E Systèmes électromécaniques

Du Canton du Vaud

CD\SEM\Exercices\Chap3.doc Marc Correvon

Systèmes électromécaniques

__________

Chapitre 3

T RANSDUCTEURS ÉLECTRODYNAMIQUES

E ^XERCICES

Chapitre 3 : Exercices

CD\SEM\Exercices\Chap3.doc 1. ACTUATEUR ÉLECTRODYNAMIQUE.

1.1 DONNÉE

Soit le bras de lecture d’un disque dur.

α β

R r

N S

A A

I I

N S

e_a δ

l_a

Rayon supérieur R=40mm

Rayon inférieur r=30mm

Secteur d’un aimant β=50 Angle de référence de la partie

mobile en position centrale α=65 Largeur des aimants (R-r) R-r=10mm Epaisseur des aimants ea=2mm Entrefer (épaisseur des aimants

non compris) δ=6mm

Caractéristique d’aimantation des aimants

-H₀=-1000kA/m

B₀=1.3T

µ_d=1.05

Hypothèse :

− Perméabilité dans le fer infinie (µr=∞),

− Pas de flux de fuite, pas d’effets de franges

Calculer les points suivants (sans faire d’application numérique) : 1. L’induction dans l’entrefer.

2. Le couple en fonction de α agissant sur la partie mobile en utilisant Laplace.

3. Le couple en fonction de α agissant sur la partie mobile en utilisant la dérivée de l’énergie magnétique (coénergie).

4. Les limites de l’angle α pour un fonctionnement normal.

5. Que vaut le couple pour α = 30°.

Chapitre 3 : Exercices

CD\SEM\Exercices\Chap3.doc 2. LE HAUT PARLEUR

2.1 DONNÉE

La figure ci-dessous donne une vue en coupe d'un haut-parleur électrodynamique. Ce dispositif, qui présente une symétrie de révolution, comporte :

- un noyau en matériau ferromagnétique ;

- un aimant permanent magnétisé dans le sens axial (c'est-à-dire suivant l'axe x) ; - une bobine mobile comportant N spires, située au milieu de l'entrefer.

La bobine mobile est solidaire de la membrane dont elle commande le mouvement en vue de créer des ondes de pression et de produire un son.

La caractéristique de l’aimant nous donne le couple B0 et H0 avec

0 0

H u_d = B

Hypothèse :

− Perméabilité dans le fer (partie mobile et partie fixe) est infinie (µr=∞).

− Pas de flux de fuite, pas d’effets de franges (tous le flux passe par l’entrefer).

− La bobine se trouve entièrement dans l’entrefer

R

δ

l_b

l_δ

l_a

Bobine mobile aimant permanent

membrane élastique noyau ferromagn étique

entrefer

x

S N

δ

La force qu'exerce la bobine mobile sur la membrane lorsqu'elle est parcourue par un courant I est essentiellement d'origine électrodynamique et provient de l'interaction du courant I avec le champ créé par l’aimant (et donc avec le flux intercepté par la bobine dû à ce champ). Elle comporte également un terme d'origine réluctante dû aux variations de l'inductance propre de la bobine avec sa position. Ce terme est normalement négligeable devant le terme d'origine électrodynamique.

On demande de déterminer analytiquement : 1. Le flux propre de la bobine.

2. Le flux propre de l’aimant.

3. Le flux crée par la bobine circulant dans l’aimant ψ_ab 4. Le flux crée par l’aimant circulant dans la bobine ψ_ba

5. La force réluctante due aux variations des flux propres de la bobine et de l’aimant en fonction de la position de la bobine.

6. La force électrodynamique due aux variations des flux mutuels aimants – bobine et réciproquement en fonction de la position de la bobine.

7. Comparer le résultat du calcul de la force d’origine électrodynamique à un calcul de la force par Laplace (F =ilxB)

Chapitre 3 : Exercices

CD\SEM\Exercices\Chap3.doc 3. ACTUATEUR À CIRCUIT MAGNÉTIQUE SYMÉTRIQUE

3.1 DONNÉE

Soit le transducteur linéaire à circuit ferromagnétique symétrique suivant

N S

N S

S

N

N S

y

x

x dx

ε

l_b l_a

x y

e_a δ

h

e_f

h_f

Hypothèses :

- Circuit magnétique parfaitement symétrique - Pas de flux de fuite, ni d’effet de franges

- Perméabilité relative du fer très grande µr >> 1 On demande de déterminer analytiquement :

1. le flux propre d’un aimant.

