E Systèmes électromécaniques

(1)

Haute Ecole d’Ingénierie et de Gestion Du Canton du Vaud

CD\SEM\Exercices\Ex02 – Conversion d’énergie.doc Marc Correvon

Systèmes électromécaniques

__________

Chapitre 2

C ONVERSION D ’ ÉNERGIE

E ^XERCICES

(2)

(3)

CONVERSION D’ENERGIE : exercices Page 1

1. THÉORIE.

1.1 DONNÉE

Soit un aimant et deux enroulements couplés magnétiquement.

u₁ i₁

u₂ i₂

N

S

x

0

Bobine b1

Bobine b2 Aimant a1

Figure 1-1 : Systèmes électromagnétiques

On connaît les grandeurs suivantes :

Enroulement 1

N1 : Nombre de spires de l’enroulement 1 I1 : Courant circulant dans l’enroulement 1

Λb1b1(x) : Perméance propre du circuit magnétique vu par l’enroulement 1

Λb1b2(x) : Perméance mutuel du circuit magnétique liant l’enroulement 2 à l’enroulement 1 Λb1a1(x) : Perméance mutuel du circuit magnétique liant l’aimant 1 à l’enroulement 1 Enroulement 2

N2 : Nombre de spires de l’enroulement 2 I2 : Courant circulant dans l’enroulement 2

Λb2b2(x) : Perméance propre du circuit magnétique vu par l’enroulement 2

Λb2b1(x) : Perméance mutuel du circuit magnétique liant la bobine 1 à l’enroulement 2 Λb2a1(x) : Perméance mutuel du circuit magnétique liant l’aimant 1 à l’enroulement 1 Aimant 1

ϑa : Potentiel magnétique (force magnétomotrice) de l’aimant Λa1a1(x) : Perméance propre vue par l’aimant

Λa1b1(x) : Perméance mutuel du circuit magnétique liant l’aimant 1 à la l’enroulement 1 Λa1b2(x) : Perméance mutuel du circuit magnétique liant l’aimant 1 à la l’enroulement 2

Rappel :

∑ ∑

= =

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

= ^k ∂

n k

m

nm n

tot i x

F

1 1

2

1 ψ

, v

x t x x u t

k

m nm n

n

in ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂∂

∂ =

∂ ∂

= ∂

∂

= ∂

∑

=1

ψ ψ ψ

1.2 QUESTIONS

CD\SEM\Exercices\Ex02 – Conversion d’énergie.doc

(4)

Seules les grandeurs définies ci-dessus doivent être utilisées

1. Déterminer le flux totalisé Ψb1 circulant dans la bobine 1 (flux propre + flux crée par la bobine 2 + flux crée par l’aimant 1).

2. Déterminer le flux totalisé Ψb2 circulant dans la bobine 2 (flux propre + flux crée par la bobine 1 + flux crée par l’aimant 1).

3. Déterminer le flux circulant dans l’aimant φa1 (flux propre + flux crée par la bobine 1 + flux crée par la bobine 2).

4. Déterminer la force totale produite par une variation de la variable x correspondant à une déformation du circuit magnétique liant les deux enroulements et l’aimant.

5. Déterminer la tension induite u_ib1[mvt] et u_ib2[mvt]de mouvement dans chaque enroulement.

(5)

2. ELECTRO-AIMANT (I)

Soit le montage électromagnétique suivant :

Sa = 1 [cm²] Section de l’aimant vu par le flux le traversant

la = 1 [cm] Longueur de l’aimant Sfer = 1 [cm²] Section du circuit magnétique lfer = 20 [cm] Longueur totale du fer efer = 1 [cm] Epaisseur du fer

δ = 1 [mm] Longueur totale de l’entrefer μfer = 500 [1] Perméabilité relative du fer 0

δ/2

l_fer

l_a

F

e_fer

x

x y

Caractéristique de l’aimant : voir page 7

Figure 2-1 : Electroaimant

Le circuit magnétique (partie fixe et partie mobile) a une épaisseur efer et une longueur lfer. Sa section est S_fer =(e_fer)². L’aimant a une longueur l_a et une section S_a identique à celle du circuit magnétique

Hypothèse :

Le circuit ne présente pas de flux de fuite. On admet que tant que la partie mobile couvre au moins la moitié de la section magnétique

4 4

fer

fer e

e x

≤

− il n’y a pas de phénomène de franges dans l’entrefer

2.1 DONNÉE

Le circuit ferromagnétique est constitué d’une partie fixe de perméabilité μfer et d’une partie mobile de même perméabilité que le circuit ferromagnétique.

