Objectifs du chapitre : C2.a

(1)

Chap.2 : Matrices - partie I.

Objectifs du chapitre :

C2.a - Niv1 - Matrices carrées, matrices colonnes : opérations 1/3

C2.b - Niv1 - Connaître les matrices particulières, et savoir exploiter l’égalité matricielle.

C2.c - Niv1 - Opérations sur les matrices 2/3 C2.d - Niv1 - Produit de matrices : opérations 3/3

Activité n°1 : le problème à deux compartiments

On conserve dans une enceinte une population d’êtres unicellulaires qui ne peuvent se trouver que dans deux états physiologiques désignés par A et B. On désigne par an et

bn les effectifs – exprimés en milliers d’individus − des deux sous-populations (correspondant à chacun des deux états A et B) à l’instant n. Des observations menées sur une assez longue période permettent d’estimer que 95% des

unicellulaires se trouvant à l’instant n dans l’état A n’ont pas changé d’état à l’instant

n + 1, non plus que 80% de ceux se trouvant à l’instant n dans l’état B. L'effectif total s'élève à 500 000 individus.

1.Traduire cette situation par un système d’équations reliant an+1, anet bn. d’une part, et bn+1, an et bn.

2. La population à l'instant 0 satisfait a0 = 375. On a

commencé à rentrer les premières valeurs dans un tableur, ci-contre.

a. Quelles formules faut-il saisir en A2 et A3 pour obtenir a1 et b1 ?

b. On reporte en D5 et D6 les valeurs trouvées en A2 et A3. Quelles formules faut-il saisir en A5 et A6, pour obtenir

a2 et b2 ?

c. On veut, par copier-coller, calculer de proche en proche les termes des deux suites. Faut-il modifier les formules ?

d. On appelle « matrice n × m » un tableau de valeurs à n lignes et m colonnes. On le note en l'encadrant par de grandes parenthèses. Recopiez et complétez en

continuant la notation suggérée :

(

^a^bⁿ⁺¹ⁿ⁺¹

)

⁼

⁽

0 ,95 ...

0 ,05 ...

)

^×

(

^...^...

)

Plus généralement (aidez-vous du calcul fait dans le tableur) :

(

...×...+...×...

)

⁼

(

^α^α¹¹²¹ ^α^α¹²²²

)

^×

(

^β^β¹²

)

e. Faire le calcul des effectifs a3 et b3 . Essayez de faire les calculs suivants (tableur de la calculatrice ou du téléphone). Peut-on faire une conjecture sur le comportement des suites (an) et (bn) ?

f. Si on appelle A la matrice

(

^{0 ,95 0,2}^{0 ,05 0 ,8}

)

, exprimez en fonction de

(

^a^bⁿ⁺¹ⁿ⁺¹

)

^,

(

^a^b⁰⁰

)

^et

(2)

2. Effectuer d'autres essais (tableur de la calculatrice ou du téléphone) en gardant un effectif total identique, mais en prenant d'autres valeurs initiales. La conjecture est- elle toujours correcte ?

3*. En utilisant la constance de l'effectif total, exprimer a_n+1 en fonction d'uniquement

a_n .

4*. On définit la suite

(

^tⁿ

)

^par^tⁿ^{= 400 – a}ⁿ. Démontrer que est géométri

(

^tⁿ

)

que et en déduire le comportement des suites (an) et (bn) .

FIN de l’activité n°1

Cours n°1 : Opérations sur les matrices 1/3

C.a - Niv1 - Matrices carrées, matrices colonnes : opérations 1/2 Définition n°1 : matrice.

Une matrice de dimension n×p est un tableau de nombres comportant n lignes et

p colonnes :

(

... ...ââ^...¹¹²¹ ââ^...¹²²² ^...^...^...... ^...^......^... ^...^...^...... ...ââ^...¹²^p^p ... ... ... ... ... ...

a_n1 a_n2 ... ... ... a_np

)

Les coefficients de la matrice sont les nombres a_i_j , i correspondant à la i^ème ligne,

j correspondant à la j^ème colonne.

Exemple n°1 :

Construire la matrice de dimension 3×4 telle que aij=2×i+3×j ^:

...

