Combustion du dihydrogène dans l’air
Benjamin Graille
∗28 novembre 2012
Résumé
Dans ce projet, nous nous intéressons à un système d’équations permettant de simuler la combustion du dihydrogène dans l’air. Le système proposé est un modèle simplifié de mélange gazeux diffusifs avec terme source couplé à une équation de propagation de la température. Le schéma réactionnel retenu tient compte de 6 réactions chimiques entre 6 espèces.
1 Introduction
Nous considérons un mélange gazeux composé des 6 espèces chimiques suivantes S={H2,O2,H2O,OH,H,O},
soumises aux 6 réactions chimiquesR={Rr,0≤r≤5},
H2+O2−→OH+OH, (R0)
H2+OH−→H2O+H, (R1)
O2+H−→OH+O, (R2)
H2+O−→OH+H, (R3)
OH+OH−→H2O+O, (R4)
OH+H−→H2O. (R5)
Chaque espèce est régie par une équation de type diffusion avec un terme source qui tient compte des réactions chimiques. Par ailleurs, les réactions chimiques modifient la température du milieu, certaines étant exothermiques, d’autres endothermiques. Nous couplons donc ces équations de réaction-diffusion avec une équation de la chaleur avec terme source qui modélisera la diffusion de la température.
2 Equations du modèle
L’espace physique considéré est Ω un ouvert borné régulier de Rd où d est la dimension qui vaudra numériquement 1 ou 2. Dans la suite, nous considérerons des quantités qui dépendent du tempst∈[0, tf] et de la variable d’espacex∈Ω. L’opérateur de dérivation par rapport au temps sera noté∂t, l’opérateur de gradient par rapport à la variable d’espace∂x= (∂1, . . . , ∂d)où ∂i est l’opérateur de dérivation par rapport à laiièmecoordonnée. Enfin, nous utiliserons la notation∆pour l’opérateur Laplacien du deuxième ordre∆ =Pd
i=1∂ii.
Nous noterons ρk,0 ≤k ≤5, la densité de lakième espèce chimique. Celle-ci est régie par l’équation de réaction-diffusion
∂tρk−µ∆ρk =ωk, 0≤k≤5, (1)
∗benjamin.graille@math.u-psud.fr
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où µ est le coefficient de diffusion, supposé constant pour toutes les espèces chimiques et ωk le terme source chimique de lakièmeespèce. Dans toute la suite, nous supposerons que les densités sont connues à l’instant initial
ρk(0, x) =ρ0k(x), 0≤k≤5, (2) et que les fonctionsρ0k,0≤k≤5 sont régulières et strictement positives.
Le terme sourceωk,0≤k≤5, s’écrit
ωk =
5
X
r=0
νkrτr, 0≤k≤5, (3)
où νkr est le coefficient stœchimérique de l’espèce k dans la réaction r et τr le tau d’avancement de la réaction r. Les coefficients stœchimériques νkr sont rappelés dans le tableau 1 et les valeurs des taux d’avancementτrdans le tableau 2. On notera queτrdépend de la températureT au travers d’une fonction notéef avecf(T) = 0siT < Ti etf(T) =T siT ≥Ti, oùTi est une température d’ignition strictement positive.
νkr H2 O2 H2O OH H O
R0 -1 -1 0 2 0 0 R1 -1 0 1 -1 1 0 R2 0 -1 0 1 -1 1 R3 -1 0 0 1 1 -1 R4 0 0 1 -2 0 1 R5 0 0 1 -1 -1 0 Table1 – Coefficients stœchiométriques
R0 R1 R2
τr 10ρ0ρ1f(T) 30ρ0ρ3f(T) 30ρ1ρ4f(T)
R3 R4 R5
τr 15ρ0ρ5f(T) 15ρ3ρ3f(T) 50ρ3ρ4f(T)
Table2 – Taux d’avancement
L’équation de conservation de la température s’écrit de manière simplifiée sous la forme
∂tT−ζ∆T =−
5
X
k=0
Ekωk, (4)
oùEk, 0≤k≤5 est l’énergie interne de lakième espèce etζle coefficient de diffusion supposé constant.
Les valeurs des énergies internes sont données dans le tableau 3. Nous supposerons également que la température est connue à l’instant initial
T(0, x) =T0(x), (5)
oùT0est une fonction régulière strictement positive.
H2 O2 H2O OH H O
Ek 0 0 -5 0.5 5 5
Table3 – Energies internes
Nous allons commencer par établir un certain nombre de propriétés permettant de démontrer que le problème couplé composé des équations (1) et (4) munies de conditions aux limites de type Neumann admet une unique solution.
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Question 1.
Dans cette question, nous supposerons qued= 1. Montrez que les densités restent strictement positives, c’est-à-dire que
∀t≥0, ∀x∈Ω, ρk(t, x)>0, 0≤k≤5. (6) On admettra dans la suite que cette propriété de positivité reste vraie quelle que soit la dimensiond.
Question 2.
Montrez que la densité globaleρ(t)est une fonction décroissante du temps, où l’on a défini
ρ(t) = Z
Ω 5
X
k=0
ρk(t, x)dx. (7)
Déduisez-en queρk(t,·),0≤k≤5 est dansL1(Ω)quel que soitt≥0.
