ESPONSABLE :P IERRE C HAROLLOIS C ALCULS A LGÉBRIQUES -UE4M021R

FACULTÉ DESSCIENCES

MASTER DE SCIENCES ET TECHNOLOGIES

M ^ENTION MATHÉMATIQUES ET APPLICATIONS

C ^ALCULS A ^LGÉBRIQUES - UE 4M021 R ^ESPONSABLE : P ^IERRE C ^HAROLLOIS

Professeure :

A

V

Cours 10 et 12

1

1. Introduction aux idéaux galoisiens et quelques notations 3

2. Idéal des relations symétriques 5

3. Idéal des relations et corps des racines du polynômef 8

4. Les théorèmes fondamentaux de Galois 10

5. Injecteurs et stabilisateurs d’idéaux 12

6. Idéaux galoisiens 14

7. Idéaux galoisiens purs 17

8. Complément sur les générateurs d’un idéal galoisien pur 21

9. Réduction par un idéal triangulaire (Rappel) 22

10. Tester par le calcul qu’un idéal galoisien est ou non pur 22 11. Du Théorème fondamental des fonctions symétriques au théorème de

Galois 23

12. Polynôme caractéristique et résolvante 24

13. Le théorème de l’élément primitif des idéaux galoisiens 30 14. Complément : Décomposition d’un idéal galoisien et de sa variété 32

15. Un exemple complet : Examen 2017 34

16. Vademecum - Annick Valibouze - Sorbonne Université 37 Table des matières

COURS 10

1. INTRODUCTION AUX IDÉAUX GALOISIENS ET QUELQUES NOTATIONS 3

1. Introduction aux idéaux galoisiens et quelques notations

Jusqu’à la fin du cours, nous abordons la théorie de Galois dite “constructive”. Nous considérerons des idéaux particuliers appelés “galoisiens ”. Deux d’entre eux furent introduits en 1950 par N.

Tcheboratrev dans son livre “Gründzüge des Galois’shen Theorie” (Ed. P. Noordhoff ) : l’“idéal des relations symétriques” engendré par les “modules de Cauchy” et l’“idéal desα-relations” engendré par les “modules fondamentaux”. Nous devons ces dénominations à N. Tchebotarev. Lorsque que le polynôme d’une variable de départ est sans racine multiple, les modules de Cauchy et fonda- mentaux sont chacun, par construction, des ensembles triangulaires séparables. La forme géné- rale d’un idéal galoisien fut introduite bien plus tard en 1995 (voir “Theory of Equations, Lagrange and Galois Theory”, AV, https ://cel.archives-ouvertes.fr/cel-00403452v1). Ce sont tous les idéaux radicaux entre l’idéal des relations symétriques et les idéaux de relations qui sont maximaux. Un autre outil fondamental de la théorie de Galois “constructive” est la résolvante introduite par J.L.

Lagrange dans le cas particulier de celle dite “absolue”. Nous allons étudier comment les idéaux galoisiens et les résolvantes offrent un moyen à la fois simple et calculatoire d’aborder la théorie de Galois.

Données

Nous fixons le corpsk :=Q(ou tout corps parfait) et un polynôme f (unitaire) d’une variablex:

f(x) :=(x−α1)· · ·(x−αn)∈k[x]

à coefficients dansk.Les racinesα1, . . . ,αnde f sont supposées deux-à-deux distinctes.

Le polynôme f est alors ditséparableou sans facteur carré ou encore sans facteur mul- tiple. Fixons unn-upletα:=(α1, . . . ,αn) de ses racines.

Nous considérerons l’idéal desα-relations

M_α:={r∈k[x]|r(α)=0}=Id_k(α)} . (1)

Notre objectif est de réaliser des calculs algébriques avec les racines de f. Nous verrons que pour y parvenir, il nous faudra trouver des générateurs deM_α, appelés “modules fondamentaux” et formant un ensemble triangulaire séparable.

L’anneauk[α] est identique à son corps des fractionsk(α), le corps des racines du po- lynôme f appelé aussi soncorps de décomposition. L’identiték[α]=k(α) se montre par récurrence, en débutant par l’identiték[α1]=k(α1). Cette identité se montre classique- ment à partir du polynôme minimalhdeα1surk(polynôme unitaire irréductible sur k tel queh(α1)=0) : soit 06=v ∈k(α1) ; il existep ∈k[x] avec deg(p)<deg(h) tel que v=p(α1) ; en évaluant enα1l’identité de Bézout :q(x)p(x)+g(x)h(x)=pgcd(p,h)=1, nous trouvonsw=q(α1), l’inverse dev.

Groupes et actions de groupes - Rappels

Nous notons Snle groupe symétrique de degrén.

Pourσ,τ∈S_n, etp∈k[x], posonsσ·p:=p(x_σ(1), . . . ,x_σ(n)) etα^σ:=(ασ(1), . . .ασ(n)).

Soit L⊂S_n. Pour P un ensemble de polynômes dek[x] etp∈P, nous posons :σ·P := {σ· · ·p|p∈P}, L·p:={σ·p|σ∈L} et

L·P := [

σ∈L

σ·P= [

p∈P

L·p .

L’ensemble L·pde polynômes dek[x] est appelé la L-orbitedepsous l’action de L.

De même, pour E un ensemble de n-uplets ete ∈E, nous posons : E^σ :={e^σ |e ∈E}, e^L:={e^σ|σ∈L}, la L-orbitedeesous l’action de L, et

E^L:= [

σ∈L

E^σ=[

e∈E

e^L .

Afin d’alléger la présentation, nous userons de cette notation : L?e:=e^Lpour désigner l’orbite dun-uplete sous l’action de L. Nous avons :

(α^τ)^σ = α^τσ (2)

En effet, fixonsi ∈[[1,n]] et posonsβ:=α^τ, i.e.βj:=α_τ(j)pourj ∈[[1,n]]. Pourj tel que j=σ(i), il vient :β_σ(i)=βj=α_τ(j)=α_τ(σ(i)); soit (α^τ)^σ=β^σ=α^τσ.