Définition n°2 : matrice carrée.

Lorsque n=p, la matrice de dimension n×p est appelée …...

…... …... …..

Exemple n°2 :

Construire la matrice d'ordre 3 telle que : aij=

{

¹⁰^si^siⁱⁱ⁼^≠^j^j

...

(3)

Exemple n°3 :

Dans un magasin A, un stylo coûte 4 €, un cahier coûte 3 €, et une gomme coûte 2

€.

Dans un magasin B, un stylo coûte 5 € et un cahier coûte 2 €, et une gomme coûte

3 €.

Résumer ces informations dans une matrice 2×3^.

...

Définition n°3 : multiplication par une matrice colonne.

Soit A une matrice n×p de coefficients aij et B une matrice colonne à p éléments, de coefficient bi1.

Alors C = A×B est une matrice …... dont chaque coefficient vaut : …...

Exemple n°4 :

On reprend l’exemple n°3 des deux magasins. On veut acheter 3 cahiers, 2 stylos et 1 gomme. Modéliser cette situation, sous forme de produit de deux matrices dont une matrice à une colonne, puis effectuer le calcul pour savoir dans quel magasin l’achat sera le moins cher.

...

FIN du cours n°1

Premier ‘Se tester’ du cours n°1 : Un savoir au hasard (bonus/malus de 1 pt)

Savoir n°2

Compléter :

Soient a et b deux entiers relatifs et n un entier naturel supérieur ou égal à 2.

L'entier a est congru à b modulo n si :

...

(4)

(5)

(6)

Fin du savoir n°2

Se tester n°1 - Exercice n°1 (/2)

Construire la matrice de dimension 3×4 telle que aij=5×i+5×j :

Se tester n°1 - Exercice n°2 (/4)

Dans un magasin A, un stylo coûte 5 €, un cahier coûte 8 €, et une gomme coûte 5 €.

Dans un magasin B, un stylo coûte 5 €, un cahier coûte 7 €, et une gomme coûte 2 €.

1. Résumer ces informations dans une matrice.

2. On veut acheter 4 cahiers, 6 stylos et 4 gomme. Modéliser cette situation, sous forme de produit de deux matrices dont une matrice à une colonne, puis effectuer le calcul pour savoir dans quel magasin l’achat sera le moins cher.

(7)

Résultats :

1.

(

10 15 20 25 15 20 25 30 20 25 30 35

)

2.

(

^{5 8 5}^{5 7 2}

)

. Magasin A

Fin Premier ‘Se tester’ du cours n°1

Deuxième ‘Se tester’ du cours n°1 : Un savoir au hasard (bonus/malus de 1 pt)

Savoir n°2

Compléter :

...

Fin du savoir n°2

Se tester n°1 - Exercice n°3 (/2)

Construire la matrice de dimension 3×4 telle que aij=1×i+5×j ^:

Se tester n°1 - Exercice n°4 (/4)

Dans un magasin A, un stylo coûte 6 €, un cahier coûte 8 €, et une gomme coûte 6 €.

Dans un magasin B, un stylo coûte 4 €, un cahier coûte 7 €, et une gomme coûte 8 €.

1. Résumer ces informations dans une matrice.

2. On veut acheter 8 cahiers, 7 stylos et 4 gomme. Modéliser cette situation, sous forme de produit de deux matrices dont une matrice à une colonne, puis effectuer le calcul pour savoir dans quel magasin l’achat sera le moins cher.

(8)

Résultats :

1.

(

^{6 11 16 21}^{7 12 17 22}^{8 13 18 23}

)

2.

(

^{6 8 6}^{4 7 8}

)

. Magasin A

Fin Deuxième ‘Se tester’ du cours n°1

Interrogation n°1

Savoir.

