On s'est aperçu que 25 % des arbres d'une forêt disparaissent chaque année par suite d'une maladie et chaque année 500 arbres sains sont abattus. La première année ( année 1), la forêt compte 40 000 arbres.
On souhaite étudier l'évolution de cette population d'arbres si la maladie n'est pas éradiquée.
C'est en utilisant la notion mathématique de suite que l'on peut résoudre ce problème.
Dans l'antiquité, on utilisait des méthodes de calcul permettant d'obtenir une succession de valeurs.
On définissait ainsi ce qui bien plus tard s'appellera une suite numérique et on en étudiait certaines propriétés.
Certains problèmes sont devenus très célèbres comme celui de Fibonacci en 1202 qui s'intéresse au nombre de descendants que deux lapins peuvent avoir en une année.
Ce n'est qu' à la fin du dix huitième siècle que la notation indicielle un a été introduite par Lagrange (1736 - 1813 ).
Aujourd'hui, cette notion se retrouve dans toutes les publicités du type : placement au taux de 2,25 %….
E1 Activités préparatoires pour découvrir la notion de suites…
N ° 1
Une suite peut être définie par la liste de ces termes.
Compléter les listes suivantes et expliquer comment on passe d'un terme à son suivant : A ) 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 …
B ) 0 ; 4 ; 8 ; 12 ; 16 … N ° 2 Indice d'une suite
Reprenons la suite des nombres impairs 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 … Posons u1 = 1 ; u2 = 3 ; u3 = 5 ; u4 = 7 ; u5 = 9 ;
Déterminer u6 ; u7 et u8.
N ° 3 Promenade numérique.
A ) Quels sont les nombres qui suivent " logiquement " les nombres : 2 ; 2,5 ; 3 ; 3,5 ; 4 ; 4,5 ?
B ) Le comité de loisirs d'un village balise un chemin de randonnée en plaçant un panneau tous les 0,5 km.
Le panneau du début du chemin est numéroté 0, le panneau suivant porte le numéro 1, etc.
Un promeneur part du centre du village, situé à 2 km du début du chemin.
Quelle distance a parcourue le promeneur lorsqu'il atteint : le panneau numéro 1 ? le panneau numéro 2 ? le panneau numéro 3 ?
C ) On note d0 la distance parcourue par le promeneur lorsqu'il atteint le panneau numéro 0, d1 la distance parcourue par le promeneur lorsqu'il atteint le panneau numéro 1, …, dn la distance parcourue par le promeneur lorsqu'il atteint le numéro n.
Compléter le tableau suivant :
d0 d1 d2 d3 d4 d5 d6
2
N ° 4 Les économies de Nicolas
Nicolas veut acheter un baladeur qui coûte 199 €. Il reçoit 90 € le premier janvier et décide d'économiser 15 € le premier jour de chaque mois à partir du premier février.
A ) On pose v0 = 90 ( lire " v indice 0 égale 90 " ). Calculer v1, somme dont il dispose le premier février puis v2 somme dont il dispose le premier mars.
B ) On désigne par vn la somme dont il dispose le premier jour du mois n.
Calculer les valeurs successives de vn jusqu'à n = 9. On pourra faire un tableau.
C ) Pourra - t - il acheter son baladeur pour son anniversaire qui est le 15 août ?
1 Définitions.
Une suite est arithmétique lorsqu’on passe d’un terme à son suivant en ajoutant toujours un même nombre a appelé raison. Pour tout entier naturel, on a un+1 = un + a.
Soit a un nombre réel. Une suite ( un ) est arithmétique de raison a lorsque pour tout entier naturel n on a un+1 = un + a.
Premier exemple : voir feuille annexe.
Deuxième exemple de suite arithmétique :
Le conseil municipal d'un village a pris la décision d'offrir 3 ordinateurs par an au club informatique
" Info - Jeunes ". Le club possède actuellement 15 ordinateurs. Combien en aura t - il dans un an ? dans deux ans ?
E2 Savoir calculer un terme d'une suite arithmétique.
