. Changement de va- riables.

Les changements de variables autres qu’affines seront pr´ecis´es dans les exercices.

On pourra `a titre d’exemples ´etudier des suites d´efinies par une int´egrale et des fonctions d´efinies par une int´egrale.

Sommes de Riemann `a pas constant. Sur des exemples, on pourra mettre en œuvre la m´ethode des rectangles pour le calcul approch´e d’une int´egrale. I

3 - Int´egrales sur un intervalle de type [a,+∞[, ]− ∞, b] ou ]− ∞,+∞[

Convergence des int´egrales Z +∞

a

f(t) dt o`u f est continue sur [a,+∞[.

Z +∞

a

f(t) dt converge si lim

x→+∞

Z x a

f(t) dt existe et est finie.

Lin´earit´e, positivit´e, relation de Chasles. Les techniques de calcul (int´egration par parties, changement de variables non affine) ne seront pratiqu´ees qu’avec des int´egrales sur un segment.

L’´etude de la convergence des int´egrales de fonctions positives par des crit`eres de compa- raison sera faite en seconde ann´ee. On pourra

´

eventuellement aborder, sur des exemples, le cas 06f 6g.

Convergence des int´egrales de Riemann Z +∞

1

dt t^α et de

Z +∞

0

e^−αtdt.

Convergence absolue. En premi`ere ann´ee, cette notion est abord´ee uniquement pour permettre une d´efinition de l’esp´erance d’une variable al´eatoire `a densit´e.

La convergence absolue implique la conver- gence.

R´esultat admis.

Extension des notions pr´ec´edentes aux int´e- grales

Z _b

−∞

f(t) dt et

Z +∞

−∞

f(t) dt.

II -Etude ´´ el´ementaire des s´eries

Ce chapitre fait suite au chapitre sur les suites num´eriques r´eelles du premier semestre, une s´erie ´etant introduite comme une suite de sommes partielles. Aucune technicit´e n’est exigible en premi`ere ann´ee.

L’´etude des variables al´eatoires discr`etes sera l’occasion d’une mise en œuvre naturelle de ces premi`eres connaissances sur les s´eries. L’´etude des s´eries sera compl´et´ee en seconde ann´ee par les techniques de comparaison sur les s´eries `a termes positifs.

1 - S´eries num´eriques `a termes r´eels

S´erie de terme g´en´eral un. Sommes partielles associ´ees.

On soulignera l’int´erˆet de la s´erie de terme g´e- n´eral un+1−un pour l’´etude de la suite (un).

D´efinition de la convergence.

Combinaison lin´eaire de s´eries convergentes.

X

n>n0

un converge si

n

X

k=n0

uk admet une limite fi- nie lorsquen tend vers +∞.

On pratiquera, sur des exemples simples, l’´etude des s´eries (convergence, calcul exact ou appro- ch´e de la somme). I

Convergence absolue. En premi`ere ann´ee, cette notion est abord´ee uniquement pour permettre une d´efinition de l’esp´erance d’une variable al´eatoire discr`ete.

La convergence absolue implique la conver- gence.

R´esultat admis.

2 - S´eries num´eriques usuelles Etude´ des s´eries X

qⁿ,X nqⁿ⁻¹, Xn(n−1)qⁿ⁻² et calcul de leurs sommes.

Convergence et somme de la s´erie exponentielle Xxⁿ

n!.

R´esultats admis.

III - Espaces vectoriels et applications lin´eaires

Ce chapitre ne doit pas donner lieu `a un expos´e th´eorique ; on donne ici une premi`ere approche concr`ete

`

a des notions qui seront g´en´eralis´ees en seconde ann´ee. Pour simplifier ce premier contact, l’´etude se limitera `a l’espace M_n,1(R), en privil´egiant les exemples pour n∈ {2,3,4}.

a) Structure vectorielle sur M_n,1(R) Structure vectorielle surM_n,1(R).

Combinaisons lin´eaires.

On privil´egiera le travail sur les espaces M_2,1(R),M_3,1(R),M_4,1(R).