Objectif : C2.a - Niv1 - Matrices carrées, matrices colonnes : opérations 1/3

Exercices du cours n°1

(Cours n°1) - Exercice n°5

Ex.1 p.94

(Cours n°1) - Exercice n°6

Ex.2 p.94

(Cours n°1) - Exercice n°7

Ex.4 p.94

(Cours n°1) - Exercice n°8

Ex.35 p.96

Résultats :

1. a12 = 0,2 ; a21 = 0,8 ; a23 = 0,2 . 3. 2,3

(

^{2 3}^{1 2}

)

A=

(

^{2 0 1}^{0 1 2}^{1 2 0}

)

1. E =

(

^{560 160 80}^{560 105 35}

)

^2.^F=⁽0 ,747 0 ,177 0 ,077)

FIN des exercices du cours n°1 Cours n°2 : égalité de matrices.

Définition n°1 : matrices égales.

Deux matrices sont dites égales si, et seulement si, quelque soit la colonne i et la ligne j, le coefficient aij de la matrice A ……….coefficient bij de la matrice

B.

Exemple n°1 :

(9)

Soit m un réel. A est la matrice d'ordre 3 définie par aij= im+j. B est la matrice d'ordre 3 définie par bij = im² + j. Pour quelle(s) valeur(s) de m ces deux matrices sont-elles égales ?

...

Définition n°2 : matrices particulières.

La matrice nulle est

…...

Si c'est une matrice carrée d'ordre n, on la note …......

La matrice unité est la matrice carrée d'ordre n telle que …... si i=j,

…... sinon. On la note ….

Une matrice ligne est une matrice qui

…...

Une matrice colonne est une matrice qui

…...………..

On appelle diagonale principale d'une matrice carrée d'ordre n l'ensemble des coefficients …... avec …...

Exemple n°2 :

Écrire la matrice unité d'ordre 3.

...

Premier ‘Se tester’ du cours n°2 : Un savoir au hasard (bonus/malus de 1 pt)

Savoir n°1

Traduire la relation « a divise b » par une proposition mathématique :

...

Fin du savoir n°1

(10)

Se tester n°2 - Exercice n°9 (/2)

Soit m un réel.

A

est la matrice d'ordre 3 définie par aij= i(m+4)+j. B est la matrice d'ordre 3 définie par bij = i(m+4)² + j. Pour quelle(s) valeur(s) de m ces deux matrices sont-elles égales ?

Se tester n°2 - E xercice n°10 (/4)

(11)

Résultats :

-4 et -3

(

^{1 0 0}^{0 1 0}^{0 0 1}

)

Fin Premier ‘Se tester’ du cours n°2

Deuxième ‘Se tester’ du cours n°2 : Un savoir au hasard (bonus/malus de 1 pt)

Savoir n°3

Compléter :

Soient deux nombres entiers a et b, b étant différent de 0. Alors il existe un couple unique de deux entiers naturels q et r, ………..., vérifiant la relation :

a = …...……….

Fin du savoir n°3

Se tester n°2 - E xercice n°11 (/2)

Soit m un réel.

A

est la matrice d'ordre 3 définie par aij= i(m+2)+j. B est la matrice d'ordre 3 définie par bij = i(m+2)² + j. Pour quelle(s) valeur(s) de m ces deux matrices sont-elles égales ?

Se tester n°2 - E xercice n°12 (/4)

(12)

Résultats :

-2 et -1

(

^{1 0}^{0 1}

)

Fin Deuxième ‘Se tester’ du cours n°2

Interrogation n° 2

Savoir

Objectif : C2.b - Niv1 - Connaître les matrices particulières, et savoir exploiter l’égalité matricielle.

(Cours n°2) - Exercice n°13

Ex.7 p.94

(Cours n°2) - Exercice n°14

Ex.5 p.94

(Cours n°2) - Exercice n°15

Ex.36 p.96

Résultats :

trace(A) =

∑

i=1 n

i = 1

2 n(n + 1)

1. a13=3 ; a31=7 ; 2.

∑

j=1 3

a_jj^{= 15 3.}

∑

j=1 3

a₂_j^{= 15 4.}

∑

j=1 3

a₄₋_jj^=15.

A =

(

^{12 8 4 0}³⁶⁹ ^{2 1 0}^{4 2 0}^{6 3 0}

)

FIN des exercices du cours n°2

Cours n°3 : opérations sur les matrices 2/3

C2.c - Niv1 - Opérations sur les matrices 2/3.