2. Le flux propre de la bobine.

3. Le flux crée par la bobine circulant dans un aimant juxtaposé.

4. Le flux crée par un aimant circulant dans la bobine.

5. L’égalité entre la perméance mutuelle aimant - bobine Λba et la perméance mutuelle bobine - aimant Λab.

6. La force totale issue de cet actuateur.

7. La tension induite de mouvement

Chapitre 3 : Exercices

CD\SEM\Exercices\Chap3.doc 4. TRANSDUCTEUR LINÉAIRE A CIRCUIT MAGNÉTIQUE ASSYMÉTRIQUE

4.1 DONNÉE

Soit le transducteur linéaire à circuit ferromagnétique non symétrique suivant

h

δ e_a

x y

0

l_a

ε

l_b

l_b

e_fer e_fer e_fer

e_fer

e_fer

l_fer

l_fer

N_spires

e_fer

N

S

N S

Hypothèses :

- Circuit magnétique parfaitement symétrique - Pas de flux de fuite, ni d’effet de franges

- Perméabilité relative du fer très grande µ_r >> 1 On demande de déterminer analytiquement :

1. le flux propre d’un aimant.

2. Le flux propre de la bobine.

3. Le flux crée par la bobine circulant dans un aimant.

4. Le flux crée par un aimant circulant dans la bobine.

5. L’égalité entre la perméance mutuelle aimant - bobine Λ_ba et la perméance mutuelle bobine - aimant Λab.

6. La force réluctante issue de cet actuateur. (action des sources de potentiel magnétique sur eux-mêmes)

7. La force électrodynamique (action des mutuelles aimants bobine) 8. La tension induite de mouvement

Chapitre 3 : Exercices

CD\SEM\Exercices\Chap3.doc 5. MODÉLISATION ET SIMULATION

5.1 DONNÉE

Soit un moteur linéaire à bobine mobile (voice coil) placé verticalement (voir figure ci-

dessous). La bobine est fixée à une table linéaire montée sur des guides à circulation de billes.

Le déplacement de la bobine est limité à y=0 par un arrêt mécanique intégré sur la table et à y_max=60mm par un amortisseur en caoutchouc.

x 0

y

Amortisseur Bobine mobile

Aimants permanents Circuit ferromagnétique

La force crée par la butée en caoutchouc sur la bobine mobile est donnée par la relation suivante.

⎪⎩

⎪⎨

⎧ −

=

<

>

max

max

0

) ( _max

y y

y C y

b

y y K F

Les grandeurs connues sont données ci-dessous

R = 5 Ω : Résistance de la bobine

L = 3.5 mH : Inductance propre de la bobine K_F = 7.2 N/A Cte de force

m = 121 g : masse en mouvement (table +bobine mobile) U = 24 V : Tension aux bornes de la bobine

K_C = 1000 N/m : Cte de force pour l’amortisseur

y_max = 60 mm : Déplacement maximum de la bobine (position de la butée Cv = 0 [Ns/m] : Coefficient de frottement visqueux

Ff = 0 [N] : Frottement sec

Chapitre 3 : Exercices

CD\SEM\Exercices\Chap3.doc On demande de traiter les points suivants :

1. Introduire les grandeurs connues dans un fichier de paramètres Mablab (commencer votre fichier par « clear all, close all, clc »).

2. Dans Simulink, créer le modèle (schéma bloc) de simulation pour le cas ou le moteur est placé verticalement (voir figure)

3. La bobine, ouverte (sans courant), est initialement placée en y=0 puis lâchée. Déterminer par calcul le temps nécessaire pour atteindre la butée puis vérifier par simulation.

4. Déterminer la tension induite maximum de mouvement aux bornes de la bobine pour les conditions du point précédent.

5. Court-circuiter la bobine, placer cette dernière en y=0 et déterminer la fonction de transfert (Laplace) donnant sa position lorsque la bobine est lâchée : y(s)=G(s)⋅g. Vérifier notre résultat en le comparant avec la simulation (utiliser le bloc Transfer Fcn dans Simulink).

6. Calculer la valeur maximale du courant dans la bobine durant le déplacement.

7. Calculer la vitesse maximale prise par la bobine au cours de la descente (avant de toucher la butée).

8. Observer et expliquer la forme de l’accélération, de la vitesse et de la position du départ à la fin complète du mouvement.