Afin d’alléger la présentation, nous userons de cette notation :σ·p(α) :=(σ·p)(α) où (σ·p)(α)=p(α^σ)=p(α_σ(1), . . .α_σ(n)). Pour éviter les confusions, vérifions que :

σ·p(α^τ) = p(α^τσ)=τσ·p(α) . (3)

En effet, (σ·p)(α^τ)=p((α^τ)^σ)=p(α^τσ), d’après (2).

2. IDÉAL DES RELATIONS SYMÉTRIQUES 5

2. Idéal des relations symétriques

Considérons l’ensembleSdes polynômes dek[x] qui s’annulent sur l’orbite deαsous l’action du groupe symétrique Sn:

S₌{r ∈k[x]| ∀σ∈S_n σ·r(α)=0} .

Cet ensemble est clairement un idéal radical qui se définit aussi comme celui de l’orbite S_n?αdeαsous l’action de S_n:

S:=Id_k(S_n?α) . (4)

Cet idéalSest appelé l’idéal des relations symétriquesentre les racines du polynôme univarié f. Il ne dépend clairement pas de l’ordre des racines choisi pour len-upletα des racines de f.

EXEMPLE2.1. Soits∈k[x], un polynôme symétrique enx₁, . . . ,x_n. Nous avonss(α)∈k par le théorème fondamental des fonctions symétriques. Ainsis(x)−s(α)∈S. Le poly- nôme f(x₁)−f(α1) est également une relation symétrique ; i.e. appartient àS. Pourtant il n’est pas symétrique enx₁, . . . ,x_n.

L’exemple précédent nous enseigne qu’il ne faut donc pas confondre les relations sy- métriques et les polynômes symétriques. Néanmoins, nous verrons que certaines rela- tions symétriques offrent une version effective du théorème fondamental des fonctions symétriques ; c’est-à-dire qu’elles permettent d’obtenir la valeur dansk du polynôme symétriquesévalué en lesnracines de f.

La variété V(S) de l’idéal des relations symétriques est donnée par :

V(S)=S_n?α={(α_σ(1), . . . ,α_σ(n))|σ∈S_n} . (5)

DÉMONSTRATION. En effet, l’ensembleJf :={s₁(x)−s₁(α), . . . ,s_n(x)−s_n(α)} de po- lynômes de k[x] où s_i est lai-ième fonction symétrique élémentaire, est inclus dans l’idéalS(voir Exemple 2.1). Or l’ensemble des zérosβdeJf est S_n?α; en effet,s_i(β)= s_i(α) si et seulement si Q_n

i=1(x−βi)=Q_n

i=1(x−αi) qui est équivalent à ce queβ soit une permutation de α. Donc V(S)⊂S_n?α. On en déduit l’égalité puisque Sn?α⊂ V(Id_k(Sn?α))=V(S), par définition de l’idéalS. Définissons l’ensembleC={C_1,α, . . . , C_n,α}, formé desn modules de Cauchy de f dans k[x]. Pour simplifier, nous posons C_i :=C_i,α et ci-dessous nous définissons inductive- ment les modules de Cauchy :

C_n(x_n) := f(x_n)

Cn−1(xn−1,xn) := Cn(xn−1)−Cn(xn) x_n−1−x_n ...

C_r(x_r, . . . ,x_n) := C_r+1(x_r,x_r+2, . . . , ,x_n)−C_r+1(x_r+1,x_r+2, . . . , ,x_n) xr−xr+1

1≤r<n

Par substitutions, nous avons, pour toutβ∈V(S) :

C_n(x_n)=f(x_n) = (x_n−β1)(x_n−β2)· · ·(x_n−β_n−1)(x_n−βn) C_n−1(x_n−1,βn) = (x_n−1−β1)(x_n−1−β2)· · ·(x_n−1−βn−1)

...

C_r(x_r,βr+1, . . . ,βn−1,βn) = (x_r−β1)· · ·(x_r−βr) (6)

...

C₁(x₁,β2, . . . ,βn) = x₁−β1 . D’où

V(C)=Sn?β=V(S) .

Puisque Cr =x^r_r+g_r(x_r, . . . ,x_n) avec deg_xr(g_r)<r, l’ensembleCformé des modules de Cauchy est unensemble triangulaireet réduit, par construction. Il estséparablepuisque les racines de f sont deux-à-deux disjointes (cela se voit sur (6)). Puisqu’il est triangu- laire séparable, il est radical (voir cours suivant). Puisque les idéauxSet<C₁, . . . , C_n>

sont tous deux radicaux (avec V({C₁, . . . , C_n})=V(S), il vient :

THÉORÈME1. Soit f un polynôme séparable. Alors l’idéalSde ses relations symétriques est triangulaire et engendré par les modules de Cauchy :

S=<C₁, . . . , C_n>. (7)

LesnpolynômesVr :=P_r

i=0a_ih_r−i(x_r, . . . ,x_n),r∈[[1,n]], satisfont cesnidentités : C_r=Vr r=1, . . . ,n

(8)

oùh_i(y) est la somme des monômes de poidsi en les variables dey eta_i:=(−1)ⁱs_i(α), s_iétant lai-ième fonction symétrique élémentaire enx₁, . . . ,x_n.

2. IDÉAL DES RELATIONS SYMÉTRIQUES 7

REMARQUE 2. On voit sur les polynômes V1, . . . ,Vn qu’ils sont “réduits” puisque de la forme :Vr =x_r^r+G_r(x_r, . . . ,x_n) avec deg_xj(G_r)<j=deg_xj(Vj) pour tout j∈[[1,n]].

EXEMPLE2.2. Les modules de Cauchy du polynômef :=x⁴−2x³+2x²+2 sont :

C₄(x₄) = x⁴₄−2x³₄+2x₄²+2=f(x₄)

C₃(x₃,x₄) = x³₃+x₄x²₃+x₄²x₃+x³₄−2(x²₃+x₄x₃+x₄²)+2(x₃+x₄) C₂(x₂,x₃,x₄) = x²₂+x₂x₃+x²₃+x₂x₄+x₃x₄+x²₄−2(x₂+x₃+x₄)+2 C₁(x₁,x₂,x₃,x₄) = x₁+x₂+x₃+x₄−2 .