Définition n°1

Soient deux matrices A et B de coefficients respectifs aij et bij, et k un nombre réel, alors :

A + B est la matrice de coefficients …...

kA est la matrice de coefficients …...

Exemple n°1

(13)

Calculer 1

3

∑

k=1 3

A_k :

...

Propriété n°1 :

Soient trois matrices A, B et C de coefficients respectifs aij, bij et cij , et k un nombre réel, alors :

1. A + B =...

2. ( A+B ) + C = …...

3. k ( A + B ) = …...

4. ( k + k' ) A = …...

5. k ( k' A ) = …...

6. In × A = ………… = …..

7. 0n×A = ………… = …..

Exemple n°2

Soit In la matrice unité d'ordre n et An une matrice colonne à n éléments.

Que vaut In×Aⁿ^?

...

Premier ‘Se tester’ du cours n°3 : Un savoir au hasard (bonus/malus de 1 pt)

Savoir n°2

Compléter :

...

Fin du savoir n°2

Se tester n°3 - E xercice n°16 (/4)

On définit une suite de matrices carrées d'ordre 2 (An) de la façon suivante :

aij = ( 2i + j ) n.

(14)

Calculer 1

3

∑

k=1 3

A_k

(15)

Résultats :

(

^{10 12}⁶ ⁸

)

Fin Premier ‘Se tester’ du cours n°3

Deuxième ‘Se tester’ du cours n°3 : Un savoir au hasard (bonus/malus de 1 pt)

Savoir n°2

Compléter :

...

Fin du savoir n°2

Se tester n°3 - E xercice n°17 (/4)

On définit une suite de matrices carrées d'ordre 2 (An) de la façon suivante :

aij = ( 2i – j ) n. Calculer 1

3

∑

k=1 3

A_k

(16)

Résultats :

(

^{2 0}^{6 4}

)

Fin Deuxième ‘Se tester’ du cours n°3

Interrogation n° 3

Savoir.

Objectif : C2.c - Niv1 - Matrices carrées, matrices colonnes : opérations 2/3

(Cours n°3) - Exercice n°18

Ex.10 p.94

(Cours n°3) - Exercice n°19

Ex.13 p.94

(Cours n°3) - Exercice n°20

Ex.15 p.96

(Cours n°3) - Exercice n°21

Ex.16 p.96

Résultats :

3A =

(

^{−3 3}³⁰ ^1,5

^√

²

)

, –2A – B =

(

^{−14 ,9}⁰ ⁻²⁻¹⁻

^√

²⁻^π^%²³

)

2A – 3B =

(

⁻¹³¹ ⁻⁻⁻¹⁰⁸⁶ ⁻⁻⁻²⁵²³²¹

)

AX =

(

⁻²⁶⁰

)

(

^{x '}^{y '}

)

⁼

(

⁻¹^{1 1}²

) (

^x^y

)

Activité n°2 : multiplication de matrices

Deux villes contiguës X et Y totalisent une population d'un million d'habitants. La ville

X est plus agréable, mais la ville Y offre de meilleurs salaires. À l'année 0, un quart de la totalité des habitants est dans la ville X.

1. Lors de l'année 0, 20% des habitants de Y partent habiter dans la ville X pour avoir un meilleur cadre de vie, et 5% des habitants de X partent habiter Y pour

(17)

Nb d'habitants avant

changement Nb d'habitants après

changement

X

Qui demeurent dans X :…

Qui viennent de

Y :… x0 …...

Y

Qui viennent de

X :0,2

Qui demeurent

dans Y :... y0 …...

b. Notation matricielle : soit U0 la matrice colonne donnant le nombre d'habitants dans les villes X et Y à l'année 0 (U0 =

(

^x^y⁰⁰

)

). La matrice colonne donnant le nombre d'habitants dans les villes X et Y à l'année 1 est notée U1 et on a U1 = AU0. Écrire la matrice A.

2. Lors de l'année 1, 30% des habitants de Y partent habiter dans la ville X, et 8% des habitants de X partent habiter la ville Y.

a. Déterminer la matrice B telle que U2 = BU1.

b. Quelle relation matricielle y a-t-il entre U2, B, A et U0 ?