Base canonique. Les bases canoniques des espaces vectoriels ci-

dessus seront donn´ees de fa¸con naturelle.

b) Sous-espaces vectoriels de M_n,1(R) Sous-espaces vectoriels deM_n,1(R).

Sous-espace vectoriel engendr´e, notation Vect(u1, u2, . . . , up).

Exemple fondamental : ensemble des solutions d’un syst`eme lin´eaire homog`ene `a 2,3,4 incon- nues.

Base d’un sous-espace vectoriel. (u₁, u₂, . . . , u_p) est une base du sous-espace vec- toriel F deE si et seulement si tout vecteur de F se d´ecompose de mani`ere unique sous forme d’une combinaison lin´eaire de (u₁, u₂, . . . , u_p).

c) Applications lin´eaires de M_n,1(R) dans M_p,1(R) Propri´et´es des applications f de M_n,1(R) dans M_p,1(R) d´efinies parX 7−→M X,M ´etant une matrice `a plignes et ncolonnes.

Toute application lin´eaire f de M_n,1(R) dans M_p,1(R) est de la formef : X7−→M X.

Exemples pratiques dans le cas o`u n ∈ {1,2,3,4}et p∈ {1,2,3,4}.

Noyau d’une application lin´eaire. Le noyau est un sous-espace vectoriel de M_n,1(R).

Lien entre recherche du noyau et r´esolution d’un syst`eme homog`ene.

Image d’une application lin´eaire. L’image est un sous-espace vectoriel de M_p,1(R).

Im(f) =Vect(f(e₁), . . . , f(e_n)) o`u (e1, e2, . . . , en) est la base canonique de M_n,1(R).

Lien entre recherche de l’image et r´esolution de syst`eme. I

IV - Probabilit´es - Variables al´eatoires r´eelles

Dans ce chapitre, on g´en´eralise l’´etude faite au premier semestre ; les notions de tribu et d’espace probabilis´e sont introduites. Tout expos´e trop th´eorique sur ces notions est cependant exclu.

L’´etude des variables al´eatoires et notamment celles des lois usuelles se fera en lien ´etroit avec la partie informatique du programme. I

L’´etude des variables al´eatoires discr`etes se fera dans la mesure du possible en tant qu’outil de mod´e- lisation de probl`emes concrets.

On sensibilisera les ´etudiants `a la notion d’approximation de loi, dans la continuit´e du programme de terminale, en utilisant notamment l’approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson sur des exemples judicieux.

1 - Probabilit´es - g´en´eralisation

a) Notion de tribu

Tribu ou σ-alg`ebre d’´ev´enements. Notation A.

On donnera quelques exemples significatifs d’´ev´enements de la forme :

A=

+∞

\

n=0

An et A=

+∞

[

n=0

An.

On g´en´eralisera dans ce paragraphe l’´etude ef- fectu´ee lors du premier semestre.

Aucun raisonnement th´eorique autour de la no- tion de tribu n’est exigible des ´etudiants.

G´en´eralisation de la notion de syst`eme com- plet d’´ev´enements `a une famille d´enombrable d’´ev´enements deux `a deux incompatibles et de r´eunion ´egale `a Ω.

b) Probabilit´e

Une probabilit´e P est une application d´efinie surAet `a valeurs dans [0,1], σ-additive et telle queP(Ω) = 1.

On g´en´eralisera ici la notion de probabilit´e ´etu- di´ee au premier semestre.

Notion d’espace probabilis´e. Notation (Ω,A, P).

Propri´et´es vraies presque sˆurement.

Th´eor`eme de la limite monotone. • Pour toute suite croissante (A_n) d’´ev´ene- ments,

P

+∞

[

n=0

An

!

= lim

n→+∞P(An).

• Pour toute suite d´ecroissante (An) d’´ev´ene- ments,

P

+∞

\

n=0

An

!

= lim

n→+∞P(An).

Cons´equences du th´eor`eme de la limite mono- tone.

• P

+∞

[

n=0

A_n

!

= lim

n→+∞P

n

[

k=0

A_k

! .

• P

+∞

\

n=0

An

!