Exemple :
Soit la suite arithmétique ( un ) de raison a = 8 et telle que u100 = 11. Calculer u101. Résolution :
( un ) est une suite arithmétique de raison a = 8.
Donc pour passer du terme u100 à son suivant u101 on ajoute a = 8.
Donc u101 = u100 + a = 11 + 8 = 19.
N ° 5
Soit la suite arithmétique ( vn ) de raison 2,5 et telle que v5 = 7,5. Calculer v6. N ° 6
Soit la suite arithmétique ( wn ) de raison 5 et telle que w51 = -10. Calculer w52. N ° 7
Soit la suite arithmétique ( un ) de raison - 8 et telle que u4 = 15. Calculer u5 et u6. N ° 8
Soit la suite arithmétique ( vn ) de raison 7 et telle que v6 = 23. Calculer v5. N ° 9
Soit la suite arithmétique ( wn ) de raison - 3 et telle que w9 = -2. Calculer w8. N ° 10
Soit la suite arithmétique ( un ) telle que u9 = 5 et u10 = 18 . Calculer la raison de cette suite.
N ° 11
Soit la suite arithmétique ( vn ) telle que v14 = - 5 et v15 = - 9 . Calculer la raison de cette suite.
N ° 12
Soit la suite arithmétique ( wn ) telle que w16 = 39 et w17 = - 50 . Calculer la raison de cette suite.
E3 Savoir démontrer qu'une suite est arithmétique.
Exemple :
Le conseil municipal d'un village a pris la décision d'offrir 3 ordinateurs par an au club informatique
" Info jeunes ". Le club possède actuellement 15 ordinateurs.
On pose u0 = 15 et on note un le nombre d'ordinateurs que possèdera le club dans n années.
Démontrer que la suite ( un ) est une suite arithmétique.
Schéma : voir feuille annexe.
Le conseil municipal d'un village a pris la décision d'offrir 3 ordinateurs par an au club informatique
" Info - Jeunes ".
Donc on passe du nombre un à son suivant le nombre un+1 en ajoutant 3.
Autrement dit la variation absolue du nombre d'ordinateurs d'une année à l'autre est un nombre constant égal à 3.
Donc la suite ( un ) est une suite arithmétique de raison a = 3.
N ° 13
A ) La population d'une ville, qui était de 3 200 habitants en 2000, augmente chaque année de 250 habitants.
Combien y avait-il d'habitants en 2001 ? et en 2002 ?
B ) On note p0 la population en 2000 et pn la population n années plus tard c'est à dire en 2000 + n.
Démontrer que la suite ( pn ) est une suite arithmétique et préciser sa raison.
N ° 14
A ) La population d'une ville, qui était de 15 000 habitants en 2001, baisse depuis cette date de 600 habitants par an. Combien y avait-il d'habitants en 2002 ? et en 2003 ?
B ) On note p0 la population en 2001 et pn la population n années plus tard c'est à dire en 2001 + n.
Démontrer que la suite ( pn ) est une suite arithmétique et préciser sa raison et son terme initial.
N ° 15
Une entreprise effectue des forages de puits.
Le coût du forage du premier mètre est égal à 550 €.
Chaque mètre supplémentaire coûte 90 €.
A ) Quel est le coût du forage d'un puits de 2 mètres ? d'un puits de 3 mètres ? d'un puits de 4 mètres ? B ) On note un le coût de n mètres de forage, où n est un nombre entier naturel non nul.
Démontrer que la suite ( un ) est une suite arithmétique ; préciser sa raison et son premier terme.
2 Formule explicite : terme de rang n d'une suite arithmétique.
Le terme général d’une suite arithmétique de raison a et de premier terme u0 est donné par la formule un = u0 + n a Le terme général d’une suite arithmétique de raison a et de premier terme u1 est donné par la formule
un = u1 + ( n – 1 ) a
E4 Savoir exprimer et calculer un terme de rang n d'une suite arithmétique.
Exemples :
A ) Soit la suite arithmétique ( un ) de raison a = 0,5 et de terme initial u0 = 10.
Exprimer un en fonction de n.
