Terminale Ch 11 : Dérivation Page 1

Document disponible sur :

vh-dellac.webnode.fr Terminale - Ch 11 : Dérivation Page 1/9

Objectif n° 1 : Fonctions dérivables Exercice 1 :

Partie A : Voici les représentations graphiques de 3 fonctions. On a tracé les tangentes aux points d’abscisse 1:

1. Ces fonctions sont-elles définies pour x = 1 ? sont-elles continues pour x = 1 ?

2. On rappelle que lorsque la représentation graphique d'une fonction f possède une tangente de coefficient directeur m au point d'abscisse a, ce coefficient directeur de cette tangente vaut f ' (a ) ( et on dit alors que la fonction f est dérivable en a ).

a. Déterminer graphiquement f₁ ' (1 ) et f2 ' (1).

b. Que pouvez-vous dire de la tangente à

C

3. On considère la fonction h définie sur  par h (x) =

|

|

On rappelle que

|

|

Si x² – 1 est positif , alors

|

|

et si x² – 1 est négatif , alors

|

|

Voici sa représentation graphique.

a. Graphiquement, cette fonction est-elle continue pour x = – 1 ; pour x = 1 ? b.

C

c. Que pouvez-vous en déduire quant à la dérivabilité de h au point d'abscisse 1 ( au point d'abscisse – 1 ) ?

De façon plus générale :

A et M sont deux points de la représentation graphique

C

Le coefficient directeur de la droite (AM) est m = Lorsque M « se rapproche de A » ( c’est-à-dire lorsque x  a )

la droite (AM) "devient" la tangente à

C

On peut donc écrire f ' (a) = lim x  a

f (x)  f (a) x  a

Document disponible sur :

vh-dellac.webnode.fr Terminale - Ch 11 : Dérivation Page 2/9

En résumé :

Partie B : Reprenons la fonction h vue dans la question 3 de la partie A par h (x) =

|

|

x –  – 1 1 +  Signe de x² – 1

4. Compléter le tableau ci-contre :

Expression de

|

|

5. On va chercher à déterminer lim x  1

h (x)  h (1) x  1 a. On suppose que x > 1.

 Factoriser x² – 1 puis simplifier h (x)  h (1) x  1

 En déduire lim x  1⁺

h (x)  h (1) x  1 . b. On suppose que – 1 < x < 1.

 Factoriser 1 – x² puis simplifier h (x)  h (1) x  1

 En déduire lim x  1^–

h (x)  h (1) x  1 . Conclusion : on constate que lim

x  1⁺

h (x)  h (1)

x  1  lim x  1^–

h (x)  h (1)

x  1 . Donc h (x)  h (1)

x  1 n'a pas de limite quand x tend vers 1.

On en déduit que la fonction h n'est pas dérivable en 1 ( de la même façon, on pourrait démontrer qu'elle n'est pas dérivable en – 1 ).

Soit f une fonction et soit

D

C

Soient a et x deux réels de

D

* Si f (x)  f (a)

x  a admet une limite qui soit un réel lorsque x tend vers a, alors on dit que f est dérivable en a.

Cette limite se note alors f ' (a) ( c'est le nombre dérivé de f en a ).

On a donc : f ' (a) = lim x  a

f (x)  f (a) x  a

Graphiquement, f ' (a) représente le coefficient directeur de la tangente à

C

* Si f (x)  f (a)

x  a n'admet pas de limite ou possède une limite infini lorsque x tend vers a, alors on dit que f n'est pas dérivable en a.

Rappel de 1ère

Document disponible sur :

vh-dellac.webnode.fr Terminale - Ch 11 : Dérivation Page 3/9

Remarque :

On a vu précédemment que lim x  1⁺

h (x)  h (1)

x  1 = 2 et que lim x  1^–

h (x)  h (1) x  1 = – 2.