3. On appelle C la matrice qui vérifie U2 = CU0. Le but de cette question est de déterminer C.

a. Que représente le coefficient c11 (ligne du haut, première colonne) de la matrice

C ?

b. Calculer c11.

c. Déterminer le pourcentage des habitants qui habitaient Y à l'année 0, qui sont passés à X à l'année 1, et qui sont restés à X à l'année 2.

d. Déterminer le pourcentage des habitants qui habitaient Y à l'année 0, qui sont restés à Y à l'année 1, et qui sont passés à X à l'année 2.

e. Que représente la somme des quantités calculées en c et en d ? En déduire l'un des coefficients de la matrice C.

f. Calculer les autres coefficients de la matrice C.

4. Donner une technique permettant de calculer les coefficients de la matrice C

connaissant les coefficients des matrices A et B. 5. A-t-on BA=AB ?

FIN de l’activité n°2

Cours n°4 : Produit de matrices, opérations 3/3

C2.d - Niv1 - Produit de matrices : opérations 3/3i Définition n°1 : produit de matrices

(18)

Soit A une matrice de dimension n×p

(

âââ^...ⁿ¹¹²¹¹ âââ^...¹²²²ⁿ² ^...^...^...^... âââ^...¹²^np^p^p

)

^et^B

(

^b^b^b^...¹¹²¹^p1 ^b^b^b^...¹²²²^p² ^...^...^...^... ^b^b^b^...^1q^2q^pq

)

une matrice de dimensions p×q. Le produit AB est une matrice de dimension n×q

définie par :

(

^...×^...+^...×^...+^...+...×... ...×...+...×...+...+...×... ... ...×...+...×...+...+...×...

...×...+...×...+...+...×... ...×...+...×...+...+...×... ... ...×...+...×...+...+...×...

. . ... .

...×...+...×...+...+...×... ...×...+...×...+...+...×... ... ...×...+...×...+...+...×...

)

Autrement dit :

Soit A une matrice de dimension n×p et B une matrice de dimensions p×q. Les coefficients c_ij de la matrice produit AB sont définis par :

...

Exemple n°1 :

Soient A=(1 2 3) et B=

(

⁵⁶⁴

)

^{, alors}AB = …... = …...…

Exemple n°2 :

Soient A=

(

^{1 2}^{3 4}^{5 6}

)

^et^B=

⁽

^{1 2 3 4}^{5 6 7 8}

⁾

^{, alors}

AB =

(

... ... ... ...

)

^.

et

sachant que B=

(

^{1 2 3 4}^{5 6 7 8}

)

^et^A=

(

^{1 2}^{3 4}^{5 6}

)

^,BA...…

Propriété n°1 :

Soient A, B, et C trois matrices. Si tous les produits possibles et sommes possibles sont calculables, on a :

1. (AB)C = …...

2. A(B + C)=... et (A + B)C=...

3. AB …... BA. 4. Si A est une matrice carrée d'ordre n, A × In …...…

Exemple n°3 :

Soit la matrice A=

(

^{1 1}^{1 0}

)

^et^B la matrice

(

^{0 1}^{1 0}

)

^.^CalculerÂ²^,Â(2A), ^2A²^,ÂBêt^BA^.

(19)

...

...…

Fin du cours n°4

Premier ‘Se tester’ du cours n°4 : Un savoir au hasard (bonus/malus de 1 pt)

Savoir n°1

Traduire la relation « a divise b » par une proposition mathématique :

...

Fin du savoir n°1

Se tester n°4 - E xercice n°22 (/1,5)

Soient A=(2 2 3)^etB=

(

⁵⁴⁷

)

^{. Calculer}^AB^.

Se tester n°4 - E xercice n°23 (/4)

Soient A=

(

^{5 4}^{9 3}^{7 4}

)

^{et B=}

⁽

^{7 8 4 2}^{9 7 5 6}

⁾

^{, alors :}

1. Que peut-on calculer : AB, BA ou les deux ? 2. Calculer l’un des produits qui est possible.

Se tester n°4 - E xercice n°24 (/2,5)

Soit la matrice A=

(

^{1 1}^{0 1}

)

et la matrice B=

(

^{1 1}^{1 1}

)

. Calculer A², A(2A), 2A² , AB et BA.