La variable x donne le déplacement de la partie mobile par rapport à sa position de référence correspondant au point milieu de l’entrefer

1. Déterminer le point de fonctionnement de l’aimant en fonction de la position de la partie mobile.

2. Calculer analytiquement le flux dans le circuit magnétique en fonction de la position de la partie mobile x.

3. Calculer la force en utilisant la dérivée du flux en fonction de la position.

4. Tracer sous Matlab la droite de retour de l’aimant ainsi que les droites de charge correspondant à x=-e_fer/4, 0, +e_fer/4

5. Tracer sous Matlab le flux et la force en fonction de la position x

(6)

3. ELECTRO- AIMANT (II)

δ = 1 [mm] Longueur totale de l’entrefer μfer = 500 [1] Perméabilité relative du fer Caractéristique de l’aimant : voir page 7

l_a

e_fer +i_b

-i_b

N_bspires

0 δ/2

δ/2

l_fer

F

x x y

Nb = 200 [1] Nombre de spires de la bobine Figure 3-1 : Electroaimant ib = ±4 [A] Plage de courant dans la bobine Hypothèse :

4 4

fer

fer e

e x

≤

3.1 DONNÉE

Le circuit ferromagnétique est constitué d’une partie fixe et d’une partie mobile dans la perméabilité relative vaut μr.

1. Déterminer le point de fonctionnement de l’aimant en fonction de la position de la partie mobile et du courant dans la bobine, tracer les droites de charge correspondantes à l’aide de Matlab

2. Calculer analytiquement les flux propres et mutuel dans le circuit magnétique en fonction de la position x de la partie mobile et du courant i dans la bobine.

3. Calculer la force électromagnétique agissant sur la partie mobile en fonction de la position et du courant dans la bobine.

4. Tracer sous Matlab le flux et la force en fonction de la position x

(7)

4. ELECTRO- AIMANT (III)

δ = 1 [mm] Longueur totale de l’entrefer μfer = 500 [1] Perméabilité relative du fer Nb = 200 [1] Nombre de spires de la bobine l_a

e_fer

N_bspires

0 δ/2

δ/2

l_fer

x x y

u (t)i v(t)

Caractéristique de l’aimant : voir page 7

Figure 4-1 : Electroaimant

Hypothèse :

4 4

fer

fer e

e x

≤

4.1 DONNÉE

Le circuit ferromagnétique est constitué d’une partie fixe et d’une partie mobile dans la perméabilité relative vaut μr.

1. Trouver l’expression analytique de la tension induite dans la bobine (non alimentée) lorsque la partie mobile se déplace selon un mouvement sinusoïdal selon la relation :

) 4 cos(

)

( e t

t

x =− ^fer ω 4.1

2. Tracer, à l’aide de Matlab, la position, le flux et la tension induite en fonction du temps. Que peut-on dire sur le comportement du système

(8)

5.1 DONNÉES

5. CONVERSION D’ÉNERGIE.

Soit le montage suivant

Hypothèse

Données techniques : Bobine N°1

N₁ = 1000 [1]

R₁=12 [Ω]

Bobine N°2

N₂ = 1000 [1]

R₂=12 [Ω]

Bielle

r=5 [mm]

δmin=0.2 [mm]

Circuit magnétique μrfer=500 [1]

Lfer=150 [mm]

S_fer=400 [mm²] Ω=2π50 [rad/s]

Rappel : μ

1. Déterminer (sans faire d’application numérique) la tension à vide aux bornes du bobinage N°2 lorsque le bobinage N°1 est alimenté avec un courant constant de 1A.