9. Déterminer le courant (amplitude et sens) pour maintenir la bobine en y=ymax/2.

Chapitre 3 : Exercices corrigés

CD\SEM\Exercices\Chap3.doc 1. MOTEUR SECTEUR.

1.1 CORRIGÉ

1.1.1 Induction dans l’entrefer Equation de la droite de retour :

H u B

B = ₀+ _{d 1.1}

Théorème d’Ampère appliqué au circuit magnétique (sans courant dans le cadre) 0

0 0

0

= +

≅ +

+

∫

^d =^Haea _µ^B_µ^fer_r ^{lfer B}_µ^{δ δ Haea B}_µ^{δ δ}

C

l

H _1.2

Loi de la conservation du flux B B S B

S_a ^a

a = =

⎭⎬

⎫

=

=

δ δ

φδ

φ 1.3

Intersection entre droite de charge et droite de recul

a a

a

e B

H δ

µ¹₀

−

⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ 1.4

Champ d’induction magnétique dans l’entrefer

a d

e

B B δ

µµ

δ

0 0

1+

= 1.5

1.1.2 Couple en fonction de α agissant sur la partie mobile en utilisant Laplace La force totale appliquée sur la partie mobile pour 40°<α < 90° vaut

) ( 2NIB R r

F = − _δ − _1.6

et par conséquent, le couple

) 2 (

2

2 r

R NIB r F

T = R+ = − _δ − _1.7

1.1.3 Couple en fonction de α agissant sur la partie mobile en utilisant la dérivée de l’énergie magnétique (coénergie)

Angle entre les deux bras du cadre :

Chapitre 3 : Exercices corrigés

CD\SEM\Exercices\Chap3.doc

°

=

−

=π 2α₀ α₀ 65

γ avec _1.8

Flux produit par l’aimant traversant la bobine :

) 2

2 (

2 ) 2 ( 2)

2 (

2 2

2 2 2

2

π δ α

π α δ π

α ψ

δ

δ δ

−

− +

=

− −

−

−

− +

=

r NB R

r NB R

r NB R

1.9

Et finalement pour le couple :

) (

)

( I NB I R² r²

T − = − −

∂∂

= ψα _δ

1.10 le courant est pris avec le signe (-) car le flux créé par ce dernier est négatif (entrant dans la feuille).

1.1.4 Limites de l’angle α

Comme il a été dit au point 1.1.2 : 40°<α <90°. Au delà, il n’y a plus qu’une seule branche du cadre qu se trouve au dessus des aimants

1.1.5 Que vaut le couple pour α = 30°

Pour α=30°, seul une branche du cadre est encore sur la partie active des aimants. Le couple est donc réduit de moitié.

Chapitre 3 : Exercices corrigés

CD\SEM\Exercices\Chap3.doc 2. LE HAUT PARLEUR

2.1 CORRIGÉ

Soit le haut parleur suivant

S N

δ

la

x

Le système d’axes {x,y,z} définit le sens des champs d’induction magnétique, de flux, du courant, des forces … Il est important d’être rigoureux si l’on désire connaître le sens des forces en présence. Il faut également définir le sens des flux mutuels de manière à ce qu’ils aient le même signe que celui de la force magnétomotrice des sources qu’ils traversent

ε x

dx

x y

0

δ R_δ

l_b l_δ

φ

Les perméances de l’entrefer et de l’aimant ont la forme suivante : δπ

δ µ

µ _{δ δ δ}

δ

l R

S ₀2

0 =

=

Λ 2.1

a a d

i l

µ S

=

Λ 2.2

Chapitre 3 : Exercices corrigés

CD\SEM\Exercices\Chap3.doc 2.1.1 Flux propre de la bobine

Le flux totalisé produit par la bobine, traversant la bobine circule dans le sens de l’axe des x, il est donc positif. Ce calcul se conduit en posant θa =0 (soit B₀=H₀=0 ⇒ Ba=µ_dH_a). On peut donc écrire

∫

{

∫

∫

+ +

+

−

=

=

δ δ

ε φ

δ δ ε

ε φ

δ δ

ε

π π

ε φ ε

ψ

l

l N x d x

l

x d x

N b l bb

b b

dx R B N dx

R x B l x

N x d x N

43 42 1 4

4 3 4

4 2 431

42

1 ^{( )}

3 ) ) (

( 2 ) (

2 2

) ( ) (

) ( ) ( )