(20)

Résultats :

39

BA

(

⁸²^{76 122 92}⁹⁴ ⁹⁰

)

A² =

(

^{1 2}^{0 1}

)

A(2A) = 2A²=

(

^{2 4}^{0 2}

)

AB =

(

^{2 2}^{1 1}

)

BA =

(

^{1 2}^{1 2}

)

Fin Premier ‘Se tester’ du cours n°4

Deuxième ‘Se tester’ du cours n°4 : Un savoir au hasard (bonus/malus de 1 pt)

Savoir n°5

Compléter :

Soient trois matrices A, B et C de coefficients respectifs aij, bij et cij , et k un nombre réel, alors :

1. A + B =...

2. ( A+B ) + C = …...

3. k ( A + B ) = …...

4. ( k + k' ) A = …...

5. k ( k' A ) = …...

6. In × A = ………… = …..

7. 0n×A = ………… = …..

Fin du savoir n°5

Se tester n°4 - E xercice n°25 (/1,5)

Soient A=(3 2 4)^etB=

(

⁹⁸⁹

)

^{. Calculer}^AB^.

Se tester n°4 - E xercice n°26 (/4)

Soient A=

(

^{8 4}^{7 5}

)

^{et B=}

⁽

^{2 8 3 9}^{7 6 3 6}

⁾

^{, alors :}

(21)

Se tester n°4 - E xercice n°27 (/2,5)

Soit la matrice A=

(

^{0 1}^{0 1}

)

et la matrice B=

(

^{1 0}^{1 1}

)

. Calculer A², A(2A), 2A² , AB et BA.

(22)

Résultats :

79

BA

(

189 218 113 147 153 63

)

A² =

(

^{0 1}^{0 1}

)

A(2A) = 2A²=

(

^{0 2}^{0 2}

)

AB =

(

^{1 1}^{1 1}

)

BA =

(

^{0 1}^{0 2}

)

Fin Deuxième ‘Se tester’ du cours n°4

Interrogation n°4

Savoir.

Objectif : C2.d - Niv1 - Produit de matrices : opérations 3/3

Exercice du cours n°4

(Cours n°4) - Exercice n°28

Ex.22 p.95

(Cours n°4) - Exercice n°29

Ex.24 p.95

(Cours n°4) - Exercice n°30

Ex.27 p.95

(Cours n°4) - Exercice n°31

Ex.46 p.96

(Cours n°4) - Exercice n°32

Ex.49 p.97

(Cours n°4) - Exercice n°33

Ex.52 p.97

(Cours n°4) - Exercice n°34

Ex.54 p.97

(Cours n°4) - Exercice n°35

Ex.56 p.97

(Cours n°4) - Exercice n°36

Sujet A p.105

(Cours n°4) - Exercice n°37

Ex.107 p.109

(Cours n°4) - Exercice n°38

(23)

Partie A :

Soit  = π

4 et la matrice A=

(

^cos^sin^θ^θ ⁻^cos^sin^θ^θ

)

Soit ⃗i le vecteur de coordonnées

(

¹⁰

)

(l'abscisse est en haut). On appelle B cette matrice

(

¹⁰

)

1. Déterminer le vecteur ⃗u dont les coordonnées vérifient A×B. Tracer ces vecteurs dans un repère orthonormé.

2. Réappliquer la matrice A sur le vecteur ⃗u . Que semble-t-il se passer ? Partie B :

1. Soit (O; ⃗i ; ⃗j ) un repère orthonormé direct. Conjecturer l'effet de la multiplication de A par ⃗i et de la multiplication de A par ⃗j .

2. Démontrez cette conjecture.

3. En déduire l'effet de cette matrice sur tout vecteur du repère.

Résultats :

AB=

(

^−48,7^{19 ,9} ^{−18 ,5}^{7 ,5}

)

^et^BA=

(

⁻^{0 ,6 1,7}¹ ²

)

AB=

(

êê⁴ ê¹³⁺⁺êê⁴⁷

)

^et^BA=

(

ê⁺ê⁵ê³ ê³ê⁺⁷ê⁵

)

Aⁿ=O2 pour n ≤ 2.