− Pas de flux de fuite ou d’effet de frange du champ d’induction magnétique

− Perméabilité relative du fer constante

0=4π10^-7 [Vs/Am]

Figure 5-1 : Système électromécanique

(9)

N D’ENERGIE : exercices Page 7

Figure 5-2 : Caractéristique BH de l’aimant

Material Remanence Coercivity Energy Density Max. Continuous

Temperature Material

Code

B_r typ

B_r min

H_cB typ

H_cB min

H_cJ typ

H_cJ min

(BH)_max typ325

(BH)_max min

Tmax 70°C 1.23T 1.12T 950 kA/m 765 kA/m 1200 kA/m 966 kA/m 292 KJ/m³ 214 KJ/m³

F 160 ^o 27 MGOe

37 MGOe 12.1 kOe

15 kOe 9.6 kOe

11.9 kOe 11.2kG

12.3kG VACODYM

335 AP CONVERSIO

(10)

6. TENSION INDUITE DE MOUVEMENT.

6.1 DONNÉE

Un disque comprenant un aimant de forme sectorielle (partie hachurée) tourne dans le sens trigonométrique inverse (sens des aiguilles d’une montre) de manière continue à l’intérieur d’un stator comprenant une bobine dont on mesure la tension induite à ces bornes

R1 R2 axe de référence

L’induction dans l’entrefer vaut Bδ lorsque l’aimant se trouve tout ou en partie dans la zone ou se trouve le circuit magnétique.

Vitesse angulaire de rotation du disque Ω = 1500 [t/min]

Rayon extérieur de l’aimant R1 = 70 [mm]

Rayon intérieur de l’aimant R2 = 50 [mm]

Champ d’induction dans entrefer B^B_δ = 0.3 [T]

L’induction dans l’entrefer vaut Bδ lorsque l’aimant se trouve tout ou en partie dans la zone ou se trouve le circuit magnétique.

Le dessin de droite vous aidera à définir les divers secteurs à étudier. Pour simplifier choisir le sens trigonométrique inverse comme positif (définition arbitraire sans importance).

Hypothèses

− Pas de flux de fuite ou d’effet de frange du champ d’induction magnétique.

− Perméabilité relative du fer infinie.

Remarques

N’ayant pas le sens de la polarité de l’aimant ni la polarité de la mesure de la tension induite, On admettra que lorsque la section de recouvrement de l’aimant est croissante, la tension induite est positive

6.2 QUESTIONS

1. Déterminer les zones distinctes observables

2. Déterminer analytiquement et numériquement la tension induite en fonction de l’angle α 3. Tracer un graphe u_i=f(α).

(11)

CONVERSION D’ENERGIE : exercices corrigés Page 9

1. THÉORIE 1.1 CORRIGÉ

1.1.1 Flux totalisé Ψb1 circulant dans la bobine 1

( )

(

₁₁ ₁ ₁ ₁ ₂ ₂ ₂ ₁ ₁ ₁

)

1

1 1 2 1 1 1 1 1 1 1

a a b b

b b

b

a b b b b b b

b

I N I

N N

ϑ φ

φ φ

φ ψ

Λ + Λ

+ Λ

=

+ +

=

1.1

1.1.2 Flux totalisé Ψ_b2 circulant dans la bobine 2

( )

(

2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1

)

2

1 2 1 2 2 2 2 2 2 2

a a b b

b b

b

a b b b b b b

b

I N I

N N

ϑ φ

φ φ

φ ψ

Λ + Λ

+ Λ

=

+ +

=

= 1.2

1.1.3 Flux circulant dans l’aimant φ_a1

1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 1 1 1 1 1

I N I

N _a _b

b a a a a

b a b a a a a

Λ + Λ

+ Λ

=

+ +

=

ϑ

φ φ φ

φ 1.3

1.1.4 Force totale

( )

( ) ( )

( )