(

2.3

selon la loi d’Ampère et sachant que B_a = µ_dH_a et B_δ =µ_dH_δ, on peut écrire µ δ

δ µ

ε _δ ^δ

0 1 2

2

) 2

( )

( B

B l H

l H i l x

i N x

N _a

d a a

a b

+

= +

=

−

= 2.4

et

µ δ

δ µ ^δ

δ

0 3 3

3 3

l B H B

l H

Ni _a

d a a

a + = +

= 2.5

Pour le calcul de la conservation du flux il fait se souvenir de la notion de tube de flux. La figure suivante illustre le cas de cet exercice

x y

δ l_b

l_δ Tube de flux 1 ε

Tube de flux 2 Tube de flux 3 S_δ2

S_δ1 S_δ3

S_a1 S_a2 S_a3

1. Intervalle 0 ≤ x < ε : tube de flux 1

0 0

0

1 1

1 0

1

1 1

1 0 1

1 1 1 1

1 1

=

⇒

⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=

=

=

= +

δ δ δ

δ δ

δ δ

δ

µ µδ µ

µ δ

S B S B l

H B

H B

S B S B

l H H

a d a

a d a

a a

a a

2.6

Chapitre 3 : Exercices corrigés

CD\SEM\Exercices\Chap3.doc Les surfaces S_δ1 et S_a1 correspondent aux deux extrémités du tube de flux liant la surface

d’entrefer correspondant à la largeur ε à la surface équivalente (proportionnelle) de l’aimant 2. Intervalle ε ≤ x < lb+ε : tube de flux 2

2 2 2

0 2

2 2

2 0 2

2 2 2 2

2 2

1 ) 1

( )

(

δ δ

δ δ

δ δ δ

δ

µ µδ ε µ

µ

ε δ

S S l S

l x B Ni

H B

H B

S B S B

i l x

l N H H

a d

a b

a d a

a a

b a a

+

−

=

⎪⎪

⎪

⎭

⎪⎪

⎪

⎬

⎫

=

=

=

−

= +

2.7

Les surfaces S_δ2 et S_a2 correspondent aux deux extrémités du tube de flux liant la surface d’entrefer correspondant à la largeur lb à la surface équivalente (proportionnelle) de l’aimant 3. Intervalle l_b+ε ≤ x < lδ : tube de flux 3

3 3 3

0 3

3 3

3 0 3

3 3 3 3

3 3

1 1

δ δ

δ δ

δ δ δ

δ

µ µδ µ

µ δ

S S l S

Ni B

H B

H B

S B S B

Ni l H H

a d

a a

d a

a a

a a

+

=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=

=

=

= +

2.8

Les surfaces S_δ3 et Sa3 correspondent aux deux extrémités du tube de flux liant la surface d’entrefer correspondant à la largeur l_δ-lb-ε à la surface équivalente (proportionnelle) de l’aimant.

Puis, pour le flux totalisé crée par la bobine, circulant dans la bobine, on peut écrire

( )

( )

{

( )

( )

^{N i}

l l dx l

dx l x

i S N

R

S dx dx

S x i l

N R

S dx S l S

dx S x

S l S

i l N R

S dx S l S

N S dx

S l S

l x i N R

b i

i l

l l

b i i

l

l

i l i l

i i b

l l S l l S

l S l S

l S l l S S l S

l

l a d

a l

a d

a b

l

l

a d

a l

a d

a b

bb

b b

b b

b a a b

b a a b

b b

b b

2 2

2 2

1

2 2

2

, ,

3 3 3

0 2

2 2 2

0 2 2

3 3 3

0 2 2

2 2

0 2 2

3 3 2 1 3

2

1 1

2 1

1 1

1 1

2 1

1 1

1 2 1

) (

3 3

2 2

δ δ δ

δ ε

ε

δ ε δ δ

δ

δ ε δ

δ ε

δ ε δ

δ δ

ε ε

δ ε δ

ε

δ ε δ

δ

ε δ

δ ε

ε δ

δ δ

ε ε π

ε π

µ µδ ε

µ µδ π

µ µδ µ

µδ ε π

ε ψ

δ

δ

δ

δ δ δ

δ δ δ

δ δ δ

δ

δ δ

−

− Λ + Λ

Λ

= Λ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⎟ − +

⎠

⎜ ⎞

⎝ Λ ⎛ + Λ

Λ

= Λ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

Λ + Λ

Λ + Λ Λ −

+ Λ

Λ

⎟ Λ

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

+ +

−

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

+ +

+

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

+ +

+ +

−

= −

−

= −

=

=

+ +

+ +

3 2 1

2.9

Chapitre 3 : Exercices corrigés

CD\SEM\Exercices\Chap3.doc 2.1.2 Flux propre d’un aimant.