Les modules de Cauchy ont été exprimés à l’aide des polynômes V1, . . . ,V4. Ces poly- nômes non symétriques appartiennent chacun à l’idéal des relations symétriques S. Par exemple, pour toute permutationσ,σ·C₄(α)=f(α_σ(4))=0.

Remarque : SoitJf :={s₁(x)−s₁(α), . . . ,s_n(x)−s_n(α)}. Puisque f est sans racine double, nous avons pu attester queS_=<C>; en fait, nous avons

S_{=<Jf >=<}C>.

DÉMONSTRATION. Pour le démontrer, posons I=<Jf >et partons de la preuve de V(S)=Sn?αqui montre aussi que V(I)=V(S). Donc I⊂p

I=S_=<C>. Soient Cr = C_r,αler-ième module de Cauchy def et C_r,xcelui deQ_n

i=1(x−x_i). Puisque C_r,x(x_r, . . . ,x_n)= 0 (les modules de Cauchy s’annulent en les racines du polynôme qui les définit), en ap- pliquant la formule (8) à C_r,x et à C_r,α, nous obtenons

(9) C_r,α=C_r,α−C_r,x=q₁(s₁(x)−s₁(α))+ · · · +q_r(s_r(x)−s_r(α))∈ I

oùq_i =(−1)ⁱ⁺¹h_r−i(x_r, . . . ,x_n) pouri ∈[[1,r]]. D’où C⊂I et nous avons bien l’égalité S_=<C>=<Jf >lorsquef est sans racine multiple.

En toute généralité, que f possède ou non une racine double, l’identité<C>=<Jf >

demeure satisfaite. Cette identité n’étant pas nécessaires au déroulé du cours, nous ne la démontrerons pas. De plus, si f possède au moins une racine double alors<C>=<

Jf >(S; en effet, si f est la forme sans facteur carré def alors f(xn) est une relation symétrique qui ne se réduit pas à zéro moduloC(car sa réduction est elle-même).

Le groupe symétrique S_nest lestabilisateurde l’idéal des relations symétriques :

S_n=Stab(S)={σ∈S_n|σ·S_⊆S} (10)

(preuve évidente) et, par définition deS, nous avons également : S_n={σ∈S_n|σ·S⊆M_α}

(i.e. SnenvoieSdansM_α) oùM_αest l’idéal desα-relations :

M_α:={r∈k[x]|r(α)=0}=Id_k(α) . (11)

Nous verrons en TD que la réduction d’un polynôme symétrique modulo les modules de Cauchy fournit une nouvelle méthode effective du théorème fondamental des fonc- tions symétriques.

3. Idéal des relations et corps des racines du polynômef

L’idéalM_αdesα-relations est le noyau du morphisme d’algèbre surjectif d’évaluation suivant :

ψ:k[x] −→ k[α]=k(α) p(x) 7−→ p(α) .

Ce morphisme induit donc un isomorphisme entre l’anneau quotient A :=k[x]/M_αet le corpsk(α) :

k[x]/M_α'k(α) .

REMARQUE 3. Le fait que l’idéal M_α soit maximal est équivalent à ce que l’algèbre k[x]/M_αsoit un corps ; i.e. quek[α]=k(α). Nous pouvons donc prouver des deux pro- priétés à partir de l’autre : à savoirk[α]=k(α) etM_αest maximal.

L’idéal desα-relationsM_αest triangulaire : il est engendré par un ensemble triangulaire séparable réduit formé par lesmodules fondamentaux

F₁(x₁, . . .x_n), . . . ,F_n(x_n) avecF_i∈k[x_i, . . . ,x_n]

appelés ainsi par Tchebotarev qui les définit inductivement comme suit : posonskn+1:=

ketki:=ki+1(αi)=k(αi+1, . . . ,αn). Pour touti∈[[1,n]],F_i(xi,αi+1, . . . ,αn)=min_αi,ki+1(xi).

On a ainsik_i'k[x_i, . . . ,x_n]/<F_i, . . . ,F_n>. Les modules fondamentaux se calculent na- turellement par factorisations successives def dans les extensionsk_i. (voir aussi Cours 9)

L’ensemble de permutations :

3. IDÉAL DES RELATIONS ET CORPS DES RACINES DU POLYNÔME f 9

G_α:=Stab(M_α)={σ∈S_n|σ·M_α⊆M_α} (12)

qui envoie touteα-relation sur uneα-relation est lestabilisateurdeM_α.

Ce stabilisateur G_αest un sous-groupe de S_ncar il est à la fois fini, non vide (il contient l’identité) et stable par composition interne comme nous le montrons maintenant.

Soient τ,σ∈G_α et r ∈M_α. Alorsστ·M_α =σ·(τ·M_α)⊆σ·M_α⊆M_α, par définition de G_α. Ainsiστ∈G_α.

Le groupe G_αest appelé legroupe de Galoisdeαsurket sera parfois noté Galk(α) :=G_α (pour certaines identités fondamentales).

La variété algébrique V(M_α) définie comme l’ensemble des zéros de l’idéalM_αest l’or- bite dun-upletsαsous l’action de son groupe de Galois surk:

V(M_α)=Galk(α)?α . (13)

DÉMONSTRATION. En effet,S_⊂M_αpuisque l’identité appartient à S_n; nous avons donc V(M_α)⊂S_n?α=V(S). Soit α^σ ∈V(M_α), avec σ∈S_n. Alors, par définition de l’ensemble des zéros d’un ensemble de polynômes, pour toutr ∈M_α nous avons 0= r(α^σ)=σ·r(α). Doncσ∈G_α, par définition de G_α. En conséquence, d’après (13),

M_α=Id_k(α)=Id_k(H?α)=Id_k(Gal_k(α)?α) ∀H⊂Gal_k(α) (14)

et les racines de f étant deux-à-deux distinctes, le cardinal de la variété de l’idéal des α-relations s’identifie à l’ordre (i.e. le cardinal) du groupe de Galois deαsurk:

Card(V(M_α))=Card(Gal_k(α)) . (15)

L’anneau A est une algèbre car aussi un espace vectoriel surk. Rappelons que les mul- tiplicités des zéros d’un idéal radical sont toutes identiques à 1. L’idéalMétant radical, nous avons dim_kA=Card(V(M)) qui conduit à cette égalité fondamentale de la théorie de Galois entre l’ordre du groupe de Galois surket la dimension de A en tant qu’espace- vectoriel surk:

dim_kk(α)=Card(Gal_k(α)) . (16)

Action du groupe de Galois sur le corpsk(α)

Le groupe de Galois G_αest l’ensemble maximal de permutations permettant de définir une action surk[α]=k(α).