On peut dire que

C

2 tangentes " au point A d'abscisse 1 :

 l'une, T1, "à droite de A", de coefficient directeur 2

 l'autre, T2," à gauche de A", de coefficient directeur – 2

Sur la page suivante, on rappelle le tableau des dérivées usuelles ainsi que les formules d'opérations vues en 1^ère et en terminale : Cas 2 : Fonction non dérivable en a :

Tangente verticale en A

--- Cas 1 : Fonction dérivable en a :

f ' (a) désigne le cœfficient directeur de la tangente Ta

Deux " demi-tangentes"

au point A

( le point A s'appelle un point anguleux )

Interprétations graphiques

Document disponible sur :

vh-dellac.webnode.fr Terminale - Ch 11 : Dérivation Page 4/9

Dérivées des fonctions usuelles

Fonction f Définie sur Dérivable sur Dérivée f '

f (x) = k

( fct constante )   f ' (x) = 0

f (x) = a x + b

( fct affine )   f ' (x) = a

f (x) = x²   f ' (x) = 2 x

f (x) = x³   f ' (x) = 3 x²

f (x) = xⁿ  (pour n  0)

 – {0} (pour n < 0)

 (pour n  0)

 – {0} (pour n < 0) f ' (x) = n x^n1 f (x) = 1

x  – {0}  – {0} f ' (x) =  1 x²

f (x) = x [ 0 ;   [ ] 0 ;   [ f ' (x) = 1

2 x

f (x) = ex

  f ' (x) = ex

f (x) = ln x ] 0 ;   [ ] 0 ;   [ f ' (x) = 1

x

f (x) = cos x   f ' (x) =  sin x

f (x) = sin x   f ' (x) = cos x

Dérivées des fonctions usuelles

Formules de calcul des dérivées

( dans tout ce qui suit, u et v désignent des fonctions )

Fonction f Dérivée f '

f (x) = u (x) + v (x) f ' (x) = u ' (x) + v ' (x) f (x) = u (x) – v (x) f ' (x) = u ' (x) – v ' (x) f (x) = k × u (x) ( k constante réelle) f ' (x) = k × u ' (x)

f (x) = u (x) × v (x) f ' (x) = u ' (x) × v (x) + u (x) × v ' (x) f (x) = u (x)

v (x) ( v (x) 0 ) f ' (x) = u ' (x) × v (x)  v ' (x) × u (x) v (x)²

Opérations sur les dérivées

Document disponible sur :

vh-dellac.webnode.fr Terminale - Ch 11 : Dérivation Page 5/9

Objectif n° 2 : Composée des fonctions Exercice 2 :

Considérons les deux fonctions u et v définies par u (x) = 3x – 1 et v (x) = 2x² 1. Compléter le tableau ci-dessous en détaillant les calculs effectués.

u (4) = ... v (u (4)) = v (... ) = ... On a donc : 4

  u

...

  v

...

u ( 2) = ...

v (u ( 2)) = v (... ) = ... On a donc : – 2

  u

...

  v

...

2. On va généraliser les calculs précédents; prenons un réel x quelconque : x

  u

...

  v

...

On dit que l'on a " composé les fonctions u et v ". On obtient ainsi une nouvelle fonction f définie par f (x) = v (u (x)) On a donc v (u (x)) = ………

Remarque :

Lorsqu'on compose deux fonctions u et v , on définit ainsi une nouvelle fonction ( notée f dans l'exercice précédent ) définie par f (x) = v (u (x) ) . Cette fonction se note v ^○u ( on lit v "rond" u ) et on a donc v ○u (x) = v ( u (x) )

On en déduit la définition suivante :

Remarque :

Notez bien que la fonction v ^○u est la composée de u suivie de v car on applique d'abord la fonction u et ensuite la fonction v . Exercice 3 :

Reprenons les données de l'exercice 2 : u (x) = 3x – 1 et v (x) = 2x² . On a déterminé dans l'exercice 2 que v ^○u (x) = 18x² – 12x + 2 1. Compléter le tableau ci-dessous en détaillant les calculs effectués.

v (4) = ... u (v (4)) = u (... ) = ... On a donc : 4

  v

...

  u

...

v (– 2) = ... u (v (– 2)) = u (... ) = ... On a donc : – 2

  v

...

  u

...