Appliquons la loi d’Ampère au circuit magnétique sans tenir compte de la bobine (i=0)

δδ H l H_{a a} +

=

0 _2.10

Puis grâce à la conservation du flux

δ δS B S

B_{a a} = _2.11

La droite de retour de l’aimant permet de fixer le point de fonctionnement

a d

a B u H

B = ₀ + _2.12

Dans le vide, la relation entre champ d’induction magnétique B et champ magnétique H est donné par la relation

δ

δ µ H

B = _{0 2.13}

Le champ d’induction magnétique dans l’aimant est donné par la relation, on peut écrire :

0 0

0 0

1 2

H B

S l

S

B B _d

i i

a a d

a µ

µδ

µ ^δ _δ ^δ _δ

δ

Λ + Λ Λ Λ =

+ Λ Λ

= +

= 2.14

Finalement, on peut en déduire le flux dans l’entrefer par 2.11 et 2.14.

a i

i a

a a d i

a

a H l

l S S

B S

B µ θ

φ

δ δ δ

δ δ δ

δ = = = Λ Λ+Λ ₀ = ΛΛ+ΛΛ _2.15

Par conséquent, le flux propre de l’aimant, en tenant compte du circuit magnétique complet, vaut

a i

i

aa φ θ

φ

δ

δ Λ +δ Λ

Λ

= Λ

= _2.16

2.1.3 Flux crée par l’aimant circulant dans la bobine.

Le flux crée par l’aimant circule de manière distribuée dans la bobine. On entend par là que ce flux n’est pas embrassé par l’ensemble des spires de la bobine. On va donc calculer le flux totalisé

∫

∫

∫

+

+

+

=

= ^{δ δ}

ε

δ δ ε

ε

δ δ

δ π π

φ ψ

l

l l

l ba

b b

dx R NB dx

R B x N x

d x

N( ) ( ) ( ) 2 2

0

2.17

Chapitre 3 : Exercices corrigés

CD\SEM\Exercices\Chap3.doc l N

l l

l l l

N l

dx l dx

x N l

l dx N l dx

l x N

a b

i i

b b

a i

i

l

l l

b a

i i

l

l

a l

a b

ba

b b

a i

i a

b b

εθ

ε θ

θ ε

φ ε φ

ψ

δ δ δ δ

δ δ δ δ

ε ε

δ ε δ δ θ

φ

ε δ

ε

ε δ

δ

δ δ

δ

2 2 2

) 2 (

1 1 ) (

−

− Λ

+ Λ

Λ

= Λ

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + − +

Λ + Λ

Λ

= Λ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ − +

Λ + Λ

Λ

= Λ

+

−

=

∫

∫

∫

∫

+ +

Λ + Λ

Λ

= Λ

+ +

3 2 1

2.18

Le flux mutuel aimant bobine prend donc la forme suivante

a b

i i ba

ba l

l l

N εθ

φ ψ

δ δ δ δ

2 2

2 − −

Λ + ΛΛ Λ

=

= 2.19

2.1.4 Flux crée par la bobine circulant dans l’aimant.

Le flux crée par la bobine traverse l’aimant.

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ + +

=

=

∫ ∫ ∫ ∫

+

+ _δ

δ

ε δ ε

ε δ ε

δ δ δ

δ π π

ε φ

l

l l

l ab

b b

dx x B dx x B dx x B R dx R x

B ( )2 2 ( ) ( ) ( )

)

( _{2 3}

0 1 0

2.20

La suite des calculs se fait comme pour le cas du flux propre de la bobine. On peut donc écrire :

δ δ δ

δ

ε δ ε

ε δ

δ δ

ε δ δ

δ ε

ε δ δ

δ δ

ε ε

ε δ

δ ε

ε δ

δ δ

ε

δ δ ε

ε

δ δ

ε

ε ε π ε

µ µδ µ

µδ π ε

π π

ε φ

ε φ

δ

δ

δ δ δ

δ δ δ

δ δ δ

δ

δ δ δ

l l Ni l

l dx l dx

Ni x

S dx S dx

l Ni x

R

S dx S l S

S dx S l S

l Ni x

R

dx R NB dx

R x B l x

x N d x N

b i

i

l

l l

i i

l

l i

i l

i i b

l l S l l S

l S l S

l S l l S S l S

l

l

a d

a l

a d

a b

l

l l

b l

ab

b b

b b

b a a b

b a a b

b b

b b

2 2 2

1

1 2 1

1 1

1 2 1

2 2

) ( ) ( )