Par exemple, siα1=1 est racine de f =x³+1, nous montrons facilement que pour la relationr:=α³₂−α1etτ=(1, 3) alors il n’y a pas d’action fidèle surβ=α³₂=α1carτ·r6=0 (i.e.τ6∈Gal_k(α)).

De manière générale, soientΘ,Ψ∈k[x] tels queΘ(α)=Ψ(α) alors (Θ−Ψ)(α)=0 ; i.e.

Θ−Ψ ∈M_α et on n’est assuré deσ·Θ(α)=σ·Ψ(α) que pourσ∈G_α, par définition de G_α. Notons que lorsque les racines de f sont “algénriquement indépendantes”, des

“variables”, le groupe de Galois est alors Snet nous savons que si deux polynômes sont identiques : P=Q alorsσ·P=σ·Q toute permutationσ∈Sn.

Soitθ∈k(α) et un polynômeΘ∈k[x] tel queθ:=Θ(α). Pour toutσ∈G_α, nous pouvons adopter cette notation pour l’action deσsurθ:

θ^σ:=σ·Θ(α)=Θ(α^σ) . (17)

Legroupe de GaloisGde f sur k, appelé aussi dek(α) surk, est classiquement défini comme le groupe desk-automorphisme dek(α) dansk(α). Il y a un morphisme naturel entre le groupe de Galois Gal_k(α) et G qui àσ∈Gal_k(α) associeφσ∈G défini parφσ(θ)= θ^σpour toutσ∈Gal_k(α).

4. Les théorèmes fondamentaux de Galois

Ayant déterminé la variété deM:=M_α, pour tout polynômeΘ∈k[x], nous pouvons exprimer le polynôme caractéristique χΘ,ˆ M de ˆΘ, l’endomorphisme multiplicatif de k[x]/Minduit parΘ:

χΘˆ,M(x)= Y

β∈V(M)

(x−Θ(β))= Y

σ∈Galk(α)

(x−σ·Θ(α)) (18)

et nous avons tout naturellementχΘˆ,M(x)∈k[x] (puisqueMest radical, toutes les mul- tiplicités des éléments de la variété sont identiques à 1). Le polynôme caractéristique

4. LES THÉORÈMES FONDAMENTAUX DE GALOIS 11

s’exprime aussi ainsi :

χΘ,ˆ M(x)= Y

σ∈Gal_k(α)

(x−θ^σ) .

THÉORÈME4. (Galois) Soitγ∈k(α). Pour queγ∈k il faut et il suffit que queγ^σ=γpour toutσ∈Gal_k(α).

DÉMONSTRATION. Les outils que nous avons mis en place, nous offrent une preuve simple du théorème de Galois. Notons que l’action de permutations sur les éléments de k(α) est bien définie seulement pour les permutation du groupe de Galois. SoitΓ∈k[x]

tel queγ=Γ(α). Siγ∈kalors le polynômer:=Γ(x)−γdek[x] est uneα-relation. Donc, par définition du groupe de Galois, pour toutσ∈Gal_k(α),σ·r(α)=0 ; ce qui signifie que γ^σ=γ. Inversement, supposons queγ^σ=γpour lesdpermutations de Gal_k(α). Alors, χΓˆ,M(x)=(x−γ)^d∈k[x]. Commekest un corps parfait, nous avons bienγ∈k.

REMARQUE5. Rappelons, que le corpskétant parfait et l’idéalMétant radical, le poly- nôme minimal M_Θˆ,Mde l’endomorphisme ˆΘqui appartient àk[x] s’identifie à la forme sans facteur carré du polynôme caractéristique (A faire en exercice). D’où :

MΘˆ,M= Y

γ∈Galk(α)?θ

(x−γ)∈k[x]

où Gal_k(α)? θ={θ^σ |σ∈Gal_k(α)} est l’orbite de θsous l’action du groupe de Galois Gal_k(α) (afin d’alléger la présentation, nous utilisons une notation analogue à celle de l’action d’un ensemble de permutations sur unn-uplet).

THÉORÈME6. (Galois). Soitθ∈k(α). Alorsmin_θ,k, son polynôme minimal sur k, est celui dont les racines sont les éléments de l’orbite deθsous l’action du groupe de Galois deα sur k :

min_θ,k= Y

γ∈Gal_k(α)?θ

(x−γ)=MΘ,ˆ M .

Les élémentsθ^σ oùσparcourt le groupe de Galois Gal_k(α) sont appelés lesconjugués de θsurk. Ce théorème exprime qu’ils forment l’ensemble des racines du polynôme minimal deθsurk.

DÉMONSTRATION. Soit F :=Q

γ∈Galk(α)?θ(x−γ). Puisque F est la forme sans facteur carré deχΘ,ˆ M, il appartient àk[x] (toujours vrai sur un corps parfait).

Ce premier fait étant établi, considérons le polynômeΘ∈k[x] tel queΘ(α)=θ. Le poly- nômeg(x) :=min_θ,k(Θ) appartient àMcarg∈k[x] etg(α)=min_θ,k(Θ(α))=min_θ,k(θ)= 0. Donc pour toute permutationσ∈Gal_k(α),σ·g(α)=0. Ce qui signifie que pour toute permutationσ∈Gal_k(α), 0=σ·min_θ,k(Θ(α))=min_θ,k(σ·Θ(α))=min_θ,k(θ^σ) ; ainsi toute racine de F est racine du polynôme minimal deθsurk. Donc F∈k[x] est un facteur du

polynôme minimal deθsurk. Le polynôme minimal deθétant celui surkde moindre degré et de racineθ, il s’identifie à F, unitaire comme lui.