) 2(

1 2 1 2 1 2 1 2 1

2 1 2

1

2 2 1 1 2 2

1 1 2

1 1 1 1 1 1

1 1 1

1 1 2 2 2 1 1

2 2 1

2

2 2 1 2 1 2 2 1 1 2

2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2

1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 1

2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1

1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1

1 1 2

2 1

1

1 1

4 4 4 4

4 3

4 4 4 4

4 2

1

4 4 4 4

4 3 4

4 4 4

4 2

1

4 4 4 4

4 3

4 4 4 4

4 2

1

I N a b a a

a b

I N a b a a

a b

I N I N b b b

b

a a a b

b b

b

a b

a a a a

a a b b

b b

b

a a b b

b b

b

a a b

b k

n k

m

nm n

a a b b

a a b

a a b b

a a b

b b b

I N I

N

I N I

N

I N I N I

N I N

I N I

N

I N I

N

I I

N I

N N

I I

N I

N N

I x I x

x i x

F

ϑ ϑ

ϑ ϑ ϑ

ϑ ϑ

φ ϑ ψ

ψ ψ

Λ

⇒ Λ

= Λ

Λ

⇒ Λ

= Λ

Λ

⇒ Λ

= Λ

= =

Λ + Λ

+

Λ + Λ

+

Λ + Λ

+

Λ + Λ

+ Λ

=

Λ + Λ

+ Λ

+

Λ + Λ

+ Λ

+

Λ + Λ

+ Λ

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛∂∂ + ∂∂ + ∂∂

⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

=

∑ ∑

∂

1.4

( ) ( )

( )

4 4 4 4 4 4 4

4 3

4 4 4 4 4 4 4

4 2

1

4 4 4 4 4 4

4 3

4 4 4 4 4 4

4 2

1

nétique électromag Force

a a b a

a b b

b

réluctante Force

a a a b

b b

b

I N I

N I

N I N

I N I

N F

2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1

2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1

2 1

1

ϑ ϑ

ϑ Λ + Λ

+ Λ

+

Λ + Λ

+ Λ

=

1.5

(12)

1.1.5 Tension induite u_ib1[mvt] et u [mvt]de mouvement dans chaque enroulement. _ib2 x v

t x x t

u t

k

m

nm k

m

nm k

m

nm n

mvt

in

∑ ∑ ∑

=

= ∂

∂∂

∂

= ∂

∂

= ∂

∂

= ∂

1 1

1 ]

[

ψ ψ

ψ

ψ 1.6

(

^N ^I ^N ^N ^I ^N

)

^v

x v x

u x

a a b b

b b

b

a b b

b b

b mvt

ib

1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1

1 1 2

1 1

1 ]

[ 1

ϑ ψ

ψ ψ

Λ + Λ

+ Λ

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛∂∂ +∂ ∂ +∂∂

=

1.7

(

^N ^I ^N ^N ^I ^N

)

^v

x v x

u x

a a b b

b b

b

a b b

b b

b mvt

ib

1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2

1 2 1

2 2

2 ]

[ 2

ϑ ψ

ψ ψ

Λ + Λ

+ Λ

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛∂ ∂ +∂ ∂ +∂ ∂

=

1.8

(13)

2. ELECTRO-AIMANT (I) 2.1 CORRIGÉ

2.1.1 Recherche du point de fonctionnement de l’aimant Théorème d’Ampère

=0 +

+ _fer _fer

a

al H H l

H _δδ _2.1

Relation entre B et H dans l’entrefer

δ

δ μH

B = ₀ _2.2

Conservation du flux sur l’ensemble du circuit magnétique

fer fer a

aS B S x B S

B

x) = = ( )=

( _δ _δ

φ _2.3

) (

2 2 2

x e e S

e S

e e S

fer fer

fer a a

−

=

δ

2.4

Définition des perméances internes à l’aimant, de l’entrefer et de la partie fer du circuit magnétique

fer fer fer fer

fer fer fer

a a d i

l S

x e e x S

l S

μ μ

δ μ δ

μ μ

δ

0

0 ( )