( ) ( )

(

3 3

2 2

, ,

3 3 3

0 2

2 2

0

3 2

−

− Λ

+ Λ

Λ

= Λ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ − +

Λ + ΛΛ Λ

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

Λ + ΛΛ Λ Λ +

+ ΛΛ Λ

= −

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

+ +

+

= −

+

−

=

=

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

+ +

+ +

−

= −

−

= −

=

=

+ +

+ +

4 4 3 4

4 2

1 2.21

Chapitre 3 : Exercices corrigés

CD\SEM\Exercices\Chap3.doc 2.1.5 Calcul de la force réluctante

( ) ( )

²

2

1 2

1

3 0 3 2 3 2

1 2

1 2

1

l Ni

l Ni l i l

F

i i

b i

i a

aa bb

rel

δ δ

δ

δ δ δ

δ ε

ϑ ε ε φ ε

ψ

Λ + ΛΛ Λ

−

=

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − −

∂∂ Λ + Λ

Λ

= Λ

∂ + ∂

∂

= ∂

2.22

Le terme i² montre que cette force est indépendante du signe du courant et le signe moins indique que la force pousse la bobine à l’intérieur du circuit magnétique.

2.1.6 Force électromagnétique

l Ni i

F _a

i i a

ab ba

em

φ ε ϑ θ

ψ ε

δ δ

δ

1

2 1 2

1

Λ + Λ

Λ

− Λ

∂ = + ∂

∂

= ∂ 2.23

La force électromagnétique est proportionnelle au courant circulant dans la bobine, c’est le comportement recherché.

2.1.7 Force électromagnétique (force de Laplace)

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ Λ +Λ Λ

− Λ

=

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ Λ +Λ

Λ

− Λ

=

=

0 0

1

0 0

2 1 Ni

l R S

Ni x

i F

a i

i a

i i

em

θ θ

π

δ δ δ δ

δ δ δ

Bδ

l 2.24

Le signe négatif est le résultat du produit vectoriel en se référant à la figure située au début du corrigé. Il y a et c’est tant mieux concordance entre les résultats issus de deux méthodes de calcul différentes.

Chapitre 3 : Exercices corrigés

CD\SEM\Exercices\Chap3.doc 3. ACTUATEUR À CIRCUIT MAGNÉTIQUE SYMÉTRIQUE

3.1 CORRIGÉ

Le système d’axes {x,y,z} définit le sens des champs d’induction magnétique, de flux, du courant, des forces … Il est important d’être rigoureux si l’on désire connaître le sens des force en présence. Il faut également définir le sens des flux mutuels de manière à ce qu’ils aient le même signe que celui de la force magnétomotrice des sources qu’ils traversent.

x dx

ε

l_a

x y

e_a δ

l_b

N S

3.1.1 Flux propre d’un aimant.

On voit que sur le quart de circuit magnétique de la figure ci-dessus, le flux crée par l’aimant est négatif

a i

i

aa ϑ

φ

δ

Λδ

+ Λ

Λ

− Λ

= 3.1

avec

Perméance interne d’un aimant :

a a d

i e

µ S

=

Λ 3.2

Perméance de l’entrefer : µδ _δ

δ 0S

=

Λ 3.3

3.1.2 Flux propre de la bobine.

Le courant est considéré positif lorsqu’il sort de la feuille (sens de l’axe z). Pour un courant positif, le flux crée par la bobine est positif également. En admettant que la perméabilité du fer est très grande, on peut négliger le flux qui travers l’entrefer.

ferNi

equ

bb =Λ _

φ _3.4

Chapitre 3 : Exercices corrigés

CD\SEM\Exercices\Chap3.doc 3.1.3 Flux crée par la bobine circulant dans l’aimant le plus proche.