Exercices. Pour s’habituer à manipuler, montrer que pour toutσ∈S_n

σ⁻¹·M_α = M_ασ=Id(α^σ) (19)

Gal_k(α^σ) = σ⁻¹Gal_k(α)σ (20)

V(σ⁻¹·M_α) = (Gal_k(α)σ)?α . (21)

On pourra utiliser l’Identité (2). Ces identités traduisent les identités entre idéaux maxi- maux de relations, leurs variétés et groupes de Galois lorsqu’on change den-uplet de racines de f.

5. Injecteurs et stabilisateurs d’idéaux Fixons I, J deux idéaux dek[x₁, . . . ,x_n].

Nous définissons l’injecteur deIdansJ comme étant l’ensemble de permutations qui envoient globalement I dans J :

Inj(I, J) :={σ∈S_n|σ·I⊂J} . (22)

Nous avons tout naturellement Inj(I, J)·I⊂J.

Lestabilisateurde l’idéal I est l’ensemble de permutations qui le stabilise globalement : Stab(I) :=Inj(I, I) .

(Dans la littérature, le stabilisateur de I est aussi appelé songroupe de décompositionet est noté Dec(I)) .

Comme pour le groupe de Galois, stabilisateur deM, on montre de la même manière que Stab(I) est un groupe car il est fini, non vide (contient l’identité) et est stable par composition interne. Puisque Stab(I)·I⊂I et que le stabilisateur est un groupe, nous avons :

Stab(I)·I=I .

On peut aussi utiliser l’ordree deσ∈S_n. Puisqueσ⁻¹=σ^e−1on aσ·I⊂I⇒I⊂σ⁻¹·I= σ·(σ^e−2·I)=σ·I. Doncσ·I⊂I⇔σ·I=I.

5. INJECTEURS ET STABILISATEURS D’IDÉAUX 13

Ou autrement dit :

Stab(I)={σ∈S_n|σ·I=I} .

Comme exemples, nous avons vu : Sn=Stab(S)=Inj(S,M_α) et Galk(α)=Stab(M_α).

Ainsi, pour l’idéal des relations symétriques et l’idéal M_α desα-relations, il y a éga- lité entre le stabilisateur et l’injecteur dans M_α. Ce ne sera pas toujours le cas pour tous les idéaux dit galoisiens que nous allons définir et étudier, à savoir les idéaux radi- caux entre l’idéal des relations symétriquesSet les idéaux maximaux de relationsM qui le contiennent. Nous verrons à quelle condition le stabilisateur d’un idéal galoisien s’identifie à son injecteur dans un idéal maximal qui le contient. De tels idéaux galoi- siens seront ditspurs. Nous étudierons leurs propriétés et puis nous les utiliserons pour construire le corpsk(α) des racines du polynômef ainsi que le groupe de Galois.

Etudions maintenant quelques relations sur les injecteurs et les stabilisateurs qui nous seront utiles par la suite.

Si I⊆J alors Stab(I)⊆Inj(I, J) . (23)

En effet, siσ∈Stab(I) alorsσ·I⊆I⊂J. Doncσ∈Inj(I, J). Comme nous l’avons vu avec l’idéal des relations ou celui des relations symétriques, l’égalité est possible.

Si I⊆I1 alors Inj(I1, J)⊂Inj(I, J) . (24)

En effet, si σ∈S_n alorsσ·I₁⊂σ·I et si σ∈Inj(I, J) alors σ·I⊂J d’oùσ·I₁⊂J etσ∈ Inj(I₁, J).

En particulier, si I₁=J alors Stab(J)⊂Inj(I, J) et

si I⊆M_α alors Gal_k(α)⊂Inj(I,M_α) . (25)

Soientσ,τ∈Snalors :

Inj(σ·I,τ·J)=τInj(I, J)σ⁻¹ . (26)

En effet, par définition de l’injecteur, Inj(σ·I,τ·J)={s∈Sn|s·(σ·I)⊂τ·J}. D’où Inj(σ·I,τ·J) = {s∈S_n|τ⁻¹sσ·I⊂J}

= {τtσ⁻¹∈Sn|t·I)⊂J}=τInj(I, J)σ⁻¹ en ayant posét:=τ⁻¹sσ.

Comme Stab(τ·J)=Inj(τ·J,τ·J), d’après (26), il vient :

Stab(τ·J)=τStab(J)τ⁻¹ (27)

Et puisque, d’après l’Identité (19), Gal_k(α^σ)=Stab(σ⁻¹·M_α), nous retrouvons l’Identité (20), à savoir que Gal_k(α^σ)=σ⁻¹Gal_k(α)σ.

6. Idéaux galoisiens

Nous allons étudier les idéaux galoisiens généraux. Fixons L un sous-ensemble du groupe symétrique S_n. L’idéal

I^L_α:=Id_k(L?α) (28)

est appelé l’idéal galoisien défini par le couple(L,α) surk.

Lorsque L est le groupe identité, nous le notons parfois simplement I_αet nous avons vu précédemment queM_α=I_α=I^G_α^α.

L’idéal I^L_α est radical par construction. Nous pouvons l’exprimer également de la ma- nière suivante :

I^L_α:={r∈k[x]| ∀σ∈L σ·r(α)=0} .

Rappelons que pour V_i ⊂kⁿ, Id_k(V₁∪V₂)=I_k(V₁)∩I_k(V₂). Pour H₁ et H₂ deux sous- ensembles de Sn, il vient :

I^H_α¹∩I^H_α²=I^H_α^1∪H2 . Puisque L?α=S

σ∈Lα^σ, nous pouvons encore exprimer notre idéal galoisien sous ces diverses formes :

I^L_α= \

σ∈L

Id(α^σ)= \

σ∈Lσ⁻¹·M_α , (29)

d’après l’identité (19). Nous pouvons exprimer I^L_α comme l’intersection d’idéaux co- maximaux (voir Section 14). À ce stade, nous n’avons pas encore besoin de cette granu- larité.