) (

= Λ

= −

= Λ

2.5

Droite de retour sur la caractéristique de l’aimant B0

H

B = μ_d + _2.6

Point de fonctionnement de l’aimant B^B_a=f(B₀) et H_a=f(H₀)

) 0

( ₀

0 0

0 + + =

⎪⎪

⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

fer fer fer

a a a

fer fer

a a fer

fer fer

a a

S l S B x

S S l B

H S S B B

H

S S B H B

μ δ μ μ

μ μ μ μ

μ μ

δ δ

2.7

De cette relation on peut écrire une relation liant Ba à Ha (droite de charge)

(14)

d a fer

i i

a a fer fer fer

a a

B B x

l l S S l

S

H S δ μ μ μ

μ _δ ⎟⎟ = −^⎜⎜_⎝^⎛Λ_δΛ + ΛΛ ^⎟⎟_⎠^⎞

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

−

= ₀ ₀ ( ) ^2.8

L’intersection de la droite de charge avec la droite de retour peut être calculée à l’aide des relations 2.6 et 2.8

a fer

i i

a fer fer fer a

a d a

a d

a B

B x S B

l l

S S

l B S

B ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

Λ + Λ Λ

− Λ

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

−

= ⁰ ₀ _δ μ μ₀μ ⁰ _δ( )

μδ

μ 2.9

Relation entre Ba et B0

0

0 ( ) ( )

) ( )

1 (

1 B

x x

B x x

B

fer i i

fer

fer i i

a Λ Λ +Λ Λ +Λ Λ

Λ

= Λ

Λ + Λ Λ

+ Λ

=

δ δ

δ

2.10

Relation entre H_a et H₀

( )

0

0 0

) ( )

(

) (

) 1 ( )

(

) 1 (

x H x

x

B x

x B x

B H

fer i i

fer

fer i i

d fer

i i

fer

fer a

d a

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

Λ Λ + Λ Λ + Λ Λ

Λ Λ + Λ

− Λ

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

Λ

= Λ

−

=

δ δ

δ

δ δ

δ

μ μ

2.11

Remarque.

Il est beaucoup plus simple de passer par le schéma équivalent du système

ϑa=H₀l_a

Λi Λ

fer

Λ_δ(x) φ

Figure 2-1 : Schéma équivalent

De ce schéma, on peut calculer le champ d’induction magnétique B dans l’aimant

a a fer i

fer i

a B S

x l x

H ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

+ Λ + Λ

= Λ

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

+ Λ + Λ

= Λ 1

) ( 1 1

1 ) ( 1 1

0 δ δ

φ _2.12

a fer

i i

a a d a fer i

x B l

B S B x

i

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

Λ + Λ Λ + Λ

⎟ =

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+Λ + Λ

= Λ

Λ

) 1 (

1 ) ( 1 1

0

δ δ

μ 3 2

1 ^2.13

(15)

0

0 ( ) ( )

) ( )

1 (

1 B

x x

B x x

B

fer i i

fer

fer i i

a Λ Λ +Λ Λ +Λ Λ

Λ

= Λ

ΛΛ ΛΛ +

+

=

δ δ

δ

2.14

Cette relation est identique à 2.10

2.1.2 Flux dans le circuit magnétique en fonction de la position de la partie mobile Le flux propre à l’aimant circulant dans le circuit magnétique est donné par la relation 2.3

a fer i i

fer

aa BS

x x

x ₀

) ( )

(

) ) (

( )

( Λ Λ +ΛΛ +ΛΛ

Λ

= Λ

=

δ δ

φ δ

φ _2.15

2.1.3 Force électromagnétique.

La force électromagnétique est donnée par la relation générale suivante

2

1 1 2

1 2

1

a a

k

n k

m

nm n

em i x x x

F ψ φθ θ

∂ Λ

= ∂

∂

= ∂

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

=

∑ ∑

∂

= = 2.16

Par conséquent

( )

0 2 2

2 0 2 2

2 2

2 0

) ( ) 1 (

) 1 2 (

1

1 1 ) ( 1

1 )