Calculer u100. Résolution :
( un ) est une suite arithmétique de raison a = 0,5.
Or le terme général d’une suite arithmétique de raison a et de premier terme u0 est donné par la formule un = u0 + n a. Donc un = 10 + n × 0,5 = 10 + 0,5 n.
Pour calculer u100, je remplace n par 100 dans l'expression précédente.
Donc u100 = 10 + 0,5 × 100 = 10 + 50 = 60.
B ) On considère la suite arithmétique ( un ) de terme initial u1 = 5 et de raison a = - 3.
Exprimer un en fonction de n.
Calculer u20.
( un ) est une suite arithmétique de raison a = - 3.
Or le terme général d’une suite arithmétique de raison a et de premier terme u1 est donné par la formule un = u1 + ( n −−−− 1 ) a. Donc un = 5 + ( n − 1 ) × ( - 3 ) = 5 − 3n + 3 = 8 − 3n.
Pour calculer u20, je remplace n par 20 dans l'expression précédente.
Donc u20 = 8 − 3 × 20 = 8 − 60 = - 52.
N ° 16
On considère la suite arithmétique ( un ) de terme initial u0 = 4 et de raison a = - 2.
Exprimer un en fonction de n. Calculer u15. N ° 17
On considère la suite arithmétique ( vn ) de terme initial v1 = 7 et de raison a = - 4,5.
Exprimer vn en fonction de n. Calculer v500. N ° 18
La suite ( wn ) est arithmétique de terme initial w0 = - 4 et de raison 5. Calculer w8 et w20.
N ° 19
On considère la suite arithmétique ( un ) de terme initial u1 = 10,5 et de raison 0,35. Calculer u5 et u20. N ° 20
Calculer la raison a de la suite arithmétique ( vn ) telle que v0 = 4 et v8 = 20.
N ° 21
Calculer la raison de la suite arithmétique ( wn ) telle que w0 = -2 et w10 = 2.
N ° 22
On considère la suite arithmétique ( un ) de raison -6 telle que u8 = 0. Calculer u0. N ° 23
Calculer la raison a de la suite arithmétique ( vn ) telle que v1 = 100 et v9 = 80.
N ° 24
Calculer la raison de la suite arithmétique ( wn ) telle que w1 = 0 et w10 = 180.
N ° 25
On considère la suite arithmétique ( un ) de raison 4 telle que u6 = 5. Calculer u1. N ° 26
On considère la suite arithmétique ( vn ) de raison - 3 telle que v15 = 0. Calculer v1. N ° 27
On considère la suite arithmétique ( wn ) de raison 3 telle que w7 = 13. Calculer w0. E5 Activité : des suites et des points.
N ° 28
A ) On considère la suite arithmétique ( un ) de terme initial u0 = 4 et de raison a = - 2.
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé d'unité 1 cm, on considère l'ensemble des points de coordonnées Un ( n ; un ).
Calculer u1 , u2 , u3 , et u4.
Placer dans le repère les points U0 , U1 , U2 , U3 , et U4.
Que peut-on conjecturer ?
B ) Démontrer que le point U3 appartient à la droite d'équation y = -2x + 4.
C ) Démontrer que le point Un ( n ; un ) appartient à cette droite.
D ) Que peut-on dire du sens de variation de la fonction affine donnée par f ( x ) = -2x + 4. Justifier.
3 Représentation graphique.
Soit ( un ) une suite arithmétique de raison a.
Soit l'ensemble des points Un ( n ; un ) représentant la suite ( un ) dans le plan rapporté à un repère.
Alors tous les points Un ( n ; un ) sont situés sur une même droite, qui a pour coefficient directeur a.
E6 Savoir exploiter une représentation graphique.
N ° 29
Le plan est rapporté à un repère ( O ;
→
i , →j ).
Les points d'abscisses entières ou nulles de la droite D représentent une suite arithmétique ( un ).
Déterminer graphiquement le terme initial, la raison et le terme u2.
N ° 30
Le plan est rapporté à un repère ( O ; →i , →j ).