2. On va généraliser les calculs précédents; prenons un réel x quelconque : x

  v

...

  u

...

Dans cette question, on a défini la fonction

u

v

3. Que remarquez-vous entre v ○u (x) et u ^○v (x) Soient u et v deux fonctions.

On note v ^○u ( on lit v "rond" u ) la fonction définie par v ^○u (x) = v ( u (x) ) On dit que la fonction v ^○u est la composée de u suivie de v.

On peut illustrer cette fonction à l'aide du "schéma de décomposition" ci-contre :

x

  u

u (x) X

  v

v (X) = v ( u (x) ) Définition

Document disponible sur :

vh-dellac.webnode.fr Terminale - Ch 11 : Dérivation Page 6/9

Remarque : l'exercice 3 met en évidence le résultat suivant : La composition des fonctions n'est pas commutative.

De façon générale v ○u  u ○v

Exercice 4 :

Considérons la fonction f définie par f (x) =

e

x

.

Cette fonction se décompose sous la forme v ^○u où u et v sont les fonctions définies par u (x) = x

x – 1 et v (x) = e^x. Le schéma de décomposition est donné ci-contre :

x

  u

u (x) = x x – 1 X

  v

v (X) = e^X =

e

x

Pour chacune des fonctions f définies ci-dessous, décomposer f sous la forme v ^○u en précisant l'expression des fonctions u et v et en faisant le schéma de décomposition.

1. f (x) = ( x² – 5x )³ 2. f (x) = 8x – 5 3. f (x) = cos ( x² + 4 ) 4. f (x) = e^x e^x – 1 Exercice 5 :

Considérons les fonctions les deux fonctions u et v définies par u (x) = x + 1 et v (x) = 1 x Donner l'expression des fonctions v ^○u et u ^○v

Exercice 6 :

Soit u une fonctions définie sur  et soit v une fonction définie sur [ 0 ; +  [.

Leurs courbes représentatives C_u et C_v sont données ci-contre.

1. A l'aide du graphique, déterminer la valeur de chacun des nombres suivants : u ^○v (1) = ……. v ^○u (– 2) = …….

2. Expliquer pourquoi on ne peut pas calculer chacun des nombres u ○v (– 1) et v ○u (1).

C_u

C_v

Document disponible sur :

vh-dellac.webnode.fr Terminale - Ch 11 : Dérivation Page 7/9

Exercice 7 :

Considérons les deux fonctions u et v définies par u (x) = x² – 1 et v (x) = 2 x

La feuille de tableur ci-contre donne certaines valeurs de u (x) et de v ^○u (x).

1. Quelle formule a été saisie dans la cellule B2 pour que la colonne B ait pu être complétée en recopiant vers le bas ?

2. Quelle formule a été saisie dans la cellule C2 pour que la colonne C ait pu être complétée en recopiant vers le bas ?

3. Comment expliquer l'affichage de la cellule C5 ?

Document disponible sur :

vh-dellac.webnode.fr Terminale - Ch 11 : Dérivation Page 8/9

Objectif n° 3 : Dérivation de la composée de deux fonctions Exercice 8 :

1. Compléter le tableau de dérivées ci-dessous :

Fonction e^x e^{u (x)} ln x ln ( u (x) ) cos x sin x 1

x x

x

Dérivée

2. En observant les 4 premiers résultats du tableau précédent, on peut remarquer que:

* pour dériver e^{u (x)}, on dérive " comme s'il s'agissait de e^x , puis on multiplie par u ' (x) ".

* pour dériver ln ( u (x) ), on dérive " comme s'il s'agissait de ln x , puis on multiplie par u ' (x) ".

