4 5

(1)

Troisieme ─ Volume ─ Feuille d’exercices n°3 Exercice n°1 (groupe est 2000)

Partie 1

La partie supérieure d’un verre a la forme d’un cône de 6cm de diamètre de base et de hauteur AS=9cm . (voir figure cicontre)

1. Montrer que le volume du cône est 27 cm

³

.

2. On verse un liquide dans ce verre (comme indiqué cicontre), le liquide arrive à la hauteur du point H .

a. On suppose que HS=4,5cm . La surface du liquide est un disque.

Calculer le rayon HC de ce disque (on justifiera les calculs).

b. Exprimer en fonction de  le volume correspondant du liquide en cm

³

.

c. On pose maintenant HS=x (en centimètres). Montrer que le rayon

HC de la surface du liquide est égal à . Montrer alors par le calcul que le volume V de liquide est donné en fonction de x , par la formule : V= cm

³

.

d. En utilisant la formule précédente, calculer le volume de liquide lorsque : HS=3cm puis lorsque HS=6cm.

Partie 2

On verse ensuite le liquide contenu dans ce cône dans un verre cylindrique de même section de 6cm de diamètre et de même hauteur 9cm (voir figure cicontre).

1. Montrer que le volume total du cylindre est 81 cm

³

.

2. Combien de cônes remplis à ras bord faudratil ainsi vider pour remplir le cylindre ?

3. On désigne par y la hauteur en cm de liquide contenu dans le cylindre ( y=GF sur le dessin).

a. Montrer que le volume, en cm

³

, du liquide contenu dans le cylindre est 9y .

b. Montrer que lorsqu’on verse, dans le cylindre, le volume V=

cm

³

du liquide contenu dans le cône, la hauteur y obtenue est reliée à x par la relation :

x

³

=243y .

c. Compléter le tableau suivant où x et y sont reliés par la relation précédente (on donnera les valeurs décimales approchées de y , au millième près)

x ⁰ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷

y

d. Représenter graphiquement les huit points obtenus dans le tableau (on prendra 1cm comme unité sur l’axe des abscisses et 10 cm comme unité sur l’axe des ordonnées, l’origine du repère sera placée sur le bord inférieur gauche de la feuille).

Exercice n°2

Calculer l’aire et le volume d’une sphère de rayon 5 cm (on donnera la valeur exacte, puis la valeur approchée au millième de cm

³

).

Exercice n°3

Calculer l’aire et le volume d’une sphère de rayon 4 cm (on donnera la valeur exacte, puis la valeur approchée au millième de cm

³

).

Exercice n°4

On donne , pour une sphère, A  256  cm².

1. Calculer son rayon.

2. Dessiner cette sphère à l’échelle ¼.

Exercice n°5

On donne, pour une sphère, A 16  cm².

1. Calculer son rayon.

2. Dessiner cette sphère à l’échelle 2/1.

(2)

Exercice n°6

On donne, pour une sphère, V 64 3

4   

 .

1. Calculer son diamètre.

2. Dessiner cette sphère à l’échelle ½.

Exercice n°7

On donne, pour une sphère, V 54 6

4   



1. Calculer son rayon.

2. Dessiner cette sphère à l’échelle 1.

Exercice n°8

1. Sur cette feuille, construire l’intersection du plan horizontal avec la pyramide (elle passe par le point A ⁾

2. On sait que le volume de cette pyramide vaut 55cm

³

, et que SA SB 5

 3 . Quel est le volume de la petite pyramide dont la base passe par A ^?

Exercice n°9

1. Sur cette feuille, construire l’intersection du plan parallèle à l’arête  AB  avec le parallélépipède rectangle (elle passe par le point R ^).

2. On note S l’intersection de ce plan avec l’arête  CB  , T l’intersection de ce plan avec l’arête

 FG  , U l’intersection de ce plan avec l’arête  EH  . Les placer.

3. Quelle est la nature du quadrilatère RSTU ? Pourquoi ?

4. On sait que AB  4 ^cm, RA  2 ^{cm, que} AH  4 cm, et que mes  RUH   30  . Quelles sont les dimensions de RSTU ?

A S

A B R

C D

E F

G H S

B

(3)

Résultats

Exercice n°1

Partie 1

1) Réponse donnée.

2) a) HC = 3

b) V = ×9× ×4,5 = 13,5  cm

³

. c) Réponses données.

d)  cm

³

, puis 8  cm

³

. Partie 2

1) Réponse donnée.

2) 3.

3) a) Réponse donnée.

b) Réponse donnée.

c)

x ⁰ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷

y ⁰ ^{ 0,004} ^{ 0,033} ^{ 0,111} ^{ 0,263} ^{ 0,514} ^{ 0,889} ^{ 1,411}

d) Voir page suivante.

Exercice n°2

Aire : 100cm

²

 314,1593 cm

²

. − Volume : cm

³

 523,599 cm

³

.

Exercice n°3

Aire : 64 cm

²

 201,062 cm

²

. − Volume : cm

³

 268,083 cm

³

.

Exercice n°4

1. Rayon : 4  R

²

= 256 , donc R = 8 cm.

2. Sphère à l’échelle ¼ −> Rayon du dessin = 2.

Exercice n°5

1. Rayon : R = 2 cm.

2. Sphère à l’échelle 2/1 −>Rayon du dessin = 4.

Exercice n°6

1. Diamètre = 8.

2. Sphère à l’échelle ½ −> Diamètre du dessin = 4, Rayon = 2.

Exercice n°7

1.  R

³

=  ×54, donc R

³

= = 27. Donc R = 3.