( ) 1 2 (

1

) ( 1

1 ) ( 1

1 )

( 2 1

1 1 ) ( 1

1 2

1

) ( )

(

) ( 2

1

a fer

i fer

a fer

i fer

a

i fer

a

i fer

a fer i i

fer

i fer em

e x

x x sign

e x

x x sign

x x x

l x H

x

x F x

δ θ μ

δ θ μ θ θ

δ δ

δ

δ δ

δ

δ δ

δ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

Λ + Λ Λ + Λ

−

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+ Λ + Λ Λ

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛Λ

−

=

∂ Λ

∂

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+ Λ + Λ

Λ Λ

∂ ∂

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+ Λ + Λ

∂∂ Λ

=

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

Λ Λ Λ

∂∂

=

2.17

Le signe (-) indique que la force électromagnétique est opposée au déplacement de la pièce ferromagnétique placée dans l’entrefer. La force donnée à la Figure 2-3 correspond à la force externe à appliquer pour équilibrer la force électromagnétique Fr_em Fr

−

= .

(16)

2.1.4 Droite de retour et droites de charges

La droite de retour est dépendante de la caractéristique de l’aimant uniquement. Les droites de charges dépendent de la perméance totale du circuit magnétique

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

x 10⁵ 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Droite de charge et droite de retour

H [A/m]

B [T]

x=0 x=±e_fer/4

Figure 2-2 : Droite de retour et droites de charge 2.1.5 Flux et force en fonction de la position x

La Figure 2-3 illustre les formes du flux et de la force en fonction de la position de la partie mobile.

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

x 10^-3 1.04

1.05 1.06 1.07

1.08x 10^-4 Flux dans le circuit magnétique

φ [Wb]

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

x 10^-3 -10

-5 0 5 10

Force électromagnétique

x [m]

Fem [N] Point d'équilibre stable

Figure 2-3 : Flux et force

(17)

CONVERSION D’ENERGIE : exercices corrigés Page 15 Le code Matlab est donné à la page suivante :

%---

% Cours de systèmes électromécaniques

% Exercice 1 chapitre 4

% Version 1 Date 11.05.2003

% Modification :

% Auteur : MCN

% --- close all, clear all, clc;

% Valeurs numériques

% ---

u0=4*pi*1e-7; % Perméabilité du vide Sfer=1e-4; % Section du circuit magnétique lfer=0.2; % Longueur du circuit magnétique efer=1e-2; % Epaisseur du circuit magnétique ufer=500; % Perméabilité relative du fer delta=1e-3 % Entrefer total

la=1e-2; % longueur de l'aimant Sa=1e-4; % Section de l'aimant

B0=1.23; % Caractéristique de l'aimant (B pour H=0) H0=950e3; % Caractéristique de l'aimant (H pour B=0) ud=B0/(H0); % Perméabilité relative de l'aimant

% Droite de retour

% --- H=linspace(-H0,0,1000);

B=ud*H+B0;

figure(1)

plot(H,B,'linewidth',1.5);

% Droite de charge

% ---

x=[-efer/4,0,efer/4] % Position de la partie mobile Rfer=lfer/(ufer*u0*Sfer); % Reluctance de la partie fer Ri=la/(ud*Sa); % Reluctance interne de l'aimant Re1=delta/(u0*efer*(efer-abs(x(1)))); % Reluctance de l'entrefer pour x=-efer/2 Re2=delta/(u0*efer*(efer-abs(x(2)))); % Reluctance de l'entrefer pour x= 0 Re3=delta/(u0*efer*(efer-abs(x(3)))); % Reluctance de l'entrefer pour x= efer/2 Ba=linspace(0,1.23,1000); % Variation de Ba entre 0 et 1.23 Tesla Ha1=-(Re1/Ri+Rfer/Ri).*Ba/(ud); % Variation équivalente de Ha pour x=-efer/2 Ha2=-(Re2/Ri+Rfer/Ri).*Ba/(ud); % Variation équivalente de Ha pour x= 0 Ha3=-(Re3/Ri+Rfer/Ri).*Ba/(ud); % Variation équivalente de Ha pour x= efer/2 figure(1); hold on;

plot(Ha1,Ba,Ha2,Ba,Ha3,Ba,'linewidth',1.5),grid; % Plot de la droite de retour et des droites de charge title('Droite de charge et droite de retour');

xlabel('H [A/m]'),ylabel('B [T]');