Une petite partie du flux crée par la bobine traverse l’aimant le plus proche. En séparant l’entrefer en trois sections, on peut écrire :

∫

∫

∫

∫

+

+

+ +

=

= ^a

b b

a l

l l

l

ab B x hdx B x hdx B x hdx B x hdx

ε δ ε

ε δ ε

δ

φ δ( ) ( ) ₂( ) ₃( )

0 1 0

3.5 Calcul de la distribution de l’induction dans l’entrefer et dans l’aimant selon x

Pour 0 ≤ x ≤ ε

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

=

+

= +

=

= d

a x

B x B

a d a a

a

x e B

x e B x

e B x H x

H Ni

a

µ µδ

δ µ δ µ

δ δ δ

δ 0

1 ) ( ) (

1 0

1 1

1

) (

) ( )

) ( ( )

(

1 1

3 2 1

3.6

S Ni S

Ni e

x Ni B

a i i a

d i a

1 1

1 ) 1

(

0

1 = ΛΛ+ΛΛ

+ Λ Λ

= +

=

δ δ

δ δ

µ

µδ 3.7

Pour ε ≤ x ≤ ε+lb

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

=

+

= +

=

− +

= d

a x

B x B

a d a a

a b

x e B

x e B x

e B x H x H x l Ni

a

µ µ

δ

δ µ δ µ

ε

δ δ δ

δ 0

2 ) ( ) (

2 0

2 2

2

) (

) ( )

) ( ( )

( )

(

1 1

3 2 1

3.8

b b a

i i

d a b

a d a a

a b

b

l x Ni l

e S x l x Ni

B

x e B x

e B x H x l H

x Ni l

− + Λ

+ Λ

Λ

= Λ +

−

= +

+

= +

− = +

ε µ

µ δε

δ µ δ µ

ε

δ δ δ

δ δ

1 )

) ( (

) ( )

) ( ( )

(

0 2

2 0

2 2

2

3.9

Pour ε+lb ≤ x ≤ la

0 )

3(x =

B_δ 3.10

Pour un courant positif, le flux crée par la bobine et circulant dans l’aimant a le même signe que le flux crée par l’aimant. On peut donc dire que le flux mutuel bobine – aimant a un signe positif.

Chapitre 3 : Exercices corrigés

CD\SEM\Exercices\Chap3.doc {

Ni l l

l S Ni

h

l hdx x Ni l

Nihdx S S

b a

i i b

l a i i

l

b b a

i i a

i i ab

a

b

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ + Λ

+ ΛΛ Λ

⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ + Λ

+ ΛΛ Λ

=

− + Λ

+ ΛΛ Λ Λ +

+ ΛΛ Λ

=

∫ ∫

⁺

2 1 1

2 1

1 1

0

ε ε

φ ε

δ δ δ

δ

ε

ε δ

δ ε

δ δ

3.11

3.1.4 Flux crée par un aimant circulant dans la bobine.

Le flux crée par l’aimant circule de manière distribuée dans la bobine. On entend par là que ce flux n’est pas embrassé par l’ensemble des spires de la bobine. On va donc calculer le flux totalisé

a b a

i i

b a

a l

a a b

b a

a

l

x d

a a

x N b b a

a l

a a

a ba

l l N

l l N l dx x l l

N N l

l dx x l l

N N l

x d x l N

N

b

b

a b

ϑ ε

φ ε ε φ

φ ε

ε φ φ ε

φ φ ε

ψ

δ δ

ε

ε

ε

ε

φ ε

ε

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ + Λ

+ Λ

Λ

= Λ

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

=

− + +

=

− + +

= +

=

∫

∫

∫

+

+ +

2 1

2 ) 1

(

) (

) ( ) (

) ( )

( 4 34 123 4

4 2 1

3.12

A partir de la définition ψ = Nφ, on peut calculer le flux équivalent traversant la bobine

a b a

i i ba

ba l

l

N ε ϑ

φ ψ

δ

δ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ + Λ

+ Λ

Λ

= Λ

= 2

1

1 3.13

3.1.5 Perméances mutuelles aimant - bobine Λba et bobine - aimant Λab.

A partir de la définition φ =Λϑ, on peut calculer les perméances mutuelles aimant – bobine et bobine – aimant.

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ + Λ

+ ΛΛΛ

=

=

Λ _b

a i

i a

ba

ba l

l 2

1 1 ε φϑ

δ

δ 3.14

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ + Λ

+ ΛΛ Λ

=

=

Λ _b

a i i ab

ab l

l

Ni 2

1 1 ε φ

δ

δ 3.15

Fort heureusement ces deux perméances mutuelles sont identiques, comme vu en théorie.