Les termes sources ωk, 0 ≤ k ≤ 5, sont des fonctions des densités ρk et de la température T. Afin de démontrer l’existence d’une solution à ce problème, nous proposons d’utiliser une méthode de type point fixe. C’est-à-dire que nous considérons dans un premier temps que les fonctions ωk sont gelées. A cet effet, nous introduisons des fonctionsω˜k ∈L2(]0, tf[, L2(Ω))qui ne dépendent plus des densités et de la température.
Question 3.
Montrez que les problèmes découplés (8) et (9) possèdent une unique solution et précisez dans quel espace est cette solution.
∂tρk−µ∆ρk= ˜ωk, t∈]0, tf[, x∈Ω,
∂ρk
∂n = 0, t∈]0, tf[, x∈∂Ω,
(8)
∂tT−ζ∆T =−
5
X
k=0
Ekω˜k, t∈]0, tf[, x∈Ω,
∂T
∂n = 0, t∈]0, tf[, x∈∂Ω, (9) Question 4.
Montrez que l’opérateur qui à(˜ω0, . . . ,ω˜5)associe la solution(ρ0, . . . , ρ5, T)est un opérateur borné pour les espaces fonctionnels considérés et précisez sa norme.
Afin de terminer la preuve, il faut utiliser un argument de type point fixe, et pour cela restreindre suffisamment tf pour que l’opérateur soit contractant. Cette étape est malheureusement trop longue et sera admise.
Nous terminerons l’étude théorique par l’analyse des points d’équilibre. Pour cela, nous supposerons que d= 0, c’est-à-dire que la variable d’espace n’intervient plus dans le système.
Question 5.
Ecrivez le système d’équations différentielles ordinaires vérifiées par les densités ρk, 0≤k≤5. Montrez que les quantités 2ρ0+ 2ρ2+ρ3+ρ4 et 2ρ1+ρ2+ρ3+ρ5 sont conservées au cours du temps. A quoi correspond physiquement cette propriété ?
Question 6.
Déterminez tous les états d’équilibre possibles, c’est-à-dire tous les vecteurs(ρ0, . . . , ρ5)ne dépendant ni du temps ni de l’espace tels que les termes sources chimiques associés(ω0, . . . , ω5)soient nuls.
3 Etude numérique
Le domaine d’étude numérique sera restreint au disque unité : en dimension 1, le segment [−1,1]et en dimension 2, le disque de centre 0 et de rayon 1. Nous n’étudierons pas en détail l’influence du bord en stoppant les simulations avant que la flamme n’atteigne le bord du domaine. Nous fixerons le temps final à tf = 0.25et la température d’ignition à Ti = 1. Pour les conditions initiales, nous prendrons pour les densités ρ00(x) = 2, ρ01(x) = 1 et ρ0k(x) = 0 pour 2 ≤ k ≤ 5, et T0(x) = 10·I|x|≤0.1. Concernant les paramètres de diffusion, nous prendronsµ= 0.01etζ= 0.1.
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3.1 Différences finies en dimension 1
Dans cette partie, nous prendronsd= 1.
Question 7.
Proposez un codeScilabpermettant de calculer une solution approchée en utilisant une méthode de type différences finies. Vous prendrez un maillage uniforme en espace avec un pasdx= 0.01et dt= 0.001. Le terme source chimique sera explicite en temps et l’opérateur Laplacien implicite en temps afin de garantir la stabilité du schéma. Par exemple, le calcul de la température au pointxi=−1 +idx à l’instant tn+1 sera donné par la résolution du problème
Tin+1− ζdt
dx2(Ti+1n+1−2Tin+1+Ti−1n+1) =Tin−dt
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X
k=0
Ekωkn i,
où ωkn
i est l’approximation du terme source chimique calculé au point xi à l’instant tn. Ce calcul n’est évidemment valide que pour idans {1, . . . , N −1} oùN est le nombre de point du maillage, la formule aux pointsx0=−1etxN = 1étant donnée par une discrétisation de la condition de Neumann homogène.
Question 8.
Tracez sur un même graphique les densités de toutes les espèces chimiques à l’instant tf = 0.25 avec un titre et une légende. Tracez sur un autre graphique la température au même instant.
Question 9.
Analysez vos résultats. En particulier, observez-vous une convergence de la solution vers un état d’équi- libre ? Si oui lequel ? Pouvez-vous faire varier les conditions initiales afin d’observer une convergence vers un autre état d’équilibre ?
3.2 Eléments finis en dimension 2
Dans cette partie, nous prendronsd= 2.
Question 10.
Proposez un codeFreeFem++permettant de calculer une solution approchée en utilisant une méthode de type éléments finis P1. Vous prendrez N = 200 points sur le bord du disque pour créer votre maillage et un pas de temps dt = 0.002. Concernant la discrétisation en temps, vous prendrez comme pour la dimension 1 une discrétisation implicite pour le Laplacien et une discrétisation explicite pour le terme source.
Question 11.
Tracez sur des graphiques séparés les densités de chaque espèce chimique et la température à l’instant finaltf= 0.25.
Question 12.
Tracez une coupe de la solution pour y = 0 à chaque instant de la simulation (les densités dans un graphique et la température dans un autre).
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