On admet que les remarques précédentes se généralisent pour toutes les autres fonctions composées, comme cos ( u (x) ), u (x) ... . Compléter alors le tableau suivant :

Fonction cos ( u (x) ) sin ( u (x) ) 1

u (x) u (x)

u (x)

Dérivée

L'exercice 8 met en évidence le résultat suivant:

Vous trouverez en dernière page les tableaux récapitulatifs des calculs de dérivées vues en 1^ère et en terminale.

Exercice 9 :

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer la dérivée et dresser le tableau de variations de la fonction : 1. f (x) = e^x²–x–2 2. g (x) = ln ( 3 + 2e^x ) 3. h (x) = 3x² + 2 4. i (x) = ( 2x² –5 )⁵ Exercice 10 :

La courbe ci-contre est la représentation graphique de la fonction f définie sur  par f (x) =

x e

On a également tracé les tangentes aux points A et B d'abscisses respectives – 1 et 1.

1. Emettre une conjecture au sujet des tangentes (d ) et (d ’) 2. Démontrer que pour tout réel x, on a f ' (x) = (12x²)e^x2 3. Démontrer que l'équation réduite de (d ) est : y = 3e x + 2e 4. Déterminer l'équation réduite de (d ’).

5. La conjecture de la question 1 est-elle validée ? Soient u et v deux fonctions dérivables.

Alors la fonction v ^○u est dérivable et on a : ( v ^○u )

'

'

'

---

Document disponible sur : vh-dellac.webnode.fr Terminale - Ch 11 : Dérivation Page 9/9

Dérivées des fonctions usuelles Formules de calcul des dérivées

( dans tout ce qui suit, u et v désignent des fonctions )

Fonction f Définie sur Dérivable sur Dérivée f ' Fonction f Dérivée f '

f (x) = k

( fct constante )   f ' (x) = 0 f (x) = u (x) + v (x) f ' (x) = u ' (x) + v ' (x)

f (x) = a x + b

( fct affine )   f ' (x) = a f (x) = u (x) – v (x) f ' (x) = u ' (x) – v ' (x)

f (x) = x2

  f ' (x) = 2 x f (x) = k × u (x)

( k constante réelle ) f ' (x) = k × u ' (x) f (x) = x3

  f ' (x) = 3 x2 f (x) = u (x) × v (x) f ' (x) = u ' (x) × v (x) + u (x) × v ' (x)

f (x) = xn  (pour n  0)

–{0}(pour n < 0)

 (pour n  0)

–{0}(pour n < 0) f ' (x) = n x n  1

f (x) = [ u (x) ] n f ' (x) = n × u ' (x) × [ u (x) ] n  1 f (x) = 1

x –{0} –{0} f ' (x) =  1

x2 f (x) = u (x)

v (x) ( v (x) 0 )

f ' (x) = u ' (x) × v (x)  v ' (x) × u (x) v (x)²

f (x) = x [ 0 ;   [ ] 0 ;   [ f ' (x) = 1

2 x

f (x) = u (x)

( u (x) > 0 ) f ' (x) = u ' (x)

2 u (x) f (x) = ex

  f ' (x) = ex f (x) = 1

u (x) ( u (x) 0 )

f ' (x) =  u ' (x) u (x)²

f (x) = ln x ] 0 ;   [ ] 0 ;   [ f ' (x) = 1

x f (x) = eu (x)

f ' (x) = u ' (x) × eu (x)

f (x) = cos x   f ' (x) =  sin x f (x) = ln ( u (x) )

( u (x) > 0 ) f ' (x) = u ' (x)

u (x)

f (x) = sin x   f ' (x) = cos x f (x) = cos ( u (x) ) f ' (x) =  u ' (x) × sin ( u (x) )

f (x) = sin ( u (x) ) f ' (x) = u ' (x) × cos ( u (x) ) f (x) = ( v ^○u )(x) f ' (x) = u

'

'