% Flux dans le circuit magnétique

% --- figure(2)

clear x;

x=linspace(-efer/4,efer/4,1000); % Variation de x entre –efer/2 et +efer/2 Rx=delta./(u0*efer*(efer-abs(x))); % Reluctance de l'entrefer équivalente flux=1./(1+Rfer/Ri+Rx/Ri)*B0*Sa; % Flux en fonction de x

subplot(2,1,1);

plot(x,flux,'linewidth',1.5),grid; % Plot du flux en fonction de x title('Flux dans le circuit magnétique');

ylabel('\phi [Wb]');

% Force électromagnétique

% ---

Fem=-1/2*sign(x).*(Rx./(Rx+Rfer+Ri)).^2*(u0*efer/delta)*(H0*la)^2; % Force électromagnétique en fonction de x subplot(2,1,2);

plot(x,Fem,'linewidth',1.5),grid, title('Force électromagnétique');

xlabel('x [m]'),ylabel('F_em [N]');

(18)

3. ELECTRO-AIMANT (II) 3.1 CORRIGÉ

3.1.1 Point de fonctionnement de l’aimant Ba=f(B^B0) et Ha=f(H0) Droite de charge

d a fer

i i

a b b a a fer fer fer

a a

b b a

b b fer fer fer

a a a

fer fer

a a fer

fer fer

a a

B x

l i B N

l l S S l

S S l

i H N

i N S l

S B x

S S l B

H S S B B

H

S S B H B

μ μ

δ μ μ

μ δ μ μ

μ μ μ

δ δ

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

ΛΛ ΛΛ +

−

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

−

=

⇒

= +

+

⎪⎪

⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

) ( )

(

0 0

3.1

On peut voir que le courant dans la bobine provoque un déplacement horizontal de la droite de charge.

Droite de retour B0

H

B = μ_d + _3.2

De cette relation on peut et de la droite de charge on peut déterminer le point de fonctionnement.

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

Λ

= Λ

⇒

⎟⎟ +

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

ΛΛ ΛΛ +

−

= +

=

0 0 0

) ( )

(

) (

l B i u N x x

B x

B x B

l i u N B H B

a b b d i

fer i fer

fer a

a fer

i i

a b b d a

d a

δ δ

δ

μ

3.3

Et pour le champ magnétique Ha

( )

0 0

0

) ( )

(

) ( )

( )

(

) (

) ( )

(

) ( 1

x H x

x l

i N x x

x

H l H

i N x x

x u H B B u B

H

i fer i fer

i fer i a

b b i

fer i fer

fer

a b b i

fer i fer

fer d

a a

d a

δ δ

δ

δ δ

δ

Λ Λ + Λ

− Λ Λ

Λ + Λ Λ + Λ Λ

Λ

= Λ

⎟−

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

Λ

= Λ

−

=

−

=

3.4

Remarques

On peut faire la même remarque que pour l’exercice précédent en ajoutant le principe de superposition pour le flux. En effet à l’aide des relations 3.7 et 3.8, on peut écrire

(

_a _b_b

)

fer i

bb

aa H l N i

x x

x

x +

+ Λ + Λ

Λ

= +

= ₀

) ( 1 1

1 ) 1 ( ) ( ) (

δ

φ φ

φ 3.5

(19)

CONVERSION D’ENERGIE : exercices corrigés Page 17 φ

Λ_i Λ_fer

Λ_δ

H₀l_a

N_bi_b

Figure 3-1 : Flux et force

3.1.2 Flux propres et mutuels

3.1.2.1 Flux total dans le circuit magnétique

Le flux magnétique est identique en tout point du circuit magnétique. A l’aide de la relation 3.3, on peut écrire