Nous avons toujoursS₌I^S_αⁿ ⊆ I^L_αet si L contient l’identité, il vient :

6. IDÉAUX GALOISIENS 15

S₌I^S_αⁿ ⊆ I^L_α ⊆ M_α=I^G_α^α , ce qui induit les inclusions inverses suivantes sur les variétés : G_α?α ⊆ V(I^L_α) ⊆ S_n?α .

Soit I un idéal galoisien. De par sa définition, l’injecteur Inj(I,M_α) contient tous les en- sembles de permutations L tel que le couple (L,α) définisse I. Ce qui signifie que l’in- jecteur est leur union :

Inj(I,M_α)={L⊂S_n|I=I^L_α} . Variétés galoisiennes

Nous appelleronsgaloisiennela variété algébrique d’un idéal galoisien, i.e. l’ensemble de ses zéros dans C. D’après la proposition suivante, l’ensemble des variétés galoi- siennes est formé des ensembles (Gal_k(α) L)?αoù L parcourt les sous-ensembles du groupe symétrique Sn.

PROPOSITION 7. La variété algébrique et l’injecteur de l’idéal galoisien I dans l’idéal maximalM_αsont donnés par :

V(I)=Inj(I,M_α)?α avec Inj(I,M_α)=Gal_k(α)L (30)

pour tout sous-ensembleLdeSntel queI=I^L_αet oùGL :={g l |g∈G ,l∈L}.

DÉMONSTRATION. Posons I=I^L_α. D’abord notons que tout élément de V(I) est une permutation deαpuisque V(I)⊂S_n?α=V(S). Par définition de l’injecteur Inj(I,M_α), σ∈Inj(I,M_α) si et seulement si pour tout r ∈I, σ·r(α)=0 ; ce qui est équivalent à α^σ ∈V(I). D’où V(I)=Inj(I,M_α)?α. En utilisant d’abord l’identité (29) puis l’identité (21), il vient :

V(I^L_α)=V(\

σ∈L

σ⁻¹·M_α)=[

σ∈L

V(σ⁻¹·M_α)= [

σ∈L

G_ασ ?α=G_αL?α

REMARQUE8. D’après (30), pour toutσ∈S_n, V(Id_k(α^σ))=V(I^σ_α)=G_ασ ?αest la variété algébrique finie associée à l’idéal maximal Id_k(α^σ), donc cet idéal est premier et sa va- riété est irréductible. Comme l’ensemble des idéaux galoisiens maximaux est formé des Id_k(α^σ) oùσparcourt S_n, toutes les variétés galoisiennes irréductibles sont de la forme G_ασ ?α.

REMARQUE 9. Il est possible de démontrer la proposition précédente d’une autre ma- nière en considérant un polynômeΘ∈k[x] tel que L=Stab_Sn(Θ), dit L-invariant(pri- mitif), et tel que siσ·Θ(α)=Θ(α) alorsσ∈L ; le polynômeΘest appelé un L-invariant α-séparable. Ensuite, il suffit de constater queg(Θ)∈I, oùg(x) est le polynôme carac- téristiqueχΘ,I(x).

COROLLAIRE10. Les variétés galoisiennes irréductibles contenues dansV(I)sont les va- riétés(Galk(α)σ)?αoùσparcourt tout sous-ensembleLtel queI=I^L_α; ce qui en particu- lier est le cas pourL=Inj(I,M_α).

Posons I :=I^L_α.

LEMME 11. Soitα un n-uplet des racines (distinctes) du polynôme f . L’ensemble des idéaux maximaux contenantIest formé desσ⁻¹·M_αoùσparcourtInj(I,M_α).

DÉMONSTRATION. Nous avons, V(I)=Inj(I,M_α)?αet I=Id(V(I)) qui est donc l’in- tersection des idéaux maximaux Id(α^σ) oùσparcourt Inj(I,M_α). Donc siMest un idéal maximal contenant I alors il est nécessairement de la forme Id(α^σ) oùσ∈Inj(I,M_α). Or, d’après l’identité (19), nous avonsM=Id(α^σ)=σ⁻¹·M_α. Ce qui achève la preuve.

Puisque la Proposition 30 donne la variété de I et que I est radical, pour tout polynôme Θ ∈ k[x] nous pouvons exprimer le polynôme caractéristique χΘ,Iˆ de ˆΘ, l’endomor- phisme multiplicatif dek[x]/I induit parΘ:

χΘ,Iˆ (x)= Y

β∈V(I)

(x−Θ(β))= Y

σ∈Galk(α)L

(x−σ·Θ(α)) ∈k[x] . (31)

Cette formule du polynôme caractéristique généralise ce que nous avons vu avec l’idéal maximal M_α. Le produit s’étend à seulement L lorsque L est un groupe contenant Gal_k(α). Nous étudierons plus loin les idéaux galoisiens dits ”purs” ayant cette pro- priété.

Correspondance galoisienne des idéaux galoisiens

Nous déduisons des résultats précédents lescorrespondances galoisiennessur les idéaux galoisiens.

Soient deux idéaux galoisiens I et J tels que

S ( ^I ( ^J ( M_α ,

7. IDÉAUX GALOISIENS PURS 17

alors nous avons les inclusions inverses suivantes sur leurs injecteurs :

S_n=Stab(S) ) ^Inj(I,M_α) ) ^Inj(J,M_α) ) ^Stab(M_α)=G_α .

Inversement, soient L et H deux sous-ensembles (pas nécessairement sous-groupes) de Sntels que :

S_n ) ^L )^H

alors

S ⊆ I^L_α ⊆ I^H_α .

Il peut y avoir égalité, comme en particulier lorsque G_α =S_n : dans ce cas, tous les idéaux galoisiens sont identiques à l’idéalSdes relations symétriques.

Si, de plus,α∈V(I^H_α) (i.e. si L et H contiennent l’identité) alors S _⊆ I^L_α ⊆ I^H_α ⊆ M_α . Notons que H⊆G_αsi et seulement si I^H_α =M_α.

Les inégalités sur les variétés galoisiennes s’en suivent puisque chaque variété d’un idéal galoisien I est de la forme Inj(I,M_ασ)?α^σ, c’est-à-dire est l’orbite d’unn-uplet des racines de f par l’injecteur de I dans l’idéal (maximal) de ce point.

