1 MC 12/03/2019
ETSL, 95 rue du Dessous – des – Berges, 75 013 PARIS 1/3
Correction du DST 2 - Analyse (sur 22 points)
(1h00)
Documents non autorisés - Calculatrice autorisée Justifier les calculs
Séparer calcul littéral et numérique
Exercice 1 : Estimation ponctuelle exclusive des effets principaux dans le cas d'un plan d’expérience complet. (11 points)
On s’intéresse à la formulation d’une suspension concentrée d’un pesticide solide. Dans la fabrication d’un pesticide solide entre en jeu 3 facteurs :
X1 : granulométrie de la matière active.
X2 : quantité d’agent tensioactif.
X3 : quantité d’huile.
Les contraintes de fabrication permettent de faire varier chacun des trois facteur dans les fourchettes suivantes :
niveau bas : -1 niveau haut : +1
X1 (µm) 1 10
X2 (g.L-1) 0,05 0,2
X3 (%) 5 40
La réponse Y étudiée est le pourcentage d’attaque du parasite sur la plante test.
1) Préciser le type de plan complet que l’on doit choisir. (0,5 point) Le plan choisi est un plan factoriel complet 23
2) On admet un modèle polynômiale, linéaire par rapport aux coefficients.
- a - Calculer les différents coefficients, en complétant la matrice des effets, dont vous donnerez le nom (annexe à rendre avec la copie). Donner un exemple de calcul pour a2. (4,5 points)
Matrice des effets ou matrice de Hadamard :
N° essais I X1 X2 X3 Réponse Y
(%)
1 + - - - 6,75
2 + + - - 52,5
3 + - + - 2,5
4 + + + - 15,5
5 + - - + 3,75
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6 + + - + 67,5
7 + - + + 2,5
8 + + + + 38,75
coefficients a0 = 23,72 a1 = 19,84 a2 = - 8,91 a3 = 4,41 /
a! = − 6,75−52,25+2,5+15,5−3,75−67,5+2,5+38,75
8 = −8,91
- b - Écrire le modèle mathématique polynomial. (1 point) Y = a0 + a1.X1 + a2.X2 + a3.X3
Y = 23,72 + 19,84.X1 – 8,91.X2 + 4,41.X3
4) Interpréter ces résultats. Puisque Y représente le pourcentage de feuilles atteintes par le parasite, que cherche-t-on à faire ? Classer les trois effets du plus important au moins important. (2 points)
On cherche à minimiser Y.
La granulométrie de la matière active (X1) a l’effet le plus important, suivi de la quantité d’agent mouillant (X2) alors que la quantité d’huile (X3) n’a relativement que peu d’effet.
5) Conclure sur la façon d’améliorer la formulation du pesticide, en indiquant quel est le niveau optimal que doivent prendre chacun des effets étudiés. (3 points)
Lorsque X1 passe du niveau -1 au niveau +1, le pourcentage de feuilles attaquées augmente de 2 x 19,84 = 39,7 %. Pour minimiser Y, il faut donc prendre X1 = -1, c.a.d qu’il faut utiliser une granulométrie de 1 µm.
Lorsque X2 passe du niveau -1 au niveau +1, le pourcentage de feuilles attaquées diminue de 2 x 8,91 = 17,8 %. Pour minimiser Y, il faut donc prendre X2 = +1, c.a.d qu’il faut utiliser un agent mouillant à 0,2 g.L-1.
Lorsque X3 passe du niveau -1 au niveau +1, le pourcentage de feuilles attaquées augmente de 2 x 4,41 = 8,82 %. Pour minimiser Y, il faut donc prendre X3 = -1, c.a.d qu’il faut utiliser la quantité minimale d’huile, à savoir 5 %.
Exercice 2 : Étude de la formation du complexe tétraamminecuivre (II) (11 points) 1) Écrire l’équilibre de formation globale du complexe tétraamminecuivre (II). Donner l’expression de la constante globale de formation notée β4. (2 points)
4NH3 (aq) + Cu2+ (aq) = [Cu(NH3)4]2+
β! = Cu(NH!)! !!
Cu!! . NH! !
2) Rappeler le nom des différents complexes du cuivre par l’ammoniaque. (1 point)
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[Cu(NH3)4]2+ : ion tétraamminecuivre (II)
[Cu(NH3)3]2+ : ion triamminecuivre (II)
[Cu(NH3)2]2+ : ion diamminecuivre (II)
[Cu(NH3)]2+ : ion amminecuivre (II)
3) Écrire les quatre équilibres successifs de formations et donner pour chaque équilibre la constante de formation Kfi (i = 1 à 4). (4 points)
NH3 (aq) + Cu2+ (aq) = [Cu(NH3)]2+ K!" = Cu(NH!) !!
Cu!! . NH! NH3 (aq) + [Cu(NH3)]2+ (aq) = [Cu(NH3)2]2+
K!" = Cu(NH!)! !!
Cu(NH!) !! . NH! NH3 (aq) + [Cu(NH3)2]2+ (aq) = [Cu(NH3)3]2+
K!" = Cu(NH!)! !!
Cu(NH!)! !! . NH! NH3 (aq) + [Cu(NH3)3]2+ (aq) = [Cu(NH3)4]2+ K!" = Cu(NH!)! !!
Cu(NH!)! !! . NH!
4) Donner l’expression de β4 en fonction des différentes constantes de formations successives Kfi (i = 1 à 4). (0,5 point)
β4 = Kf1.Kf2.Kf3.Kf4.
5) On donne : logβ1 = 4,1 ; logβ2 = 7,6 ; logβ3 = 10,6 ; logβ4 = 12,6. Déterminer les valeurs des constantes successives de formation des complexes du cuivre Kf1, Kf2, Kf3 et Kf4.
(2 points) β1 = Kf1 = 104,1 ;
β2 = Kf1.Kf2⇒ Kf2 = β2/Kf1 = 107,6/104,1 = 103,5 ;
β3 = Kf1.Kf2.Kf3 = β2.Kf3 ⇒ Kf3 = β3/β2 = 1010,6/107,6 = 103,0 ; β4 = Kf1.Kf2.Kf3.Kf4 = β3.Kf4 ⇒ Kf4 = β4/β3 = 1012,6/1010,6 = 102,0 ;
6) Tracer le diagramme de prédominance des complexes successifs. (1,5 points) Rappel de la règle pour tracer le diagramme de prédominance :
si pL > pKdi + 1 alors [MLi - 1] prédomine ; si pL < pKdi - 1 alors [MLi] prédomine On rappelle que pKdi = - logKdi = + logKfi
On a donc :
pKd1 = logKf1 = 4,1 ; pKd2 = logKf2 = 3,5 ; pKd3 = logKf3 = 3,0 ; pKd4 = logKf4 = 2,0.
D’où le diagramme :