AB ≠ BA

B=

(

^{0 4}^{0 1}

)

^et^B'=

(

^{1 0}^{4 0}

)

Aⁿ=O3 si n ≤ 3

1. A=

(

^a⁰ ¹^a

)

^{2. et 3.}^Aⁿ⁼

(

^a⁰ⁿ ^na^aⁿ⁻¹ⁿ

)

^4.

(

^u^vⁿⁿ

)

⁼

⁽

²^aⁿ⁺^a^naⁿ ⁿ⁻¹

⁾

1. Jⁿ=2^n-1J 2. A=I+2J,A²=I+12J,A³=I+62J. 3. Par récurrence. 4.a.

4.b.

(

^u^vⁿⁿ

)

⁼

⁽

⁻¹⁺¹⁺^3×^3×⁵⁵ⁿⁿ

⁾

1. u1=3+2

√

^{2 , u}²⁼¹⁷⁺¹²

√

^{2 , u}³⁼⁹⁹⁺⁷⁰

√

²^2.^uⁿ⁺¹^=(3aⁿ^+4bⁿ⁾⁺

√

^{2 (2a}ⁿ^+3bⁿ⁾^3.^c^{prend la}

valeur 3a+4b, b prend la valeur 2a+3b, a prend la vaur c.... 4. A=

(

^{3 4}^{2 3}

)

^5.a.^PQ^{est la}

(24)

matrice unité. 5.b. QAP =

(

³⁺²⁰

^√

² ³⁻⁰²

√

²

)

6. Aⁿ=

( ^√

⁴²¹²

⁽ ⁽

³³⁺⁺²²

^√ ^√

²²

⁾ ⁾

ⁿⁿ⁻⁺¹²

^√

⁴

⁽

²³

⁽

⁻³⁻²

^√

²²

^√ ⁾

²ⁿ

⁾

ⁿ

^√

²²¹²

⁽ ⁽

³³⁺⁺²²

^√ ^√

²²

⁾ ⁾

ⁿⁿ⁻⁺¹²

^√

²²

⁽

³

⁽

⁻³⁻²

^√

²²

^√ ⁾

²ⁿ

⁾

ⁿ

)

^7.

⁽

^a^bⁿⁿ

⁾

^=Aⁿ^¿

⁽

¹⁰

⁾

1.a. 0,36 1.b. 0,48 2. R0=(0 0 1 0 0)^a.R1=(0 0 ,6 0 0 ,4 0) , R2=

(0 ,36 0 0,48 0 0,16)^b.M=

(

^{0 ,6}¹⁰⁰⁰ ^0,6⁰⁰⁰⁰ ^{0 ,4}^{0 ,6}⁰⁰⁰ ^{0 ,4}⁰⁰⁰⁰ ^{0 ,4}⁰⁰⁰¹

)

c. R2=R0M². d.Rn=r0Mⁿ. 3.a.impossible de se retrouver au point 3. 3.b. impossible d'atteindre les points 2 et 4. 4.a.pn est la probabilité d'atteindre le point 1 en n pas.

4.b. R2n+1=R2nM et question 3.b.

1. 0,25⁴. 2.a.B=

(

^{0 ,75 0,25}^{0 ,5}^{0 ,5}^{0 ,5}⁰ ^{0,25 0 ,25}^0,25^0,25⁰ ⁰⁰⁰⁰ ^0,25⁰⁰⁰⁰ ^{0 ,25}⁰⁰⁰¹

)

^3.a.^0,25⁴^+0,25³. 3.b. Calcul de

(0 1 0 0 0) B⁴

P.A. 1.

( ^√ ^√

²²²²

)

^2.

⁽

⁰¹

⁾

: le vecteur a encore tourné de π%

4 . P.B. 1. ⃗i et ⃗j subissent tous les deux une rotation d'angle . 2. Par le calcul... 3. Idem.

(25)

(26)