= lim

n→+∞P

n

\

k=0

Ak

! .

Les d´emonstrations de ces formules ne sont pas exigibles.

G´en´eralisation de la notion de probabilit´e conditionnelle.

G´en´eralisation de la formule des probabilit´es compos´ees.

G´en´eralisation de la formule des probabilit´es to- tales.

c) Ind´ependance en probabilit´e

Ind´ependance mutuelle d’une suite infinie d’´ev´enements.

2 - G´en´eralit´es sur les variables al´eatoires r´eelles

D´efinition d’une variable al´eatoire r´eelle. X est une variable al´eatoire r´eelle d´efinie sur (Ω,A) si X est une application de Ω dans R telle que pour tout ´el´ement x de R,

{ω∈Ω / X(ω)6x} ∈ A.

D´emontrer queX est une variable al´eatoire ne fait pas partie des exigibles du programme.

Notations [X∈I], [X=x], [X 6x], etc.

Syst`eme complet d’´ev´enements associ´e `a une va- riable al´eatoire.

Fonction de r´epartition d’une variable al´eatoire.

Propri´et´es.

∀x∈R, FX(x) =P(X6x).

F_X est croissante, continue `a droite en tout point, lim

−∞FX = 0, lim

+∞FX = 1. R´esultats ad- mis.

Loi d’une variable al´eatoire. La fonction de r´epartition caract´erise la loi d’une variable al´eatoire. R´esultat admis.

3 - Variables al´eatoires discr`etes

a) Variable al´eatoire discr`ete `a valeurs dans R D´efinition d’une variable al´eatoire discr`ete `a va- leurs dansR.

L’ensemble des valeurs prises par ces variables al´eatoires sera index´e par une partie finie ou infinie de Nou Z.

Caract´erisation de la loi d’une variable al´eatoire discr`ete par la donn´ee des valeurs P(X = x) pour x∈X(Ω).

On insistera, dans le cas o`u X est

`

a valeurs dans Z, sur la relation P(X =k) =FX(k)−FX(k−1).

Variable al´eatoire Y = g(X), o`u g est d´efinie sur l’ensemble des valeurs prises par la variable al´eatoireX. ´Etude de la loi de Y =g(X).

On se limite `a des cas simples, tels que g : x7−→ax+b,g : x7−→x², . . .

b) Moments d’une variable al´eatoire discr`ete

D´efinition de l’esp´erance. QuandX(Ω) est infini, une variable al´eatoireX admet une esp´erance si et seulement si la s´erie

X

x∈X(Ω)

xP(X =x) est absolument convergente.

Notation E(X).

Lin´earit´e de l’esp´erance. Positivit´e. R´esultats admis.

Variables centr´ees.

Th´eor`eme de transfert : esp´erance d’une va- riable al´eatoire Y = g(X), o`u g est d´efinie sur l’ensemble des valeurs prises par la variable al´eatoireX.

Quand X(Ω) est infini, E(g(X)) existe si et seulement si la s´erie X

x∈X(Ω)

g(x)P(X=x) converge absolument, et dans ce cas E(g(X)) = X

x∈X(Ω)

g(x)P(X =x). Th´eor`eme admis.

E(aX+b) =aE(X) +b.

Moment d’ordre r (r∈N).

Variance, ´ecart-type d’une variable al´eatoire discr`ete.

Formule de Kœnig-Huygens.

V(aX+b) =a²V(X).

Cas o`u V(X) = 0.

Variables centr´ees r´eduites.

4 - Lois usuelles

a) Lois discr`etes finies Loi certaine.

Loi de Bernoulli. Esp´erance, variance.

Notation mr(X)=E(X^r).

NotationsV(X),σ(X).

V(X)=E(X²)−(E(X))².

OnnoteraX^∗lavariableale´atoirecentr´eer´e- duite associ´ee`a X.

Caract´erisation parlavariance.

Notation X,→B(p).

Loi binomiale. Esp´erance, variance. Notation X ,→ B(n, p). I Application : formule du binˆome de Newton

donnant (a+b)ⁿ.

