Stanislas
Exercices
Nombres complexes
Chapitre V MPSI 1
2015/2016
I - Échauement
Exercice 1. (Géométrie,-)Soitz un nombre complexe de module1. Calculer |1 +z|2+|1−z|2. Exercice 2.Déterminer l'ensemble des nombres complexesz∈C\{1}tels que
z+1 z−1
2
soit
1. réel. 2.imaginaire pur. 3. de module1.
Exercice 3. (!)Trouver les applicationsf : C→Ctelles que pour toutz∈C,f(z)+if(z) = 2i.
Exercice 4. (Trigonométrie,-)Soitθ∈R. Montrer que 1. cos(4θ) = 8 cos4θ−8 cos2θ+ 1.
2. sin(4θ) = 4 sinθcosθ−8 sin3θcosθ.
3. Linéariser cos5(θ). 4. Développersin(6θ).
Exercice 5. (-)Soitn un entier naturel. Calculer les sommes Pn
k=0 n k
cos(kx) et Pn
k=0 n k
sin(kx).
Exercice 6.Soientx∈Retn∈N?.
1. Exprimer(cosx)n en fonction des (cos(kx),−n6k6n).
2. Exprimercos(nx) en fonction des (cos(x)k)k∈N. II - Inégalités
Exercice 7. (Inégalité de Cauchy-Schwarz - Cas complexe♥)Soientn∈N?,a1, . . . , anetb1, . . . , bn des nombres complexes. On noteA=
n
P
j=1
|aj|2,B =
n
P
j=1
|bj|2,C=
n
P
j=1
ajbj.
1. Calculer Pn
j=1
|Baj−Cbj|2.
2. En déduire que
n
P
j=1
ajbj
2
6
n
P
j=1
|aj|2·
n
P
j=1
|bj|2.
Exercice 8. (Inégalité triangulaire généralisée,♥)Soient n ∈ N? et z1, . . . , zn des nombres com- plexes.
1. Montrer que|z1+· · ·+zn|6|z1|+· · ·+|zn|.
2. Montrer que s'il existei, j ∈J1, nKtels quei6=j etzizj 6∈R+, alors l'inégalité de la question précédente est stricte.
3. En déduire que |z1 +· · ·+zn|= |z1|+· · ·+|zn| si et seulement si pour tout (i, j) ∈ J1, nK, zizj ∈R+. Donner une interprétation géométrique de ce résultat.
Exercice 9.Soientzun nombre complexe de module diérent de1etnun entier naturel non nul.
Montrer que
1−zn 1−z
6 1−|z|1−|z|n. III - Racines & Équations
Exercice 10. (Racines de l’unité,-)Soitx=ei2π7 . On poseA=x+x2+x4 etB =x3+x5+x6. CalculerA+B puisAB. En déduire les valeurs deA etB.
Stanislas A. Camanes
Exercices. Nombres complexes MPSI 1
Exercice 11. (Équations,-)Résoudre dans Cles équation suivantes d'inconnue z. 1. z2+z+ 2 = 0;
2. Pourθ réel,z2−2 cos(θ)z+ 1 = 0; 3. z2−2(2 +i)z+ 6 + 8i= 0;
4. z2−(4 +i)z+ 5(1 +i) = 0;
5. z2−iz+ (1−3i) = 0; 6. z4−4iz2+ 4 = 0; 7.
z+i z−i
3
+
z+i z−i
2
+
z+i z−i
+ 1 = 0.
Exercice 12.Soit n∈N?. Résoudre les équations suivantes.
1. z2n+zn+ 1 = 0. 2.
1+iz 1−iz
n
= 1+i1−itantanαα, α ∈]−π2,π2[.
Exercice 13. (!)Soientn∈Netz∈Ctels que1 +z+z2+· · ·+zn−1−nzn= 0. Montrer que
|z|61.
Exercice 14.Soit α ∈ R. Étudier, selon les valeurs de α, l'ensemble des solutions de l'équation z+|z|=α+i.
Exercice 15.Déterminer l'ensemble des couples(a, b)∈C2 tels que|a+b|=|a|=|b|.
Exercice 16. (Racines de l’unité,-) Soit n un entier supérieur ou égal à 2 et ζ0, . . . , ζn−1 les racinesn-ièmes de l'unité. Calculer, pour tout nombre complexez,
1. A1=
n−1
P
k=0
|ζk−1|2. 2. A2=
n−1
P
k=0
(z+ζk)n.
3. A3 =
n−1
P
k=0
|ζk−1|. 4. A4 =
n
P
k=0 n k
cos2kπn .
Exercice 17.Soit nun entier naturel non nul. Pour tout nombre complexe λ=e2inx de module 1, déterminer l'ensemble des nombres complexes ztels que (z−1)n−λ(1 +z)n= 0.
IV - Nombres complexes & Géométrie
Exercice 18.Déterminer l'ensemble des points d'axe ztels que
1. |z−i|=|z+i|. 2.|z|= |z|1 =|1−z|. 3. z+z=|z|.
Exercice 19. (Triangles équilatéraux,♥)Soient trois pointsA, B, C trois points du plan deux à deux distincts d'axes respectifs a, b et c. Montrer que ABC est un triangle équilatéral si et seulement sia2+b2+c2−ab−ac−bc= 0.
Exercice 20. (!)Soienta, b, c, d∈C distincts. On considère les quantités d−ab−c, d−bc−a,et d−ca−b. 1. Montrer que si deux de ces nombres sont imaginaires purs, il en va de même du troisième.
2. Interpréter ce résultat géométriquement.
Stanislas A. Camanes