Les points d'abscisses entières ou nulles de la droite D représentent une suite arithmétique ( un ).
Déterminer graphiquement le terme initial, la raison et le terme u1.
0 1
1
0 1
1
N ° 31
Le plan est rapporté à un repère ( O ; →i , →j ).
Les points d'abscisses entières ou nulles de la droite D représentent une suite arithmétique ( un ).
Déterminer graphiquement le terme initial, la raison et le terme u4.
4 Sens de variation.
Soit ( un ) une suite arithmétique de raison a avec a > 0.
Alors la suite ( un ) est une suite strictement croissante.
Autrement dit : pour tout entier n, un < un+1.
Soit ( un ) une suite arithmétique de raison a avec a < 0.
Alors la suite ( un ) est une suite strictement décroissante.
Autrement dit : pour tout entier n, un > un+1.
Soit ( un ) une suite arithmétique de raison a avec a = 0.
Alors la suite ( un ) est une suite constante.
Autrement dit : pour tout entier n, un = un+1.
E7 Savoir déterminer le sens de variation.
N ° 32 N ° 33 N ° 34
0 1
1
0 1
1
0 1
1 0 1
1
Les points d'abscisses entières strictement positives de chacune des droites ci dessus représentent une suite arithmétique ( un ).
Dans chacun des numéros ci dessus, déterminer graphiquement le sens de variation de la suite ( un ).
N ° 35.
Soit la suite arithmétique ( un ) de raison a = 8 et telle que u100 = 11. Déterminer le sens de variation de ( un ).
N ° 36.
Soit la suite arithmétique ( un ) de raison - 8 et telle que u4 = 15. Déterminer le sens de variation de ( un ).
E8 Trouver le premier terme qui franchit un seuil donné et le rang de ce terme.
N ° 37.
Soit la suite arithmétique ( un ) de terme initial u0 = 5 et de raison a = -1,5.
1. Justifier que la suite ( un ) est strictement décroissante.
2. a ) Calculer u1 , u2 , u3 et u4.
b ) En déduire le premier terme de la suite inférieur ou égal à 0 ; préciser le rang de ce terme.
c ) Interpréter graphiquement le résultat.
3. a ) Ecrire le terme un en fonction de n.
b ) Démontrer que l'inéquation un ≤ - 30 est équivalente à l'inéquation n ≥ 350 15 . c ) En déduire la plus petite valeur de l'entier n à partir de laquelle un ≤ - 30.
On note k ce nombre. Calculer uk.
d ) Vérification : calculer uk-1 et en déduire que uk est bien le premier terme de la suite inférieur ou égal à -30.
4. Réinvestissement : on considère la suite arithmétique ( vn ) de terme initial v1 = 2 et de raison a = 3,5.
a ) Justifier que la suite est strictement croissante.
b ) Déterminer, par le calcul, le rang k du premier terme de la suite qui est supérieur ou égal à 200.
Calculer vk. E9 Problèmes divers.
N ° 38.
On considère la suite arithmétique ( un ) de terme initial u0 = 4 et de raison 7.
1. Donner le sens de variation de cette suite.
2. Exprimer un en fonction de n.
3. Utiliser le résultat précédent pour résoudre l'équation un = 200.
En déduire qu'il existe un terme de la suite égal à 200.
4. Résoudre l'équation un = 300. Existe-t-il un terme de la suite égal à 300 ? N ° 39.
On place un capital égal à 2 000 € au taux annuel de 3 % à intérêts simples.
On pose C0 = 2 000 et on note Cn le capital ( en euros ) acquis au bout de n années ( avec n entier naturel non nul ).
1. Démontrer que C1 = 2 060 et C2 = 2 120.
2. Démontrer que la suite ( Cn ) est une suite arithmétique. Donner son terme initial et sa raison.
3. a ) Exprimer, en fonction de n, le capital acquis au bout de n années.
3. b ) Calculer le capital acquis au bout de 10 ans.
3. c ) Résoudre l'inéquation Cn ≥ 4 000 et en déduire au bout de combien d'années le capital acquis sera supérieur ou égal au double du capital initial.