Lorsque a et b sont strictement positifs, lien avec B(n,_a+b^a ). La formule du binˆome de New- ton dans le cas g´en´eral pourra ˆetre d´emontr´ee par r´ecurrence.

Loi uniforme sur [[1, n]]. Esp´erance, variance. Application `a l’´etude de la loi uniforme sur [[a, b]], o`u (a, b)∈N².

Notation X ,→ U([[a, b]]). I

b) Lois discr`etes infinies

Loi g´eom´etrique (rang d’apparition du premier succ`es dans un processus de Bernoulli sans m´e- moire).

Esp´erance, variance.

Notation X ,→ G(p). I

SiX ,→ G(p),∀k∈N^∗, P(X =k) =p(1−p)^k−1.

Loi de Poisson.

Esp´erance, variance.

Notation X ,→ P(λ).

On pourra introduire la loi de Poisson P(λ) comme loi «limite»(cette notion sera pr´ecis´ee en deuxi`eme ann´ee) d’une suite de variables sui- vant la loi binomiale B(n,^λ_n). I

5 - Introduction aux variables al´eatoires r´eelles `a densit´e

On se limitera dans ce chapitre `a des densit´es ayant des limites finies `a gauche et `a droite, en tout point de R.

a) D´efinition des variables al´eatoires `a densit´e

D´efinition d’une variable al´eatoire `a densit´e. On dit qu’une variable al´eatoire r´eelle X est

`

a densit´e si sa fonction de r´epartition F_X est continue sur R et de classe C¹ sur R´eventuel- lement priv´e d’un ensemble fini de points.

Toute fonction f_X `a valeurs positives, qui ne diff`ere de F_X⁰ qu’en un nombre fini de points, est une densit´e de X.

Pour toutx de R,F_X(x) = Z x

−∞

f_X(t) dt.

Caract´erisation de la loi d’une variable `a densit´e par la donn´ee d’une densit´e fX.

Toute fonction f positive, continue surR´even- tuellement priv´e d’un nombre fini de points et telle que

Z +∞

−∞

f(t) dt = 1 est la densit´e d’une variable al´eatoire.

R´esultat admis.

Transformation affine d’une variable `a densit´e. Les ´etudiants devront savoir calculer la fonction de r´epartition et une densit´e deaX+b(a6= 0).

b) Esp´erance d’une variable al´eatoire `a densit´e Esp´erance.

Variables centr´ees.

Une variable al´eatoire X de densit´e f_X admet une esp´erance E(X) si et seulement si l’int´e- grale

Z +∞

−∞

xfX(x)dx est absolument conver- gente ; dans ce cas, E(X) est ´egale `a cette in- t´egrale.

Exemples de variables al´eatoires n’admettant pas d’esp´erance.

c) Lois `a densit´e usuelles

Loi uniforme sur un intervalle. Esp´erance. Notation X ,→ U[a, b]. I Loi exponentielle. Caract´erisation par l’absence

de m´emoire. Esp´erance.

Notation X ,→ E(λ). I Loi normale centr´ee r´eduite. Notation X ,→ N(0,1). I

On pourra d´emontrer en exercice que Z +∞

−∞

e^−t

2

2 dt converge.

Loi normale (ou de Laplace-Gauss).

Esp´erance.

X ,→ N(µ, σ²)⇔X^∗ = X−µ

σ ,→ N(0,1).

On attend des ´etudiants qu’ils sachent repr´esen- ter graphiquement les fonctions densit´es des lois normales et utiliser la fonction de r´epartition Φ de la loi normale centr´ee r´eduite.

ENSEIGNEMENT ANNUEL D’INFORMATIQUE ET ALGORITHMIQUE

I - El´´ ements d’informatique et d’algorithmique

L’objectif est de poursuivre la formation initi´ee au lyc´ee des ´etudiants concernant l’algorithmique et l’utilisation de l’informatique en math´ematiques au travers de th`emes emprunt´es au programme pour comprendre, illustrer et ´eclairer les notions introduites. D`es qu’un calcul num´erique est envisag´e, d`es qu’un probl`eme incite `a tester exp´erimentalement un r´esultat, d`es qu’une situation al´eatoire peut ˆetre mod´elis´ee avec des outils informatiques, le recours `a des algorithmes et des logiciels devra devenir naturel.

