PCSI 2 – Lycée Carnot - Dijon Filtrage en mécanique
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Un exemple de filtrage en mécanique : étude de la suspension d’un véhicule
Modélisation d’une suspension de véhicule :
Dans le cadre d’un modèle simplifié de suspension, on assimile le véhicule à un point matériel M de masse m posé sur un ressort dont l’autre extrémité S peut se déplacer le long d’une route horizontale ou bosselée.
Le ressort a une constante de raideur k et une longueur à vide L0.
On repère les positions respectives de M et de S par leurs cotes respectives z et z1 sur un axe vertical Oz ascendant tel que z1 = 0 lorsque S se déplace sur la route horizontale.
En outre, le point matériel M est soumis à l’action d’un amortisseur fluide, de coefficient d’amortissement a (positif), disposé entre les points M et S. Le point matériel subit alors de la part de cet amortisseur une force de frottement de la forme : 𝐹⃗!"#$$ = −𝛼(𝑣 − 𝑣%)𝑢*⃗&, en notant 𝑣 = 𝑧̇ et 𝑣%= 𝑧̇% les vitesses respectives de M et S lors de leurs déplacements verticaux, 𝑢*⃗& étant le vecteur unitaire ascendant de l’axe Oz.
Le coefficient a peut être réglé par la variation du débit d’huile à travers un trou percé dans le piston mobile de l’amortisseur.
On suppose d’abord que le véhicule se déplace sur une route parfaitement horizontale (z1 = 0).
L’application de la deuxième loi de Newton projetée sur la verticale permet de montrer que la cote de M est alors constante de valeur 𝑧'= 𝐿(−)*+ dans ce régime dit stabilisé.
Lorsque le véhicule se déplace sur une route bosselée, on note Z(t) = z(t) – ze l’écart à la position d’équilibre à l’instant t.
On applique la deuxième loi de Newton hors équilibre.
Par différence avec la première relation, on montre que Z(t) vérifie alors une équation différentielle de la forme : 𝑚𝑍̈ + 𝛼𝑍̇ + 𝑘𝑍 = 𝐹(𝑡), avec 𝐹(𝑡) = 𝑘𝑧%+ 𝛼𝑧̇%.
Tout se passe donc comme si cette force F(t) était directement appliquée sur le point M en l’absence d’autre sollicitation extérieure.
Lorsque le profil de la route « en tôle ondulée » est tel que F(t) est une fonction sinusoïdale du temps de pulsation w, on travaille en notation complexe pour décrire le régime sinusoïdal forcé auquel est soumis le véhicule.
Le comportement du véhicule est alors décrit par la fonction de transfert : 𝐻 =&,
!.
On note 𝜔(= 6)+ la pulsation propre du véhicule, 𝑄 =√+). son facteur de qualité et 𝑥 =//
" la pulsation réduite.
L’expression de la fonction de transfert sous forme canonique s’écrit : 𝐻(𝑗𝑥) = %01
#
$
%23%01$#. On donne ci-dessous le diagramme de Bode en amplitude HdB(logx) pour Q = 2,5 :
ez z
a
k, Lo M (m)
Route horizontale O
z
z1
Route bosselée S
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Qualitativement, on observe déjà que l’on n’a pas intérêt à prendre un ressort trop raide, soit à constante de raideur très élevée. En effet, pour une masse m donnée, la pulsation propre du système est alors aussi très élevée. Il y a alors une forte probabilité pour que w
>> w0 et donc que x << 1. Alors, le filtre étant globalement passe-bas, HdB = 0 soit H = Zm/z1m = 1.
La caisse du véhicule reproduit exactement le profil de la route (même amplitude d’oscillation).
C’est donc inconfortable pour les passagers et la suspension ne sert à rien.
On remarque de plus qu’un phénomène de résonance se produit vers x = 1 ce qui rend le véhicule encore plus inconfortable.
Regardons quantitativement les conséquences pour un véhicule de masse m = 0,5.103 kg, avec k = 50.103 N.m-1, et en supposant pour simplifier que les bosses sont régulièrement espacées d’une période spatiale l = 1 m.
A la résonance d’après la courbe précédente on a HdB = 8 soit H = 108/20 = 2,5.
La caisse du véhicule amplifie le profil de la route (amplitude d’oscillation supérieure) d’un facteur 2,5.