REMARQUE12. Pour ceux ayant étudié la correspondance galoisienne sur les corps, ils se souviennent qu’il y a une correspondance bijective entre les sous-groupes du groupe de Galois G de f surk et les corps intermédiaires entre le corps k=k(α)^G et le corps k(α)'k[x]/M_α. Ici, c’est ”un peu” le contraire. Tous les sous-ensembles (non néces- sairement des groupes) du groupe de Galois G_αdéfinissent le même idéal galoisienM_α (maximal) et ce sont les ensembles L entre S_net le groupe de Galois G_αqui définissent tous les idéaux galoisiens Id_k(L?α) compris entre Id_k(S_n?α) et Id_k(G_α?α)=M_α.

7. Idéaux galoisiens purs

Nous fixons un idéal galoisien I :=I^L_α =Id_k(L?α) où L est un sous-ensemble de S_n. Rappelons queM_α=Id_k(α)=I_α.

Nous nous intéressons ici au cas dans lequel l’injecteur Inj(I,M_α) est un groupe : com- ment le vérifier et quelles en sont les conséquences ?

D’abord lorsque L contient l’identité, nous pouvons appliquer le lemme suivant : LEMME13. SiI⊆M_αalorsStab(I)contient tous les sous-groupesHdu groupe symétrique S_ntels queI=I^H_α.

DÉMONSTRATION. Soit H un sous-groupe de Sntel que I=I^H_α. Prenonsh∈H etr∈I.

Nous savons queh·r∈I est équivalent àσ·(h·r)(α)=0 pour toutσ∈H, par définition de I^H_α. Or puisque H est un groupe,σh ∈H et, par conséquent, par définition de I^H_α, 0=σh·r(α)=σ·(h·r)(α). Donch·r∈I eth∈Stab(I).

THÉORÈME14. SoitIun idéal galoisien de f sur k etαun n-uplet de racines (distinctes) du polynôme f de k[x]. L’injecteurInj(I,M_α)est un groupe si et seulement si il existe un sous-groupeLdeSnqui contient le groupe de GaloisG_αet tel queI=Id(L?α).

DÉMONSTRATION. Montrons la condition suffisante. Si L est un sous-groupe de S_n qui contient G_αavec I=Id(L?α) alors Inj(I,M_α)=G_αL=L est un groupe. Inversement, supposons que l’injecteur L :=Inj(I,M_α) soit un groupe. Puisque L contient l’identité, nous avons I⊆M_α. Nous en déduisons l’inclusion inverse sur leurs injecteurs : G_α= Stab(G_α)⊆Inj(I,M_α)=L.De plus, par définition de l’injecteur, (L,α) définit l’idéal I : I=Id(L?α) (c’est même le plus grand ensemble de permutations qui définisse I). La

réciproque est prouvée.

D’après le théorème précédent, nous constatons que si Inj(I,M_α) est un groupe alors c’est le groupe L du théorème qui contient le groupe de Galois puisque Inj(I,M_α)= G_αL=L.

THÉORÈME15. Soit un polynôme f de k[x]sans racines multiple, de degré n etαun n- uplet de ses racines. SoitIun idéal galoisien de f sur k. Siα∈V(I)alors :

(i) si l’injecteurInj(I,M_α)est un groupe alors pour tout idéal maximalMcontenantI, il y a l’identitéStab(I)=Inj(I,M)et c’est en particulier le cas pourM₌M_α;

(ii) s’il existe un idéal maximalMtel queStab(I)=Inj(I,M)alorsI⊂MetInj(I,M_α)est lui aussi le groupeStab(I).

DÉMONSTRATION. Supposons que l’injecteur L de I dans un idéal maximalM_αsoit un groupe (il ne pourrait pas l’être siα6∈V(I)). Nous avons I=I^L_α⊆I_αpuisque L contient l’identité. Par conséquent, L⊆Stab(I), d’après le lemme 13. Or, d’après l’identité (23), Stab(I)⊆Inj(I, J) si I⊆J. Donc en appliquant ceci à J=M_α, nous obtenons l’inclusion inverse et nous avons montré que Stab(I)=Inj(I,M_α).

Soit maintenantMun idéal maximal quelconque contenant I. Alors il existeτ∈Inj(I,M_α) tel queM_=τ⁻¹_·M_α(voir Lemme 11 sur l’ensemble des idéaux maximaux contenant I). Ainsi, d’après l’identité (26), Inj(I,M)=τ⁻¹Inj(I,M_α)=Inj(I,M_α) puisque Inj(I,M_α) est un groupe. Et donc tout comme pourM_α, nous avons Inj(I,M)=Stab(I) . Autrement dit, l’injecteur d’un idéal galoisien I dans un idéal maximalMest un groupe si et seulement si pour un élément quelconque α de la variété irréductible V(M), il existe un groupe L qui contienne Stab(M)=G_α et tel que l’idéal I=Id_k(L?α). Dans

7. IDÉAUX GALOISIENS PURS 19

ce cas, le groupe L est à la fois le stabilisateur de I et l’injecteur de I dansM⁰pour tout idéal maximalM⁰contenant de I (i.e. tous ces injecteurs sont égaux au groupe stabili- sateur). Un tel idéal galoisien est appelé un idéal galoisienpur.

Lorsque qu’un idéal galoisien I est pur, nous avons pour toutβ∈V(I) : V(I)=Stab(I)?β={(β_σ(1), . . . ,β_σ(n))|σ∈Stab(I)} .

En effet, soitβ∈V(I). Puisque I est pur, nous avons Inj(I,M_β)=Stab(I) et donc V(I)= Stab(I)?β, d’après la proposition 7.

Ainsi, pour tout polynômeΘ∈k[x], lorsque I est galoisien pur : χΘ,Iˆ (x)= Y

β∈V(I)

(x−Θ(β))= Y

σ∈Stab(I)

(x−σ·Θ(α))∈k[x] . (32)

Alors que le calcul d’un injecteur dans un idéal maximal contenant I nécessite d’avoir déterminé le groupe de Galois, dans le cas des idéaux galoisiens purs, comme cet injec- teur s’identifie au stabilisateur de I, ce calcul devient réalisable sans le groupe de Galois.

