L.S.Marsa Elriadh
Epreuve 1
M : Zribi4 èmeSc Révision
08/09 1 Exercice 1 :
Soit (O i j k; , , ) un repère orthonormal de l’espace. On considère les points A(2 ; 4 ; 1), B(0 ; 4 ; −3), C(3 ; 1 ; −3), D(1 ; 0 ; −2), E(3 ; 2 ; −1).
Pour chacune des cinq affirmations suivantes, dire, sans le justifier, si elle est vraie ou si elle est fausse.
1) Une équation du plan (ABC) est : 2x + 2y − z − 11 = 0.
2) Le point E est le projeté orthogonal de D sur le plan (ABC).
3) Les droites (AB) et (CD) sont orthogonales.
4) La droite (CD) est donnée par la représentation paramétrique suivante :
1 2 1 1
x t
y t t
z t
.
Exercice 2 :
On considère le plan complexe P muni du repère orthonormal direct (O ;u,v ).
1) Soit le polynôme P tel que, pour tout z de C, P(z) = z3 4z2 + 6z 4.
Déterminer les réels u et v tels que P(z) = (z 2)(z2 + uz + v) et résoudre dans l'équation P(z) = 0.
2) On note la solution de l'équation ci-dessus dont la partie imaginaire est strictement positive et ß le conjugué de .
Soit A, B et C les points d'affixes respectives , ß et 2, I le milieu de [AB].
a) calculer
; en déduire la nature du triangle OAB.
b) Montrer que OACB est un carré.
3) Soit f l'application de P privé du point C dans P qui au point M d'affixe z (z 2) associe le point M' d'affixe z' définie par : z' =
2 ) 1 (
z
i
z .
a) Déterminer f(A) et f(B).
Déterminer le point E tel que f(E) = C.
b) Quelles distances représentent les réels | z (1 + i) | et | z 2 | ?
En déduire que si M appartient à la médiatrice de [AC], M' appartient à un cercle dont on donnera le centre et le rayon.
L.S.Marsa Elriadh
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08/09 2 Exercice 3 :
L’objet de cet exercice est d'étudier la fonction g définie sur [0 ;[ par
( ) 1 si 0 et (0) 1 e t
g t t g
t
.
1. a. Établir que g est continue en 0.
b. Déterminer la limite de g en . 2. a. Pour tout t > 0 , calculer g'(t) . b. Prouver que pour tout t0 , 1 t et.
c. En déduire le signe de g' et le sens de variation de g (on ne demande pas de construire la courbe représentative de g).
3. On se propose d'étudier la dérivabilité de g en 0. À cet effet on introduit la fonction h définie sur [0, [ par :
2
( ) 1 2 t t
h t t e
a. Calculer h’ et h’’, ainsi que les valeurs de h(0) et h'(0).
b. Prouver que pour tout t0
3
0 ( ) 6 h t t
(1)
Pour cela, on établira d’abord que 0h t''( )t et on en déduira un encadrement de h’ et de h.
c. Déduire de la relation (1) un encadrement de 1 e2t t
t
. Prouver finalement que g est dérivable en 0 et donner la valeur de g’(0).
4. Construire la courbe représentative C de g, le plan étant rapporté à un repère orthonormal
O i j; ,
.Exercice 4 :
Le laboratoire de physique d’un lycée dispose d’un parc d’oscilloscopes identiques. La durée de vie en années d’un oscilloscope est une variable aléatoire notée X qui suit la « loi de durée de vie sans vieillissement » (ou encore loi exponentielle de paramètre avec > 0.
Toutes les probabilités seront données à 10−3 près.
1. Sachant que p(X > 10) = 0,286, montrer qu’une valeur approchée à 10−3 près de est 0,125.
On prendra 0,125 pour valeur de dans la suite de l’exercice.
2. Calculer la probabilité qu’un oscilloscope du modèle étudié ait une durée de vie inférieure à 6 mois.
3. Sachant qu’un appareil a déjà fonctionné huit années, quelle est la probabilité qu’il ait une durée de vie supérieure à dix ans ?
L.S.Marsa Elriadh
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08/09 3 4. On considère que la durée de vie d’un oscilloscope est indépendante de celle des autres appareils. Le responsable du laboratoire décide de commander 15 oscilloscopes. Quelle est la probabilité qu’au moins un oscilloscope ait une durée de vie supérieure à 10 ans ?
5. Combien l’établissement devrait-il acheter d’oscilloscopes pour que la probabilité qu’au moins l’un d’entre eux fonctionne plus de 10 ans soit supérieure à 0,999 ?