On peut alors calculer la vitesse du véhicule dans ce cas.
En 1s, le véhicule parcoure v mètres. Le nombre de bosses rencontrées (fréquence des bosses donc d’excitation de la caisse) est alors de f = v/l.
Donc 𝑣 = 𝜆45/ ≈ 𝜆/45"=456 6)+ = 1,6𝑚. 𝑠2%= 5,7𝑘𝑚. ℎ2%.
Dans le film franco-italien « Le salaire de la peur » de Henri-Georges Clouzot (1953), adapté du roman éponyme de Georges Arnaud, un convoi de deux camions chargés de nitroglycérine est organisé pour éteindre l’incendie d’un puits de pétrole. Quatre chauffeurs sont engagés pour faire équipe en duo : deux français, Mario (interprété par Yves Montand) et Jo, et deux étrangers, Luigi et Bimba.
On rapporte ci-dessous un extrait des dialogues du film, à partir de 52 min 25 s ([…] = NDLR) :
Mario : Ben ceux-là, quand ils se seront retournés les pinceaux, ils seront contents, tiens !
Jo : Pourquoi, c’est mauvais plus loin ?
Mario : Sous le bambou, ça va [la scène se passe dans une bambouseraie]. Je peux te dire que c’est tendre seulement jusqu’au petit corral. Seulement, après, t’as un méchant bout de tôle.
…
Bimba : Tu connais ça toi, la tôle ondulée ? Luigi : C’est avec quoi on couvre les baraques.
Bimba : Chez nous, oui. Mais ici, c’est de la mauvaise route. C’est le vent qui fait ça. Il ride les chemins comme une vieille peau, ça fait vibrer les châssis à tout démolir.
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3/3 Luigi : La nitro, elle va péter !
Bimba : Pas si tu fonces … A 40 milles [comprendre par heure, soit environ 65 km/h], tu voles sur les bosses de sable.
Seulement, il faut garder la vitesse. Au-dessous de 30, tu vibres et pchitt … Fini !
…
Jo : Y en a long comme ça ?
Mario : 20 miles [1 mille = 1,6 km environ] à peu près à partir du petit corral. Tiens, v’la le corral [il esquisse un plan]. Et puis v’la la tôle. Au milieu, il y la pompe 6. Les américains ont cimenté devant. Mais même là, tu peux pas ralentir. T’aurais pas le temps de relancer, tu comprends ? Il faut garder ton maximum tout le temps.
Jo : Ben, on peut faire ça en père peinard, au ralenti.
Mario : Tu vibreras mon vieux, c’est de l’ondulation serrée. Pour garder la sécurité, y faudrait pas dépasser, ché pas moi, le 6 milles à ce moment-là !
Jo : Eh ben d’accord. Allons-y au pas.
Mario : Non, tu rigoles, non … 30 bornes, t’en aurais au moins pour 4 heures !
…
On peut se demander pourquoi, lors du passage sur le tronçon de route en tôle ondulée, et afin d’éviter l’explosion du chargement, Mario décide paradoxalement de traverser cette partie du trajet à une vitesse élevée.
À grande vitesse il est probable cette fois-ci que w >> w0 donc x >>1.
Le filtre étant passe-bas, on a alors d’après le graphe HdB fortement négatif soit H << 1.
L’amplitude des oscillations est alors très faible, très inférieure à la hauteur des bosses. On a alors peu de secousses pour la cargaison ! Plus précisément, la vitesse du camion étant telle que la fréquence de sollicitation est de f = 8,0 Hz (et la fréquence propre du véhicule restant la même qu’à la question précédente), on peut se demander quelle sera l'amplitude des oscillations de la caisse du camion si les bosses ont une hauteur de 10 cm.
Si f = 8 Hz avec 𝑓(=45% 6)+ = 1,6 𝐻𝑧, on a alors x = w/w0 = f/f0 = 5.
D’après le graphe, HdB = - 20 dB soit H = 0,1.
Zm = 0,1 z1m = 0,1.5 = 0,5 cm = 5 mm très faible !
Il est à noter que l’amplitude Vm de la vitesse d’oscillation verticale du véhicule est donnée par 𝑉)(𝜔) = 7&
8.%09)/2(':%
. Vm est alors maximale quand la parenthèse s’annule soit pour w = w0 soit x = 1 exactement.