En effet, nous verrons comment que le stabilisateur d’un idéal galoisien pur se calcule rapidement à partir d’un certain ensemble de ses générateurs.

COURS 12

8. COMPLÉMENT SUR LES GÉNÉRATEURS D’UN IDÉAL GALOISIEN PUR 21

8. Complément sur les générateurs d’un idéal galoisien pur

Nous supposons que I est un idéal galoisien pur de stabilisateur L=Stab(I). Puisqu’il est pur, l’idéal I est triangulaire (voir Théorème cours 11). Fixons

{f₁(x₁, . . . ,x_n), . . . ,f_n−1(x_n−1,x_n),f_n(x_n)}

un ensemble triangulaire séparable engendrant I et posonsd_s=deg_xsf_s.

Nous pouvons choisir ces générateurs de I de telle sorte que deg_xj f_s<d_j sij 6=s; l’en- semble triangulaire est alors ditréduit; c’est toujours possible d’obtenir un ensemble triangulaire “réduit” à partir d’un qui ne l’est pas en divisant (réduisant) les générateurs les uns avec les autres selon la variable la plus forte suivant cet ordre sur les variables : x₁> · · · >xn.

Notons que d₁ =1. En fait f₁ =x₁+ · · · +x_n−b oùb est la sommes α1+. . .+αn des racines, opposée au coefficient sous-dominant dans l’expression du polynôme f (i.e.

dexⁿ⁻¹).

Considérons la suite (L_r)_{r∈[[1,n+1]]}de sous-groupes définie inductivement ainsi : L_n+1:= L et L_r :={σ∈L_r+1|σ(r)=r} pourr∈[[1,n]]. Pour toutα∈V(I), comme nous l’avions fait pour les modules de Cauchy, nous considérons F_n(x_n) := f_n(x_n) et pour chaque r∈[[1,n−1]] :

F_r(x_r) :=f_r(x_r,αr+1, . . . ,αn−1,αn)=(x_r−α_σ1(r))(x_r−α_σ2(r))· · ·(x_r−α_σdr(r)) (33)

où l’ensemble Tr :={σ1, . . . ,σdr} est une transversale à gauche de Lr+1 mod Lr de car- dinald_r =deg_xr f_r avecσdr =i d:

L_r+1=σ1L_r+ · · · +σdrL_r .

Par exemple, Ln={σ∈L|σ(n)=n}. Si le groupe L est transitif alors F_n(x_n)= f_n(x_n)= (x_n−α1)· · ·(x_n−αn).

Chaque polynôme F_r(x_r), r ∈[[1,n−1]], dépend de l’ensemble {F_r+1(x_r+1), . . . , F_n(x_n) de polynômes et du choix d’un leurs zeros (αr+1, . . . ,αn) dansk^n−r. Pour des raisons de lisibilité, nous évitons de le notifier, tout en considérant que ce sera contextuel.

REMARQUE16. Si H est un groupe alors la transversale de H mod StabH(r) est appelée aussi latransversale de r dansH.

Par exemple, le logiciel libreSageMath(téléchargement et compte en ligneCocalcgra- tuits) la calcule avec la commandeH.transversale(r). De mêmeH.stabiliser(r) calcule Stab_H(r).

Nous disposons donc de tous les moyens pour décrire un idéal galoisien pur à partir de son stabilisateur.

REMARQUE17. Lorsque I=M_α, L=Gal_k(α), les polynômesf_r sont les modules fonda- mentaux F_r et F_r(x_r)=F_r(x_r,αr+1, . . . ,αn−1,αn)=min_αr,k(x_r). Des résultats généraux précédents sur les idéaux galoisiens purs, nous pouvons donc déduire des propriétés sur des sous-corps du corps de décompositionk(α) et des sous-groupes du groupe de Galois.

9. Réduction par un idéal triangulaire (Rappel) Nous supposons que I est un triangulaire engendré par

{f₁(x₁, . . . ,x_n), . . . ,f_n−1(x_n−1,x_n),f_n(x_n)}

un ensemble triangulaire séparable. Posonsd_s=deg_xsf_s.

Fixons maintenant un polynômep∈k[x]. Sa classe [p] dansk[x]/I possède un unique représentant dans la baseBmonomiale dek[x]/I formée des monômes :

x₁ⁱ¹. . .xⁱ_nⁿ où 0≤i_s<d_s

(voir Cours-TDs précédents). On retrouve que le cardinal de la variété de I est d = d₁· · ·d_n=#L car les racines de f sont deux-à-deux distinctes. Ce représentant [p] est obtenu par une opération de réduction dite “modulo I” qui, dans le cas des idéaux galoisiens purs, consiste en lesndivisions euclidiennes successives suivantes :

posonsp₁:=pet définissons récursivement les polynômesp₂, . . . ,pn+1comme suit : pr(x₁, . . . ,x_r, . . . ,xn)=$fr(x_r, . . . ,xn)+pr+1(x)

oùp_r+1(x) est le reste de la division euclidienne dep_r par f_r enx_r pourr ∈[[1,n]]. Le dernier reste pn+1est, par construction, une combinaison linéaire de monômes de la baseB. Il est donc le représentant unique de [p] dans cette base.

10. Tester par le calcul qu’un idéal galoisien est ou non pur

Nous sommes en mesure de tester si un idéal galoisien J est pur ou ne l’est pas. Nous supposons ne disposer que d’un système de générateurs de J. Nous devons supposer savoir tester si un idéal est triangulaire ou non et s’il l’est, nous devons pouvoir disposer de l’ensemble triangulaire séparable qui l’engendre.

Si J n’est pas triangulaire, alors il n’est pas pur. Si J est triangulaire, pour qu’il soit pur, il faut et il suffit que pour un idéal maximalMquelconque contenant J, l’injecteur de J dansMet Stab(J) soient identiques. Il suffit donc de tester si leurs cardinaux sont ou non égaux puisque Stab(J) est nécessairement inclus dans cet injecteur.