Cours 10
2.2 DÉRIVÉ ET
LINÉARISATION
Au dernier cours, nous avons vu
✓ Taux de variation moyen ✓ Dérivée en un point
Aujourd’hui, nous allons voir
✓ Comment trouver une droite qui donne une bonne approximation d’une fonction.
✓ La fonction dérivée
✓ La dérivée de
Supposons qu’on ait une fonction, f(x), qui modélise un phénomène.
Supposons aussi que ce qui nous intéresse est de comprendre ce phénomène lorsque les valeurs de x sont près de a.
Dans ce cas, on peut simplifier grandement les choses en trouvant une approximation de la fonction avec une droite.
Exemple Trouver la droite donnant une bonne approximation de la fonction ,
près de
La pente de cette droite est donnée par
On a que la pente de la droite est
Reste à trouver l’ordonnée à l’origine de la droite.
Il nous faudrait un point
En général la linéarisation de la fonction autour du point
a comme pente et passe par le point
Qu’on peut écrire plus simplement comme
Faites les exercices suivants
Section 2.2 # 8
Exemple Soit
On peut donc trouver une fonction qui donne la dérivée en n’importe quel point.
On nomme cette fonction la fonction dérivée ou tout simplement la dérivée.
Dans l’exemple précédant, la fonction était
et sa fonction dérivée était
d’où
-5 -2,5 0 2,5 5
-2,5 2,5
-5 -2,5 0 2,5 5
-2,5 2,5
-5 -2,5 0 2,5 5
-2,5 2,5
Notations
Soit une fonction On note la dérivée de cette fonction:
Exemple
Faites les exercices suivants
Section 2.2 # 9 à 11
Un vrai zéro Trouvons la dérivée de fonction simple.
Soit
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
La dérivée d’une fonction constante est 0.
Exemple Trouver la dérivée de la fonction
Objection votre honneur!
J’invoque le droit à la paresse!
Binôme
Regardons les différentes puissances d’un binôme.
Triangle de Pascal
Blaise Pascale (1623-1662)
Yang Hui (1238-1298)
Comprendre pourquoi ça marche
nécessiterait de comprendre la combinatoire.
Mais on va quand même essayer de comprendre;
C’est-à-dire que le deuxième terme est
C’est-à-dire que le deuxième terme est
Prenons l’exemple de
Comment obtenir le terme en ?
D’autant de façon que j’ai de choisir un a.
Donc 5, car j’ai 5 termes.
Faites les exercices suivants
Section 2.2 # 12
Exemple
Théorème Preuve:
Tous les termes ont du «h»
Avec ce qu’on a vu.
Exemple
Exemple
Exemple
Remarque:
Le dernier théorème reste vrai même si l’exposant n’est pas entier.
C’est-à-dire
Or, la preuve est plus compliquée.
Dans les exercices, vous allez démontrer
Exemple
Exemple Une minute!
Faites les exercices suivants
Section 2.2 # 13
Aujourd’hui, nous avons vu
✓ Linéarisation
-5 -2,5 0 2,5 5
-2,5 2,5
-5 -2,5 0 2,5 5
-2,5 2,5
-5 -2,5 0 2,5 5
-2,5 2,5
✓ Fonction dérivée
✓ La dérivé de
Devoir: Section 2.2
