L.S.Marsa Elriadh
Liste 13
M : Zribi4 ème Maths Exercices
1
Exercice 1:
Calculer:
x 0 x
x x
2 2
2 2 1
a ) lim b ) lim c ) lim ( tgx )² c ) lim sin
sin x cos x x
Exercice 2:
Calculer les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition
1 1
1 / f ( x ) 2 x ² 1 x ² 3 x 2 2 / f ( x )
x ² 9
x 3
x 3 2
2 / f ( x ) 4 / f ( x ) 4 x ² 2 x 2 2 x 1
x 1
Exercice 3:
Calculer:
x 1 x x x
4 2
tg( x ) cos( x ) 1
sin( x² 1 ) 4 2 1
a ) lim b ) lim c ) lim c ) lim x sin
x² 1 x
x x
4 2
Exercice 4:
Soit la f la fonction définie par f(x)=1 x x ² 1
Calculer
xlim f ( x ) et xlim f ( x )
.
Interpréter géométriquement les résultats obtenus.
Exercice 5:
Soit f la fonction définie par
2 2 x 5
f ( x ) si x 2
x 2
f ( 2 ) m
Déterminer m pour que f soit continue en 2.
Exercice 6:
Soit f la fonction définie par
x 1
f ( x ) si x 1
x 3
2 m x 3
f ( x ) si 1 x
2 x 2
x ² 1 3
f ( x ) si x
x ² 2 x 4 2
1/ déterminer m pour que f soit continue en 1.
2/ pour la valeur de m trouver:
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2
a) étudier la continuité de f en 3
2 .
b) déterminer le domaine de continuité de f.
Exercice 7:
Soit f la fonction définie par
cos( x )
f ( x ) 2 si x 1
x 1
f ( 1 ) 2
1/ Étudier la continuité de f en 1.
2/ déterminer le domaine de continuité de f.
Exercice 8:
Soit f la fonction définie par
f ( x ) x a x ² x 1 si x 0
f ( x ) x ² x si 0 x 1
x 1
f ( x ) bx si x 1
x ² 3 2
1/ calculer
xlim f ( x ) et xlim f ( x )
.
2/ déterminer a et b pour que f soit continue en 0 et 1.
Exercice 9:
1/ a) étudier les variations des deux fonctions u et v définies sur ]0,
2
[ par: u(x)=x-sinx et v(x)=x-tgx.
b) en déduire que pour tout x ]0,
2
[; sinx < x < tgx.
c) établir alors que 1 1 1 1
sin ²x x² sin ²x pour tout x]0,
2
[.
2/ soit f la fonction définie sur [0,
2
] par;
3 sin
( ) ( )² 0
2 (0) 1
2
f x x si x
x f
a) montrer que f est continue sur [0,
2
].
b) En utilisant 1/ montrer que 0 < f(x)-1
2 < sin²x ; pour tout x]0,
2
[.
c) En déduire la limite en 0 de f x( ) f(0)
x
.
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3
Exercice 10:
Soit la fonction f définie sur IR par : f(0)=0 et pour tout x de IR* f(x)=x4sin( 12
x )
1)a- Montrer que pour tout x de IR* on a :-x4f(x)x4. b- étudier la limite en 0 de f ( x ) f ( 0 )
x
.
2)a- Vérifier que pour tout x de IR* on a :f(x)= 2 2
2
sin( 1 )
( )
( 1 ) x x
x
. b- En déduire le calcul de lim ( )
x f x
et lim ( )
x f x
Exercice 11:
Soit les fonctions f : xsin2x et g : x 1 x x . 1) Déterminer les ensembles de définition de f et g.
2) Soit h=f.g , calculer lim ( )
x h x
et
0
lim ( )
x
h x
.
3) Soit K la fonction définie par K(x)=g(f(x)).
a- Déterminer le domaine de définition de K.
b- Calculer lim ( )
x K x
.
Exercice 12 :
1) a- Etudier sur 0, 2
le sens de variation des fonctions g et h définies par : g(x) = x – sinx et h(x) = sinx – x +
3
6 x . b/ En déduire que pour tout x 0,
2
on a : x -
3
6
x sinx x (1) c/ Déduire de l’encadrement (1) que pour tout x , 0
2
; x
3
sin 6
x x x
.
d/ Déduire de ce qui précède
0
limsin
x
x
x Exercice 13 :
1) Montrer que l’équation : 8x3+6x-1=0 admet dans IR une solution unique et que 0,1
2
.
2) Soit la fonction f définie par f(x)=2x4+3x2-x-1.
a- Dresser le tableau de variation de f.
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4
b- Montrer que f( )=3 ( 1) 1
2 2 et que - 11 ( ) 1 8 f . 3) a- Montrer que l’équation f(x)=0 admet dans IR deux solutions x1 et
x2 telle que x1 x2 .
Exercice 14 :
Soit la fonction définie sur IR par f(x)=x3+x2+x-1.
a- Montrer que l’équation f(x)=0 admet sur IR une solution unique
0,1 .
b- En déduire que est le seul réel vérifiant = 1
1
. Exercice 15 :
Soit l’application f :
0, x
2 tg x
.
1) Etudier les variations de f.
2) Montrer que la courbe de f dans un repère O.N.D coupe la droite
: y = x en un point unique, autre que O, dont l’abscisse 2 ,5
3 6
. Exercice 16 :
Soit n et fn la fonction définie sur IR par : fn(x)=x3+3(n+1)x+1.
a- Dresser le tableau de variation de fn.
b- Montrer que l’application fn(x)=0 admet dans IR une solution unique notée net quen
1,0
.Exercice 17 :
Soit f la fonction définie sur [0,
2
] par f(x)= 1
1 sin x et g la fonction définie sur 0,
2
par : g(x)=1 x sin x x
.
a- Etudier les variations de g.
b- En déduire que l’équation f(x)=x admet une solution unique
0,2
.
