Problème : CHIFFREMENT AFFINE
Le principe du chiffrement affine est le suivant :
On numérote de 0 à 25 et dans l’ordre alphabétique les 26 lettres de l’alphabet français. On se donne deux nombres 𝑎 et 𝑏, et pour tout nombre entier naturel 𝑛, rang d’une lettre 𝐿, correspond le nombre entier naturel 𝑛′, reste de la division euclidienne de 𝑎𝑛 + 𝑏 par 26. Le nombre 𝑛′ représente le rang d’une lettre𝐿′.
En associant 𝐿 à 𝐿′, on effectue un chiffrement affine défini par le couple (𝑎; 𝑏) clé secrète du chiffrement connue seulement par l’expéditeur et le destinataire.
Un chiffrement affine utilise donc une fonction affine 𝑓 de la orme 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏.
Exemple : 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 5. Pour chaque lettre du message : 4 On associe un entier 𝑥 entre 0 et 25 (tableau de conversion)
4 On calcule 𝑓(𝑥) et on détermine le reste 𝑦 de la division de 𝑓(𝑥) par 26.
4 On traduit ensuite 𝑦 par une lettre (suivant le même tableau).
Ainsi : 𝐽 → 9 → 𝑓(9) = 3 × 9 + 5 = 32 → 32 ≡ 6[26] → 𝐺
1) Exemple 1 : 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙 + 𝟓 [𝑎 = 3 et 𝑏 = 5]
a) Coder le mot « EUCLIDE ».
b) Compléter le tableau ci-dessous.
Lettre en clair 𝐿 A B C D E F G H I J K L M
𝑛 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
𝑎𝑛 + 𝑏 32
𝑛′ 5 8 6
Lettre codée 𝐿′ F I G
Lettre en clair 𝐿 N O P Q R S T U V W X Y Z
𝑛 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 𝑎𝑛 + 𝑏
𝑛′
Lettre codée 𝐿′
c) En utilisant le tableau, retrouver le mot codé par « XFNHH ».
On remarque que ce chiffrement affine est tel que deux lettres distinctes sont codées par deux lettres distinctes et que toute lettre code une unique lettre.
2) Exemple 2 : 𝒇(𝒙) = 𝟏𝟑𝒙 + 𝟒 [𝑎 = 13 et 𝑏 = 4]
Coder les mots « RAGE » et « PEAU ».
Que constate-t-on ? Que penser de ce chiffrement ?
3) Questions ouvertes
a) La clé d’un chiffrement affine étant connue, comment coder et décoder de façon automatique ? b) Peut-on retrouver la clé d’un chiffrement affine à partir d’un texte codé ?
Les « bonnes clés » sont celles pour lesquelles le plus grand diviseur de 𝑎 et 26 est 1.
On dit alors que 𝑎 et 26 sont premiers entre eux.