( )

{

(

bb a

)

fer i

a a d a b b i

fer i fer

fer

a a

a d a

b b d i

fer i fer

fer

l H

H B

a a

b b d i

fer i fer

fer a

a

i N x

l S i u

x N x

x

l S l u

i u N x x

x

S l B

i u N x x

S x B x

i a

a d

θ

μ θ φ

δ

δ δ

δ

δ δ

δ ϑ μ μ

δ δ

δ

+ + Λ

+ Λ Λ

=

Λ + Λ + Λ Λ + Λ Λ

Λ

= Λ

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

Λ

= Λ

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

Λ

= Λ

=

Λ

==

) ( 1 1

1

) ( )

(

) (

) ( )

(

) (

) ( )

(

) ) (

(

0 0

0 0 0 0

3 2 1

3.6

φ θ =ℜ⋅

∑

k

La relation trouvée correspond bien à la relation générale : k

3.1.2.2 Flux propre de l’aimant

On entend ici par flux propre crée par l’aimant, le flux crée par l’aimant, circulant dans l’aimant.

a

fer i

aa H l

x

x ₀

) ( 1 1

1 ) 1 (

δ

φ

+ Λ + Λ Λ

= 3.7

3.1.2.3 Flux propre de la bobine

On entend ici par flux propre crée par la bobine, le flux crée par la bobine, circulant dans la bobine.

b b

fer i

bb N i

x x

) ( 1 1

1 ) 1 (

δ

φ

+ Λ + Λ

Λ

= 3.8

(20)

3.1.2.4 Flux mutuel aimant - bobine

On entend ici par flux mutuel aimant – bobine, le flux crée par la bobine circulant dans l’aimant

b b

fer i

ab N i

x x

) ( 1 1

1 ) 1 (

δ

φ

+ Λ + Λ

Λ

= 3.9

3.1.2.5 Flux mutuel bobine - aimant

On entend ici par flux mutuel bobine – aimant, le flux crée par l’aimant circulant dans la bobine.

a

fer i

ba H l

x

x ₀

) ( 1 1

1 ) 1 (

δ

φ

+ Λ + Λ Λ

= 3.10

3.1.3 Force électromagnétique.

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

²

0 2

2 0 2

2

2 2

1 1

) ( ) 1 (

) 1 2 (

1

) 2 ( ) 1 (

) 1 2 (

1

2 )

( 1 1

1

1 2

1

2 )

( 1 1

1

1 2

1

2 1 2

1 2

1

2 1 2

1 2

1

b b a fer

i fer

a b b b

b a

fer

i fer

a b b b

b a

fer i

a b b b

b a

fer i

b b ba a

ab b

b bb a

aa

b ba a

ab b

bb a

aa k

n k

m

nm n

em

i e N

x x x

sign

i N i

e N x

x x sign

i N i

x N x

i N i

N x

x

i x N i x

x N x

x i i x

x x

i x F

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

Λ + Λ Λ + Λ

−

=

+ +

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

Λ + Λ Λ + Λ

−

=

+

∂Λ +

∂

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+ Λ + Λ

Λ Λ

∂∂

=

+ +

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+ Λ + Λ

∂∂ Λ

=

∂ + ∂

∂

= ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

=

∑ ∑

∂

= =

δ θ μ

θ δ θ

μ

θ θ

θ φ φ θ φ

φ

θ ψ ψ θ ψ

ψ ψ

δ δ

δ

δ δ

δ

3.11

E Systèmes électromécaniques

Systèmes électromécaniques

C ONVERSION D ’ ÉNERGIE

E XERCICES

∑ ∑

∑

( )

(

)

I N I

N N

N N

ϑ φ

φ φ

φ ψ

Λ + Λ

+ Λ

=

+ +

=

=

( )

(

)

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

∑ ∑

( ) ( )

( )

∑ ∑ ∑

(

)

(

)

( )

∑ ∑

( )

( )

(

)

( )

(

)

∑

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

∑ ∑

E ^XERCICES