2. Sphère à l’échelle 1 −> Rayon du dessin = 3

Exercice n°8

1. 2. 55×()

³

= 11,88 cm

³

.

Exercice n°9

1. et 2. 3. Un rectangle (car la section d’un pavé droit par un plan parallèle à une arête est un rectangle).

4. SR = TU = AB = 4 cm. RU = = 8 cm.

GF (1 unité = 10 cm)

B

A

B A

Les arêtes de la section sont parallèles aux arêtes de la base

U

S

T

R A

B R

C D

E

F G

V H

Exercice n°1 − Graphique

(4)

4 5

Troisieme ─ Volume ─ Feuille d’exercices n°3 Exercice n°1 (groupe est 2000)

Partie 1

La partie supérieure d’un verre a la forme d’un cône de 6cm de diamètre de base et de hauteur AS=9cm . (voir figure cicontre)

1. Montrer que le volume du cône est 27 cm

.

2. On verse un liquide dans ce verre (comme indiqué cicontre), le liquide arrive à la hauteur du point H .

a. On suppose que HS=4,5cm . La surface du liquide est un disque.

Calculer le rayon HC de ce disque (on justifiera les calculs).

b. Exprimer en fonction de  le volume correspondant du liquide en cm

.

c. On pose maintenant HS=x (en centimètres). Montrer que le rayon

HC de la surface du liquide est égal à . Montrer alors par le calcul que le volume V de liquide est donné en fonction de x , par la formule : V= cm

.

d. En utilisant la formule précédente, calculer le volume de liquide lorsque : HS=3cm puis lorsque HS=6cm.

Partie 2

On verse ensuite le liquide contenu dans ce cône dans un verre cylindrique de même section de 6cm de diamètre et de même hauteur 9cm (voir figure cicontre).

1. Montrer que le volume total du cylindre est 81 cm

.

2. Combien de cônes remplis à ras bord faudratil ainsi vider pour remplir le cylindre ?

3. On désigne par y la hauteur en cm de liquide contenu dans le cylindre ( y=GF sur le dessin).

a. Montrer que le volume, en cm

, du liquide contenu dans le cylindre est 9y .

b. Montrer que lorsqu’on verse, dans le cylindre, le volume V=

cm

du liquide contenu dans le cône, la hauteur y obtenue est reliée à x par la relation :

x

=243y .

c. Compléter le tableau suivant où x et y sont reliés par la relation précédente (on donnera les valeurs décimales approchées de y , au millième près)

x 0 1 2 3 4 5 6 7

y

d. Représenter graphiquement les huit points obtenus dans le tableau (on prendra 1cm comme unité sur l’axe des abscisses et 10 cm comme unité sur l’axe des ordonnées, l’origine du repère sera placée sur le bord inférieur gauche de la feuille).

Exercice n°2

Calculer l’aire et le volume d’une sphère de rayon 5 cm (on donnera la valeur exacte, puis la valeur approchée au millième de cm

).

Exercice n°3

Calculer l’aire et le volume d’une sphère de rayon 4 cm (on donnera la valeur exacte, puis la valeur approchée au millième de cm

).

Exercice n°4

On donne , pour une sphère, A  256  cm².

1. Calculer son rayon.

2. Dessiner cette sphère à l’échelle ¼.

Exercice n°5

On donne, pour une sphère, A 16  cm².

1. Calculer son rayon.

2. Dessiner cette sphère à l’échelle 2/1.

Exercice n°6

On donne, pour une sphère, V 64 3

4   

 .

1. Calculer son diamètre.

2. Dessiner cette sphère à l’échelle ½.

Exercice n°7

On donne, pour une sphère, V 54 6

4   



1. Calculer son rayon.

2. Dessiner cette sphère à l’échelle 1.

Exercice n°8

1. Sur cette feuille, construire l’intersection du plan horizontal avec la pyramide (elle passe par le point A )

2. On sait que le volume de cette pyramide vaut 55cm

, et que SA SB 5

 3 . Quel est le volume de la petite pyramide dont la base passe par A ?

Exercice n°9

1. Sur cette feuille, construire l’intersection du plan parallèle à l’arête  AB  avec le parallélépipède rectangle (elle passe par le point R ).

2. On note S l’intersection de ce plan avec l’arête  CB  , T l’intersection de ce plan avec l’arête

 FG  , U l’intersection de ce plan avec l’arête  EH  . Les placer.

3. Quelle est la nature du quadrilatère RSTU ? Pourquoi ?

4. On sait que AB  4 cm, RA  2 cm, que AH  4 cm, et que mes  RUH   30  . Quelles sont les dimensions de RSTU ?

A S

A B R

C D

E F

G H S

B

Résultats

Exercice n°1

Partie 1

1) Réponse donnée.

2) a) HC = 3

x ⁰ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷

1. Sur cette feuille, construire l’intersection du plan horizontal avec la pyramide (elle passe par le point A ⁾

 3 . Quel est le volume de la petite pyramide dont la base passe par A ^?

1. Sur cette feuille, construire l’intersection du plan parallèle à l’arête  AB  avec le parallélépipède rectangle (elle passe par le point R ^).

4. On sait que AB  4 ^cm, RA  2 ^{cm, que} AH  4 cm, et que mes  RUH   30  . Quelles sont les dimensions de RSTU ?

x ⁰ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷

y ⁰ ^{ 0,004} ^{ 0,033} ^{ 0,111} ^{ 0,263} ^{ 0,514} ^{ 0,889} ^{ 1,411}