Le logiciel retenu pour la programmation dans les classes ´economiques et commerciales est Scilab.

L’utilisation du logiciel se fait en continuit´e avec le cours de math´ematiques et sera suivi d’une mise en œuvre sur ordinateur. Seules les notions de Scilab indiqu´ees dans le programme sont exigibles.

1 - L’environnement logiciel

a) Constantes pr´ed´efinies. Cr´eation de variables par affectation.

%pi %e

Affectation : nom =expression

L’expression peut ˆetre du type num´erique, ma- tricielle ou du type chaˆıne de caract`eres.

Approximations deπ ete.

// permet de commenter une commande.

b) Construction de vecteurs et de matrices num´eriques Vecteurs lignes : [ , ,..., ]

Vecteurs colonnes : [ ; ;...; ]

Matrices n×p: [ ,..., ;...; ,..., ] c) Op´erations ´el´ementaires

Op´erations arithm´etiques :

+ - * / ^

Comparaisons - tests :

== > < >= <= <>

Logiques :

& | and or

Les op´erations arithm´etiques de base s’ap- pliquent aux variables num´eriques ou matri- cielles.

d) Fonctions usuelles pr´ed´efinies Fonctions num´eriques usuelles : log, exp, floor, abs, sqrt

Toutes ces fonctions peuvent s’appliquer `a des variables num´eriques ou `a des matrices ´el´ement par ´el´ement.

Fonctionrand La fonction grand pourra ˆetre utilis´ee avec les param`etres correspondant aux lois de probabi- lit´e pr´esentes dans le programme.

Fonctions matricielles :rank(A), inv(A), A’ Extraction ou modification d’un ´el´ement, d’une ligne ou d’une colonne d’une matrice.

On pourra utiliser les fonctionssize(A), find dans le cadre de simulations.

Pratique des op´erations et des fonctions matri- cielles dans des situations concr`etes.

2 - Graphisme en deux dimensions

Courbes repr´esentatives de fonctions usuelles, de densit´es et de fonctions de r´epartition.

Trac´e d’histogrammes.

On pourra utiliser les fonctionsplot, plot2d, bar, histplot, la fonction linspace(a,b,n) et les op´erations .*, ./ , .^

3 - Programmation d’algorithmes et de fonctions Les structures suivantes seront utilis´ees :

Structure conditionnelle : if ...then ...end

if ...then ...else ...end Structures r´ep´etitives :

for k=...: :...end while ...then ...end

Exemples :n!, n

p

.

Fonctions - arguments - retour de r´esultats.

Fonction d’entr´ee des donn´ees input() Fonction de sortie de r´esultat(s) disp()

Saisie au clavier - message indicatif possible.

Affichage du contenu d’une variable `a l’´ecran avec commentaire ´eventuel.

II - Liste des savoir-faire exigibles en premi`ere ann´ee

Calcul des termes d’une suite. Exploitation graphique des r´esultats.

Calculs de valeurs approch´ees de la limite d’une suite ou de la somme d’une s´erie.

On utilisera des structures r´ep´etitives et condi- tionnelles en exploitant l’´etude math´ematique.

La d´etermination du rang d’arrˆet du calcul r´e- sultera directement de l’´etude math´ematique ou d’un algorithme qui en d´ecoule.

Calcul approch´e de la racine d’une ´equation du type f(x) = 0.

On utilisera diff´erentes m´ethodes dont certaines r´esulteront d’une ´etude math´ematique (suites r´ecurrentes, encadrements, dichotomie).

Calcul des valeurs approch´ees d’une int´egrale par la m´ethode des rectangles.

Application au calcul de la fonction de r´eparti- tion d’une variable al´eatoire suivant la loi nor- male centr´ee r´eduite.

Utilisation de la fonctionrandpour simuler des exp´eriences al´eatoires ´el´ementaires conduisant `a une loi usuelle.

Loi binomiale, loi g´eom´etrique.