Première S2 Exercices sur le chapitre 5 : E3. 2007 2008
E3 Savoir démontrer qu'une droite est un axe de symétrie.
N ° 7.
Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = 3x² + 6x + 5.
Démontrer que la droite d'équation x = -1 est un axe de symétrie de la courbe représentative C de f.
Soit x un réel, alors -1 − x ∈ et - 1 + x ∈
f ( -1 − x ) = 3 ( -1 − x )² + 6 ( - 1 − x ) + 5 = 3 ( x² + 2x + 1 ) − 6 − 6x + 5 = 3x² + 6x + 3 − 6 − 6x + 5 f ( -1 − x ) = 3x² + 2
f ( - 1 + x ) = 3 ( - 1 + x )² + 6 ( - 1 + x ) + 5 = 3x² − 6x + 3 − 6 + 6x + 5 = 3x² + 2.
On a donc f ( - 1 − x ) = f ( - 1 + x ).
D'après une propriété du cours, alors la courbe C est symétrique par rapport à la droite d'équation x = - 1.
Et la droite d'équation x = - 1 est un axe de symétrie de la courbe C.
Recherchons la fonction g tel que dans un repère du plan bien choisi, C ait une équation du type y = g ( x ) avec g une fonction paire.
Soit A ( -1 ; 0 ).
Soit M ( x ; y ) un point de la courbe C dans le repère ( O ; Åi , Åj ).
Soit M ( x ' ; y ' ) le point de la courbe C dans le repère ( A ; Åi , Åj ).
Alors ÄOA = - 1Åi + 0 Åj ; ÄOM = x Åi + y Åj et ÄAM = x ' Åi + y ' Åj . Or ÄOM = ÄOA + ÄAM = - 1 Åi + x ' Åi + y ' Åj = x Åi + y Åj . Donc x = x ' − 1 et y = y '.
Et y = f ( x ) = 3x² + 6x + 5
On a donc x ' = x + 1 et y ' = y = 3 ( x ' − 1 )² + 6 ( x ' − 1 ) + 5 = 3x'² − 6x' + 3 + 6x' − 6 + 5 = 3x'² + 2.
Soit x ∈ alors - x ∈ et g ( - x ) = 3 ( -x )² + 2 = 3x² + 2 = g ( x ). Et g ( x ) = 3x² + 2 est une fonction paire.