3.1.6 Force totale issue de l’actuateur.

La force totale exercée sur la bobine est constituée des interactions propre et mutuelle de chaque source de force magnétomotrice avec les flux circulant dans le circuit magnétique.

La relation générale pour l’actuateur étudié prend la forme suivante :

Chapitre 3 : Exercices corrigés

CD\SEM\Exercices\Chap3.doc i

K l Ni

l Ni l Ni

Ni i

F

F a

a i

i

a a i

i a a i

i

aimants mutuelles et opres

n m

anam an

bobine aimants Mutuelles

m

bam

aimants bobine Mutuelles

am m

amb

bobine Propre

bb

Λ = + Λ

Λ

= Λ

Λ + + Λ

Λ + Λ Λ

+ Λ

Λ + Λ

=

∂ + ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

∑ ∑ ∑ ∑

= =

−

=

−

=

θ

θ θ

φε ε θ

θ ψ φε ψε

δ δ

δ δ δ

δ

2 1

1 0 0 1

2 1 2

1 2

1 2

1

Pr 4

1 4

1 4

1 4

1 4 34 14 24 4 34 14 244 4 344

4 4 2 43 1

42 1

3.16

On voit ici qu’il n’y a pas de force réluctante donc par de variation des perméances propre du circuit en fonction de la position de la bobine. Pour un courant positif, la force sera positive, c’est à dire que la bobine se déplace dans le sens de l’axe des x.

3.1.7 Force de Laplace

La force électrodynamique peut être calculée par la force de Laplace. Dans ce cas, détermine le champs d’induction magnétique crée par les aimants à la hauteur des spires de la bobine. Le calcul vectoriel donne le résultat suivant :

] [ 0

0 2 1

0 0

1 2

0 0 2

0 0 0

0 0

0 0 0

1 2 1

1

N l Ni

h S Ni

hB Ni h

Ni h

Ni

Ni Ni

a a i

i

h l S a i i

inférieure Partie supérieure Partie

a ⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ ΛΛ+ΛΛ

=

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ ΛΛ+ΛΛ

=

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

= ⎛−

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛−

⎟⎟×

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

⎟⎟+

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

×⎛

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

= ⎛

× +

×

=

=

θ θ

δ δ δ

δ δ

δ δ

δ

δ23

1 43 42 1 43 42 1

B B

B l B

l

F_{el δ δ}

3.17

On voit que la seule composante de force non nulle se trouve sur l’axe x et sa valeur est identique à celle calculée par la méthode de la dérivée de la co-énergie.

3.1.8 Tension induite de mouvement

La tension induite de mouvement correspond à la dérivée temporelle du flux totalisé dans la bobine lorsque les sources de force magnétomotrices sont constantes.

v K v l N

v l N

t v mvt t

u

E a

a i

i

a a i

i

ba bb

ba bb

i

Λ = + ΛΛΛ

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ Λ +Λ Λ + Λ

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ ∂

+ ∂

∂

= ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

θ θ

ε ψ ε

ψ ψ

ψ

δ δ

δ δ

1 0 1

] [

3.18

Chapitre 3 : Exercices corrigés

CD\SEM\Exercices\Chap3.doc 4. TRANSDUCTEUR LINÉAIRE A CIRCUIT MAGNÉTIQUE ASSYMÉTRIQUE

4.1 CORRIGÉ

Pour des raisons de symétrie, on ne s’intéresse qu’à la moitié du circuit magnétique. Le système d’axes {x,y,z} est tel que les flux crées par l’aimant et la bobine sont positifs.

δ e_a

x y

0

l_a

ε

l_b

l_b

e_fer e_fer

e_fer

N

_spires

N

S

4.1.1 Le flux propre d’un aimant.

Le calcul du flux propre à l’aimant est donc facilement calculable.

(

i

)

aa

a R R φ

θ = + _δ 4.1

a i

i

aa θ

φ

δ

Λδ

+ Λ

Λ

= Λ 4.2

Avec, pour la perméance de l’aimant et de l’entrefer

δ µ δ

µ µ

δ δ

h l h l e

h l

a a

a d i

0

0 =

= Λ

= Λ

4.3

4.1.2 Le flux propre de la bobine.

Le flux totalisé produit par la bobine, circulant dans la bobine circule dans le sens de l’axe des x, il est donc positif. Ce calcul se conduit en posant θa =0 (soit B0=H0=0 ⇒ Ba=µdHa). On peut donc écrire